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Elastodynamik 2SS 2007
2. Stabschwingungen 2.3-1
3. Freie Längsschwingungen
● Die d'Alembertsche Methode wird unhandlich, wenn die Antwort für einen längeren Zeitraum bestimmt werden soll.
● Dann ist die Methode von Daniel Bernouilli besser geeignet.
● Bei dieser Methode wird die Antwort durch Überlagerung von Eigenschwingungen er-mittelt.
Elastodynamik 2SS 2007
2. Stabschwingungen 2.3-2
3. Freie Längsschwingungen
3.1 Bernouillische Lösung
3.2 Eigenschwingungen
3.3 Superposition
Elastodynamik 2SS 2007
2. Stabschwingungen 2.3-3
3.1 Bernouillische Lösung
● Lösungsansatz: u x , t =U x t
∂2u
∂ x2=d 2U
dx2x t =U ' ' x t
∂2u
∂ t2=U x
d 2
dt2t =U x t
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2. Stabschwingungen 2.3-4
3.1 Bernouillische Lösung
● Einsetzen in die Wellengleichung:
U x t =c2U ' ' x t
t t
=c2U ' ' x U x
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2. Stabschwingungen 2.3-5
3.1 Bernouillische Lösung
● Die linke Seite hängt nur von der Zeit t ab, während die rechte Seite nur vom Ort x abhängt.
● Die Gleichung kann also nur erfüllt sein, wenn beide Seiten konstant sind:
t t
=c2U ' ' x U x
=−2=const.
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2. Stabschwingungen 2.3-6
3.1 Bernouillische Lösung
● Damit folgen zwei gewöhnliche Differentialglei-chungen:
bzw.
mit der Wellenzahl
t 2t =0
U ' ' x
c 2
U x =0
U ' ' x k 2U x =0
k=/c
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2. Stabschwingungen 2.3-7
3.1 Bernouillische Lösung
● Die allgemeinen Lösungen lauten
● Die zeitliche Funktion beschreibt eine harmonische Schwingung mit der Kreis-frequenz ω und der Periode T = 2π/ω :
t = sin tcos t
U x =C sin kxD coskx
tT =t
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2. Stabschwingungen 2.3-8
3.1 Bernouillische Lösung
● Die Ortsfunktion beschreibt eine harmonische Welle mit der Wellenzahl k und der Wellen-länge λ = 2π/k :
● Zwischen Wellenlänge und Periode besteht der Zusammenhang:
U x=U x
=2k=2
c=cT c=
T= f
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2. Stabschwingungen 2.3-9
3.2 Eigenschwingungen
● Die Eigenschwingungen beschreiben die Bewegung des Stabes, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken und die Dämpfung vernachlässigt wird.
● Die Eigenschwingungen hängen von den Randbedingungen ab.
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2. Stabschwingungen 2.3-10
3.2 Eigenschwingungen
3.2.1 Einseitig eingespannter Stab
3.2.2 Beidseitig eingespannter Stab
3.2.3 Beidseitig freier Stab
3.2.4 Eigenschaften der Eigenfunktionen
3.2.5 Rayleigh-Quotient
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2. Stabschwingungen 2.3-11
3.2.1 Einseitig eingespannter Stab
x
L
u 0, t =0 U 0=0 D=0
L , t =0 U ' L=0
U ' x =k C coskx k C coskL=0
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2. Stabschwingungen 2.3-12
3.2.1 Einseitig eingespannter Stab
● Nichttriviale Lösungen existieren nur für
● Das ist die charakteristische Gleichung für den einseitig eingespannten Stab.
● Sie hat die Lösungen
cos kL=0
k=2−12
L, =1, ,∞
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2. Stabschwingungen 2.3-13
3.2.1 Einseitig eingespannter Stab
● Die zugehörigen Funktionen
heißen Eigenfunktionen.● Sie entsprechen den Eigenvektoren bei diskre-
ten Systemen.● Für die zugehörigen Eigenfrequenzen gilt
U =sin k x=sin 2−1
2xL , =1, ,∞
=c k
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2. Stabschwingungen 2.3-15
3.2.2 Beidseitig eingespannter Stab
x
L
u 0, t =0 U 0=0 D=0
u L , t =0 U L=0 C sin kL=0
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2. Stabschwingungen 2.3-16
3.2.2 Beidseitig eingespannter Stab
● Die charakteristische Gleichung
hat die Lösungen
● Damit lauten die Eigenfunktionen
sin kL=0
k =
L, =1, ,∞
U =sin xL , =1, ,∞
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2. Stabschwingungen 2.3-18
3.2.3 Beidseitig freier Stab
x
L
0, t =0 U ' 0=0
L , t =0 U ' L=0
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2. Stabschwingungen 2.3-19
3.2.3 Beidseitig freier Stab
● Mit
folgt:
● Die charakteristische Gleichung hat die Lö-sungen
U ' x =k C coskx−k D sin kx
U ' 0=k C=0 C=0
U ' L=−k D sin kL=0 sin kL=0
k=
L, =0, ,∞
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2. Stabschwingungen 2.3-20
3.2.3 Beidseitig freier Stab
● Damit lauten die Eigenfunktionen
● Für ν = 0 liegt eine Starrkörperbewegung vor.
