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TECHNISCHE MECHANIK 9(1988)Heft4
Manuskripteingang: 14.05.1988
Berechnung der Gelenkreaktionen bei einer Roboterstruktur
mit 3 Drehgelenken nach der synthetischen Methode
Klaus Zimmermann
0. Einleitung
Bei der Entwicklung neuer leistungsfähiger Industrie-
roboter spielt die rechnerunterstützte Untersuchung des
dynamischen Verhaltens des Roboters schon in der Kon—
struktionsphase eine wichtige Rolle. Stand der Technik
sind CAD-Systeme zum Aufstellen und Integrieren der
Modellgleichungen l1] bis [3]. Das mechanische System
Industrieroboter wird dabei als ein holonomes Starr-
körpersystem mit kinematischer Baumstruktur betrach-
tet. In der Theoretischen Mechanik sind eine Vielzahl
von Möglichkeiten zur Beschreibung derartiger Mehrkör—
persysteme entwickelt worden. Ihre Einordnung nach
synthetischer Methode (Anwendung von Impuls- und
Drallsatz auf jeden freigeschnittenen Teilkörper — New-
ton-/Euler—Gleichungen) und analytischer Methode (Auf-
stellen der Bewegungsgleichungen aus Prinzipien der
Mechanik) ist möglich. In der Literatur wird u. a. die
Anwendung folgender Verfahren demonstriert:
Newton-Euler—Gleichungen [4] l5], Lagrange-Gleichun-
gen 2. Art [6] [7], Gauß’sehes Prinzip [8], Gibbs—Appell-
Gleichungen [9], D’Alemhert’sches Prinzip [10], Verfah—
ren von Kane [11].
Diese in der Mehrzahl analytischen Verfahren besitzen
Vorteile beim expliziten Erstellen der Bewegungsglei—
chungen.
Im Zusammenhang mit konstruktiven Problemen am Ro-
boter sowie der Dimensionierung der Antriebe sind Aus-
sagen über die in den Gelenken auftretenden Belastungen
wichtig. Für die Lösung dieser Aufgabe, d. h. die Berech-
nung der an jedem Teilkörper wirkenden Schnittkräfte
und -momente werden die Newton-Euler—Gleichungen
vorteilhaft angewendet.
l. Modellbildung
Für den Industrieroboter SKR 30 (Bild 1) wird ein me-
chanisches Modell in Form eines holonomen Starrkör—
persystems mit kinematischer Baumstruktur (offene
kinematische Kette) gewählt. Die Berechnung der
Schnittreaktionen erfolgt auf der Grundlage dieses Mo-
dells nach Newton/Euler. Die Struktur des SKR 30 wird
als System von 4 starren Körpern modelliert (Bild
ln jedem Körper wird ein körperfestes kartesisches Ko—
ordinatensystem im Schwerpunkt fixiert.
Die verallgemeinerten Koordinaten werden definiert als
q1 — Drehwinkel der Schulter Q)
q2 V Drehwinkel des Oberarms (2)
q3 — Drehwinkeldes Unterarms
300
Bild l
Struktur des Industrieroboter SKR 30
Bild 2
Mechanisches Modell des Roboters SKR 30
Praktisch sinnvoll sind bei der Modellerstellung in Übers
einstimmung mit der Spezifik in der Bauweise des SKR
30 folgende Festlegungen:
1. Die Schwerpunkte der Glieder liegen auf der Stab-
achse
2. Achsversätze (Exzentrizitäten) werden berücksichtigt
3. Deviationsmomente werden vernachlässigt
Zur Gewinnung der Schnittreaktionen mit Impuls— und
Drallsatz ist die Anwendung des Schnittprinzips not-
wendig (Bild 3). Dabei wird jeder Teilkörper (Schul—
f I; ' m1
4% f2 f
' o
5:
Bild 3
Darstellung der freigeschnittenen Teilsysteme mit den Schnitt-
reaktionen
ter ® ‚ Oberarm ® , Unterarm ® , Last 6..) frei-
geschnitten und an die Schnittufer werden die jeweiligen
Schnittreaktionen ä” , aka? angetragen.
