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PrismenRettungsring 10

Eigenschaften von Prismen

Ein gerades Prisma hat immer eine Grund- und eine Deck� äche, die deckungsgleich (kongruent) und parallel zueinander sind.Den Abstand zwischen Grund- und Deck� äche nennt man Körperhöhe.Der Mantel setzt sich immer aus Rechtecken zusammen.

dreiseitiges Prisma vierseitiges Prisma regelmäßiges = Quader sechsseitiges Prisma

Ein Prisma wird nach der Anzahl der Seiten seiner Grund� äche (G) benannt.Ist die Grund� äche eines Prismas eine regelmäßige Figur (z. B. gleichseitiges Dreieck, Quadrat usw.), so nennt man es auch regelmäßiges Prisma.

Ein Quader ist ein vierseitiges Prisma mit 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen.Ein Würfel ist ein besonderer Quader mit 8 Ecken, 12 gleich langen Kanten und 6 kongruenten quadratischen Flächen.

Wie muss die Grund� äche des regelmäßigen Prismas jeweils aussehen, damit die angegebenen Eigenschaften zutreffen? Gib auch die Namen der gesuchten Körper an!

a) Das Prisma hat 8 Ecken.

b) Das regelmäßige Prisma hat 9 Kanten.

c) Der Mantel des Prismas setzt sich aus 6 Rechtecken zusammen.

d) Das regelmäßige Prisma hat 10 Ecken und 7 Begrenzungs� ächen.

Welche Behauptung stimmt?

A „Jeder Würfel ist ein Quader.“ B „Jeder Quader ist ein Würfel.“

Wie viele Ecken hat

a) ein dreiseitiges Prisma? b) ein vierseitiges Prisma?

c) ein sechsseitiges Prisma? d) ein achtseitiges Prisma?

Wie viele Kanten hat

a) ein regelmäßiges dreiseitiges Prisma? b) ein fünfseitiges Prisma?

c) ein regelmäßiges achtseitiges Prisma? d) ein zehnseitiges Prisma?

Wie viele Begrenzungs� ächen hat

a) ein dreiseitiges Prisma? b) ein Prisma mit quadratischer Grund� äche?

c) ein sechsseitiges Prisma? d) ein zwölfseitiges Prisma?

Deck�äche

Mantel (M)Körperhöhe (h)

Grund�äche (G)

Deck�äche

Mantel (M)Körperhöhe (h)

Grund�äche (G)

Körperhöhe (h)

Grund� äche (G)

Mantel (M)

Deck� äche

ganz klar: Mathematik 2 - Das Ferienheft mit Erfolgsanzeiger

Netz und Ober� ächeninhalt von Prismen

Die Ober� äche (O) eines Prismas setzt sich immer aus der Grund� äche (G), der Deck� äche und dem Mantel (M) zusammen.

Quader (vierseitiges Prisma) dreiseitiges Prisma

Für alle Prismen gilt: O = 2 · G + M

Eine bereits bekannte Bei geraden Prismen hat der Mantel (M) Ober� ächenformel für Quader: immer die Form eines Rechtecks:

uG … Umfang der Grund� äche O = 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c M = uG · h

Ein Quader hat eine Länge a = 7,5 cm, eine Breite b = 3 cm und eine Höhe h = 9 cm. Berechne den Ober� ächeninhalt des Quaders!

Formel 1 Formel 2a = 7,5 cm b = 3 cmh = 9 cmO = ?

O = 2×a×b + 2×a×h + 2×b×h

O = 2×7,5×3 + 2×7,5×9 + 2×3×9O = 45 + 135 + 54O = 234 cm²

O = 2×G + uG ×hO = 2×a×b + (2a + 2b)×h

O = 2×7,5×3 + (2×7,5 + 2×3)×9O = 45 + 21×9O = 45 + 189O = 234 cm²

Lösung: Der Ober� ächeninhalt des Quaders beträgt 234 cm².

Rettungs-beispiel

Ein Würfel hat eine Kantenlänge a = 7,5 cm.Berechne den Ober� ächeninhalt des Würfels!

a = 7,5 cm O = ?

O = 6×a×aO = 6×7,5×7,5O = 6×56,25O = 337,5 cm²

Lösung: Der Ober� ächeninhalt des Würfels beträgt 337,5 cm².