U =cos xL , =0, ,∞
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2. Stabschwingungen 2.3-22
3.2.4 Eigenschaften der Eigenfunktionen
● Es gibt unendlich viele Eigenfunktionen und Eigenfrequenzen.
● Die erste Eigenschwingung wird als Grund-schwingung bezeichnet. Die zugehörige Eigen-frequenz heißt Grundfrequenz.
● Die anderen Eigenschwingungen werden als Oberschwingungen bezeichnet. Die zugehö-rigen Eigenfrequenzen heißen Oberfrequenzen.
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2. Stabschwingungen 2.3-23
3.2.4 Eigenschaften der Eigenfunktionen
● Die Eigenfunktionen können beliebig skaliert werden, d.h. mit ist auch eine Eigenfunktion.
● Für zwei verschiedene Eigenfunktionen gilt
● Diese Eigenschaft wird als Orthogonalität bezeichnet.
U aU
∫0
L
U U dx=0 für ≠
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2. Stabschwingungen 2.3-24
3.2.4 Eigenschaften der Eigenfunktionen
● Nachweis der Orthogonalität:– Für den einseitig oder beidseitig eingespannten
Stab lauten die Eigenfunktionen
– Für μ ≠ ν gilt:U x =sin k x
∫0
L
sin k x sin k x dx=[sin k−k x2k−k
−sin kk x2kk ]0
L
=sin k−kL2k−k
−sin k kL2kk
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2. Stabschwingungen 2.3-25
3.2.4 Eigenschaften der Eigenfunktionen
– Für den einseitig eingespannten Stab gilt
und
– Damit:
k−k=2−1−21
2 L=−
L
kk =2−12−1
2 L=−1
L
sin k −k L=sin −=0
sin k kL=sin −1=0
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2. Stabschwingungen 2.3-26
3.2.4 Eigenschaften der Eigenfunktionen
– Für den beidseitig eingespannten Stab gilt
und
– Damit:
k−k=−
L
kk =
L
sin k −k L=sin −=0
sin k kL=sin =0
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2. Stabschwingungen 2.3-27
3.2.4 Eigenschaften der Eigenfunktionen
● Entsprechend lässt sich die Orthogonalität für den beidseitig freien Stab nachweisen (Übung).
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2. Stabschwingungen 2.3-28
3.2.4 Eigenschaften der Eigenfunktionen
● Betrag der Eigenfunktionen: μ = ν– Einseitig oder beidseitig eingespannter Stab:
– Beidseitig freier Stab:
∫0
L
U x 2dx=∫
0
L
sin2k x dx=[x2−14 k
sin 2k x ]0
L
=L2
∫0
L
U x 2dx=∫
0
L
cos2k x dx=[x214 k
cos 2k x ]0L
=L2
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2. Stabschwingungen 2.3-29
3.2.4 Eigenschaften der Eigenfunktionen
● Normierung der Eigenfunktionen:– Für die mit skalierten Eigenfunktionen
gilt:
2 /L
U x =2/LU x
∫0
L
U x U x dx={0 für ≠1 für =
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2. Stabschwingungen 2.3-30
3.2.5 Rayleigh-Quotient
● Die Wellengleichung lautet
● Einsetzen von führt auf
∂2u
∂ t2=E
∂2u
∂ x2
ux , t =U x cos t
−2U x cos t=E
d 2U
dx2 x cos t
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2. Stabschwingungen 2.3-31
3.2.5 Rayleigh-Quotient
● Daraus folgt zunächst
● Multiplikation mit und Integration führt auf
−2U x =E
d 2U
dx2 x
U x
−2∫0
L
U
2 x dx=∫
0
L
EU x d 2U
dx2x dx
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2. Stabschwingungen 2.3-32
3.2.5 Rayleigh-Quotient
● Für das rechte Integral gilt
∫0
L
EU x d 2U
dx2 x dx
=∫0
L
Eddx U
dU
dx dx−∫0L
E dU
dx 2
dx
=[EU
dU
dx ]0L
−∫0
L
E dU
dx 2
dx
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2. Stabschwingungen 2.3-33
3.2.5 Rayleigh-Quotient
● Am Rand (x = 0 oder x = L) gilt entweder
(feste Einspannung) oder
(freier Rand).● Also gilt:
U =0
U '=0
∫0
L
EU x d 2U
dx2 x dx=−∫
0
L
E dU
dx 2
dx
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2. Stabschwingungen 2.3-34
3.2.5 Rayleigh-Quotient
● Damit ist gezeigt:
● Für die Eigenfrequenz gilt also:
2∫0
L
U
2 x dx=∫
0
L
E dU
dx 2
dx
2=
∫0
L
E dU
dx 2
dx
∫0
L
U
2 x dx
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2. Stabschwingungen 2.3-35
3.2.5 Rayleigh-Quotient
● Für eine beliebige Funktion v(x) , die die Randbedingungen erfüllt, wird
als Rayleigh-Quotient bezeichnet.
R v=∫0
L
E dvdx 2
dx
∫0
L
v2 x dx
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2. Stabschwingungen 2.3-36
3.2.5 Rayleigh-Quotient
● Wie bei diskreten System lässt sich zeigen, dass der Rayleigh-Quotient ein Minimum hat, wenn als Funktion die Eigenfunktion der Grundschwingung eingesetzt wird.
● Mit dem Rayleigh-Quotienten kann also die Eigenkreisfrequenz der Grundschwingung abgeschätzt werden.
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2. Stabschwingungen 2.3-37
3.2.5 Rayleigh-Quotient
● Beispiel:– Einseitig eingespannter Stab aus Aluminium
● Länge L = 20m● Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit c = 5000m/s
– Randbedingungen:● u(0) = 0● u'(L) = 0
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2. Stabschwingungen 2.3-38
3.2.5 Rayleigh-Quotient
– Wellenzahl der Grundschwingung:
– Kreisfrequenz der Grundschwingung:
k 1=12
L=
40m=0,0785m−1
1=c k 1=5000m / s⋅0,0785m−1=392,7 s−1
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2. Stabschwingungen 2.3-39
3.2.5 Rayleigh-Quotient
– Rayleigh-Quotient für :v x =U 1 x =sin 2xL
R U 1=E
2 L 2
∫0
L
cos2 2xL dx
∫0
L
sin22xL dx
=c2k 12=1
2
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2. Stabschwingungen 2.3-40
3.2.5 Rayleigh-Quotient
– Rayleigh-Quotient für :v x =x 2 L−x
v ' x =2 L−x
∫0
L
v ' 2 x dx=4∫0
L
L−x 2dx=4 [−
13L−x
3
]0
L
=43L3
∫0
L
v2x dx=∫0
L
x2 2 L−x 2dx=∫
0
L
x 4−4 L x 34 L2 x2 dx
=[ x5
5−L x4
43L2 x3]
0
L
=815L5
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2. Stabschwingungen 2.3-41
3.2.5 Rayleigh-Quotient
R v =E
43L3
815L5=52 cL
2
=156250 s−2
R v=395,3 s−1
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2. Stabschwingungen 2.3-43
3.3 Superposition
● Da die Wellengleichung linear ist, stellt jede Superposition von Eigenschwingungen ebenfalls eine Lösung dar.
● Die allgemeine Lösung lautet daher
mit
u x , t =∑=1
∞
Csin k xDcos k x t
t =sin tcos t
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2. Stabschwingungen 2.3-44
3.3 Superposition
● Für jeden Zeitpunkt t ist das eine Fourier-Reihe mit den Koeffizienten
● Da jede beschränkte Funktion in einem Intervall als Fourier-Reihe dargestellt werden kann, lässt sich also jede Verschiebung als Superposition der unendlich vielen Eigenfunktionen dar-stellen.
ct =Ct , dt =Dt
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2. Stabschwingungen 2.3-45
3.3 Superposition
● Die Eigenfunktionen sind ein vollständiges Funktionensystem.
● Die Koeffizienten werden durch die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.
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2. Stabschwingungen 2.3-46
3.3 Superposition
● Beispiel:– Ein am linken Ende fest eingespannter Stab wird
am rechten freien Ende mit einer statischen Zuglast belastet, unter der sich dort eine statische Verschiebung U
s einstellt.
– Welche Bewegung stellt sich ein, wenn die Last plötzlich weggenommen wird?
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2. Stabschwingungen 2.3-47
3.3 Superposition
– Daten:● Länge L = 20m● Querschnittsfläche A = 25·10-4m2
● Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit c = 5000m/s● Elastizitätsmodul E = 70600·106N/m2
– Anfangsbedingungen:
● Us = 5∙10-6m
u x ,0=u0 x =U sxL, u x ,0=0
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2. Stabschwingungen 2.3-48
3.3 Superposition
– Eigenfunktionen:
– Damit lautet der Lösungsansatz:
– Zeitliche Ableitung:
u x , t =∑=1
∞
sin k x sin tcos t , =c k
u x , t =∑=1
∞
sin k x ⋅ cos t−sin t
U =sin k x , k=2−12 L
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2. Stabschwingungen 2.3-49
3.3 Superposition
– Anfangsbedingung für Geschwindigkeit:
– Anfangsbedingung für Verschiebung:
0=u x ,0=∑=1
∞
sin k x =0, =1, ,∞
u0 x =u x ,0=∑=1
∞
sin k x
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2. Stabschwingungen 2.3-50
3.3 Superposition
– Wegen der Orthogonalität der Eigenfunktionen folgt daraus
∫0
L
u0 x sin k x dx=L2
=2L
U s
L ∫0
L
x sin k x dx=2U s
L2 [sin k x
k2 −
x cos k xk ]
0
L
=2U s
sin k L
k L 2
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2. Stabschwingungen 2.3-51
3.3 Superposition
– Ergebnis:
u x , t U s
=2∑=1
∞ sin k L
k L 2sin k x cos t