2. Berechnung der Schnittreaktionen
Die Schnittreaktionen {4 und 2:2 lassen sich rekursiv aus
dem lmpulssatz
m/io?"23”_2f“k k k k_1 ’ ’fi‘g 14(3) (k=4;3,2,1) (1)
bzw. aus dem Drallsatz
“Fl
oi5(wi€.+wi3xf .):33Z_ 333+axav+ßx(_ a”)
kkk’kkk’kk~—1kkkk—1
(k=4,3,2,1) (2)
bestimmen.
Zur Ermittlung der Koordinaten SI bzw. Mi der Schnitt-
reaktionen werden die Gleichungen (1) uknd (2) auf die
körperfesten Koordinatensysteme mit der Nummer k-l
projiziert. Dabei wird der aus der Kinematik folgende
~ Zusammenhang zwischen den Systemen (S,{ i) und
„ „ k(käl , benotigt.
- j
f i — “EU k—l j (3)
Die relativen Drehmatrizen k E 1 haben folgendes Aus-
sehen 9
1,0 —
— — sinq1
eosq1 sinq1 0 cosq2 0 sinq2
— —sinql eosq1 0 2E1 = 0 1 0
L 0 0 1 L— sinq2 0 cosq2 (4)
’‚—— cosq3 O — sinq3
3E2 = 0 l O
a L sinq3 0 cosq3
Für die Bestimmung der Beschleunigungen’ltg’in (l) ist
darüber hinaus auch die Kenntnis der absoluten Dreh-
matrizen und ihrer Ableitungen nötig.
eosq1 cosq2 sinq1 eosq2 sinq2
E = — sinq1 cosq1 0
2
— cosq1 sinq2 —— sinq1 sinq2 cosq2 (5)
—cosqlcos(q2+q3) —sinqlvos(q2+q3) -sin(q2+q3)
lcosq 0
cosq1 sin(q2+q3) sinql sin(q2+q3) — cos(q2 +q3)
2.1. Ermittlung der Schnittkräfte (Gelenkkräfte)
k = 4: Der Beschleunigungsvektor für die Last ® lautet
" _ .. s) — r. (I) n v) 1
f “ 2f“ “0) - (121‘231l +13§1(l)“(i) ) (6)
Aus (1) folgt für k = 4
l _ . „ _ .
ä ä?- -2‘gä3<3)‘ €i*eäd"ä3<i>l {i <7)
bzw.
*‘i : _ i _ i .:
ä 21€ 53(3) E335) (1 L273) (8)
Dabei bedeuten g -— Erdbeschleunigung, li - Gliedlänge
und mi die Massen der jeweiligen Teilkörper bzw. der
Last (i = 4). Die MatrizenkE li sind orthonormiert,
9 9
es gilt daher für ihre Elemente der Zusammenhang
E .(i) :
k,0J ,Eka (9)
k = 3: Die Beschleunigung des Oberarmschwerpunktes lau-
tet:
gh gimum = (12531“) + 53 gamma) (10)
Unter Verwendung des Kroneekersymbols lauten die
Schnittkräfte
i Z - i _
g $521 ‘ä‘(gö<3> +35 ”23m (11)
1) Summafionsvereinbarung: Über gleichlautende Indizes, die
genau einmal oben und einmal unten auftreten, wird von
1 bis 3 summiert.
301
“Ei
k i 2: Bei der Bestimmung der Beschleunigung des Schwer-
punktes 52 ist die Exzentrizität \' zu berücksichtigen
'7" " ‘) „ . ' (i) . ' ("l -
i? “m “ ("2 251 - ‘ 2‘32 1 Wm l”)
Analog zum .\usdruck (l l) erhält man
Si 533i? (Dia) ‘i .
