Schwingungen

Was ist eine Schwingung?

Quelle: http://www.elsenbruch.info/ph12_down/schwing_well.pdf

Harmonische Schwingung - gleichförmige Kreisbewegung

Quelle: http://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung/

Die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf eine zur Kreisebene normale Ebene stellt eine harmonische Schwingung dar.

Bezeichnungen

Die harmonische Schwingung hat einen sinusförmigen Verlauf:

s(t) = A sin() =A sin(t )

Winkelgeschwindigkeit bzw. Kreisfrequenz: = /t =t s(t) Elongation: s(t)=A sin()=A sin(t) (ohne Phasenverschiebung: =0 ) A Amplitude (maximale Elongation) Phasenkonstante

Elongation

s

Momentane Auslenkung aus der Ruhelage

AmplitudeElongation

BezeichnungenKreisfrequenz – Frequenz - Periodendauer :

T Schwingungsdauer/Periodendauer in Sekundenf Frequenz: Anzahl der Schwingungen pro Sekunde 1/T Für eine Schwingung gilt = /t = 2/T = 2*1/T = 2f

= 2f

Periodendauer

Der Winkel im Bogenmaß

X = Bogen/Radius = b/r

b = 2 r π α/360 = r π α/180

Winkel – s/t-Diagramm

-π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 3π

-A

A

Hookesches Gesetz

Fx F ist proportional zu xoderF = k xk: Federkonstante

F = k x: ist eine lineare Funktion

Hookesches Gesetz – harmon. Schwingung

FadenpendelPeriodendauer T

Fadenpendel

FT =m.g.sin ϕ =m.g.x/l=k.x(gilt für kleine ϕ)

T = 2πg

l f= l

gT

1

21

T: Periodendauerl: Pendellängeg: Erdbeschleunigungf: Eigenfrequenz

Wie lässt sich damit g bestimmen?

FederpendelPeriodendauer T

Fadenpendel

FF =-k(x-x0)=k.s(wobei s = x-x0)

T = 2πk

m f= m

kT

1

21

T: Periodendauerk: Federkonstanteg: Erdbeschleunigungf: Eigenfrequenz

Die Bewegungsgleichungender harmon. Schwingung

s(t) = A sin() =A sin(t)

v=Δs/Δt -> differentiell geschrieben: s‘ = ds/dt = A cos(t)

a=Δv/Δt -> differentiell geschrieben: v‘ = dv/dt =- A 2 sin(t)

Überlagerung von Schwingungenp: 72

Bei Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz entsteht wieder eine harmonische Schwingung durch Addition der Elongationen.http://www.peter-junglas.de/fh/publications/physik-applets/applets/kap_8/applet10/addtwocosequal.htm

Überlagerung von Schwingungenp: 72

Bei einer Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz und einer Phasenverschiebung um 180° kommt es zur Auslöschung.http://www.rendtel.de/Unterricht/Schwingungen/ueber1.html

Überlagerung von Schwingungenp: 72

Bei einer Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen mit geringfügigem Frequenzunterschiedkommt es zur Schwebung.

Schwebungsfrequenz: f = Φ2 – Φ1Anwendung: Stimmen von Instrumenten

Satz von Fourier

• Jeder periodische Vorgang läßt sich eindeutig aus harmonischen Funktionen (Sinus- oder Cosinusfunktionen) zusammensetzen.

y = cosx -1/3 cos 3x + 1/5 cos 5x - …

Geogebra Online: http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html

Schwingungen in einer Ebene

• Zwei verschiedene Schwingungsrichtungen

LISSAJOUS-Figuren

Rückkopplung

• Gedämpfte Schwingungen• Erzwungene Schwingung• Resonanz: Erregerfrequenz = Eigenfrequenz• Beispiele:

Pendel einer StanduhrErdbebenStoßdämpfer