5. Schwingungen und Wellen5.1. Allgemeine Schwingungslehre

Schwingungen Universalphänomen

• Mechanik• Akustik• Elektrodynamik• Atomphysik

5.1.1. Harmonische Schwingung

q abstrakte „Auslenkung”

V(q) Potential mit Minimum in q0 ( o.B.d.A. q0 0 , V(q0) 0 )

kleine Auslenkungen Taylorentwicklung um q0 0

3221 qOq0Vq0V0VqV

0 0 k 0

qkqV 221 harmonisches Potential ( Parabel )

qkqV 221 harmonisches Potential ( Parabel )

q

V(q)

2qqV

qkqVqF Hookesches Gesetz

Bewegungsgleichung:

qFq

positive Prop.-Konstante 2

0qωq 2 Schwingungsgleichung

tωsinAtq harmonische Schwingung

Amplitude Anfangsphase Tπ2νπ2ω

PeriodeFrequenz

Beispiel: Federpendel

Ruhelage x = 0

m

Auslenkung xF D x

xq xDFxm

0xx m

D 2ω

m1

mDω mπ2T D

m

φ m g

φ

m

L

Fm g sin

φ

Beispiel: Fadenpendel

q sinmgFLm

0sinL

g 2ω

anharmonische Schwingung! ≪ 1 harmonische Näherung sin

L1

Lgω Lπ2T g

L

5.1.2. Überlagerung von Schwingungen

a) Eindimensionale Systeme

i) Schwingungen gleicher Frequenz:

22

11

tωsinbqtωsinaq

tωsincqqq 21

1 2: c a b 2 a konstruktive Interferenz

1 2 : c a b 0 destruktive Interferenz

a b

a b

ii) Schwingungen unterschiedlicher Frequenz:

tωcosaqtωcosaq 2211

tcostcosa2qqq 2ωω

2ωω

212121

schnelle Schwingung mittlerer Frequenz

langsame Amplituden-Schwingung, Schwebung

ωω

4πT

21S

ωω

4πT

21S

Schwebung

Periode T

t

f(t)

iii) Fourierzerlegung (allgemeine periodische Schwingungen)

Fundamentalfrequenz:T

2πω

Ttftf

Fourierzerlegung: tωncosaatf 1n

nn0

Grundschwingung: n 1, 1

Oberwellen (Harmonische): n 2, n n

2n

2n2

1

aa

1Klirrfaktor:

b) Zweidimensionale Systeme, Lissajous-Figuren

Überlagerte x- & y-Schwingungen mit Frequenzen x, y xy ee

Beispiel: Fadenpendel yxgL

yx ˆy,ˆx,ωωω

i) x y : tωsinby,tωsinax

Tafelrechnung Ellipse

22

2

2

2

sinyxba

cos2

b

y

a

x

x/a

y/b

π20 π

20

x/a

y/b

b

y

a

x

0y/b

x/a

1 2

by2

ax

2π

i) x y: i.a. keine geschlossenen Kurven

Ausnahme: rationale Zahln

m

T

T

m

n

ω

ω

y

x

y

x

n, m teilerfremd

Periode der Schwingung: yx TmTnT

geschlossene Lissajous-Figur mit n Maxima in x und m in y

Demo-Experiment

5.1.3. Gedämpfte Schwingung

Stokes-Reibung 0qωqγ2qqF 20R

20

2tλtλ ωγγλmitebeatq

Lösung (Theorie-VL) durch Ansatz:tλeq

Interpretation: Re (Dämpfungszeitkonstanten)1 D1

Im Oszillationsfrequenz

Lösungstypen: 0: Schwingfall 0: Kriechfall 0: aperiodischer Grenzfall

Demo-Versuch: Waltenhofen-Pendel

20

2tλtλ ωγγλmitebeatq

< ω0: Schwingfall 00

220

tγ

ωfür γ ω γωω

φtωsineq(t)

