Didaktik der Linearen Algebra

Übergangsmatrizen

Referenten: Leif Stuhrmann René Kühne

Übersicht

Problemvorstellung Wiederholung

Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien

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Problemvorstellung Wiederholung

Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien

ProblemDie drei Firmen A, B und C führen einen völlig neuartigen Mikrochip auf dem Markt ein.

Zu Beginn besitzt A 40%, B 20% und C 40% Marktanteil. Während des ersten Jahres verliert A 5% seiner Kunden an B und 10% an C, B gibt 15% seiner Kunden an A und 10% an C ab, und C verliert jeweils 5% seiner Kunden an A und B. Während der folgenden Jahre verändern sich die Marktanteile stets nach demselben Schema.

Problem

A : 40

B : 20

C : 40

Welche Marktanteile besitzen die drei Firmen am Ende des ersten, zweiten und dritten Jahres?

5 % zu B und 10 % zu C5 % zu A und 5 % zu B

15 % zu A und 10 % zu C

Matrizenmultiplikation

Beachte: Stimmen die inneren Zeilen überein, so ist das Produkt definiert. Die äußeren Zahlen geben die Größe des Produktes an.

Problem

A : 38,1

B : 18,3

C : 43,6

Nach einigen Jahren haben sich die Marktanteile eingependelt und verändern sich nicht mehr. Alle drei Unternehmen genießen ihren großen wirtschaftlichen Erfolg. Wie lautet der Name des Marktführers?

A : 39

B : 19

C : 42

1.Jahr 2.Jahr

Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes

System:(1)

Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.

(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:

vvA

Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes

System:(1)

Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.

(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:

vvA

0)(

vAE

Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes

System:(1)

Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.

(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:

vvA

0)(

vAE

Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes

System:(1)

Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.

(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:

vvA

0)(

vAE

0)det( AE

Zahlenbeispiel

Bestimmung der Eigenwerte der Matrix A

211

432

112

A

Problem

A : 38,1

B : 18,3

C : 43,6

Nach einigen Jahren haben sich die Marktanteile eingependelt und verändern sich nicht mehr. Alle drei Unternehmen genießen ihren großen wirtschaftlichen Erfolg. Wie lautet der Name des Marktführers?

A : 39

B : 19

C : 42

1.Jahr 2.Jahr

Lösung mit Derive

AnwendungBei Konzerten sind die Preise in 3 Klassen A, B und C unterteilt. (A ist die teuerste, dann folgt B und C ist schließlich billigste). 70% bleiben am nächsten Wochenende bei ihrer Preisklasse.

Von A aus wechseln 30% zu B und 0% zu C. Von B wechseln 20% zu A und 10% zu C. Von C wechseln wiederum 20% zu B und 10% zu A.

Die Veranstalter wollen auf lange Sicht gleich viele Karten von jeder Preisklasse verkaufen.

Nur die Besucher der Klasse A sollen ihr Übergangsverhalten ändern.

Untersuche, wie sich das Übergangsverhalten derjenigen Mitglieder, die Klasse A gewählt haben, ändern müsste, damit auf lange Sicht je 400 Karten der Klassen A, B und C reserviert werden können.

Lösung Übergangsmatrix:

7,01,00

2,07,03,0

1,02,07,0

A

Lösung Übergangsmatrix:

Lösung von

7,01,00

2,07,03,0

1,02,07,0

A

400

400

400

400

400

400

7,01,0

2,07,0

1,02,0

3

2

1

x

x

x

Lösung Übergangsmatrix:

Lösung von

Lösung:

7,01,00

2,07,03,0

1,02,07,0

A

400

400

400

400

400

400

7,01,0

2,07,0

1,02,0

3

2

1

x

x

x

2,01,07,0 321 xxx

Anwendungsszenarien

Verteilungsprobleme Mischungsprobleme Stochastische Probleme (Korrektheit von

Wettervorhersagen)

Anwendungsszenarien

Verteilungsprobleme Mischungsprobleme Stochastische Probleme (Korrektheit von

Wettervorhersagen)

Anwendungsszenarien

Verteilungsprobleme Mischungsprobleme Stochastische Probleme (Korrektheit von

Wettervorhersagen)

Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!