1 2 213.11 Wgöm ”im (H)
k l. Mit dem Btjrhleunigungsvektor jldthm :
= — S1 1132“ u (i) ergeben sieh die Gelenkkräfte
S“) zu
O
(i) + i)
0 1 H Tlgöm >16) (H;
2.2. Ermittlung der Schnitlmomente (Celenkmomenre)
Bei der Bererhnung der Sehnittmomente wird der Drall-
saw. (2) angewendet. Die auf der linken Seite der Glei-
("hung erscheinenden Vektoren der momentanen Win-__>
kelgeschwindigkeit (1:) wurden vorher ermittelt.
. —> . ‚ .s .
ql {i’m „„qzqi gl _qz g2 + (.mq2q1 {3
r)
(15)—
Anmutqu €1~<q2+¢3>€2 +ms<q2+q3>ql E33
Bei bekannter kinematik und auf der Bash der nach
Punkt 2.1 gewonnenen Schnittkräfte lassen sieh auch
die Gelenkmomente rekursiv bereehnen.
Auf Grund der Modellwahl —A l’unktmasse — für die Last
bzw. der Nullelemente in den Drehmatrizenklli 1erge-
ben sich in den Bes[immungsgleichungen für die lit/1‘ ge—
wi>w Vereinfavhungen.
Die Schnittmomente lauten:
In gil+m <2; ll‘ _M <2g- 3\21 M22 3.2 .mq (l3 „9:3 .Inq
e 311(_.%‚1.4.‚„.|3 wig] (qä +q3)>inq3) (1m
W rohq'l nglil (glläinqö +953(q24q3)(.„sq3>
>:; ('(l>q3 .3; ~-
„onw ‚an. .21.“ (“L (922a)2:4 :al (l l H 3 3
ä (T3553 (+33 hanZ . (13l
\I 3 ~:{ t'thtlil g \ ' ‘3 (‘():~({:‘
(Ä)l l t Lg)k 4m"; ’3“)! ((12 t #500.413)
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(|7)(l) \ ) I3 ~- wz .1‘3 ~in2
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ms1sinq2 + mqu +(12 7.?) .292 «rosq2
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N
f2 cosq2 —(h —-Vi) Tl
1 1((é'ol sinq2 + 9231 cosq2)
wo
lv®
:33 (($23 «'osq2 77 (3)3 ('12 sinqz)
l
W” : M1 v,qu —M2>|nq1 --»(b—s1)>'3 cmql
0 l 1 l
1—1152 ‘ >1"! S l11 mq l Loq 10 co q ( )
1W) _ l\l’ll .4an +i\1/l2eo>ql —(b sinql
+ bis” msql 41:132 sinql ~51§(3)sinql
wß) 3 N113 . “den? +5] 812)”in1
— >1 ‚2(1) ('osql — (‚1123
3. Programmtechnische Realisierung
Die Formeln (6) bis (l8) sind Wesentlicher Bestandteil
eines Rerhnerprogramnb zur numerisrhen Ermittlung
der Sehnittreaktionen. Das Programm ist modular aufge-
baut und be>itzl die im Bild l dargelegte Struktur.
{Initialisierung
Menüsteue rung
EINGRBE
Geometrie Kinenntik
BEN? gung
BERECH
NUNGEH
Schnittkräfu Schniunoneme
RUSGRBE
Tabelle Grafik
Bild lt
Struktur des Programms .‚SKR"
l m div lu'rerhneten Sehnittgrößen mehrfach amwerten
zu können. werden die Werte auf Dateien ausgelagert.
Erltiaprerhend den praktieehen Erfordernissen kann die
Bwtimmung der Reaktionen bei Vorgabe diskreter Wer-
te für die qa. da und q3 (a > l. 12.3) erfolgen. Es lht aber
auvh möglii-h. die Funktionen ([3 stetig in einem Inter—
mll [0. 'l‘l \0rzugehen‚ lm Programm ist dabei eine
Spline-Approximation implementiert. Die in der kubi-
schen Spline-Funktion
(21(6) 3 30 ‘1' 311+ 321:21‘ £1363
4 freien Parameter ai werden aus den folgenden Gleichun-
gen ermittelt
0(0) i 0. (1(T)=q..-
Für die Koordinaten. Geschwindigkeiten und Beschleunt
gungen folgen daraus die Beziehungen
(1(0) 0, q('1') : l).
. _ t 2 ‚ t.3.- 3 __ _ g _
qm 2 6——qT*<—12—<%>2> (I0)
. z (4..“ „‚ t
qm ÖT—g 1-0017
4. Beispiel
1m Bild 5 wird die Eingabe für eine Schnittreaktiomlie—
reehnung bei Vorgabe einer Bewegungr nach Spline-Funk—
tionen gezeigt. Die -\nzahl der Stiitzstellen N gibt den
Faktor der lntervallteilung [0. T] an. Als Beispiel fiir eine
Hallen Sie diskrete lkrte vorgeben ? (J/ll) -——>ll
Es wird eine Beuegung nach Spline- Funktionen PEaliSlef‘t „I
Das Beuegmgsgesetz lautet : qlt): a0 + al*t i a2*t’*2 6 a3*t'*3
q(0):1] ; qP(0):0 ; q(T):qE rqPi’ii-i
Bitte geben Sie die Endlagen ein (in Grad) l
Endlage der Schulter qlE 360
Endlage des Oberariis qZE 45
Endlage des Unterarms q3E 135
Beuegungszeit 1E 4
Anzahl der Stuetzstellen N 18_
Bild 5
Eingabe für ein Berechnungslieispiel
tabellarische Ausgabe werden die Seliniltmomente lie-
züglii‘h der 33 Drehacbsen 0:3. €42 und gz angege—
ben (Bild (i). Das Grafikprogramm lit‘al die Daten an» den
sequentiellen Dateien (Zeit/Verallgemeinerte Koordinate
und Si'hnittreaktion) ein. Anschließend erfolgt eine [Nor-
mierung auf die Bild>i'hirmgröße. sowie die Berei'hnung
der Achsbezeiehnungen. Während im Bild 7 die Abhän-t
gigkeit einer Schnittkraft von der verallgemeinerten Ko-
ordinate gezeigt ist. wird im Bild 8 al> Beispiel eine
Funktion M (t) grafisch veranschaulicht.
Die Reehenzeiten betragen für das mit einem Turbo Ba—
sic Compiler erstellte Programmfile auf einem 16 bit PC
fiir 10 Stijtzstellen ca. 15 Sekunden. Die Programmlänge
beträgt 21.4 KByte.
' 2111.29
I 1'. I 1103 I 1112 I 1122 I
I 0.00 4.12 88.33 I 47.69 I
I 0.22 -0.22 87.91 I -47 64 I
I 0.44 3.54 65.14 I -48 49 I
I 0.67 I 4.23 43.32 I -51.72 I
I 0.89 41.84 -50.32 I -58 63 I
I 1.11 30.18 44.12 I 43.89 I
I 1.33 -l7 97 "79.7 I 40884 I
I 1.56 49.55 -87.47 I 150.50 I
1 1.78 -97.04 39.33 I -175.92 I
I 2.00 435.90 6.98 I 4.07.01 I
I 2.22 47.12 145.36 I 454.49 I
I 2.44 110.19 315.88 l 24.44 I
I 2.67 180.28 350.00 I 15033 I
I 2.89 128.81 I 300.44 I 17951 I
I 3.11 76.14 245.80 I 179 36 I
I 3.33 80.73 184.22 I 187112 I
I 3.56 106.31 143.64 I 15233 I
I 3.78 I 125.15 I 123.53 I 141.33 I
1 4-00 I 129.61 I 118 84 I 137.36 1
Heiter nit beliebiger Taste l
Bild 6
Ausgabe der Schnittmomente in 'l'abellenform
i 333 ii A Heiter nit beliebiger Taste l
“——Hx
135.95
53.61
48.74
411.08
093.42 IV)
0.00 22.00 244.00 215.00 200.00 30000
Bild 7
Sehnittkrafidarstellung als Funktion der ierallgemeinerten l\o.
ordinate
01112 * A Halter nit beliebiger Taste 1
350.00 '
262.34 .
