Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-1

Exzentrischer Stoß

● Allgemeine Stoßvorgänge zwischen zwei Körpern in der Ebene können mit Hilfe des integrierten Impulssatzes und des integrierten Drallsatzes behandelt werden.

● Während des Stoßes treten kurzzeitig große Kräfte auf, die zu einer Änderung der Geschwindigkeiten führen.

● Bekannt sind die Geschwindigkeiten und Winkelge-schwindigkeiten vor dem Stoß.

● Gesucht sind die Geschwindigkeiten und Winkelge-schwindigkeiten nach dem Stoß.

● Der genaue zeitliche Verlauf der Kraft ist nicht bekannt.

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-2

Exzentrischer Stoß

1. Idealisierungen

2. Definitionen

3. Integrierter Impuls- und Drallsatz

4. Stoß zwischen freien Körpern

5. Stoß auf gelagerten Körper

6. Rauer Stoß

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-3

1. Idealisierungen

● Idealisierungen sind vereinfachende Annahmen, die ge-troffen werden, damit ein Problem rechnerisch untersucht werden kann.

● Bei Stoßvorgängen werden folgende Annahmen getrof-fen:

– Die Stoßdauer tS ist so klein, dass Lageänderungen der

beiden Körper während der Stoßdauer vernachlässigt werden können.

– Die an der Berührstelle der Körper auftretenden Kräfte sind so groß, dass während der Stoßdauer alle anderen Kräfte vernachlässigt werden können.

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-4

1. Idealisierungen

– Die Verformungen der beiden Körper sind so klein, dass die Bewegungsgesetze für starre Körper angewendet werden können.

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-5

2. Definitionen

P

S1

S2

Stoßnormale

Berührungsebene

● Die Berührungsebene liegt tangential zu den beiden Körpern.

● Der Stoßpunkt P liegt in der Berührungsebene.

● Die Stoßnormale geht durch den Stoßpunkt P und steht senkrecht auf der Berührungsebene.

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-6

2. Definitionen

● Gerader Stoß: ● Schiefer Stoß:

P

S1

S2

v1

v2

Stoßnormale

P

S1

S2

v1

v2

Stoßnormale

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-7

2. Definitionen

● Beim geraden Stoß haben die Geschwindigkeiten un-mittelbar vor dem Stoß die Richtung der Stoßnormalen.

● Beim schiefen Stoß stimmen die Richtungen der Ge-schwindigkeiten unmittelbar vor dem Stoß nicht mit der Stoßnormalen überein.

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-8

2. Definitionen

● Zentrischer Stoß: ● Exzentrischer Stoß:

S1

S2

P

Stoßnormale

P

S1

S2

Stoßnormale

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-9

2. Definitionen

● Beim zentrischen Stoß geht die Stoßnormale durch die beiden Schwerpunkte.

● Beim exzentrischen Stoß geht die Stoßnormale nicht durch die beiden Schwerpunkte.

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-10

2. Definitionen

● Glatter Stoß:– Reibungskräfte werden

vernachlässigt.– Die Stoßkräfte wirken in

Richtung der Stoßnorma-len.

● Rauer Stoß:– Reibungskräfte werden

berücksichtigt.– Es wirken auch Kräfte in

der Berührungsebene.

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-11

3. Integrierter Impuls- und Drallsatz

● Integrierter Impulssatz:– Die Bewegung des Schwerpunktes eines starren Körpers

wird durch den Impulssatz beschrieben:

– Integration bezüglich der Zeit liefert:

– Mit dem Kraftstoß

lautet der integrierte Impulssatz:

– Für ebene Probleme folgen daraus die beiden Gleichungen:

m v̇S=F

∫t 1

t 2

m v̇ S dt=∫t 1

t 2

F dt

F=∫t1

t2

F dt

m vS t2−vS t1= F

m vSx t2−vSx t1= F x , m vSyt2−vSy t1= F y

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-12

3. Integrierter Impuls- und Drallsatz

● Integrierter Drallsatz:– Die Drehung eines starren Körpers um seinen Schwerpunkt

wird durch den Drallsatz beschrieben:

– Integration bezüglich der Zeit liefert:

– Für einen Stoß ist die Zeit tS = t

2 – t

1 so klein, dass die

Lageänderung des Körpers während dieser Zeit vernachlässigt werden kann.

