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Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik 2 7.2-1

2. Anfangswertprobleme 2. Ordnung

2.1 Grundlagen

2.2 Mathematisches Pendel

2.3 Selbstzentrierung


2.1 Grundlagen

● Für ein Anfangswertproblem 2. Ordnung müssen folgende Daten gegeben sein:– Eine Differentialgleichung 2. Ordnung:

– Die Anfangsbedingungen:

– Das zu untersuchende Zeitintervall:

x t = f [ x t , x t , t ]

x 0=x0 , x 0= x0

t∈[0, t E ]


2.1 Grundlagen

● Beispiel:– Für das mathematische Pendel lautet die Bewegungsglei-

chung:

– Mit gilt also:

– Um den Winkel φ im Intervall [0, tE ] berechnen zu können,

muss der Winkel φ0 und die Winkelgeschwindigkeit zum

Zeitpunkt t = 0 gegeben sein.

x= f [ x t , x t , t ]= f [t ]=−glsin

=−glsin

0


2.1 Grundlagen

● Rückführung auf ein Anfangswertproblem 1. Ordnung:– Mit den neuen Variablen

geht die Differentialgleichung 2. Ordnung in ein System von 2 Differentialgleichungen 1. Ordnung über:

z1t =x t , z2t = x t

z1 = z2z2 = f [ z1 , z2 , t ]


2.1 Grundlagen

● Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung:– Ein Differentialgleichungssystem 2. Ordnung hat die Form

– Dazu kommen die Anfangsbedingungen

– Für die neuen Variablengilt:

– Das ist ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung der doppelten Dimension.

x t = f [x t , x t , t ]

x 0=x0 , x0= x0

z1t =x t , z2t = x t

z1 = z2z2 = f [ z1 , z2 , t ]



● Gleichungssystem:– Die Bewegungsgleichung lautet

– Neue Variablen:– Zu lösendes Gleichungssystem:

● Anfangsbedingungen:– Die Gleichungen werden gelöst für die Anfangsbe-

dingungen

=−glsin

z1= , z2=

z1 = z2

z2 = −glsin z1

z10=0 und z20=0=0



● Daten:– Pendellänge: l = 1m– Anfangswinkel:

● Lösungsverfahren:– Das Gleichungssystem wird mit dem vierstufigen Runge-

Kutta-Verfahren gelöst.

0=30 ° , 0=90 ° und 0=150°

# Funktion

global c = g / l;

function y = f(x, t) global c; y(1) = x(2); y(2) = - c * sin(x(1)); end



# Startwerte

phi0 = 150; z(1, 1) = phi0 * pi / 180; z(1, 2) = 0;

# Runge-Kutta-Verfahren

for i = 1 : n k1 = f(z(i, :), t(i)); k2 = f(z(i, :) + k1 * dt / 2, t(i) + dt / 2); k3 = f(z(i, :) + k2 * dt / 2, t(i) + dt / 2); k4 = f(z(i, :) + k3 * dt, t(i) + dt); k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6; z(i + 1, :) = z(i, :) + k * dt; end

● Ergebnisse:– Die Diagramme auf den folgenden Seiten zeigen den

Winkel als Funktion der Zeit sowie das Phasendiagramm.



– Winkel :t



– Phasendiagramm :



● Aufgabenstellung:– Der Anfahrvorgang für den Schleudergang einer Waschma-

schine soll untersucht werden.

z

y

c/4

c/4

c/4

c/4

m

O O S

ex

y

Ω



● Mitrotierendes Koordina-tensystem:– Der Ursprung B liegt auf

der z-Achse des ortsfes-ten Koordinatensystems, um die sich die Trommel dreht.

– Am Mittelpunkt M greifen die Lagerkräfte an.

B = O

M SrBM

rBS

u

v

ξ

η

e

Ω



● Bewegungsgleichung:– Der zeitliche Verlauf der Drehzahl Ω(t) ist vorgegeben.– Im mitrotierenden Bezugssystem lautet die Bewegungsglei-

chung:

– Für die Relativbeschleunigung gilt:– Damit die Trommel die statische Gleichgewichtslage er-

reicht, muss Dämpfung berücksichtigt werden.– Die resultierende äußere Kraft enthält also neben der Fe-

derkraft zusätzlich eine Dämpferkraft:

mar=FF fFc

ar=u bv b

F=FFFD



– Für die Federkraft gilt:

– Die Dämpfungskräfte in den Dämpferelementen hängen von der Absolutgeschwindigkeit des Mittelpunkts ab, an dem die Lagerkräfte angreifen.

– Für die Absolutgeschwindigkeit gilt:– Mit

und dem Ortsvektor des Mittelpunkts

folgt:

FF=−c u bv b

vMa=vMr×r BMvMr=u bv b , =b

rBM=u bv b

vMa=u bv bb×u bv b = u−v b vu b



– Damit gilt für die Dämpfungskraft:

– Da die Winkelgeschwindigkeit der Trommel nicht konstant ist, enthält die Führungskraft neben der Zentrifugalkraft noch den Beitrag der Winkelbeschleunigung:

– Mit und folgt:

FD=−d u−v b−d vu b

F f=−m×rBS−m××rBS

= b

F f=m [v b−eu b ]m2[ eu bv b ]

=m [v2eu ]b−m [ eu −

2 v ] b

=ddt



– Für die Corioliskraft gilt:

– Damit lauten die Bewegungsgleichungen:

– Mit und folgt schließlich:

F c=−2m× vSB

=2m v b−u b

mu = −cu−d u−v m [v2eu ]2m v

m v = −c v−d vu −m [ eu −2 v ]−2mu

c /m=c2 d /m=2

u = 2−c

2 u2 v−2 u2 v2e

v = −2 u2−c

2 v−2u−2 v−e



– Mit

gilt:

– Dazu kommen die Anfangsbedingungen:

z10=z20=0, z30=z40=0

z1=u , z2=v , z3=u , z4=v

[z1z2z3z4]=[

0 0 1 00 0 0 1

2−c

2 2 −2 2

−2− 2−c

2−2 −2

][z1z2z3z4][

00

2e

− e]



● Daten:– Die Trommel wird bis zum Erreichen der Nenndrehzahl N

mit der konstanten Winkelbeschleunigung α = 15s-2 beschleunigt.

– Nenndrehzahl: N = 1600min-1

– Winkelgeschwindigkeit bei Nenndrehzahl:

– Zeit bis Erreichen der Nenndrehzahl:

N=

30N=167,6 s−1

t N=N

=11,17 s



– Zeitlicher Verlauf der Winkelgeschwindigkeit:

=cD=1,5 s−1

– Kritische Winkelge-schwindigkeit: Ω

c = 30s-1

– Exzentrizität: e = 0,005m– Lehrsches Dämpfungs-

maß: D = 5%– Abklingkonstante:



● Lösungsverfahren:– Das Gleichungssystem wird mit dem vierstufigen Runge-

Kutta-Verfahren gelöst.● Ergebnisse:

– Die Diagramme auf den folgenden Seiten zeigen die Ver-schiebungen als Funktion der Zeit sowie die Bahn, die der Mittelpunkt der Trommel beschreibt.

– Es ist deutlich zu sehen, wie der Mittelpunkt in die Ruhe-lage wandert.

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