Numerische Verfahren zur Lösung der Monge-Ampère-Gleichung ... · Methode Einführung...

NumerischeVerfahren für

MA

Wiederholung

ErweiterteLagrange-MethodeEinführung

Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme

Finite-Elemete-Verfahren

NumerischeExperimente

Numerische Verfahren zur Lösung derMonge-Ampère-Gleichung, Teil II

Andreas Platen

Institut für Geometrie und Praktische MathematikRWTH Aachen

Seminar zur Approximationstheorieim Wintersemester 2009/2010

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MA

Wiederholung


Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Gliederung

1 Wiederholung

2 Erweiterte Lagrange-MethodeEinführungSattelpunktproblemLösungsverfahrenTeilproblemeFinite-Elemete-Verfahren

3 Numerische Experimente

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MA

Wiederholung


Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Monge-Ampère-Gleichung

Sei stets Ω ⊂ R2 ein Gebiet mit Rand ∂Ω.

Dirichlet-Problem der Monge-Ampère-Gleichung im Zweidimensionalen:

det D2u = uxx uyy − u2xy = f in Ω,u = v auf ∂Ω.

(MA)

Dabei seien

D2u die Hessematrix von u : Ω→ R und

v ∈ C0(∂Ω) undf = f (x , y) > 0 gegebene Funktionen.

Letzte Woche: Eindeutigkeit / Lösung u konvex

Heute: nicht!

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MA

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Verfahren von Benamou, Froese und Oberman

Finite-Differenzen-Verfahren (M1)

Finde Fixpunkt von

u(τi , µj ) =12

(a1 + a2)− 12

√(a1 − a2)2 +

14

(a3 − a4)2 + h4f (τi , µj ).

für alle (τi , µj ) ∈ Ω und u(τi , µj ) = v(τi , µj ) für alle (τi , µj ) ∈ ∂Ω.

Iteratives Lösen von Poisson-Gleichungen (M2)

Löse für n = 0, 1, 2, ... die Poisson-Gleichung

∆un+1 =√

(unxx )2 + (un

yy )2 + 2(unxy )2 + 2f

mit Dirichlet-Randbedingung und Startwert u0.

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Wiederholung


Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Strafterm-Methode

Minimiere J(x)mit g(x) = 0

(MP) ←→

Zum Parameter r>0 minimiereLr (x) := J(x) + r

2 g2(x)

Lösung x ?←→ Lösung xr

Lösung x r→∞←− Lösung xr

Es gilt:

limr→∞

Lr (xr ) = limr→∞

[J(xr ) + r

2 g2(xr )]≤ J(x) + lim

r→∞r2 g2(x)︸︷︷︸

=0

<∞

limr→∞

g2(xr ) = 0, da sonst

limr→∞

r2 g2(xr ) =∞ und damit

limr→∞

J(xr ) + r2 g2(xr ) =∞.

Falls limr→∞

xr =: x existiert, ist x Lösung von (MP).

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Lagrange-Multiplikator

Seien

J, g ∈ C2(Rn),

x ∈ Rn eine Lösung von (MP) und

∇g(x) 6= 0.

Dann existiert ein Lagrange-Multiplikator λ ∈ R, so dass für

L(x , λ) := J(x) + λg(x)

gilt, dass

∇L(x , λ) = 0.

L wird auch Lagrange-Funktion des Problems (MP) genannt.

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



(Erweiterte) Lagrange-Funktion

Ein Sattelpunkt (nach Ekeland und Temam) einer FunktionL : Rn × Rm → R ist ein Punkt (x , λ) ∈ Rn × Rm mit der Eigenschaft

L(x , λ) ≤ L(x , λ) ≤ L(x , λ) für alle (x , λ) ∈ Rn × Rm.

Sei r > 0 und

L(x , λ) := J(x) + λg(x).

oder

L(x , λ) := J(x) + λg(x) +12

r(g(x))2 =: Lr (x , λ).

Dann gilt:

(x , λ) ∈ Rn × R ist Sattelpunkt von L. ⇒ x ist Lösung von (MP).

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Definitionen wichtiger Mengen

Q := q ∈ (L2(Ω))2×2 : q = (qij )1≤i,j≤2 und q21 = q12,Qf := q ∈ Q : det q = f fast überall in Ω,

Vv := u : Ω→ R : u ∈ H2(Ω) mit u = v auf ∂Ω,

Ef ,v := u ∈ Vv : det D2u = f fast überall in Ω,

Ef ,v := u,q ∈ Vv ×Qf : q = D2u fast überall in Ω

1 Wenn v ∈ H32 (∂Ω) ist, dann ist der Raum Vv 6= ∅.

2 Falls f ∈ L1(Ω), dann ist Qf 6= ∅.3 Existenz einer Lösung vorausgesetzt: Sei stets Ef ,v 6= ∅.

Punkt 1 folgt aus Umkehrung des Spursatzes für Sobolev-Räume.

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Aufstellen eines Variationsproblems

Da keine Eindeutigkeit der Lösung von (MA) verlangt wird, betrachte:

Finde u ∈ Ef ,v ,mit J(u) ≤ J(u)

für alle u ∈ Ef ,v ,

wobeiJ(u) :=

12

∫Ω

|∆u|2 dx =12‖∆u‖2

L2(Ω).

Erster Schritt um die Nebenbedingung det D2u = f zu trennen:

Finde u, q ∈ Ef ,v ,mit j(u, q) ≤ j(u,q)

für alle u,q ∈ Ef ,v ,

wobeij(u,q) := J(u) =

12

∫Ω

|∆u|2 dx .

