27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Algebraische Schleifen und Strukturelle Singularitäten

• Der bisher aufgezeigte Sortieralgorithmus funktioniert nicht immer so reibungslos, wie dies in den bisher gezeigten Beispielen den Anschein machte.

• In dieser Vorlesung werden die Probleme der sogenannten algebraischen Schleifen und der singulären Strukturen behandelt.

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Übersicht

• Algebraische Schleifen

• Strukturdiagramme

• Strukturelle Singularitäten

• Ableitung

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Algebraische Schleifen: Ein BeispielKomponentengleichungen:

U0 = f(t) u3 = R3· i3

u1 = R1· i1uL = L· diL/dt

u2 = R2· i2

Knotengleichungen:

i0 = i1 + iLi1 = i2 + i3

Maschengleichungen:

U0 = u1 + u3 uL = u1 + u2

u3 = u2

Das Netzwerk enthält 5 Komponenten

Wir benötigen 10 Gleichungen in 10 Unbekannten

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Horizontales Sortieren IU0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

u3 = R3· i3

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + i3

U0 = u1 + u3

u3 = u2

uL = u1 + u2

1. U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

u3 = R3· i3

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + i3

U0 = u1 + u3

u3 = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

u3 = R3· i3

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + i3

U0 = u1 + u3

u3 = u2

uL = u1 + u2

2.

3. 4. U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

u3 = R3· i3

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + i3

U0 = u1 + u3

u3 = u2

uL = u1 + u2

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Horizontales Sortieren II

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

u3 = R3· i3

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + i3

U0 = u1 + u3

u3 = u2

uL = u1 + u2

Eine solche Situation deutet immer auf das Vorhandensein algebraischer Schleifen hin.

Bei den sechs noch a-kausalen Gleichungen (d.h. den Gleichungen ohne rote Variable) enthält jede Gleichung mindestens zwei Unbe-kannte, und jede Unbekannte taucht in mindestens zwei Gleichungen auf.

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Algebraische Schleifen I1. u1 = R1· i1

2. u2 = R2· i2

3. u3 = R3· i3

4. i1 = i2 + i3

5. U0 = u1 + u3

6. u3 = u2

1. u1 = R1· i1

2. u2 = R2· i2

3. u3 = R3· i3

4. i1 = i2 + i3

5. U0 = u1 + u3

6. u3 = u2

1. u1 = R1· i1

2. u2 = R2· i2

3. u3 = R3· i3

4. i1 = i2 + i3

5. U0 = u1 + u3

6. u3 = u2

1. u1 = R1· i1

2. u2 = R2· i2

3. u3 = R3· i3

4. i1 = i2 + i3

5. U0 = u1 + u3

6. u3 = u2

1. u1 = R1· i1

2. u2 = R2· i2

3. u3 = R3· i3

4. i1 = i2 + i3

5. U0 = u1 + u3

6. u3 = u2

1. 2.

3. 4.

Wir wählen eine Variable in einer Gleichung, z.B. Variable i1 in Gleichung 4. Wir nehmen diese Variable nun als bekannt an und fahren fort wie bis anhin.

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Algebraische Schleifen II

1. u1 = R1· i1

2. u2 = R2· i2

3. u3 = R3· i3

4. i1 = i2 + i3

5. U0 = u1 + u3

6. u3 = u2i2 i1 u1

u3i3u2 U0

4.

4.

1.

2.

3.

5.

6.

Algebraische Schleifen

Strukturdiagramm

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Auflösen algebraischer Schleifen I

1. u1 = R1· i1

2. u2 = R2· i2

3. u3 = R3· i3

4. i1 = i2 + i3

5. U0 = u1 + u3

6. u3 = u2

1. u1 = R1· i1

2. i2 = u2 / R2

3. i3 = u3 / R3

4. i1 = i2 + i3

5. u3 = U0 - u1

6. u2 = u3

i1 = i2 + i3

= u2 / R2 + u3 / R3

= u3 / R2 + u3 / R3

= ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · u3

= ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · (U0 - u1 )

= ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · (U0 - R1· i1 )

i1 =R2 + R3

R1 R2 + R1 R3 + R2 R3

· U0

Gleichung 4. wird durch die neue Gleichung ersetzt.

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Auflösen algebraischer Schleifen II

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

u3 = R3· i3

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

U0 = u1 + u3

u3 = u2

uL = u1 + u2

i1 =R2 + R3

R1 R2 + R1 R3 + R2 R3

· U0

Die algebraischen Schleifen sind jetzt aufgelöst, und es kann mit dem Sortieralgorithmus in der üblichen Weise fortgefahren werden.

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Horizontales Sortieren III

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

u3 = R3· i3

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

U0 = u1 + u3

u3 = u2

uL = u1 + u2

i1 =R2 + R3

R1 R2 + R1 R3 + R2 R3

· U0

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

u3 = R3· i3

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

U0 = u1 + u3

u3 = u2

uL = u1 + u2

i1 =R2 + R3

R1 R2 + R1 R3 + R2 R3

· U0

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Mehrere gekoppelte Schleifen

1. a = b + 12. b = 3·f3. c = b + d4. d = h5. e = a6. f = e + g7. g = 2·c8. h = g

4.

6.

1.

2.

3.

5.

c d

hg

b

f

a

e

3.

6.

7.

8.

1. a = b + 12. b = 3·f3. c = b + d4. d = h5. e = a6. f = e + g7. g = 2·c8. h = g

1. a = b + 12. b = 3·f3. c = b + d4. d = h5. e = a6. f = e + g7. g = 2·c8. h = g

c = b + d= 3·f + h= 3·f + g= 3·f + 2·c

f = e + g= a + 2·c= b + 2·c + 1= 3·f + 2·c + 1

c + 3·f = 02·c + 2·f = -1 c = - 0.75

f = + 0.25

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Strukturelle Singularität: Ein Beispiel

16 Gleichungen16 Unbekannte

Das gemischt rotatorische und translatorische System weist drei Körper auf: die Träg-heiten J1 und J2 sowie die Masse m. Somit würden wir erwarten, dass es sich um ein System 6er Ordnung handelt.

3 Körper 6 Differentialgleichungen + 3 algebraische Gleichungen (D’Alembert)3 Reibungen 3 algebraische Gleichungen (Reibungskräfte)2 Federn 2 algebraische Gleichungen (Federkräfte)1 Getriebe 2 algebraische Gleichungen (Übertragung)

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Modellieren des Getriebes

= r · Fx = r ·

Wir schneiden das Getriebe auf. Dafür wird die Schneidekraft F eingeführt.

Das Drehmoment ist proportional zur Schneidekraft F, und der Weg x ist proportional zum Drehwinkel .

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Aufschneiden des Systems (t) = T1 + B1 + B3

B1 = T2 + k1 + G

FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g

T1 = J1·d1

dtd1

dt= 1

T2 = J2·d2

dtd2

dt= 2

FI = m·dvdt

dxdt

= v

G = r · FG

x = r · 2

B1 = B1· (1 – 2 )

B3 = B3· 1

FB2 = B2· v

k1 = k1· 2

Fk2 = k2· x

16 Gleichungen16 Unbekannte

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Horizontales Sortieren I (t) = T1 + B1 + B3

B1 = T2 + k1 + G

FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g

T1 = J1·d1

dtd1

dt= 1

T2 = J2·d2

dtd2

dt= 2

FI = m·dvdt

dxdt

= v

G = r · FG

x = r · 2

B1 = B1· (1 – 2 )

B3 = B3· 1

FB2 = B2· v

k1 = k1· 2

Fk2 = k2· x

Diese Gleichung kann nicht verwendet werden, da sie keine Unbekannte enthält.

Idee: Wenn eine Gleichung für alle Zeiten gilt, dann gilt auch jede Ableitung davon.

Man ersetze die unverwend-bare Gleichung durch ihre Ableitung.

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Ableiten I (t) = T1 + B1 + B3

B1 = T2 + k1 + G

FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g

T1 = J1·d1

dtd1

dt= 1

T2 = J2·d2

dtd2

dt= 2

FI = m·dvdt

dxdt

= v

G = r · FG

v = r · 2

B1 = B1· (1 – 2 )

B3 = B3· 1

FB2 = B2· v

k1 = k1· 2

Fk2 = k2· x

Die Gleichung ist leider immer noch nicht verwendbar, da sie immer noch keine Unbekannte enthält.

Man leite die unverwend-bare Gleichung nochmals ab.

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Ableiten II (t) = T1 + B1 + B3

B1 = T2 + k1 + G

FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g

T1 = J1·d1

dtd1

dt= 1

T2 = J2·d2

dtd2

dt= 2

FI = m·dvdt

dxdt

= v

G = r · FG

B1 = B1· (1 – 2 )

B3 = B3· 1

FB2 = B2· v

k1 = k1· 2

Fk2 = k2· x

dvdt

= r ·d2

dt

Die Gleichung ist jetzt verwend-bar geworden, da jetzt beide der darin erwähnten Variablen unbekannt sind. Die beiden Ableitungen waren bisher rot, da beide nur einmal im Gleichungssystem auftauchten. Jetzt sind sie aber zweimal vorhanden und müssen darum wieder schwarz gemacht werden.

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Horizontales Sortieren II (t) = T1 + B1 + B3

B1 = T2 + k1 + G

FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g

T1 = J1·d1

dtd1

dt= 1

T2 = J2·d2

dtd2

dt= 2

FI = m·dvdt

dxdt

= v

G = r · FG

B1 = B1· (1 – 2 )

B3 = B3· 1

FB2 = B2· v

k1 = k1· 2

Fk2 = k2· x

dvdt

= r ·d2

dt

(t) = T1 + B1 + B3

B1 = T2 + k1 + G

FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g

T1 = J1·d1

dtd1

dt= 1

T2 = J2·d2

dtd2

dt= 2

FI = m·dvdt

dxdt

= v

G = r · FG

B1 = B1· (1 – 2 )

B3 = B3· 1

FB2 = B2· v

k1 = k1· 2

Fk2 = k2· x

dvdt

= r ·d2

dt

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Horizontales Sortieren III (t) = T1 + B1 + B3

B1 = T2 + k1 + G

FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g

T1 = J1·d1

dtd1

dt= 1

T2 = J2·d2

dtd2

dt= 2

FI = m·dvdt

dxdt

= v

G = r · FG

B1 = B1· (1 – 2 )

B3 = B3· 1

FB2 = B2· v

k1 = k1· 2

Fk2 = k2· x

dvdt

= r ·d2

dt

Es bleiben immer noch 6 Gleichungen in 6 Unbekannten.

