Agenda für heute, 13. Januar 2006

• Informationssysteme: ETH-BibliothekInformationssysteme: ETH-Bibliothek• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die

Informationsgewinnung

• Mengendiagramme

• Boolesche Algebra

© Institut für Computational Science, ETH Zürich

ETH-Bibliothek

Vortrag von Frau E. Benninger• Grösste Bibliothek der Schweiz

• Schwerpunkte im Bereich des elektronischen Informationsangebotes

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• Informationssysteme: ETH-Bibliothek

• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Logische Verknüpfungen als Grundlage für die InformationsgewinnungInformationsgewinnung

• Mengendiagramme

• Boolesche Algebra

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Wiedergewinnung von Information: Relationale Datenbank

Normalisieren

Relationale Operatoren (Select, Project, Join)

Ursprüngliche Information

Relationen

Wiedergewonnene Information

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Wiedergewinnung von Information: Aussagenlogik

Welche Nahrungsmittel enthalten mehr als 2mg Eisen?

OperationSuche

Name in Nahrungsmittel mit Nährstoff_id = 57 und Menge 2

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Aussage

angewandt auf Tupel einer Datenbank

wahr falsch

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Elemente der Aussagenlogik

• Eine Aussage hat einen Wahrheitswert ("wahr", "falsch").

• Aussagen können aus Teilaussagen zusammengesetzt sein.

• Diese Teilaussagen sind durch logische Operatoren (Konjunktion, Disjunktion, Negation) verknüpft.

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Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist vollständig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen und die Art und Weise wie diese in der Aussage verknüpft sind, gegeben.

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Konjunktion

p und q seien Teilaussagen, w = wahr, f = falsch

Der Wahrheitswert von p and q wird durch die Wahrheitstabelle der Konjunktion präzise definiert:

p q p and q

w w w Die erste Zeile ist eine Kurzform für:w f f "Falls p wahr ist und q wahr ist, dann f w f ist p and q wahr. f f f

Symbole: und, and, •,

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Beispiel

AnanasYogurt and Bananen-Yogurt

Ein computergesteuerter Roboter würde mir nur etwas aus dem Laden zurück bringen, wenn sowohl ein Ananas als auch ein Bananen-Yogurt findet!

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Disjunktion

p und q seien Teilaussagen, w = wahr, f = falsch

Der Wahrheitswert von p or q wird durch die Wahrheitstabelle der Konjunktion präzise definiert:

p q p or q

w w w Beachte: p or q ist nur falsch wennw f w beide Teilaussagen falsch sind. f w w f f f

Symbole: oder, or, +,

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Beispiel

AnanasYogurt or Bananen-Yogurt

Ein computergesteuerter Roboter würde mir diejenige Sorte welche vorhanden ist aus dem Laden zurück bringen, oder beide Sorten wenn beide vorhanden sind!

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Negation

p sei eine (Teil)aussage, w = wahr, f = falsch

Der Wahrheitswert von not p wird durch die Wahrheitstabelle der Negation präzise definiert:

p not p

w f

f w

Symbole: nicht, not, ¬

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Reihenfolge der Auswertung von Operatoren in logischen Ausdrücken:

1. NOT 2. AND 3. OR

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Bemerkung zur Disjunktion

Umgangssprachlich bedeutet "oder" manchmal:

p oder q oder beide (sie ist intelligent oder sie studiert jede Nacht)

manchmal bedeutet es:

p oder q aber nicht beide (sie telefoniert aus Basel oder aus Genf)

"oder" in letzterem Sinn wird exklusive Disjunktion (xor) genannt.

p or q ist durch die Wahrheitstabelle definiert und bedeutet immer

"p oder q oder beide".

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Disjunktion oder exklusive Disjunktion?

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Genauer: drink and >1 Glas xor drive

Genauer: drink xor drive Aber stimmt das?

Genauer: drink and ≤ 1 Glas and drive or drink and > 1 Glas and not drive

Stimmts jetzt?

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Ein paar Spezialfälle

Logische Äquivalenzennot p or not q not ( p and q ) (de Morgan)not p and not q not ( p or q )

Tautologie Widerspruch

p or not p p and not p

p not p p or not p w f w f w w

p not p p and not p w f f f w f

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Logische Operatoren im Web: "+" und "-"

Inklusion und ExklusionAnstelle der logischen Operatoren "and", "or" und "not" setzen Suchhilfen oft auch die Zeichen "+" und "-" ein.

Mit dem "+"-Operator (Inklusion oder Einschluss) sagen wir, dass der nachfolgende Suchbegriff auf jeden Fall im Suchergebnis enthalten sein muss.

Der "-"-Operator (Exklusion oder Ausschluss) schliesst Dokumente im Suchergebnis aus, welche den nachfolgenden Suchbegriff enthalten.