Dämpfungszeit: γ1

Dτ

D0γτlim

> ω0: Kriechfall

20

2

tλtλ

ωγγλ

ebeaq(t)

kein Schwingtermmax. 1 Überschwinger

20ω

γ2maxDτ

γ

= ω0: aperiodischer Grenzfall ( spezielle Lösungsform)

tγetbaq(t) kein Schwingtermmax. 1 Überschwingerschnellste Dämpfung

5.1.4. Gekoppelte Systeme

φ1

m

Lφ2

m

L

D

gekoppelte Differentialgleichungen

Beispiel: gekoppelte Pendel ( Bild )

0Mtd

d

2

1

2

12

2

mD

Lg

mD

mD

mD

Lg

M

Lösungsweg: Wahl von Normalkoordinaten, derart dass M diagonal

entkoppelte eindim. Schwingungen in Normalkoordinaten

hier:

mD2

Lg22Lg22

2121

ωmit 0ξωωmit 0ξω

Veranschaulichung der Normalmoden 2121

ξ -Mode

0ξ , 21

ω Lg2

ξ -Mode

0ξ , 21

ω mD2

Lg2

Überlagerung der Moden Schwebung Demo-Experiment

5.1.5. Erzwungene Schwingung und Resonanz

Schwinger angeregt durch Fext(t); oft tωcosFtF 0ext

Statischer Grenzfall ( ω 0 ): 20

00G ωm

F

D

Fxx

Beispiel: Schwingfall ( 0 )

γ2

1

2

ττ DE

D

Energie-Dämpfungszeit:

m

γ

tωcosFF 0ext

MD

0ω

( 2#Schwingungen in τD )

Güte: ED0

0 τωγ2

ωQ

E

tωcosFtFqωqγ2q 0ext20 Differentialgleichung:

Lösungsstrategie ( Theorie-VL):

q(t) Einschwingen Stationäre Schwingung

rechte Seite 0 inhomogene Dgl.

• allgemeine Lösg. der hom. Dgl.

• stirbt mit D aus

• abhängig von Anfangsbed.

0tωcoseq 11tγ t

2201 γωω

• spezielle Lösg. der inhom. Dgl.

• stationäre Schwingung

• unabhängig von Anfangsbed.

ωtωcosωAq

schwingt mit von Fext

Phase zwischen q und Fext

π

|x|

|A|

G

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

5

10

15

20

0ωω

Q1

0,25

0,700

1/Q

Q

4

1,43

2

1dB3

Die Resonanzkurven A() und :

Feder-dominiert

Masse-dominiert

20

2 ωω

ω2γtan

2

02 ωω

ω2γtan

ω2γωω

ω

x

A

2220

2

20

G

ω2γωω

ω

x

A

2220

2

20

G

Resonanzfrequenz ω2γωω 022

0R

Beispiel: Waschmaschine

Schleudergang (An-/ Auslaufphase)

Wäsche Unwucht Fext = F0·cos(ωt)

Wäsche Unwucht Fext = F0·cos(ωt)

ω

Eigenfrequenz der Wackelbewegung: ω0

Eigenfrequenz der Wackelbewegung: ω0

ω = ω0: Resonante

Wackelbewegung

ω = ω0: Resonante

Wackelbewegung

5.2. Wellenlehre und Akustik5.2.1. Wellenausbreitung

a) Ebene Wellen

Beispiel: Kette gekoppelter Schwinger

z

transversale Auslenkung: ξ(z,t)

Schwingungstransport

Erinnerung an Theorie-VL:

z

ξ(z,t)

Kontinuumsübergang

2

2

22

2

td

ξ

v

1

zd

ξ

Wellengleichung:

Allgemeine Lösung: mit beliebiger Funktion f tvzf

Phase der Welle: tvzφ Interpretation: tv.constz.consttvzconst.φ ein Punkt fester Phase läuft mit Geschwindigkeit v in z-Richtung

Def.: v heißt Phasengeschwindigkeit

Für v 0 ○ läuft f (z v t ) in (z)-Richtung

○ läuft f (z v t ) in (z)-Richtung

Verallgemeinerung: mehrere Dimensionen

2

2

2 td

ξ

v

1ξΔ

Wellengleichung:

2

2

2

2

2

2

zyxΔ

z.B. 2-dim. Wasserwellen, 3-dim Schallwellen,

Def.: Wellen, bei denen die Flächen konstanter Phase Ebenen sind, heißen ebene Wellen

Ebene Welle: tvreft,rξ k

ke

Phasenflächen

Beispiel: tvzft,rξ

Die allgemeine Lösung der Wellengleichung kann (u.a.) als Überlagerung ebener Wellen dargestellt werden.

Wellentypen: i) Harmonische ebene Welle

ξ

t

Periode T 1/ν

ξ

z

Wellenlänge λ

t festt fest

z festz fest

2πλk 2πλk

2πTω 2πTω

tzkcosA

zktωcosAξ

kω

Kreisfrequenz

Frequenz

T 1 Periode

Wellenlänge

Wellenzahl

π2ων

λπ2k

v

Dispersionsrelation

kvω

ii) longitudinale / transversale mechanische Wellen

t festt fest

z

Transversalwelle Polarisations-richtung

z

Longitudinalwelle

iii) elektrische Feldstärke (Licht, Funksignale, )

iv) zirkular / elliptisch polarisierte Welle

z

y

x

tz,ξ

Schraubenlinie

eeeBeAtz,ξ zktωiΔiyx

eeeBeAtz,ξ zktωiΔiyx

Zirkulare Polarisation: 2

πΔ,BA

2

πΔ,BA

komplexe Schreibweise (physikalische Anteil Realteil):

3-dim Kugelwelle

rktωsinrktωsin

tr,ξrArA

einaus

b) Kugelwellen radiale Ausbreitung

Anregungs-zentrum

Kugelsymmetrie verwende Kugelkoordinaten symmetrischer Lösungstyp

Analog: 2-dim Kreiswellen in Polarkoordinaten

4

π4π

rkπ2

00

rkcosBrksinAtωsin

krYBkrJAtωsintr,ξ

r

J0, Y0 Besselfunktionen

5.2.2. InterferenzWellengleichung ist linear in Superpositionsprinzip gültig

Wellen überlagern sich additiv Interferenzeffekte

Stationäre Interferenzmuster falls

const.(t)

Realisierung: Stroboskopische Beleuchtung mit vλ

ν1T

Beispiel: Wasserwellen

ii) Zwei phasenstarre Erreger (Spitzen)

i) Interferenz mit reflektierter Welle

5.2.3. Reflexion und BrechungHuygensches Prinzip (isotrope Medien): Die Wellenfortpflanzung kann durch eine Superposition phasengleicher Kugelwellen (Elementarwellen) von jedem Punkt einer Phasenfläche beschrieben werden. Die Einhüllende der Elementarwellen ergibt die Phasenfläche zu einem späteren Zeitpunkt.

Ebene Welle als Überlagerung

von Kreiswellen

Kreiswelle als Überlagerung

von Kreiswellen

Folgerung a) Reflexion an ebener Wand

ebene Wand

EinEin AusAus

ebene Welle

α α

Einfallswinkel Ausfallswinkel

Folgerung b) Brechung an Grenzflächen

α

β

Medium 1: v1

Medium 2: v2

v

v

sinβ

sinα

2

1 v

v

sinβ

sinα

2

1

Brechungsgesetz

Folgerung c) Stehende Wellen

z

Medium 1Medium 2

11 k

ωv

22 k

ωv zktωcosA 1

Reflexion & PhasensprungTransmission

φzktωcosB 1

Spezialfall: Totalreflexion A B

φzktωcoszktωcosAξ

Totalreflexion A B 2

φ2φ zkcostωcosA2

φzktωcoszktωcosAξ

zeitabhängige Amplitude

feste räumliche Form stehende Welle

Stehende Welle:

z

Feste räumliche Form

KnotenKnoten BäucheBäuche

Totalreflexion A B 2

φ2φ zkcostωcosA2

φzktωcoszktωcosAξ

zeitabhängige Amplitude

feste räumliche Form stehende Welle

πφ0ξ0z

Fall 1: festes Ende

z 0

z

Fall 2: offenes Ende

z 0

z

0φ0ξ0z

5.2.4. Beugung Wellenablenkung durch Hindernisse

Ebene Welle

λ

dα

Beugungsmuster im UnendlichenBeugungsmuster im Unendlichen

α

I2·

0. Ordnung

1. Ordnung

2. Ordnungdα

λ/2d/2

d

λαΔsinαΔ

d

λαΔsinαΔ

Folgerung:

Unschärferelation: λαΔd

Ortsunschärfe Winkelunschärfe

Position und Ausbreitungsrichtung einer Welle können nicht gleich-zeitig beliebig genau festgelegt werden.

Folgerung: Beugungseffekte () nur wichtig falls d ≲ . Für d ≫ wirken Hindernisse wie geometrische Begrenzungen.

5.2.5. Schalla) Schall in Festkörpern:Elastische Longitudinalwelle

Elastische Rückstellkräfte Wellen

zt

Unendlicher Stab mitDichte: ρ

Elastizitätsmodul: E

z

ρ

Ev

z

ξ

ρ

E

t

ξ2

2

2

2

Schallgeschwindigkeit

zzt

z

Elastische Transversalwelle

ρ

Gv

z

ξ

ρ

G

t

ξ2

2

2

2

Unendlicher Stab mitDichte: ρ

Torsionsmodul: G

Schallgeschwindigkeit

b) Schall in Gasen (Flüssigkeiten):keine Scherkräfte nur longitudinale Druckwellen

longitudinale Auslenkung (z-Richtung)

K Kompressionsmodul2

2

2

2

z

ξ

ρ

K

t

ξ

Folgerung: Schallgeschwindigkeitρ

Kv

≲ 1 kHz T const. K p GasdruckBoyle-Mariotte

isotherm

kein Wärmeaustausch

≳ 1 kHz adiabatisch K p

Adiabatenindex:

4,1C

Cκ

V

p Luftvgl. Kap. 6

Also:

νhadiabatisc

0νisotherm v

ρpκ

ρp

Beispiel: Kundtsche Staubfiguren

ν

d LGlasrohr in Luft

Metallstab

Feste Einspannung

L/2Piezo-Kristall

Koppel-Platte

z

L

longitudinale Grundschwingung des Stabes

Pulver Gas / 2

Schallbauch Schallknoten

Tafelrechnung

E

K

ρ

ρ

2L

λ

v

v

Gas

StabGas

Stab

Gas

Spezialgebiet: Akustik Lehre vom hörbaren Schall (16 Hz 16 kHz)

Einige wichtigen Begriffe:

I Schallleistung pro Fläche (z.B. Trommelfell)

Imin() Hörschwelle bei der Frequenz

Lst Lautstärke νI

νIlg10Lst

min10 Phon1Lst

Referenzwert: mW10kHz1I 212min

5.2.6. Doppler-Effekt

Quelle bewegt( vQ < v )

Quelle bewegt( vQ < v ) Beobachter bewegtBeobachter bewegt

vQ

Q B

T T

B < 0

Q

0 0

B

vBv

νB > ν0

1

νν

v

v0

B Q

1

νν

v

v0

B Q

1νν vv

0BB 1νν v

v0B

B

Relativgeschwindigkeit ≪ v Resultat für beide Fälle gleich

Quelle mit Überschallgeschwindigkeit:

Quelle bewegt( vQ > v )

Quelle bewegt( vQ > v )

vQ > v

Q B

v

vsinβ

Q

v

vsinβ

Q

Machscher Kegel

eben

e (Sch

ock)W

elle

βv·Δt

vQ·Δt

Anwendungen:• Überschallknall• Bugwelle eines Schiffes• Cherenkovstrahlung

geladener Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit