Post on 30-Aug-2019
–1
© R. Girwidz 1
5. Teilchensysteme und Impulserhaltung5. Teilchensysteme und Impulserhaltung
5.1 Massenmittelpunkt
5.2 Impuls als Bewegungsgröße
5.3 Impulserhaltungssatz
5.4 Stoßprozesse
5.5 Raketenphysik
© R. Girwidz 2
5.1 Massenmittelpunkt5.1 Massenmittelpunkt
Massenmittelpunkt:
Massenmittelpunkt / Schwerpunkt:
2211 xmxmxm sGes
V: 2 Wagen auf Balken
Spezialfall 1 dim. Welt:
–2
© R. Girwidz 3
5.1 Massenmittelpunkt5.1 Massenmittelpunkt
Massenmittelpunkt:
Massenmittelpunkt / Schwerpunkt:
2211 xmxmxm sGes
i
ii2211
mxm
mxmxmx
Gess
V: 2 Wagen auf Balken
Spezialfall 1 dim. Welt:
© R. Girwidz 4
Allgemein:
ii
iii
s
iiisGes
m
rmr
rmrm
5.1 Massenmittelpunkt5.1 Massenmittelpunkt
–3
© R. Girwidz 5
Trägheitssatz und Newton II für ein System von Teilchen:
Der Massenmittelpunkt eines Systems bewegt sich unter dem Einfluss einer resultierenden äußeren Kraft wie ein Teilchen mit der Masse:
5.1 Massenmittelpunkt5.1 Massenmittelpunkt
V: Schraubenschlüssel mit Markierung
Vergleich mit Ball
)( i
iGes mm
© R. Girwidz 6
Trägheitssatz und Newton II für ein System von Teilchen:
Der Massenmittelpunkt eines Systems bewegt sich unter dem Einfluss einer resultierenden äußeren Kraft wie ein Teilchen mit der Masse:
Spezialfall:
(d. h. der Massenmittelpunkt bewegt sich geradlinig gleichförmig oder ruht)
;;0 konstvF tSchwerpunk
5.1 Massenmittelpunkt5.1 Massenmittelpunkt
V: Schraubenschlüssel mit Markierung
Vergleich mit Ball
)( i
iGes mm
–4
© R. Girwidz 7
Def.:
Mit Hilfe des Impulses lässt sich die Grundgleichung der Mechanik allgemein formulieren:
vmp
pvmdt
dF )(
5.2 Impuls als Bewegungsgröße5.2 Impuls als Bewegungsgröße
pF
spGesext
spGesext
vmF
amF
© R. Girwidz 8
dt
ptF
pddtF
5.2 Impuls als Bewegungsgröße5.2 Impuls als Bewegungsgröße
Aussagen ablesen können
pF
–5
© R. Girwidz 9
Kraftstoß und Impulsänderung:
Kraftstoß = Impulsänderung
dt
ppddtF
5.2 Impuls als Bewegungsgröße5.2 Impuls als Bewegungsgröße
© R. Girwidz 10
5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
–6
© R. Girwidz 11
Gesamtimpuls vorher = Gesamtimpuls nachher(Impulserhaltung)
2211
21
amam
FF
5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
Theorie: vereinfachendFi = konst.
2211
22
11
vmvmt
vm
t
vm
''
)'()'(
22112211
222111
vmvmvmvm
vvmvvm
© R. Girwidz 12
Allgemein:
Impulssatz:
Ohne Einwirkung äußerer Kräfte bleibt in einem System die Summe aller Impulse konstant.
. oder 00 constpdt
pdFa
5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
–7
© R. Girwidz 13
5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
© R. Girwidz 14
5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
–8
© R. Girwidz 15
5.3 Stoßarten5.3 Stoßarten
StoßartCharakteristik
ElastischSumme der kinetischen Energie vor und nach dem Stoß gleich
IneleastischSumme der kinetischen Energie nach dem Stoß kleiner
unelastischDie Körper bewegen sich nach dem Stoß zusammen mit gleicher Geschwindigkeit
überelastisch 0Q
0Q
0Q
QEE vorKinnachKin ,,
0Q
© R. Girwidz 16
Experimente zum geraden unelastischen Stoß
Spezialfall: ''' 21 vvv
121
112
3
2'2)
2
1')
vvmmb
vvmma
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
–9
© R. Girwidz 17
Unelastisch: Körper haften nach dem Stoß aneinander, d. h. v1' = v2' = u'
Impulssatz:
Energiesatz:
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
© R. Girwidz 18
Unelastisch: Körper haften nach dem Stoß aneinander, d. h. v1' = v2' = u'
Impulssatz:
Energiesatz:
Sei speziell v2=0 (ruhendes Target):
')( 212211 vmmvmvm
Qvmmvmvm 2
21
2
22
2
11 ')(2
1
2
1
2
1
121
1' vmm
mv
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Inelastisch Stoß auf Fahrbahn: Geschwindigkeiten messen
–10
© R. Girwidz 19
Beispiel: Zusammenstoß LKW - PKW
m1= 15 t; v1= 100 km/hm2= 1,5 t; v2=-100 km/h
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
© R. Girwidz 20
Beispiel: Zusammenstoß LKW - PKW
m1= 15 t; v1= 100 km/hm2= 1,5 t; v2=-100 km/h
Frontaler Zusammenstoß, vollkommen inelastisch:
')( 212211 vmmvmvm
''' 21 vvv
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
–11
© R. Girwidz 21
Beispiel: Zusammenstoß LKW - PKW
m1= 15 t; v1= 100 km/hm2= 1,5 t; v2=-100 km/h
Frontaler Zusammenstoß, vollkommen inelastisch:
Der LKW verliert nur ca. 20% seiner Geschwindigkeit
')( 212211 vmmvmvm
''' 21 vvv
21
2211'mm
vmvmv
x
x
ev
ev
1
1
hkm
hkm
82'
105,115
)100(105,11001015'
3
33
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
© R. Girwidz 22
Energieabgabe beim unelastischen Stoß:
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
–12
© R. Girwidz 23
Energieabgabe beim unelastischen Stoß:
2
1
21
2
12
11
2
21
2
11
2
1
2
1
')(2
1
2
1
vmm
mvm
vmmvmQ
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
);0( 2 v
© R. Girwidz 24
Energieabgabe beim unelastischen Stoß:
2
1
21
2
12
11
2
21
2
11
2
1
2
1
')(2
1
2
1
vmm
mvm
vmmvmQ
1
21
2
2
11
21
2
2
1
21
21
*
2
1
2
1
Emm
mQ
vmmm
m
vmm
mmQ
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
2
121
2
1 1
1
mmmm
m
E
Q
);0( 2 v
–13
© R. Girwidz 25
Energieabgabe:
Je leichter das Projektil, umso höher
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
1EQ
2
121
2
1 1
1
mmmm
m
E
Q
© R. Girwidz 26
Energieabgabe:
Je leichter das Projektil, umso höher
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
1EQ
2
121
2
1 1
1
mmmm
m
E
Q
12
1EQ :mma) 21
1EQ :mmb) 21
Spezialfälle:
–14
© R. Girwidz 27
Weiterer spezieller Fall: vvvmmm 2121 ;
2
1 2
122 vmEQ
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
© R. Girwidz 28
B) Elastischer Stoß
I) Impulssatz:
II) Energiesatz:
'' 22112211 vmvmvmvm
222
211
222
211 '
2
1'
2
1
2
1
2
1vmvmvmvm
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
–15
© R. Girwidz 29
Spezialfall: v2 = 0 (ruhendes Target)
aus IS:
aus ES:
''0 221111 vmvmvm
2
22
2
11
2
11 '2
1'
2
1
2
1vmvmvm
(1)
(2)
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
© R. Girwidz 30
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
2
22
2
1
2
11
21
2
12
''
''
