Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung

• Einleitung

• Stochastisches Modell a priori

• Ausgleichungsverfahren

• Stochastisches Modell a posteriori

Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil

Ziele

• Kontrolle: Aufdecken von (groben) Fehlern

• Plausibilität: Wahrscheinlichste Schätzwerte für die wahren Werte der Unbekannten bzw. Messwerte

• Qualität: Angabe von Standardabweichungen für die Unbekannten und Messwerte

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Verteilung zufälliger Messabweichungen (1)

• Lambert: Theorie der Zuverlässigkeit der Beobachtungen und Versuche– zufällige Abweichungen gleicher Größe nach beiden

Seiten möglich– geringe Abweichungen häufiger als große– Kurve mit Wahrscheinlichkeit der Abweichungen ist

• symmetrisch• Abweichung Null hat höchste Wahrscheinlichkeit• Wendepunkt auf beiden Seiten• beidseitig asymptotische Annäherung an Null

• Weitere Untersuchung durch Gauß Normalverteilung

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Verteilung zufälliger Messabweichungen (2)

• Bedingung:

• oder in Matrizenschreibweise

• Gewichte pi umgekehrt proportional zu den Varianzen

2

1

2

1

min

ii

n

iii

pmit

vp

minPvvT

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Stochastisches Modell a prioriDie Gewichtsmatrix

• Beschreibung der stochastischen Zusammenhänge in einem Zufallsvektor: Kovarianzmatrix

• Für einen Beobachtungsvektor:– Hauptdiagonale: Varianz der Beobachtung– Außerhalb der Hauptdiagonale: Kovarianz

oder Null wenn stochastisch unabhängig

• Bezeichnet mit LL

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Festlegung von Gewichten (1)

• Gewichtung der Verbesserungen umgekehrt proportional zu den Varianzen

• Oft nur relative Genauigkeiten vorhanden

• Wir wählen Bezugsvarianz: Varianz der Gewichtseinheit a priorioder Varianzfaktor

• Kofaktormatrix

20

LLLL ΣQ20

1

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Festlegung von Gewichten (2)

• Elemente der Kofaktormatrix: Kofaktoren oder Gewichtsreziproke

• Gewichtung ist umgekehrt proportional zu den Varianzen bzw. Kofaktoren, also Inversion der Matrix

• Festlegung geschieht vor der Messung a priori VarianzenVarianz der Gewichtseinheit a prioristochastisches Modell a priori

1 LLQP

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Funktionales Modell (1)

• n Beobachtungen L um u Unbekannte X (Parametervektor) zu bestimmen

• Realisierungen L1, … Ln sind Näherungen des wahren Wertes

• Wir geben Schätzwert für den wahren Wert an:Ausgeglichene Beobachtungen

• Auch Parametervektor hat wahren Wert

L~

vLL ˆ

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Funktionales Modell (2)

• Oft Parameter näherungsweise bekannt: Genäherter Parametervektor X0

• Differenz ausgeglichener – genäherter Parametervektor: gekürzter Parameter-vektor x

• Funktionaler Zusammenhang: r Funktionen 1, … r mit den Parametern L und X

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Beziehungen

00

00

0

0

.

,

,

ˆ,ˆ

~,~ˆ

LLllLL

oXL

wXL

oXL

oXL

xXX

bzw

(ursprüngliches) funktionales Modell

Widerspruchsvektor

genäherter Beobachtungsvektorgekürzter Beobachtungsvektor‚gemessen minus gerechnet‘

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Linearisiertes funktionales Modell

• Funktionen 1, … r von beliebigem Typ

• Annahme: x und v klein gegenüber X0 und L

• Linearisierung über Taylor-Entwicklung nn

n

uu

LLL

LLL

XXX

XXX u

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

,ˆ,ˆ

111

0011

0

1

XLXL

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Jacobi-Matrix

• Modellmatrix (Designmatrix) A

• Matrix B

u

rrr

u

u

XXX

XXX

XXX

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

A

n

rrr

n

n

LLL

LLL

LLL

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

B

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Funktionales Modell

0 wBvAx

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Allgemeine Auflösung (1)

