Schwingungen

Schwingungen sind sich periodisch wiederholende Schwankungen einer physikalischen Größe um einen Mittelwert.

Beispiele:- Federpendel- Elektronische Oszillationen- Biologische Rhythmen- ...

m

xx0

€

F = −k x − x0( )

Lösungsansatz:

€

x(t) = x0 + A ⋅cos ω0 ⋅ t( )

€

˙ x (t) = −ω0 ⋅A ⋅sin ω0 ⋅ t( )

€

˙ ̇ x (t) = −ω02 ⋅A ⋅cos ω0 ⋅ t( )

€

˙ ̇ x (t) = −ω02 ⋅ x t( ) − x0( )

„Kreisfrequenz“

€

ω02 =

k

m

€

ω0 =k

m

€

m ⋅ ˙ ̇ x = −k x − x0( )Bewegungsgl.:

1WS 2014/15

t

x

x0

A€

x(t) = x0 + A ⋅cos ω0 ⋅ t( )

€

T 2

€

T

€

T =2π

ω0

Schwingungsdauer

€

x t + T( ) = x t( )

€

f =1

T=

ω0

2πFrequenz

Allgemein:

€

d2

dt 2x t( ) + ω0

2 ⋅ x t( ) = 0

Bewegungsgleichung des ungedämpften harmonischen Oszillators

Gaub 2WS 2014/15

Allgemeine Lösung des harm. Oszillators

€

d2

dt 2x t( ) + ω0

2 ⋅ x t( ) = 0

Lösungsansatz:

€

x t( ) = c ⋅eλ ⋅t

€

˙ x t( ) = c ⋅λ ⋅eλ ⋅t

€

˙ ̇ x t( ) = c ⋅λ2 ⋅eλ ⋅t

€

c ⋅λ2 ⋅eλ ⋅t + ω02 ⋅c ⋅eλ ⋅t =

!

0

€

λ2 = −ω02

€

λ =±iω0

allgem. Lösg. ist Linearkombination der Lösungen:

€

x t( ) = c1 ⋅eiω0 ⋅t + c2 ⋅e

−iω0 ⋅t

Gaub 3WS 2014/15

Komplexe Zahlen

€

z = a + ib mit

€

i2 = −1

Komplex konjugierte Zahl:

€

z* = a − ib

Realteil:

€

Re(z) = a

€

=1

2z + z*

( )

Imaginärteil:

€

Im(z) = b

€

=1

2iz − z*

( )

Betrag:

€

z = a2 + b2

€

= z ⋅z*

Darstellung in der komplexen Zahlenebene

Im(z)

Re(z)a

b

€

ϕ

€

z

€

z = a + ib

€

=z ⋅ cos ϕ( ) + isin ϕ( )( )

€

=z ⋅e iϕ

„Polardarstellung“ einer komplexen Zahl

4WS 2014/15

€

x t( ) = c1 ⋅eiω0 ⋅t + c2 ⋅e

−iω0 ⋅t

Die allgemeine Lösung macht nur dann physikalischen Sinn, wenn x(t) reell ist.

€

Im z( )=0

€

z = z*

€

Im c1 ⋅eiω0 ⋅t + c2 ⋅e

−iω0 ⋅t( )=!

0

€

c1 ⋅eiω0 ⋅t + c2 ⋅e

−iω0 ⋅t =!

c1* ⋅e−iω0 ⋅t + c2

* ⋅e iω0 ⋅t

€

c1 = c2*,c2 = c1

* → c1 = c2 = c

€

x t( ) = c ⋅e iω0 ⋅t + c* ⋅e−iω0 ⋅t

c in Polardarstellung:

€

c = c ⋅e iϕ

€

x t( ) = c ⋅ e i ω0 ⋅t +ϕ( ) + e−i ω0 ⋅t +ϕ( )( )

€

cos α( ) =1

2e iα + e−iα

( )wegen:

€

e iα = cos α( ) + isin α( )( )

€

x t( ) = 2 ⋅ c ⋅cos ω0 ⋅ t + ϕ( )

€

=A ⋅cos ω0 ⋅ t + ϕ( )

