Deckungskapital

Martina Resch

0430238

Definition: Deckungskapital

entspricht der Summe aller im Laufe der Zeit investierten Beiträge abzüglich anfänglicher Abschluss- und Verwaltungskosten, zuzüglich der laufenden Bonusse

ist jenes Kapital, das die Versicherung zur Abdeckung des Risikos benötigt, das sie durch den Versicherungsvertrag eingegangen ist

Betrachtung einer durch Nettoprämien finanzierten Versicherung

Zeitpunkt des Abschlusses: Äquivalenz zwischen Prämien und Leistungen

Späterer Zeitpunkt: keine Äquivalenz zwischen Prämien und Leistungen

Zufallsvariable tL Differenz zwischen dem Barwert der zukünftigen Leistungen und dem Barwert der zukünftigen Prämien

T>t Nettodeckungskapital tV

Erwartungswert von tL

tV = E (tL / T>t )

Pro- & Retrospektive Methode

Prospektive Methode: Differenz zwischen dem Barwert der zugesagten Leistungen des Versicherungsunternehmens einerseits und dem Barwert der vom Versicherungsnehmer zu leistenden Prämien andererseits

Retrospektive Methode: Deckungsrückstellung aufgrund der aufgezinsten Einnahmen (Beiträge) und der rechnungsmäßigen Ausgaben (Kostenzuschläge, Risikobeiträge) wird ermittelt

Beispiele

Gemischte Versicherung (Dauer n; versichertes Kapital 1, zahlbar am

Ende des allfälligen Todesjahres; jährliche Prämien)

mit

|:||:| knkxnxknkxnxk äPAV

0|0 nx

V

…Deckungskapital am Ende des Jahres k einer

gemischten Versicherung …Barwert der Todesfallversicherung …jährliche Prämien …zeitlich befristete Rente

|: knkxA

|nxkV

|:||:| knkxnxknkxnxk äPAV

|nxP

|: knkxä

Entsprechende temporäre Todesfallversicherung

|:1

|1

|:1

| knkxnxknkxnxk äPAV

Rekursive Betrachtungen

Nettodeckungskapital einer allgemeinen Versicherung am Ende des Jahres k

ck+j+1…das im k+j+1-ten Versicherungsjahr versicherte Kapital

vj+1…Diskontierungsfaktor zu einem j+1 Jahre früheren Zeitpunkt

0 0

11

j jkxj

jjkjkxkxj

jjkk pvqpvcV

jpx+k…j-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit eines x+k-Jährigen

qx+k+j…1-jährige Sterbenswahrscheinlichkeit eines x+k+j-Jährigen

k+j…jährliche Prämie

0 0

11

j jkxj

jjkjkxkxj

jjkk pvqpvcV

Beziehung zum Deckungskapital am Ende des Jahres k+h?

Abspalten der ersten h Summanden Substituieren von

neuer Summationsindex: j´=j-h

hkxhjkxhkxj ppp

0 0

11

j jkxj

jjkjkxkxj

jjkk pvqpvcV

Spezialfall h=1:

VvpqpvcpvV hkh

kxhjkx

h

jkxj

jjk

h

jkxj

jjkk

1

0

11

1

0

kxkkxkkk VvpvqcV 11

Zwei Möglichkeiten: Man berechnet 1V, 2V,…wobei 0V=0

bei einer Versicherung mit beschränkter Dauer n kann man n-1V, n-2V,…berechnen, indem man vom bekannten Wert nV ausgeht

Eine etwas andere Interpretation ergibt sich, wenn wir

umschreiben als

kxkkxkkk VvpvqcV 11

kxkkkkk vqVcVvV )( 111

K+1V wird budgetiert

ck+1- k+1V ist der Nettobetrag, der unter Risiko steht; wird als Risikosumme bezeichnet

Prämie kann in zwei Komponenten zerlegt werden

kxkkkkk vqVcVvV )( 111

wobei die so genannte Sparprämie

und die Risikoprämie ist

kxkkkkk vqVcVVv )( 111

rk

skk

VVv kksk 1

kxkkrk vqVc )( 11

Indem wir

mit (1+i)j-k multiplizieren und über k summieren , erhalten wir

dh. das Deckungskapital ist der aufgezinste Wert der Sparprämien der vorangegangenen Versicherungsjahre

VVv kksk 1

sk

j

k

kjj iV

1

0

)1(

Wir schreiben

als

Die Prämie dient zusammen mit dem Zins dazu das Deckungskapital zu erhöhen und einen Betrag in der Höhe der Risikoprämie bereitzustellen

kxkkkkk vqVcVvV )( 111

rkkkkk VVVd )( 11

Die Gleichung

mit (1+i) multipliziert ergibt

kxkkkkk vqVcVvV )( 111

kxkkkkkkk qVcVVVi )()()( 111

Das Überlebensrisiko

Wir schreiben

als

kxkkxkkk VvpvqcV 11

kxkkkkk vpcVvcV )( 111

ck+1 wird budgetiert

K+1V-ck+1 wird im Überlebensfall fällig

k kann aufgefasst werden als Summe einer Sparkomponente und einer Überlebensrisikoprämie

kxkkkkk vpcVvcV )( 111

Sparkomponente:

Überlebensrisikoprämie:

Vvc kk

sk 1

kxkk

rk vpcV )( 11

kxkkkkk vpcVVvc )( 111

Ferner können wir

schreiben als

kxkkkkk vpcVvcV )( 111

rkkkkk Vcdc )( 11

Weitere Bedeutung

Umwandlung der Versicherung in eine prämienfreie Versicherung

im Alter x abgeschlossene lebenslängliche Todesfallversicherung der Höhe 1

jährliche Prämien Deckungskapital als NEP verwenden um eine

Todesfallversicherung in reduzierter Höhe zu finanzieren

kxxkxxk PPAV /1/

unter Namen wie „universal life“ oder „flexible life“ bekannt

Bestimmung zwei der drei folgenden Größen:k die nächste Prämie

ck+1 das im Todesfall versicherte Kapital

k+1V der neue Stand des Sparkontos

gewisse Einschränkungen