Beispiel

Vogelgrippe –China

Es werden nur Dokumente gesucht, in denen der Begriff "China" nicht enthalten ist.

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• Informationssysteme: ETH-Bibliothek

• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung

• MengendiagrammeMengendiagramme• Boolesche Algebra

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Grafische und formale Darstellung logischer Verknüpfungen

Namen allerNahrungsmittel

Alle Nahrungsmittel mit Nährstoff 57(Eisen)

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Logischer Ausdruck

Nährstoff_id = 57 AND Menge > 2

Mengendiagramme

Welche Nahrungsmittel enthalten mehr als 2mg Eisen?

Alle Nahrungsmittel mit Menge > 2

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Beispiele logischer Verknüpfungen

Bücher über Südfrankreich

Bücher über Wein

Bücher über Weinanbaugebiete

Alle Bücher (Grundmenge)

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Bücher über Südfrankreich

Bücher über Wein

Suche: Bücher über Weinanbaugebiete in Südfrankreich

Logischer Ausdruck: Weinanbau AND Südfrankreich

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"wahr" für alle Bücher in dieser Schnittmenge

Bücher über Weinanbaugebiete

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Suche: Bücher Südfrankreich oder über Wein oder über beides

Logischer Ausdruck: Wein OR Südfrankreich

Bücher über Wein

Bücher über Südfrankreich

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Bücher über Weinanbaugebiete

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Suche: Bücher über Südfrankreich aber nicht über Wein

Logischer Ausdruck: Südfrankreich AND NOT Wein

Bücher über Wein

Bücher über Südfrankreich

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Bücher über Weinanbaugebiete

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Suche: Bücher über Weinanbau oder über Wein oder über beides, aber nur wenn Südfrankreich nicht vorkommt

Logischer Ausdruck: (Weinbau OR Wein) AND NOT Südfrankreich

Bücher über Südfrankreich

Bücher über Wein

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Bücher über Weinanbaugebiete

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Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke

SüdFr Weinanb Wein NOT SüdFr Weinanb OR Wein (Weinanb OR Wein) AND NOT Südfr

W W W F W F

W W F F W F

W F W F W F

W F F F F F

F W W W W W

F W F W W W

F F W W W W

F F F W F F

Beispiel Wir suchen Bücher über Weinanbau oder über Wein oder über beides, aber nur wenn Südfrankreich nicht vorkommt

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• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung

• Mengendiagramme

• Boolesche AlgebraBoolesche Algebra

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Boolesche Algebra

Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen "•" und "+" heisst Boolesche* Algebra, wenn für alle x, y, z M gilt:

(1) x • (y • z) = (x • y) • z; Assoziativ

(2) x + (y + z) = (x + y) + z; Assoziativ

(3) x • y = y • x; Assoziativ

(4) x + y = y + x; Assoziativ

(5) x • (x + y) = x; Absorption

(6) x + (x • y) = x; Absorption

(8) x • (y + z) = (x • y) + (x • z); Distributiv

(8) x + (y • z) = (x + y) • (x + z); Distributiv

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* nach George Boole, englischer Mathematiker, 1815 – 1864

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Boolesche Algebra

(9) es gibt ein Element 0 M mit 0 • x = 0 und 0 + x = x für alle x M ;Neutrales Element

(10) es gibt ein Element 1 M mit 1 • x = x und 1 + x = x für alle x M ;

Neutrales Element

(11) zu jedem x M existiert genau ein y M mit x • y = 0 und x + y = 1;

Komplementäres Element

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Wir ersetzen "wahr" mit "1" und "falsch" mit "0" und wenden die Boolesche Algebra auf logische Ausdrücke an.

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Vereinfachung logischer Ausdrücke am Beispiel des Yogurt

1. (A • B) + (A • ¬B) + (¬A • ¬B)

2. [A • (B + ¬B)] + (¬A • ¬B) Distributivgesetz

3. (A • 1) + (¬A • ¬B) komplementäres Element bez. +

4. A + (¬A • ¬B) neutrales Element bez. •

5. (A + ¬A) • (A + ¬B) Distributivgesetz

6. 1 • (A + ¬B) komplementäres Element bez. +

7. A + ¬B neutrales Element bez. •

Aber . . . sind der 1. und der 7. Ausdruck auch äquivalent?

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Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane

Ananas oder keine Banane

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Verifizierung logischer Ausdrücke

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A B ((A • B) + (A • ¬B)) + (¬A • ¬B)

1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

Schritt: 1 2 1 5 1 3 1 6 1 4 1

A B A + ¬B

1 1 1 1 0

1 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 0 0 1 1

Schritt: 1 2 1

Reihenfolge:AussageLogischer Ausdruck (Symbole)Boolesche AlgebraAusdruck evaluieren

1. Ausdruck:

7. Ausdruck:

Wir wünschen Ihnen ein schönes Wochenende.