• Extremwertaufgabe mit NebenbedingungenLösung mit Lagrange‘schen Vektoren

• Partielle Ableitungen bilden und gleich Null setzen

wBvAxkPvvxv TTF 2),(

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Allgemeine Auflösung (2)

dF vBkvPvPvv ddd TTT 2

vBkvPvPvv ddd TTTT 2vBkvPvvPv ddd TTT 2

vBkvPv dd TT 22

Ableitung nach v:

Gleich Null setzen: TTTFoBkPv

v

22okBPv T

kBPv TkBPv T1

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Allgemeine Auflösung (3)

Ableitung nach x analog und es ergibt sich:

TTFoAk

x

2

okA T

0 wBvAx kBPv T1

wkBBPAx T1

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Allgemeine Auflösung (4)

• Gemeinsames Gleichungssystem:

• Auflösung durch Inversion:

o

w

x

k

0A

ABBPT

T1

o

w

0A

ABBPx

k11

T

T

Allgemeinfall der AusgleichungsrechnungAusgleichung bedingter Beobachtungen mit Unbekannten

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Hauptprobe

• Annahme war, dass x und v klein gegen-über X0 und L sind

• Annahme muss überprüft werden!• Einsetzen in ursprüngliches (nicht

linearisiertes) Gleichungssystem• Wenn nicht genügend genau erfüllt?

– Näherungswerte nicht gut genug– Funktionales Modell fehlerhaft– Rechenfehler

Iteration

Neu aufstellen

Geprüfte Programme verwenden

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Fehler im funktionalen Modell

• Hauptprobe zeigt Fehler im funktionalen Modell an

• Kandidat für Fehler ist die Funktion, bei der die Hauptprobe nicht aufgeht

• z.B. 3. Gleichung geht nicht auf – möglicherweise 3. Zeile der A-Matrix oder 3. Element des w-Vektors fehlerhaft

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Iterative Ausgleichung

• Ergebnis der Ausgleichung als Näherung für eine neuerliche Ausgleichung verwendet

• L, LL und B bleiben erhalten• A und w werden neu berechnet (hier

kommen die Näherungswerte der Unbekannten vor)

• Iteration so lange, bis Hauptprobe aufgeht• Iteration muss nicht konvergieren!

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Sonderfälle

1. In jeder Gleichung i kommt jeweils nur eine Beobachtung vor: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen

2. Es treten keine unbekannten Parameter auf, die Gleichungen i beschreiben nur den funktionalen Zusammenhang der Beobachtungen: Ausgleichung bedingter Beobachtungen

3. In n Gleichungen tritt jeweils nur eine Beobachtung auf und in den übrigen r-n Gleichungen treten nur Unbekannte auf: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen

Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil

Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen

• Pro Gleichung nur eine Beobachtung

• Gleichungen explizit nach Li auflösbar

• n Messgrößen, r=n Gleichungen, u Unbekannte

• Überschüssige Beobachtungen: nfv=n-u Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz)

XLoLX ˆˆ.ˆˆ bzw

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Art des Problems

Unterscheidung über die Redundanz:

• Redundanz < 0: unterbestimmt, nicht eindeutig lösbar

• Redundanz = 0: Problem eindeutig lösbar

• Redundanz > 0: Ausgleichungsaufgabe

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Funktionales Modell

)ˆ(

)ˆ(

)ˆ(

2

1

X

X

X

vL

n

Taylorentwicklung: B= –IModellmatrix A wie bisher

weiters: wLX )( 000)( LX

wLL 0lw

olIvAx bzw. lAxv

Verbesserungsgleichung

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Gewichtsmatrix

• Anwendung des Varianzfortpflanzungs-gesetzes auf gibt für die Kovarianzmatrix des gekürzten Beobachtungsvektors:

• Die Kofaktormatrix ergibt sich somit zu

• Somit erhalten wir dieselbe Gewichts-matrix P wie bisher.

lLL 0

LLll

LLll QQ

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Lösung

• Das Gleichungssystem vereinfacht sich zu

• Die Auflösung ergibt

• Normalgleichungsmatrix

• Verbesserungen:

• Ausgeglichene Beobachtungen:

o

l

0A

APx

k11

T

PlAPAAx TT 1

PAAN TPlANx T1 Normalgleichung

lIPAANv T1

vLL 0ˆ

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Hauptprobe

• Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell?

