2.1 Freie Schwingungen - bau.uni- · PDF fileUNIVERSITÄT SIEGEN Baudynamik (Master)...

Click here to load reader

  • date post

    14-Sep-2019
  • Category

    Documents

  • view

    0
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of 2.1 Freie Schwingungen - bau.uni- · PDF fileUNIVERSITÄT SIEGEN Baudynamik (Master)...

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Baudynamik (Master) – SS 2017

    2. Schwingungen eines Einmassenschwingers

    2.1 Freie Schwingungen

    2.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen

    2.1.2 Federzahlen und Federschaltungen

    2.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen

    2.2 Erzwungene Schwingungen

    2.2.1 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

    2.2.2 Erzwungene gedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 1

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Baudynamik (Master) – SS 2017

    2. Schwingungen eines Einmassenschwingers

    2.1 Freie Schwingungen

    2.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen

    2.1.2 Federzahlen und Federschaltungen

    2.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    Literatur: Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag, 2015.

    2

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    2.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    2.1 Freie Schwingungen

    Baudynamik (Master) – SS 2017

    3

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie ungedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    0mx+cx= 2 0x+ x= Schwingungsgleichung2. Newtonsches Gesetz:

    c m

     Eigenfrequenz:

    Freie Schwingung wird häufig auch als Eigenschwingung bezeichnet. Die dynamischen Eigenschaften eines Systems werden durch die freie Schwingung des Systems beschrieben.

    4

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie ungedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    Lösung der Differentialgleichung:

    Die unbekannten Integrationskonstanten A und B können aus den Anfangs- bedingungen (AB) bestimmt werden.

     ( ) cos sin( )x t A t B t  

    0 0

    0 0

    (0)

    (0)

    x x A x vx v B 

      

      

    Anfangsbedingungen:

      00( ) cos sin( ) vx t x t t  

     

    Lösung der Differentialgleichung:

    5

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie ungedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    Alternative Darstellung der Lösung:

     ( ) cosx t C t   Die unbekannten Integrationskonstanten C und  können aus den Anfangs- bedingungen (AB) bestimmt werden.

    0

    0

    (0) (0) x x x v

     

    Anfangsbedingungen:

     220 0 0

    0

    /

    arctan

    C x v

    v x

     

     

        

      : Schwingungsamplitude : Phasenwinkel

    C 

    6

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie ungedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    Einfluss des Eigengewichtes:

    2 0x+ x= Schwingungsgleichung:

    c m

     

    Das Gewicht der Masse hat also keinen Einfluss auf die Schwingung, wenn die Auslenkung von der statischen Ruhelage xst aus gezählt wird.

    Eigenfrequenz:

    st mgx c

    Statische Ruhelage:

    7

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie ungedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    Andere Beispiele:

    1.) Mathematisches Pendel

    sin bei 1   

    sin 0g+ = l

     

    0g+ = l

     

    2 0+ =  

    g l

     

    8

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie ungedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    2.) Physikalisches Pendel

    sin bei 1   

    sin 0A +mgl =  

    0A +mgl =  

    2 0+ =   A

    mgl  

    Trägheitsmoment: A

    9

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    2.1.2 Federzahlen und Federschaltungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    2.1 Freie Schwingungen

    Baudynamik (Master) – SS 2017

    10

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Federkonstanten

    FF c l c l

        

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    Beispiel: Stab

    Federzahl bzw. Federkonstante:

    KraftFederzahl Verschiebung

     l l

    Fl F EAl c EA l l

         

    F

    11

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Federkonstanten

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    Beispiel: Balken

    3

    3

    48 48 B Fl F EIw c EI w l

       

    12

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Federkonstanten

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 13

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Federschaltungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    Charakteristik: Gleiche Verschiebung in den Federn!

    1.) Parallelschaltung

    1 2F c x c x c x   

    x x

    1 2c c c   

    Verallgemeinerung: 1 2 1

    ... N

    N i i

    c c c c c 

         14

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Federschaltungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    Charakteristik: Gleiche Kraft in den Federn!

    2.) Reihenschaltung

    1 1 2 2

    1 2

    F c x c x c x x x x

        

    2x x

    1 2

    F F Fx c c c

      

    Verallgemeinerung:

    1x

    1 2

    1 1 1 c c c

     

    11 2

    1 1 1 1 1... N

    iN ic c c c c 

         15

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Federschaltungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    3.) Kombination von Parallel- und Reihenschaltung

    12 1 2c c c 

    12 3 1 2 3

    1 1 1 1 1 c c c c c c

        

    12c 3c

    16

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    2.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    2.1 Freie Schwingungen

    Baudynamik (Master) – SS 2017

    17

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie gedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    Dämpfungskraft: dF dx 

    Diese Dämpfungsart nennt man „viskose Dämpfung“ (z.B. Stoßdämpfer im Fahrzeug).

    Die Dämpfungskraft Fd wirkt immer entgegengesetzt zu der Geschwindigkeit.

    d: Dämpfungskonstante (Einheit: Kraft/Geschwindigkeit)

    F

    ,x x

    dFd

    18

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie gedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    Newton: mx cx dx   

    0mx dx cx   

    22 0x x x     2 d m

     

    : Abklingkoeffizient

    c m

     

    19

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie gedämpfte Schwingungen

    tx Ae

    2 22 0    

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    Exponentialansatz:

    Charakteristische Gleichung

    22 0x x x    

    2 2 2 1,2 1D            

    D  

     : Dämpfungsgrad, Lehrsches Dämpfungsmaß

    20

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie gedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    1.) D>1: Starke Dämpfung

     2

    1,2 0

    1 (reell)D     

          

     1 21 2 1 2t t t t tx A e A e e Ae A e        Lösung:

    Kriechbewegung (keine Schwingung)!

    1 0 bei , da ! t te Ae t      

    Die Konstanten A1 und A2 können aus den AB bestimmt werden.

    21

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie gedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    2.) D=1: Aperiodischer Grenzfall

     2

    1,2 0

    1 (reell)D    

         

     1 21 2 1 2t t tx Ae A te e A A t     Lösung:

    Kriechbewegung (keine Schwingung)!

     1 2( ) 0 bei !tx t e A A t t   

    Die Konstanten A1 und A2 können aus den AB bestimmt werden.

    Der Ausschlag im Grenzfall D=1 klingt schneller als bei starker Dämpfung D>1 ab!

    , 2d mc  Im Grenzfall D=1: 22

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie gedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

    3.) D

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie gedämpfte Schwingungen

    LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

     ( ) ( ) cos( )

    ( ) cos ( )

    cos( )

    d

    d

    t d

    t T d d d

    Tt d

    x t Ce t

    x t T Ce t T

    Ce e t

    

     

     

     

     

    

     

       

     

    ( ) ( )

    dT

    d

    x t e x t T

     

    2

    ( ) 2 2ln ( ) 1

    d d d

    x t DT x t T D

      

          

    Logarithmisches Dekrement

    Das logarithmische Dekrement kann experimentell bestimmt werden. Danach kann D oder d bestimmt werden!

    24

  • UNIVERSITÄT SIEGEN

    Freie gedämpfte Schwingungen

    Abklingkoeffizient   D 2 2(2 )  

     

    Dämpfungsgrad D   