Jede der Gleichungen enthält min-destens zwei der Unbekannten.

Jede Unbekannte taucht in mindestens zwei der Gleichungen auf.

Wir haben es wieder mit mindestens einer algebrai-schen Schleife zu tun.

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Algebraische Schleife (t) = T1 + B1 + B3

B1 = T2 + k1 + G

FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g

T1 = J1·d1

dtd1

dt= 1

T2 = J2·d2

dtd2

dt= 2

FI = m·dvdt

dxdt

= v

G = r · FG

B1 = B1· (1 – 2 )

B3 = B3· 1

FB2 = B2· v

k1 = k1· 2

Fk2 = k2· x

dvdt

= r ·d2

dt

Wahl

(t) = T1 + B1 + B3

B1 = T2 + k1 + G

FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g

T1 = J1·d1

dtd1

dt= 1

T2 = J2·d2

dtd2

dt= 2

FI = m·dvdt

dxdt

= v

G = r · FG

B1 = B1· (1 – 2 )

B3 = B3· 1

FB2 = B2· v

k1 = k1· 2

Fk2 = k2· x

dvdt

= r ·d2

dt

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Horizontales Sortieren IV (t) = T1 + B1 + B3

B1 = T2 + k1 + G

FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g

T1 = J1·d1

dtd1

dt= 1

T2 = J2·d2

dtd2

dt= 2

FI = m·dvdt

dxdt

= v

G = r · FG

B1 = B1· (1 – 2 )

B3 = B3· 1

FB2 = B2· v

k1 = k1· 2

Fk2 = k2· x

dvdt

= r ·d2

dt

T1= (t) - B1 - B3

T2= B1 - k1 - G

FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g

= T1 / J1

d1

dtd1

dt= 1

= T2 / J2

d2

dtd2

dt= 2

FI = m·dvdt

dxdt

= v

G = r · FG

B1 = B1· (1 – 2 )

B3 = B3· 1

FB2 = B2· v

k1 = k1· 2

Fk2 = k2· x

dvdt

= r ·d2

dt

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Auflösen der algebraischen Schleife I d2

dt= T2 / J2

= (B1 - k1 - G ) / J2

= (B1 - k1 ) / J2 - G /J2

= (B1 - k1 ) / J2 - (r /J2 ) · FG

T1= (t) - B1 - B3

T2= B1 - k1 - G

FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g

= T1 / J1

d1

dtd1

dt= 1

= T2 / J2

d2

dtd2

dt= 2

FI = m·dvdt

dxdt

= v

G = r · FG

B1 = B1· (1 – 2 )

B3 = B3· 1

FB2 = B2· v

k1 = k1· 2

Fk2 = k2· x

dvdt

= r ·d2

dt = (B1 - k1 ) / J2 - (r /J2 ) · (FI + Fk2 + FB2 + m·g)

= (B1 - k1 ) / J2 - (r /J2 ) · (Fk2 + FB2 + m·g)

- (r /J2 ) · FI

= (B1 - k1 ) / J2 - (r /J2 ) · (Fk2 + FB2 + m·g)

- (m·r /J2 ) · dv/dt

= (B1 - k1 ) / J2 - (r /J2 ) · (Fk2 + FB2 + m·g)

- (m·r2 /J2 ) · d2 /dt

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Auflösen der algebraischen Schleife IIT1= (t) - B1 - B3

T2= B1 - k1 - G

FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g

G = r · FG

B1 = B1· (1 – 2 )

B3 = B3· 1

FB2 = B2· v

k1 = k1· 2

Fk2 = k2· x

dvdt

= r ·d2

dt

= T1 / J1

d1

dtd1

dt= 1

d2

dt= 2

FI = m·dvdtdx

dt= v

d2

dt=

B1 - k1 – r · (Fk2 + FB2 ) – m·g·r

J2 + m·r2

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Anmerkungen

• Das Problem der strukturellen Singularität trat auf, weil die Masse m und die Trägheit J2 nicht unabhängig voneinander bewegt werden können.

• Eigentlich hätte das System deshalb durch 4 Differentialgleichungen beschrieben werden können.

• Die hier angebotene Lösung zeigt diese mögliche Einsparung der Anzahl Zustände nicht auf.

• Eine bessere Lösung wird nächste Woche gezeigt.

27. Oktober, 2004Anfang Präsentation

Referenzen

• Cellier, F.E. and H. Elmqvist (1993), “Automated formula manipulation supports object-oriented continuous-system modeling,” IEEE Control Systems, 13(2), pp. 28-38.