vmvvm
vvm
mv
(1')
(2')
–16
© R. Girwidz 31
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
2
22
2
1
2
11
21
2
12
''
''
vmvvm
vvm
mv
211211
111112
2
11
2
2
111111
'
''
'''
mmvmmv
vvmvvm
vvm
mvvvvm
121
211' v
mm
mmv
(1')
(2')
(1') in (2'):
© R. Girwidz 32
121
12
2' v
mm
mv
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
–17
© R. Girwidz 33
'2
'1
'
21
21
2
2
1
22
21
2111
221
21
21111
vvmm
m
m
m
vmmm
mmvm
vmvmm
mmmvm
in (1)
121
12
2' v
mm
mv
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
© R. Girwidz 34
zwei gleiche Massen:
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
;0; 221 vmm
121
211' v
mm
mmv
121
12
2' v
mm
mv
–18
© R. Girwidz 35
zwei gleiche Massen:
vollständige Energieübertragung
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
;0; 221 vmm
121 ' ;0' vvv
121
211' v
mm
mmv
121
12
2' v
mm
mv
© R. Girwidz 36
zwei gleiche Massen:
vollständige Energieübertragung
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
;0; 221 vmm
121 ' ;0' vvv
:21 mm El. Stoß auf Wand
121
211' v
mm
mmv
121
12
2' v
mm
mv
–19
© R. Girwidz 37
zwei gleiche Massen:
vollständige Energieübertragung
sehr geringer Energieübertragung
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
;0; 221 vmm
121 ' ;0' vvv
:21 mm El. Stoß auf Wand
0' ;' 211 vvv
121
211' v
mm
mmv
121
12
2' v
mm
mv
© R. Girwidz 38
zwei gleiche Massen:
vollständige Energieübertragung
sehr geringer Energieübertragung
sehr geringer Energieübertragung
Kugelpendel
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
;0; 221 vmm
121 ' ;0' vvv
:21 mm El. Stoß auf Wand
:21 mm 1211 2' ;' vvvv
0' ;' 211 vvv
121
211' v
mm
mmv
121
12
2' v
mm
mv
–20
© R. Girwidz 39
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
lxh
hlhlhhlllx
lxhl
2
2
2
2
2222
222
– Messung von Geschw. m. d. ballistischen Pendel
1m;g;49,0g;646 lMM GP
© R. Girwidz 40
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
P
G
PGG
PPGGG
vm
Mmv
vMmvm
0
lgxhgv
hgMmvMm
P
PGPPG
2
2
1 2
lgx
m
Mmv
G
PGG
Impulssatz:
(für Geschoss+Pendel)
vP aus Energiebetrachtung:
–21
© R. Girwidz 41
Relativer Energieübertrag:
Max. bei m1=m2
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
1
2'E
E
;2
2'
2
1'
2
21
1122222
mmvmmvmE
2
1
2
1
2
221
21
1
2
1
44'
mm
mm
mm
mmE
E
2111 2
1 vmE
© R. Girwidz 42
5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik
–22
© R. Girwidz 43
Prinzip:Antrieb durch Rückstoß ausströmenden Gase; Impulserhaltung für Gesamtsystem (Rakete + ausströmenden Gas)
5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik
v(t) : Geschwindigkeit der Rakete im raumfesten System
Ausströmgeschw. der Gase relativ zur Rakete
ww
wtvtvG
mR: Masse Rakete; mG: Masse der ausgestoßenen Gase;
Momentangschwindigkeit
© R. Girwidz 44
Impulssatz bei momentanem Masseausstoß (dmG):
(dm * dv vernachlässigt)
5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik
dvvdmmwvdmmv G
dt
dmw
dt
dmw
dt
dvm RG
R
Gase Rakete
Schubkraft
Bewegungsgleichung:
Aufstellen der Bewegungsgleichung für den kräftefreien Raum
–23
© R. Girwidz 45
Impulssatz bei momentanem Masseausstoß (dmG):
(dm * dv vernachlässigt)
5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik
dvvdmmwvdmmv GRR
dt
dmw
dt
dmw
dt
dvm RG
R
;0;0;0 sGR Fw
dt
dm
dt
dm
...; constFconstwconstdt
dms
Gase Rakete
Schubkraft
realistisch:
Bewegungsgleichung:
Aufstellen der Bewegungsgleichung für den kräftefreien Raum
© R. Girwidz 46
Rakete im Schwerefeld (Raketenstart)
äußeres Kraftfeld
kommt hinzu;
Bewegungsgleichung:
Schubkraft Schwerkraft
man beachte: m =m (t)!