Amplitude Phasenwinkel

Gaub 5WS 2014/15

Amplitude und Phasenwinkel werden durch die Randbedg. festgelegt.

z. B.:

€

x t = 0( ) = 0

€

˙ x t = 0( ) = v0

€

A ⋅cos ϕ( ) = 0

€

ϕ =π2

€

A = −v0

ω0

€

x t( ) = −v 0

ω0

cos ω0 ⋅ t +π

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Beispiele für harm. Oszillatoren:

Fadenpendel:

€

d2

dt 2ϕ +

g

lϕ = 0

€

ω0 =g

l

€

ϕ

€

l

€

−A ⋅ω0 ⋅sinπ

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= v0

Gaub 6WS 2014/15

€

ϕ

€

l

€

α

Torsionspendel:

€

M = −D ⋅α

Verdrillen des Drahts um einen Winkel aführt zu einem Rückstellmoment:

€

vM =

v r ×

v F

Beschleunigung a, die auf jede Masse wirkt:

€

m€

m

€

a =M

2mr

€

=r ⋅ ˙ ̇ α

€

−D

2mr2⋅α = ˙ ̇ α

€

˙ ̇ α +D

2mr2⋅α = 0

€

ω0 =D

2mr2

€

:= I „Trägheitsmoment“

Gaub 7WS 2014/15

Harmonische Näherung in beliebigen Potentialen

Epot

xx0

x0: Mechanische Gleichgewichtslage (Potentialminimum)

Um x0 kann jedes beliebige Potential als Parabel genähert werden.

Taylorentwicklung um x0:

€

E pot x − x0( ) = E pot x0( ) +dE pot

dxx0

x − x0( ) +1

2

d2E pot

dx 2

x0

x − x0( )2

+ ...

€

F = −dE pot

dx

€

≈−d2E pot

dx 2

x0

x − x0( )

€

m ⋅ ˙ ̇ x (t)+d2Epot

dx2

x0

x(t) − x0( ) = 0

Bei kleinen Auslenkungen kann man harmonische Schwingungen beobachten

z. B. Molekülschwingungen 8WS 2014/15

Darstellung von Schwingungen: Lissajou-Figuren

Gaub 9WS 2014/15

Lissajou-Figurenmit verschiedenen Freqenzen und Phasen

Gaub

Überlagerung von Schwingungen

Wenn ein Körper zwei Schwingungen gleichzeitig ausführt, überlagern sichdie beiden Schwingungen:

€

x1(t) = a ⋅cos ω1 ⋅ t + ϕ1( )

€

x2(t) = b ⋅cos ω2 ⋅ t + ϕ 2( )

I. gleiche Frequenz, versch. Amplitude:

ωϕ /1

a

tωϕ /2

b

€

x1(t) = a ⋅cos ω0 ⋅ t + ϕ1( )

€

x2(t) = b ⋅cos ω0 ⋅ t + ϕ 2( )

Gaub 11WS 2014/15

Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz erzeugt wieder eine harmonische Schwingung mit neuer Amplitude und neuer Phase.

Re

Im

a

1ϕ

c

ϕb

2ϕ

€

=a ⋅e iϕ 1e i ω0t( ) + b ⋅e iϕ 2e i ω0t( )

€

= a ⋅e iϕ 1 + b ⋅e iϕ 2( ) ⋅ei ω0t( )

€

= a ⋅cos ϕ1( ) + b ⋅cos ϕ 2( )[ ] + i a ⋅sin ϕ1( ) + b ⋅sin ϕ 2( )[ ]( ) ⋅ei ω0t( )

€

=c ⋅e iϕ ⋅e i ω0t( )

€

c = A2 + B2

€

tan ϕ( ) =B

A€

=c ⋅e i ω0t +ϕ( )

€

Re x t( )( ) = c ⋅cos ω0t + ϕ( )€

A

€

B

€

x1 t( ) = a ⋅e i⋅ w0t +ϕ 1( )

€

x2 t( ) = b ⋅e i⋅ w0t +ϕ 2( )

€

x t( ) = a ⋅e i ω0t +ϕ 1( ) + b ⋅e i ω0t +ϕ 2( )

Nur der Realteil hat physikal. Bedeutung

Gaub 12

II. gleiche Amplitude, verschiedene Frequenz:

€

x1 t( ) = a ⋅e i⋅ ω1t +ϕ 1( )

€

x t( ) = a ⋅ e i⋅ ω1t +ϕ 1( ) + e i⋅ ω2t +ϕ 2( )( )

€

x t( ) = a ⋅ei⋅

ω2t +ϕ 2

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅e

i⋅ω1t +ϕ 1

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅ e

i⋅ω1 −ω2( )

2t +

ϕ 1 −ϕ 2( )

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟+ e

-i⋅ω1 −ω2( )

2t +

ϕ 1 −ϕ 2( )

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

€

=a ⋅ei⋅

ω1 +ω2

2t +

ϕ 1 +ϕ 2

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅ e

i⋅ω1 −ω2( )

2t +

ϕ 1 −ϕ 2( )

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟+ e

-i⋅ω1 −ω2( )

2t +

ϕ 1 −ϕ 2( )

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

€

=2 ⋅a ⋅cosω1 + ω2

2t +

ϕ1 + ϕ 2

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅cos

ω1 −ω2( )2

t +ϕ1 −ϕ 2( )

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

x2 t( ) = a ⋅e i⋅ ω2t +ϕ 2( )

€

Re(x(t))

Gaub 13WS 2014/15

II. gleiche Amplitude, verschiedene Frequenz:

€

=2 ⋅a ⋅cosω1 + ω2

2t +

ϕ1 + ϕ 2

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅cos

ω1 −ω2( )2

t +ϕ1 −ϕ 2( )

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

22 falls 2121 ω+ω<<ω−ω

t

ω≈ω+ω2

212

mit moduliert Amplitude 21 ω−ω

Modulation der Amplitude

„Schwebung“

€

(x(t))

oder einfacher:

€

x1(t) = a ⋅cos ω1 ⋅t +ϕ 1( )

€

x2(t) = a ⋅cos ω2 ⋅t +ϕ 2( )

€

cosα + cosβ = 2cosα + β

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟cos

α − β

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟mit

Gaub 14WS 2014/15

Allgemeine periodische Vorgänge/ Fourierzerlegung

Eine periodische Funktion f(t) mit f(t+T)=f(t) kann zerlegt werden in eine Summe aus sin und cos Funktionen:

€

ω =2π

T

€

f t( ) =a0

2+ an ⋅cos n ⋅ω ⋅ t( )

n=1

∞

∑ + bn ⋅sin n ⋅ω ⋅ t( )

„Fourier Reihe“

€

an =2

T⋅ f (t) ⋅cos n ⋅ω ⋅ t( ) dt

0

T

∫

€

bn =2

T⋅ f (t) ⋅sin n ⋅ω ⋅ t( ) dt

0

T

∫

€

TBeispiel: Rechteck-Funktion

€

an = 0 Nur bn tragen bei (ungerade Funktion f(x)=-f(-x)

1

http://www.falstad.com/fourier/

15

€

bn =2

T⋅ f (t) ⋅sin n ⋅ω ⋅ t( ) dt

0

T

∫

€

=2

T⋅ 1⋅sin n ⋅ω ⋅ t( ) dt

0

T

2

∫ + (−1) ⋅sin n ⋅ω ⋅ t( ) dtT

2

T

∫ ⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

=4

T⋅ 1⋅sin n ⋅ω ⋅ t( ) dt

0

T

2

∫

€

=−4

T⋅

1

n ⋅ωcos n ⋅ω ⋅ t( )

0

T

2

€

=−4

T⋅

1

n ⋅ωcos nπ( ) −1( )

€

=0 n gerade

4

n ⋅πn ungerade

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

€

=−2

n ⋅πcos nπ( ) −1( )

€

f (t) =4

πsin ω ⋅ t( ) +

1

3sin 3⋅ω ⋅ t( ) +

1

5sin 5 ⋅ω ⋅ t( ) + ...

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

http://escher.epfl.ch/fft/

Gaub 16WS 2014/15