• Einsetzen in XL ˆˆ

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Sonderfall: Lineare Verbesserungsgleichungen

• z.B. Koordinatendifferenzen (Nivellement)• Verbesserungsgleichungen sind linear• Keine Linearisierung notwendig• Keine Näherungswerte für die Parameter

notwendig (oft trotzdem aus numerischen Gründen verwendet – kleine Werte in x und l)

• Hauptprobe: Nur aufgestelltes Modell und Rechnung können falsch sein

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Sonderfall: Ausgleichung direkter Beobachtungen

• z.B. Ausgleichung direkt und mehrfach gemes-sener Größen (Strecke)

• A-Matrix ist ein 1-Vektor• Auflösung:

• Gewichtsmatrix Einheitsmatrix: einfaches arithmetisches Mittel

• Gewichtsmatrix Diagonalmatrix: gewogenes arithmetisches Mittel

• Sonst: allgemeines arithmetisches Mittel

Paa

Plax

T

T

1

1

1

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Ausgleichung bedingter Beobachtungen

• Keine unbekannten Parameter• n Beobachtungen sollen so verbessert

werden, dass sie r Bedingungen (sind aufzustellen) erfüllen

• r = n – n0 mit n0 = Anzahl der notwendigen Beobachtungen für eine eindeutige Lösung

• nfb=r Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz)

• Das Problem vereinfacht sich zu oL ˆ

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Funktionales Modell

• Widerspruchsvektor:

• Ableitungen nach X alle Null, somit A-Matrix eine Nullmatrix, also

• Korrelaten:

• Verbesserungen:

• Normalgleichungsmatrix der bedingten Ausgleichung:

wL

owBv wBBPk

11 T

wBBPBPv111 TT

TB BBPN 1

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Hauptprobe

• Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen das ursprüngliche funktionale Modell?

• Einsetzen in oL ˆ

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Ausgleichung vermittelnder Beobacht-ungen mit Bedingungsgleichungen

• Pro Gleichung nur eine Beobachtung

• Zusätzlich Bedingungen zwischen den Unbekannten

• n Beobachtungen, u Unbekannte, r Bedingungen

• nfvb = n – u + nb Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz)

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Lösungsansätze

• Elimination von Unbekannten: r Unbe-kannte werden mit Hilfe der Bedingungen eliminiert

• Strenge Lösung: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen

• Fiktive Beobachtungen: Bedingungen werden als (fiktive) Beobachtungen mit großem Gewicht eingeführt

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Wann Ausgleichungsproblem?

• nfvb = n – u + nb

• Ausgleichungsproblem, wenn nfvb > 0

• Somit: n + nb > u

Die Summe aus Beobachtungen und Bedingungen muss größer als die Anzahl der Unbekannten sein

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Funktionales Modell

• Funktionales Modell der vermittelnden Ausgleichung

• und die Bedingungen

• Getrennte Betrachtung der beiden Teile:

• Beobachtungen

• Bedingungen

• Keine Bedingungen zwischen den Beobachtungen B ist eine Nullmatrix

XL ˆˆ oX ˆb

lxAv 1

owxA 2

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Lösung (1)

• Methode von Langrange:

• Differenziert und gleich Null gesetzt:

• Einsetzen von gibt

wxAkPvv 22 TT

0222 22 wxAkxAkvPv TTT ddd

xAv dd 1oAkPAv 21

TT

owxA 2

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Lösung (2)

• 1. Gleichung:

• Kombiniert mit 2. Gleichung:

oAkPAv 21TT

okAPvA TT21

lxAv 1 oPlAkAxPAA TTT1211

w

PlA

k

x

0A

APAA TTT1

2

21

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Hauptprobe

• Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell?

• Erfüllen die ausgeglichenen Parameter die Bedingungen?

• Einsetzen in XL ˆˆ

oX ˆb

Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil

Ausgleichung bedingter Beobacht-ungen mit Unbekannten

• Entspricht dem Allgemeinfall der Aus-gleichungsrechnung

• n Beobachtungen, n0 Beobachtungen zur eindeutigen Lösung notwendig, u Unbekannte

• Anzahl der aufzustellenden Bedingungen: r = (n – n0) + u = nfa + u

• Lösung: siehe Allgemeinfall

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Stochastisches Modell a posteriori

• a posteriori: nach der Ausgleichung

• Beim stochastischen Modell a priori Ausgangspunkt Kovarianzmatrix, aber schließlich verwendet die Kofaktormatrix