174.67
87.01
4.1 66
00.33 "-— ‘ i
0.00 0.00 1.60 2.40 3.20 4.00
Bild 8
Darstellung der Funktion M ( t)
3111.3
7. Zusammenfassung
Am Beispiel der Ermittlung der Schnittreaktionen fiir
den Industrieroboter SKB. 30 wird die Anwendung der
synthetischen Methode (Newton-Euler-Gleichungen) de-
monstriert. Für den Freiheitsgrad 3 ist bei den getroffe-
nen Modelleinschränkungen eine explizite Darstellung
der Reaktionen ohne Rechnereinsatz mit vertretbarem
Zeitaufwand möglich. Ein Vergleich mit ausschließlich
reehnerunterstützt gewonnenen Ergebnissen erscheint
sinnvoll und notwendig. Durch den modularen Aufbau
des Programms „SKR” ist es möglich, einzelne Teilpro-
gramme multivalent zu nutzen. Dies gilt für die grafische
Ausgabe und vor allem für den Kinematikteil. Die dort
implementierten Größen, wie z. B. die absoluten und
relativen Drehmatrizen, Winkelgeschwindigkeiten, abge-
leitete kinematische Größen usw., sind auch für andere
Aufgaben der Robotertechnik relevant. Dies gilt u. a.
für die Lösung der direkten Aufgabe der Kinematik.
Durch die Aufstellung dieses kinematischen Modells
fiir einen Manipulator in torusähnlichen Koordinaten
kann bei numerischer Spezifizierung der entsprechen-
den Parameter (Längen, Exzentrizitäten) eine ganze
Klasse von Industrierobotern (Senkrecht-Knickarm-
Roboter) hinsichtlich ihrer Gelenkreaktionen analy—
siert werden.
LITERATUR
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nische Mechanik, 3 (1982) 2, S. 64 — 77.
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Body Systems Based on Gauss Principle. ZAMM 62
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Berlin, Heidelberg, New York, 1982.
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tern nach dem Verfahren von Kane. Robotersysteme l
(1985), S. 211 — 216.
[12] Zimmermann, K.: Zur Stabilität der Bewegung von Indu-
strierobotem als einer speziellen Klasse von Mehrkörper—
systemen. Diss. A, TH Ilmenau, 1985.
304
Liste der verwendeten Formelzeichen
a
I verallgemeinerte Koordinate
— Ortsvektor zum Schwerpunkt des Körpers k
— Masse des Körpers mit der Nummer k
A:k
m
k
a" _ Schnittkraft
k
23:k
— Schnittmoment
zCLk — Vektor
I!“ — Vektor
f i — Einheitsvektor (mitbewegt)
Mm — Einheitsvektor (raumfest)
E?) — Elemente der Drehmatrix
si _ Koordinate der Schnittkraft
Mi n Koordinate des Schnittmomentes
X0) — Koordinate des Schwerpunktes
b -— Exzentrizität (Achsversatz)
v — Exzentrizität (Aehsversatz)
si — Abstand vom Gelenkpunkt zum Schwerpunkt
ZS _ Winkelgeschwindigkeit
(i)5(3) — Kronecker-Symbol
g — Erdbeschleunigung
li — Gliedlängen
91 — Matrix der Massenträgheitsmomente
q* — Endwert einer verallgemeinerten Koordinate
T « — Prozeßzeit