L̇S=M S

∫t 1

t 2

L̇S dt=∫t1

t2

M S dt

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-13

3. Integrierter Impuls- und Drallsatz

– Daher gilt:

– Mit

lautet der integrierte Drallsatz:

– Für eine Drehung um die z-Achse folgt daraus:

∫t 1

t 2

M Sdt=∫t 1

t 2

rP×F dt=rP×∫t1

t2

F dt=r P× FS

P

F

rP

∫t 1

t 2

L̇Sdt=LS t2−LS t1=J S t2−t1

J S t2−t1=rP× F

J Sz t 2−t1=x P F y− yP F x

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4. Stoß zwischen freien Körpern

● Aufgabenstellung:– Zwei glatte Körper stoßen aufeinander.

– Bekannt sind die Massen m1 und m

2, die Massenträgheits-

momente JS1

und JS2

, die Schwerpunktsgeschwindigkeiten v

1 und v

2 sowie die Winkelgeschwindigkeiten ω

1 und ω

2 vor

dem Stoß.

– Gesucht sind die Schwerpunktsgeschwindigkeiten V1 und

V2 sowie die Winkelgeschwindigkeiten Ω

1 und Ω

2 nach dem

Stoß.

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-15

4. Stoß zwischen freien Körpern

● Koordinatensystem:– Die x-Achse zeigt entlang

der Stoßnormalen.– Die y-Achse liegt in der

Berührungsebene.

x

y

P

S1

S2

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-16

4. Stoß zwischen freien Körpern

● Aufstellen der Gleichungen:

x

yS1

S2

a1

a2

F(t)

F(t)

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-17

4. Stoß zwischen freien Körpern

– Integrierter Impulssatz für Körper 1:

– Integrierter Drallsatz für Körper 1:

m1 V 1 x−v1 x = − F xm1 V 1 y−v1 y = 0

J S 1 1−1 =a1 F x

– Integrierter Impulssatz für Körper 2:

– Integrierter Drallsatz für Körper 2:

m2 V 2 x−v2 x = F xm2 V 2 y−v2 y = 0

J S 2 2−2 =−a2 F x

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-18

4. Stoß zwischen freien Körpern

– Damit stehen sechs Gleichungen zur Ermittlung der sieben unbekannten Größen V

1x, V

1y, V

2x, V

2y, Ω

1, Ω

2 und zur

Verfügung.– Die fehlende Gleichung folgt aus der Stoßbedingung, die

zwischen den Geschwindigkeiten im Punkt P besteht:

– Dabei ist k die Stoßzahl.– Für die Geschwindigkeiten im Punkt P gelten die

kinematischen Beziehungen

F x

k=−V P1x−V P2x

vP1x−vP2x

vP1x = v1 x−a11

V P1x = V 1 x−a11

vP2x = v2 x−a22

V P2x = V 2 x−a22

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-19

4. Stoß zwischen freien Körpern

● Auflösen der Gleichungen:– Aus dem integrierten Impulssatz in y-Richtung folgt:

– Aus dem integrierten Impulssatz in x-Richtung folgt:

– Aus dem integrierten Drallsatz folgt:

– Damit lassen sich die gesuchten Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten berechnen, wenn der Kraftstoß bekannt ist.

V 1 y=v1 y , V 2 y=v2 y

V 1 x=v1 x−F xm1, V 2 x=v2 x

F xm2

1=1a1 F xJ S 1

, 2=2−a2 F xJ S 2

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-20

4. Stoß zwischen freien Körpern

– Aus der Stoßbedingung folgt:

– Mit den kinematischen Beziehungen ergibt sich:

– Einsetzen der Beziehungen zwischen den Geschwindigkei-ten und dem Kraftstoß führt auf:

k vP1x−vP2x V P1x−V P2x=0

k v1 x−a11−v2 xa22 V 1 x−a11−V 2 xa22=0

V 1 x−V 2 x−a11a22=−k v1 x−v2 x−a11−a22

v1 x−v2 x− F x 1m1

1m2 −a11a22−

F x a12

J S 1a22

J S 2 =−k v1 x−v2 x−a11a22

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-21

4. Stoß zwischen freien Körpern

– Daraus folgt:

● Ergebnis:

1k v1 x−v2 x−a11a22 = F x 1m11m2

a12

J S 1a22

J S 2 F x=1k

v1 x−v2 x−a11a22

1m1

1m2

a12

J S 1a22

J S 2

V 1 x=v1 x−F xm1, V 1 y=v1 y , 1=1

a1 F xJ S 1

V 2 x=v2 xF xm2, V 2 y=v2 y , 2=2−

a2 F xJ S 2

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-22

4. Stoß zwischen freien Körpern

● Beispiel:– Ein Fahrzeug fährt seitlich versetzt auf ein langsameres

Fahrzeug auf.

S2

S1

P

x

y

a1

a2

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-23

4. Stoß zwischen freien Körpern

– Daten für Fahrzeug 1:● Masse m

1 = 2000kg

● Massenträgheits­moment J

S1 = 1500kgm2

● Geschwindigkeit v1 =

180km/h● Winkelgeschwindigkeit

ω1 = 0s-1

● Abstand a1 = 0,5m

– Daten für Fahrzeug 2:● Masse m

2 = 1000kg

● Massenträgheits­moment J

S2 = 500kgm2

● Geschwindigkeit v2 =

140km/h● Winkelgeschwindigkeit

ω2 = 0s-1

● Abstand a2 = -0,3m

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-24

4. Stoß zwischen freien Körpern

● Stoßzahl: k = 0,4– Bemerkung:

● Der Wert des Abstandes a2 ist negativ, da sich der Stoßpunkt

P unterhalb des Schwerpunktes S2 befindet.

– Ergebnisse:● Kraftstoß:

● Geschwindigkeiten:

● Winkelgeschwindigkeiten:

F x=8423,6Ns

V 1=164,84km/h , V 2=170,32km/h

1=2,81 s−1 , 2=5,05s

−1

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-25

5. Stoß auf gelagerten Körper

● Beim Stoß auf einen gelagerten Körper treten auch am Lager Stoßkräfte auf.

● Die Stoßkräfte am Lager haben die gleiche Größenord-nung wie die Stoßkräfte am Stoßpunkt.

● Alle anderen Kräfte können gegenüber den Stoßkräften vernachlässigt werden.

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5. Stoß auf gelagerten Körper

● Aufgabenstellung:– Auf einen gelenkig gelagerten Körper wirkt ein Stoß.– Der gestoßene Körper ist vor dem Stoß in Ruhe.– Bekannt ist der Kraftstoß , die Masse m und das Massen-

trägheitsmoment JA des gestoßenen Körpers.

– Gesucht sind die Lagerkräfte während des Stoßes und die Winkelgeschwindigkeit des Körpers nach dem Stoß.

F

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-27

5. Stoß auf gelagerten Körper

● Koordinatensystem:– Die x-Achse wird so ge-

wählt, dass sie in Rich-tung des Kraftstoßes zeigt.

S

A

F(t)

x

y

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-28

5. Stoß auf gelagerten Körper

● Aufstellen der Gleichungen:

d

b

S

A

F(t)

x

y

c

Ax(t)

Ay(t)

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-29

5. Stoß auf gelagerten Körper

– Integrierter Impulssatz:

– Integrierter Drallsatz bezüglich des ortsfesten Punktes A:

– Kinematik:– Damit lassen sich die Lagerkräfte aus dem integrierten

Impulssatz berechnen:

mV x=F− Ax

mV y=−A y

J A z=b F =b FJ A z

V x=c , V y=−d

Ax= F−mV x=F−mc

A y=−mV y=md

Ax= F 1−mcbJ A z

A y= FmdbJ A z

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-30

5. Stoß auf gelagerten Körper

● Stoßmittelpunkt Π:– Der Stoßmittelpunkt ist der Punkt, in dem der Körper ge-

lagert werden muss, damit im Lager keine Kräfte auftreten.– Damit die x-Komponente der Lagerkraft verschwindet, muss

gelten:

– Mit dem Trägheitsradius

folgt:

1−mcbJ A z

=0 c=J A zmb

i A=J A zm

c=i A2

b

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-31

5. Stoß auf gelagerten Körper

– Damit die y-Komponente der Lagerkraft verschwin­det, muss der Abstand d gleich Null sein.

– Der Stoßmittelpunkt liegt auf der zur Stoßkraft senkrechten Geraden durch den Schwerpunkt und hat vom Schwer-punkt den Abstand

c

b

F

S

Π

c=i A2

b

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-32

5. Stoß auf gelagerten Körper

– Bei Körpern, auf die Stöße wirken, wird versucht, den Lagerpunkt in den Stoßmittelpunkt zu legen:

● Hammer● Tennisschläger

– Ein Körper, der nicht gelagert ist, dreht sich unmittelbar nach dem Stoß um den Stoßmittelpunkt. Der Stoßmittel-punkt ist der Momentanpol der freien Bewegung unmittelbar nach dem Stoß.

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-33

5. Stoß auf gelagerten Körper

● Beispiel:– In welcher Höhe h muss eine homogene Billardkugel hori-

zontal angestoßen werden, damit sie auf glatter Ebene nach dem Stoß rollt?

h

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-34

5. Stoß auf gelagerten Körper

– Freigeschnittene Billardkugel:

– Da die Ebene glatt ist, muss die Horizontalkraft verschwinden.

h r

S

Ay

A

x

y

F

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-35

5. Stoß auf gelagerten Körper

– Die Horizontalkraft verschwindet, wenn Punkt A der Stoßmittelpunkt ist.

– Dann muss gelten:

– Massenträgheitsmoment bezüglich Punkt A:

– Ergebnis:

r=J A zmh

h=J A zmr

J A z=J S zmr2=25mr2mr 2=

75mr2

h=75r

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-36

6. Rauer Stoß

● Beim Stoß zwischen rauen Körpern wird angenommen, dass die Körper während des Stoßes aneinander haften.

● Die Geschwindigkeitskomponenten am Berührungspunkt P in der Berührungsebene sind während des Stoßes und damit auch unmittelbar nach dem Stoß gleich:

V P1y=V P2y

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-37

6. Rauer Stoß

● Aufgabenstellung:– Eine homogene Kugel stößt schief gegen eine raue Wand.

– Bekannt ist die Masse m, das Massenträgheitsmoment JS

sowie die Schwerpunktsgeschwindigkeit v und die Win-kelgeschwindigkeit ω vor dem Stoß.

– Gesucht ist die Schwerpunktsgeschwindigkeit V und die Winkelgeschwindigkeit Ω nach dem Stoß.

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-38

6. Rauer Stoß

● Koordinatensystem:– Die x-Achse steht

senkrecht auf der Wand.– Die y-Achse ist parallel

zur Wand.v

ω

x

y

P

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-39

6. Rauer Stoß

● Aufstellen der Gleichungen:– Integrierter Impulssatz:

– Integrierter Drallsatz bezüglich des Schwerpunkts:

– Stoßbedingung:

– Haftbedingung:

PS

r

x

y Fx

Fy

m V x−vx =− F xm V y−v y =− F y

J S −=−r F y

k=−V Px

vPx=−

V x

vx V x=−k vx

V Py=0 V yr=0 V y=−r

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-40

6. Rauer Stoß

– Aus dem integrierten Impulssatz in y-Richtung folgt:

– Damit folgt aus dem integrierten Drallsatz:

– Mit folgt:

F y=−m V y−v y =m rv y

J S − =−r m rv y

J Smr2 =J S−mr v y

=J S−mr v yJ Smr

2

J S=25mr2

=

25mr2−mr v y

25mr2mr2

=27−

57

v yr

Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-41

6. Rauer Stoß

● Ergebnis:

– Fall 1:

● Die Kugel prallt nach unten zurück und behält dabei ihre Drehrichtung bei.

– Fall 2:

● Die Kugel prallt nach oben zurück und ändert dabei ihre Drehrichtung.

=27−

57v yr, V x=−k vx , V y=

57v y−

27r

52v yr

V y0, 0

52v yr

V y0, 0