mgdt
dmw
dt
dvm G
gmFG
Fs>0 FG<0
5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik
–24
© R. Girwidz 47
Integration der Bewegungsgleichung:
mit m0=m(t=0)=Masse der vollgetankten Rakete bei Zündung
dtgm
dmwdv
R
G
tm
m
Rv
dtgtm
dmwdv
00 0)(
tgtm
mwtv o
)(ln)(
5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik
© R. Girwidz 48
Diskussion:
entscheidende Parameter für Schubkraft:
hängt von Brennkammerdruck und -temperatur sowie vom verwendeten Gasgemisch ab;
a) Bedingung für Abheben:GS FF
dt
dv 0
; und dt
dmw
w
5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik
–25
© R. Girwidz 49
Diskussion:
entscheidende Parameter für Schubkraft:
hängt von Brennkammerdruck und -temperatur sowie vom verwendeten Gasgemisch ab;
In der Praxis:
a) Bedingung für Abheben:GS FF
dt
dv 0
; und dt
dmw
w
dt
dm höheres aber ,5,2~w kleines O fl.-Kerosin
dt
dm kleines aber ,
s
km4,5~w hohes O fl.H fl.
2
22
s
km
5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik
© R. Girwidz 50
Masse der leergebrannten Rakete bei Brennschluss
entscheidende Parameter:
b) Endgeschwindigkeit vE (=Geschwindigkeit bei Brennschluss t = tE)
EE
E tgm
mwv 0ln
EE ttmm mit
E
0 und m
mw
5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik
–26
© R. Girwidz 51
Masse der leergebrannten Rakete bei Brennschluss
entscheidende Parameter:
In der Praxis:
b) Endgeschwindigkeit vE (=Geschwindigkeit bei Brennschluss t = tE)
EE
E tgm
mwv 0ln
EE ttmm mit
E
0 und m
mw
s
kmv
m
m
bisw
E 8
6
(5,45,2
E
0
oben) siehes
km
zum Vergleich: Fluchtgeschwindigkeit vmin=11,2 km/s Mehrstufenprinzip!
5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik
© R. Girwidz 52
1. Stufe: Kerosin + fl. O2
Brenndauer:
Daten der Saturn V (Apollo-Projekt)
;4700
29002000;2950 0
E
Treibstoffo m
mmm t;t
N;s
t
s
km 7103,3;15;2,2 sFdt
dmw
min 2Et
5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik
2., 3. Stufe: fl. H2 + fl. O2
–27
© R. Girwidz 53
nach 1. Stufe ------ 2 km/snach 2. Stufe ------ 6,8 km/snach 3. Stufe ------ 7,85 km /s
Umlaufbahn in 185 km Höhe
Endgeschwindigkeit vE
Beschleunigung der Rakete:
a) am Anfang (kurz nach Start:
b) am Ende (kurz vor Brennschluss):
;2,020
0 gm
gmFa s
A
2s
m
;440 gm
gmFa
E
EsE
2s
m
5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik
© R. Girwidz 54
5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik
Die heißen Verbrennungsgase strömen aus den Brennkammern nach hinten aus.
–28
© R. Girwidz 55
5.6 Stöße - zweidimensional5.6 Stöße - zweidimensional
© R. Girwidz 56
5.6 Stöße - zweidimensional5.6 Stöße - zweidimensional
Stoßart Charakteristik
geradeGeschwindigkeitsvektoren liegen auf einer Geraden
schiefGeschwindigkeitsvektoren liegen in einer Ebene und schließen einen Winkel ein
zentralDie Schwerpunkte liegen auf der Stoßnormalen (Senkrechte zur Stoßebene)
exzentrischDie Schwerpunkte liegen nicht auf der Stoßnormalen => Rotation
–29
© R. Girwidz 57
5.6 Stöße - zweidimensional5.6 Stöße - zweidimensional
© R. Girwidz 58
5.6 Stöße - zweidimensional5.6 Stöße - zweidimensional
Bei gleichen Massen stehen die Geschwindigkeitsvektoren nach dem Stoß senkrecht aufeinander.
–30
© R. Girwidz 59
5.6 Stöße - zweidimensional5.6 Stöße - zweidimensional
© R. Girwidz 60
5.6 Stöße - zweidimensional5.6 Stöße - zweidimensional