1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Thermodynamik• Bisher haben wir den thermischen Bereich ausgeklammert.

Dieser ist aber fundamental fürs Verstehen der Physik.• Wir haben gesagt, dass Energie weder erzeugt noch

vernichtet werden kann ... haben uns dann aber sogleich auf dem Absatz umgedreht und Elemente wie Quellen und Widerstände eingeführt, die es ja gemäss dem oben Gesagten gar nicht geben dürfte.

• In der heutigen Vorlesung werden wir diese Phänomene etwas genauer analysieren.

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Übersicht

• Energiequellen und Senken• Irreversible Thermodynamik• Wärmeleitung• Wärmefluss• Thermische Widerstände und Kapazitäten• Wärmestrahlung

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Energiequellen und Senken

Physische System-grenze (die Wand)

Mathematische Systemgrenze (verschiedene Bereiche)

Steckdose, Netzgerät

k·U0

i0 /kT

S2

.

T S1

.

Elektrisches Modell (internes Modell)

Thermisches Modell (externes Modell)

Die andere Seite der Wand (externes Modell)

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Die „Widerstandsquelle“

• Im Widerstand wird freie Energie irreversibel in Entropie umgewandelt.

• Dieser Umstand wird im Bondgraphen durch eine „Widerstandsquelle“, das RS-Element, versinnbildlicht.

• Die Kausalität der thermischen Seite ist immer so, dass der Widerstand dort als Quelle von Entropie gesehen wird, nie als Quelle von Temperatur.

• Temperaturquellen gibt es physikalisch nicht.

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Die Wärmeleitung I• Die Wärmeleitung in einer gut isolierten Stange kann durch

die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung beschrieben werden:

• Diskretisation im Raum führt zu:

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Die Wärmeleitung II• Dadurch bietet sich die folgende elektrische Ersatz-

schaltung an:

dvi /dt = iC /CiC = iR1 – iR2

vi-1 – vi = R· iR1

vi – vi+1 = R· iR2

dvi /dt = (iR1 – iR2 ) /C= (vi+1 – 2·vi + vi-1 ) /(R · C)

(R · C)·dvi

dt = vi+1 – 2·vi + vi-1

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Die Wärmeleitung III• Somit lässt sich die Wärmeleitung durch eine Kette solcher

T-Glieder beschreiben:

• In Bondgraphendarstellung:

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Die Wärmeleitung IV

• Dieser Bondgraph ist wunderschön ...Er hat nur einen Haken ...

Er ist mit Sicherheit inkorrekt!. Energiesenken gibt es nicht!

Ein Widerstand mag in einer elektrischen Schaltung sinnvoll sein, falls die Erwärmung der Schaltung nicht von Interesse ist, aber sicherlich nicht, wenn das zu beschreibende System selbst schon thermisch ist.

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Die Wärmeleitung V• Das Problem lässt sich leicht korrigieren, indem jeder

Widerstand durch eine Widerstandsquelle ersetzt wird.

• Der Temperaturunterschied führt zu zusätzlicher Entropie, die beim nächstgelegenen 0-Knoten wieder eingespeist wird.

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Die Wärmeleitung VI• Dies ist eine gute Annäherung der physikalischen Realität.

Leider ist der Bondgraph asymmetrisch, obwohl die Wärmeleitungsgleichung selbst symmetrisch ist.

• Eine weitere Korrektur behebt diesen Schönheitsfehler.

Si-1

.2

Si-1

.Ti 1Si-1

.Ti+1 0

C

Ti+1Si

.1

Ti

1 0

C

Si-1

.

0

Si-1

. Si-1

.2

Ti

Ti

Ti

RSRSTi+1Six

.Ti

Siy

. RS RS

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Der Wärmefluss• Die thermische Leistung ist der Wärmefluss dQ/dt. Er wird

wie üblich als Produkt der beiden adjugierten thermischen Variablen gerechnet, somit:

• Man kann auch vom Wärmefluss als dem primären physikalischen Phänomen ausgehen und daraus konse-quent eine Gleichung zur Berechnung der Entropie ableiten:

P = Q = T·S··

S = Q / T··

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Die Berechnung von R und C I• Die Fähigkeit einer langen isolierten Stange, Wärme zu

transportieren, ist proportional zum Temperaturunterschied.

• wobei:

T = · Q = · (T · S) = ( · T) · S = R · S · · · ·

R= · T

=thermischer Widerstand

=

1 · A

l =spezifischer thermischer Leitwertl=Länge der StangeA=Querschnitt der Stange

R= · T = x · T · A

x=Länge des Segments

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

S = ·· dTdt

T

dTdt

Die Berechnung von R und C II• Die Fähigkeit einer langen isolierten Stange, Wärme zu

speichern, folgt dem kapazitiven Gesetz:

• wobei:

C= / T

=Wärmekapazität

= c · mc =spezifische Wärmekapazitätm=Masse der Stange

Q = ·· dTdt = (T·S) = T·S· · = C·

m= · V

=MaterialdichteV=Volumen des Segments

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Die Berechnung von R und C III

• Die Diffusionszeitkonstante R·C ist unabhängig von der Temperatur.

• Der thermische Widerstand ist proportional zur Temperatur.

• Die thermische Kapazität ist umgekehrt proportional zur Temperatur.

• Die thermischen R und C Elemente sind im Gegensatz zu den elektrischen und mechanischen nicht konstant.

C= / T = c · · V / T = c · · A · x / T

R · C = · = c ·

· x2 = 1 · x2

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Ist die Kapazität tatsächlich kapazitiv?• Wir müssen verifizieren, dass das gefundene Kapazitätsge-

setz die Kapazitätsregel nicht verletzt.

S = ·· dTdt

T f = ·

dedt

e q = · ln(e)

q ist tatsächlich eine (nichtlineare) Funktion von e. Somit ist alles in Ordnung.

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Berechnung von R für modifizierten Bondgraphen

• Der Widerstand wurde bisher für die ursprüngliche Anord-nung berechnet. Wir müssen uns fragen, was für Auswirkun-gen die Aufteilung der erzeugten Entropie nach links und rechts auf den Kapazitätswert hat.

• Wir können zwei Widerstände der doppelten Grösse parallel schalten:

C C

R

C C2R

2R

0 01

1

C C2R

2R

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Umformung des Bondgraphen• Der Bondgraph kann unter Verwendung der Diamanten-

regel umgeformt werden:

• Dies ist genau die angepeilte Struktur.

0 01

1

C C2R

2R

0 01

C C

2R02R

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Die Strahlung I• Ein zweites fundamentales Phänomen der Thermodynamik

betrifft die Strahlung. Sie wird durch das Gesetz von Stephan-Boltzmann beschrieben.

• Die abgestrahlte Wärme ist proportional zur Strahlung und zur emitierenden Oberfläche.

• Somit ist die abgestrahlte Entropie proportional zur dritten Potenz der Temperatur.

= · T 4

Q = · A · T 4.

S = · A · T 3.

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Die Strahlung II• Die Strahlung beschreibt ein dissipatives Phänomen (dies

ergibt sich aus der statischen Kennlinie zwischen T und S).• Somit kann der Widerstand wie folgt berechnet werden:

• Der Strahlungswiderstand ist somit umgekehrt proportio-nal zum Quadrat der (absoluten) Temperatur.

.

R = T / S = 1 / ( · A · T 2).

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Die Strahlung III

1. Dezember, 2004Anfang Präsentation

Referenzen

• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 8.