• Kovarianzfortpflanzungsgesetz ange-wendet auf Gleichungssystem f=Fx gibt

Txxff FFΣΣ 2

0

1

20

1

T

xxff FFQQ Kofaktorfortpflanzungsgesetz

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Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (1)

• gekürzter Beobachtungsvektor:

• Ausgeglichene Beobachtungen aus

• Somit gilt:

• Nun können wir l, x, l und v als Funktion von l ausdrücken.

lLL ˆˆ0

PlAANLlIPAANILL TT 10

10

ˆ

PlAANl T1ˆ

l̂

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Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (2)

l

IPAAN

PAAN

PAN

I

lF

v

l

x

l

f

T

T

T

1

1

1

ˆ

Das Kofaktorfortpflanzungsgesetz liefert:

TT

TT

TT

TT

ff

AANP00PAAN

0AANANAAN

0ANNAN

PAANAANANP

Q

1111

111

111

11111

Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale

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Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (3)

llllT

vv

Tll

xx

ll

ˆˆ11

1ˆˆ

1

1

QQAANPQ

AANQ

NQ

PQ

Und weiters:

llLL

xxXX

llLL

ˆˆˆˆ

ˆˆ

QQ

QQ

QQ

Grund: Unterscheiden

sich nur durch konstanteFaktoren

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Probe

• Gewichtsreziprokenprobe nach Ansermet

• Die Summe der Hauptdiagonalglieder der Produktmatrix muss gleich der Anzahl der Unbekannten sein

ull

ˆˆtr QP

ll ˆˆQP

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Kofaktoren a posteriori bei der bedingten Ausgleichung

L

BNBQI

BNBQ

BN

B

I

LF

L

v

k

w

L

f

1

1

1

ˆB

TLL

BT

LL

B

Das Kovarianzfortpflanzungsgesetz liefert:

vvLLvvLL

LLBT

LLBT

LLT

LLvv

LLBBLLB

LLB

vvLLvvBT

LLT

LLLL

ff

QQ000QQ

0BQNBQNBQBQQ

0BQNNIBQN

0BQINBQ

QQQNBQBQQ

Q11

111

1

Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale

Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnde Ausgleichung mit Bed.• Interessante Kofaktormatrizen direkt aus

der invertierten Normalgleichungsmatrix:

• Und weiters:

kkkx

xkxxTT

QQ

QQ

0A

APAA1

2

211

TxxLL

xxXX

11ˆˆ

ˆˆ

AQAQ

QQ

Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der bed. Ausgleichung mit Unbekannten

• Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix:

• Und weiters:

xxxk

kxkkT

QQ

QQ

0A

ABBP11

vvLLLL

kkT

vv

Tww

xxXX

QQQ

BPQBPQ

BBPQ

QQ

ˆˆ

11

1

ˆˆ

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Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (1)

• Im stochastischen Modell 02 herausge-

hoben und die Kofaktormatrix Q erhalten• Somit Übergang auf relative Genauigkeits-

angaben (ausreichend für Gewichtung)• Ausgleichung liefert Kofaktormatrizen

für ausgeglichene Parameter etc.• Gesucht: Kovarianzmatrizen• Multiplikation mit Varianz der Gewichts-

einheit a posteriori

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Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (2)

• Parameter aus den empirischen Beobachtungen bestimmt auch Varianz der Gewichtseinheit a posteriori empirisch bestimmt

• Definition der Varianz: Quadratsumme der Verbesserungen durch Anzahl der Freiheitsgrade

f

T

ns

Pvv20

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Varianzen, Kovarianzen und Standardabweichungen

• Aus Kofaktormatrizen durch Multiplikation mit der Varianz der Gewichtseinheit a posteriori

• z.B.

• Varianz einer Funktion

vvvv

LLLL

XXXX

s

s

s

QC

QC

QC

20

ˆˆ20ˆˆ

ˆˆ20ˆˆ

TXX

TXXff s FFQFFCC ˆˆ

20ˆˆ

Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil

Zusammenfassung

• Lösung überbestimmter Probleme durch Einführen einer Bedingung: vTvmin

• Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung• Sonderfälle bedingte/vermittelnde

Ausgleichung– vermittelnd: einfach zu automatisieren, oft

aufwändige Rechnung– bedingt: schwer aufzustellen, einfach zu

rechnen