Rettungs-beispiel

Ein Prisma mit rechtwinkligem Dreieck als Grund� äche hat die Längen a = 7,5 cm, b = 3 cm, c = 8 cm und eine Höhe h = 9 cm. (Bei den Zahlenangaben handelt es sich um gerundete Werte.)Berechne den Ober� ächeninhalt des dreiseitigen Prismas!

Formel 1 Formel 2a = 7,5 cm b = 3 cmc = 8 cmh = 9 cmO = ?

O = 2× a×b _ 2 + a×h + b×h + c×h

O = 2× 7,5×3 _ 2 + 7,5×9 + 3×9 + 8×9

O = 22,5 + 67,5 + 27 + 72O = 189 cm²

O = 2×G + uG ×h

O = 2× a×b _ 2 + (a + b + c)×h

O = 2× 7,5×3 _ 2 + (7,5 + 3 + 8)×9

O = 22,5 + 18,5×9O = 22,5 + 166,5O = 189 cm²

Lösung: Der Ober� ächeninhalt des dreiseitigen Prismas beträgt 189 cm².

Rettungs-beispiel

Berechne den Ober� ächeninhalt der abgebildeten Körper!

a) b) c) d)

7 cm4,3 cm

5 cm3 cm

45 mm45 mm

6,7 cm6,7 cm

6,7 cm

7 cm4,3 cm

5 cm3 cm

45 mm45 mm

6,7 cm6,7 cm

6,7 cm

7 cm4,3 cm

5 cm3 cm

45 mm45 mm

6,7 cm6,7 cm

6,7 cm

7 cm4,3 cm

5 cm3 cm

45 mm45 mm

6,7 cm6,7 cm

6,7 cm

Berechne den Ober� ächeninhalt der Körper, die jeweils ein rechtwinkliges Dreieck als Grund� äche haben! (Bei den Zahlenangaben handelt es sich um gerundete Werte.)

a) b) c) d)

9,5 cm

10,7 cm

5 cm9 cm

10,2 cm

3 cm5,5 cm

9,5 cm

10,7 cm

5 cm9 cm

10,2 cm

3 cm5,5 cm

9,5 cm

10,7 cm

5 cm9 cm

10,2 cm

3 cm5,5 cm

9,5 cm

10,7 cm

5 cm9 cm

10,2 cm

3 cm5,5 cm

Gegeben sind die Grund� ächen und die Höhen der Prismen. Berechne deren Ober� ächeninhalt! (Bei den Zahlenangaben handelt es sich um gerundete Werte.)

a) b) c) d)

9,5 cm

7,5 cm

8,5 cm

h = 2,5 cm h = 18 cm h = 15 cm h = 32 cm

9,5 cm

7,5 cm

8,5 cm

h = 2,5 cm h = 18 cm h = 15 cm h = 32 cm

9,5 cm

7,5 cm

8,5 cm

h = 2,5 cm h = 18 cm h = 15 cm h = 32 cm

9,5 cm

7,5 cm

8,5 cm

h = 2,5 cm h = 18 cm h = 15 cm h = 32 cm

Volumen von Prismen

Ein Quader hat eine Länge a = 5 cm, eine Breite b = 2 cm und eine Höhe h = 3 cm. Berechne das Volumen des Quaders!

QuaderVolumen = Länge×Breite×Höhe V = a × b × h

V = 5 cm³×2×3 V = 30 cm³

Lösung: Das Volumen des Quaders beträgt 30 cm³.

Rettungs-beispiel

Das Volumen ist der Rauminhalt eines Gegenstandes.Um das Volumen (V) eines Prismas zu erhalten, multipliziert man den Inhalt der Grund� äche (G) mit der Körperhöhe (h).

Prisma mit einem Rechteck Prisma mit einem rechtwinkligen als Grund� äche = QUADER Dreieck als Grund� äche

Durch einen Diagonalschnitt entstehen zwei gleich große,

dreiseitige Prismen

Für alle Prismen gilt: V = G · h

V = a · b · h V = a×b _ 2 · h

Ein Würfel hat die Seite a = 3 cm. Berechne das Volumen des Würfels!

WürfelVolumen = Länge×Breite×Höhe V = a × a × a

V = 3 cm³×3×3 V = 27 cm³

Lösung: Das Volumen des Würfels beträgt 27 cm³.

