Diffusion und TransportTransportgleichungen

• für gegebenes Volumen, definiere Flussfunktion durch Oberfläche (Teilchenzahl pro Fläche und Zeit)

• erhalte Teilchenbilanz

dVSAdtN

Quellterm S : Teilchen, die im Plasmavolumen „geboren“ werden z.B. durch Ionisation.

• Teilchenbilanz kann als DGL geschrieben werden:

• Ähnliche Gleichung ergibt sich für Energiebilanz

• Um Transport zu analysieren, machen wir folgenden Ansatz

d.h. Diffusion and Konvektion separiert

vnnD

dVSdVdVtn

Stn

dVSAdtN

Diffusion

• Diffusionskoeffizienten aus „random walk ansatz“:

• Schrittlänge , Schrittdauer : x tMittlere Zeit, um einen Punkt an zu erreichen:

Für gegebene t, x: steigt Einschlusszeit (radius)2

x 22

x

txt

2

2

2exp

xN

x

grün:

rot: Binomialverteilung

Diffusion

• Diffusionskoeffizienten aus „random walk ansatz“:

tx

D

2

2

At

xAn

AtN

2

1

At

xAnn

AtN

)(21

nDt

xxn

tx

n

221 2

• random walk: kein Nettofluss

• mit Dichtegradient: Nettofluss zu kleineren Dichten (Diffusion)

Teilchendiffusion und Beweglichkeit

„random walk“ Ansatz für Diffusionskoeffizienten:

m

kT

s

mD th

2

222 v

x: mittlere freie Weglänget: Zeit zwischen 2 Stößen (inverse Stossfrequenz)

Eqnpxmnxmn Stoß

B e s c h l e u n i g u n g s -t e r m

K r a f t d u r c he l . F e l d

D r u c k -g r a d i e n t

R e i b u n g s -t e r m

Bewegungsgleichung für ein Teilchen im Plasma:

Für stationäres Plasma folgt Teilchenfluss:

Enm

q

m

pxnn

kTm

nn

m

kT

Niedertemperatur-Plasma

Teilchendiffusion und Beweglichkeit

Teilchendiffusion und Beweglichkeit

EnnD nnn

s

m

m

kTD

nn

nn

2

Vs

m

m

q

nn

nn

2

Diffusionskoeffizient Mobilitätskonstante

q

kTD

Diffusionskoeffizient stimmt mit dem aus „random walk“-Ansatz überein!

Ambipolare Diffusion

Gesamtfluss von positiven und negativen Ladungsträgern aus Plasma muss gleich sein (Quasineutralität!)

Erreicht durch E-Feld:

iiiiieeeee nDEnnDEn

n

nDDE

ei

eia

(ne=ni)

Ambipolarer Teilchenfluss:

nDnDD

aei

ieei

ei

ieeia

DDD

Ambipolare Diffusion

Wegen: e >> i ee

iia DDD

und mit q

kTD

i

eia T

TDD 1

In Niedertemperaturplasmen oft Te>> Ti

aii En

nDEn eaee

Elektronen ziehen Ionen hinaus

Ionen halten Elektronen zurück

Ambipolare Diffusion

Der ungestörte Ausfluss von Elektronen ist wesentlich reduziert

Neutralgas-Hintergrund

Eambipolar

a

++

+ +

+

+

KReibung

0 nDEn eaee

Ambipolare Diffusion

0 nDEn eaee

kTeEDEnn

nDEn

aeea

eae

///

kTdxxEe

eeaenn

/)(

0

Elektronendichte ist Boltzmann-Verteilung:

Wärmeleitung

Wärmetransport ähnlich wie Teilchentransport:

m

Ws

smTq nnn

1

s

m

n

2

e

ee

ee

thee n

kTC

2/52v

Wärmeleitungskoeffizient pro Teilchen

Elektronenwärmeleitfähigkeit i. allg. dominierend:

2// ZmmCC ieei

Elektrischer Widerstand von Plasmen

Ohmsches Gesetz:

EjbzwEj .

Resistivität:

Eneevnej ee

En

m

ej e

e

2

stoße

e

en

m

2||

Elektrischer Widerstand von Plasmen

Für ausreichend ionisiertes Plasma: nur Coulomb-Stöße:

mT

Z

T

ZemK

e

e

e

2/3

5

2/320

2/12/1

||

ln1052,0

ln

Te in eV

Für Plasma mit ausschließlich Coulomb-Stößen - elektrischer Widerstand:

• ist unabhängig von Teilchendichte• fällt stark mit der Elektronentemperatur (~Te

3/2)

Für geringen Ionisierungsgrad Stöße mit Neutralteilchen berücksichtigen

)(2lg enei

e

easNeutra en

m

Zusammenfassung: Diffusion und Transport

EnnD nnn

s

m

m

kTD

nn

nn

2

Vs

m

m

q

nn

nn

2

Diffusionskoeffizient Mobilitätskonstante

Aus Ambipolaritäts-Forderung folgt:

ei

ieeia

DDD

Wärmeleitung

Wärmetransport ähnlich wie Teilchentransport:

m

Ws

smTq nnn

1

s

m

n

2

e

ee

ee

thee n

kTC

2/52v

Elektronenwärmeleitfähigkeit i. allg. dominierend:

2// ZmmCC ieei

Elektrischer Widerstand von Plasmen

E

jbzwEj . stoße

e

en

m

2||