Rettungs-beispiel

V = 3 cm³×3×3V = 27 cm³

1 cm1 cm

Ein Prisma mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grund� äche hat eine Länge a = 5 cm, eine Breite b = 2 cm und eine Höhe h = 3 cm. Berechne das Volumen des dreiseitigen Prismas!

a = 5 cmb = 2 cmh = 3 cm V = ?

V = G×hV = a×b _ 2 ×hV = 5×2 _ 2 ×3V = 15 cm³

Lösung: Das Volumen des dreiseitigen Prismas beträgt 15 cm³.

Rettungs-beispiel

Berechne das Volumen der abgebildeten Prismen!

a) b) c) d)

5 cm4 cm

9 cm6 cm

12 cm5 cm

Berechne jeweils das Volumen der Prismen mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grund� äche!

a) b) c) d)

3 cm 8 cm 11 cm

6 cm 8 cm12 cm

Ein Heizöltank hat die Form eines Quaders mit 4,5 m Länge, 2 m Breite und 1,5 m Höhe.

a) Wie viel Liter Öl haben in dem Tank Platz?

b) Wie viele Stunden wird es dauern, bis der Tank gefüllt ist, wenn pro Minute 90 Liter Öl in den Tank � ießen?

Umkehrung der Volumsformel von Prismen

Durch Umkehren der Volumsformel V = G · h ist es möglich, die Größe der Grund� äche oder die Körperhöhe eines Prismas zu berechnen. Voraussetzung dafür ist, dass jeweils die beiden anderen Größen bekannt sind.

G = V _ h oder G = V : h

h = V _ G oder h = V : G

Ein Prisma mit einer rechteckigen Grund� äche von 320 cm² hat ein Volumen von 2880 cm³. Berechne die Höhe des Prismas!

V = 2880 cm³ G = 320 cm² h =?

h = V : Gh = 2880 : 320h = 9 cm

Lösung: Die Höhe des Prismas beträgt 9 cm.

Rettungs-beispiel

Berechne die fehlenden Größen der dreiseitigen Prismen!

a) a = 6 cm b = 5 cm h = 3 cm G = ? V = ?

hb) b = 4 cm G = 6 cm2 V = 30 cm3 a = ? h = ?

c) a = 8 cm h = 2,5 cm G = 20 cm2 b = ? V = ?

d) a = 4,5 cm b = 4 cm V = 54 cm3 h = ? G = ?

Ein Zimmer mit einer Breite von 4 m, einer Länge von 5 m und einer Höhe von 4 m wird umgebaut. Die Decke des Zimmers soll so gesenkt werden, dass sich das Volumen um 30 m3 verkleinert.Wie viele Meter muss die Decke gesenkt werden?

A 1 m B 3 m C 1,5 m D 2,5 m E 2 m

Berechne die gesuchten Werte!

Körpera) b) c) d)

G 24 cm2 60 cm2

h 9 cm 7 cm

V 144 cm3 120 cm3 105 cm3 900 cm3

h = ?G = ?

Lösungen

a) Viereck – Quader oder Würfel b) gleichseitiges Dreieck – dreiseitiges Prisma

c) Sechseck – sechsseitiges Prisma d) regelmäßiges Fünfeck – fünfseitiges Prisma

a) G = 15 cm²; V = 45 cm³ b) a = 3 cm; h = 5 cm

c) b = 5 cm; V = 50 cm³ d) G = 9 cm²; h = 6 cm

a) 13 500 l b) 2,5 Stunden11

a) 6 Ecken b) 8 Ecken c) 12 Ecken d) 16 Ecken2

a) O = 174 cm² b) O = 331,4 cm² c) O = 121,5 cm² d) O = 269,34 cm²6

a) O = 141 cm² b) O = 141,8 cm² c) O = 242 cm² d) O = 256,25 cm²7

a) O = 143,5 cm² b) O = 267 cm² c) O = 350 cm² d) O = 670 cm²8

a) V = 120 cm³ b) V = 72 cm³ c) V = 120 cm³ d) V = 486 cm³9

a) V = 72 cm³ b) V = 88 cm³ c) V = 240 cm³ d) V = 360 cm³10

a) G = 16 cm² b) h = 5 cm c) G = 15 cm² d) h = 15 cm12

a) 9 Kanten b) 15 Kanten c) 24 Kanten d) 30 Kanten3

a) 5 Flächen b) 6 Flächen c) 8 Flächen d) 14 Flächen4

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