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Sattelpunktformulierung (MA)

Idee: Nebenbedingung D2u − q = 0 fast überall in Ω „loswerden“.

Sei r > 0 und

Lr (u,q;µ) :=12

∫Ω

|∆u|2 dx +r2

∫Ω

‖D2u − q‖2F dx +

∫Ω

µ : (D2u − q) dx

mit µ : q =∑2

i,j=1 µijqij und Frobeniusnorm ‖D2u‖2F =

∑2i,j=1 |uxi xj |

2.

Sei u, q, µ eine Lösung des folgenden Sattelpunktproblems:

Finde u, q, µ ∈ (Vv ×Qf )×Q,mit Lr (u, q;µ) ≤ Lr (u, q; µ) ≤ Lr (u,q; µ)

für alle u,q,µ ∈ (Vv ×Qf )×Q.

Dann ist u Lösung von (MA).

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Uzawa-Douglas-Rachford-Algorithmus / ALG2

Seien u(n−1) ∈ Vv und µ(n) ∈ Q gegeben.

Löse die beiden Minimierungsprobleme

Finde q(n) ∈ Qf ,

mit Lr (u(n−1),q(n);µ(n)) ≤ Lr (u(n−1),q;µ(n))für alle q ∈ Qf ,

und

Finde u(n) ∈ Vv ,

mit Lr (u(n),q(n);µ(n)) ≤ Lr (u,q(n);µ(n))für alle u ∈ Vv ,

und setze

µ(n+1) := µ(n) + r(D2u(n) − q(n)).

Verwende u(n) und µ(n+1) für die nächste Iteration.

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Konvergenz

Ersetzt man Qf durch eine abgeschlossene, konvexe Menge ∅ 6= K ⊂ Q

Verfahren konvergiert gegen einen Sattelpunkt von Lr , falls einerexistiert (Fortin und Glowinski).

Aber: Qf ⊂ Q ist nicht konvex, da für p,q ∈ Qf mit p 6= q gilt, dass

det(

12

p +12

q)

im Allgemeinen6= 1

2det(p) +

12

det(q) = f .

Dean und Glowinski erwarten bei der Wahl K = Qf dennoch Konvergenz.

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Lösung des ersten Teilproblems

Finde q(n) ∈ Qf ,

mit Lr (u(n−1),q(n);µ(n)) ≤ Lr (u(n−1),q;µ(n))für alle q ∈ Qf ,

arg min(z1,z2,z3)∈R3

z1z2−z23 =f (Pk )

r2

(z21 + z2

2 + 2z23 )− b1z1 − b2z2 − b3z3︸︷︷︸

=:G(z)

Lagrange-Funktion: L(z, λ) := G(z)− λ(z1z2 − z23 − f (Pk ))

∇L(z, λ) =

r z1 − λz2 − b1

r z2 − λz1 − b2

2r z3 + 2λz3 − b3

z1z2 − z23 − f (Pk )

= 0.

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Lösung des zweiten Teilproblems

Finde u(n) ∈ Vv ,

mit Lr (u(n),q(n);µ(n)) ≤ Lr (u,q(n);µ(n))für alle u ∈ Vv ,

⇔Finde u(n) ∈ Vv ,

mit∫

Ω∆u(n)∆ϕ dx + r

∫Ω

D2u(n) : D2ϕ dx = Ln(ϕ)

für alle ϕ ∈ H2(Ω) ∩ H10 (Ω),

(?)

Dean und Glowinski verwenden Algorithmus der konjugiertenGradienten mit Skalarprodukt

(u,w) 7→∫

Ω

∆u∆w

und zugehöriger induzierter Norm. Sie ersetzen zudem

x ←→ u(n)

b ←→ Ln(ϕ)

Ax = b ←→ (?)14 / 27


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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Finite-Elemente-Methode: Grundaspekte

Es sei eine PDE auf einem unendlich-dimensionalen Funktionenraum Vauf dem polygonalen Gebiet Ω ⊂ R2 gegeben.

1 Wähle eine Triangulierung Th := T1,T2, ...,TM von Ω, wobeiTi ⊂ Ω abgeschlossene Teilgebiete undh := max

i∈1,2,...,Mdiam(Ti ) seien.

2 Wähle einen endlich-dimensionalen Finite-Elemente-Raum Vh ⊂ V .

3 Wähle eine Basis von Vh, dessen Elemente einen möglichst kleinenTräger besitzen, um eine Lokalitätseigenschaft zu erhalten.

Ziel: Entwicklung eines diskreten Lösungsverfahrens.

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Zulässige Triangulierung

Sei Ω ⊂ R2 ein Gebiet.

Eine Triangulierung Th = T1, ...,TM von Ω in Dreiecke heißt zulässig,wenn:

1 Ω =⋃M

i=1 Ti ,2 Ti ∩ Tj ist einzelner Punkt P ∈ Ω P ist Eckpunkt von Ti und Tj ,3 Ti ∩ Tj ist mehr als ein Punkt Ti ∩ Tj ist Kante von Ti und Tj .

Abbildung 1: Hängender Knoten, unzulässige Triangulierung

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Uniforme Triangulierung

Sei Ω ⊂ R2 ein Gebiet.

Eine Familie von Zerlegungen Th von Ω heißt uniform, wenn es eineZahl κ > 0 gibt, so dass jedes Element T von Th einen Kreis mit RadiusRT ≥ h

κenthält.

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Wahl der Finite-Elemente-Räume

Sei Th eine zulässige Triangulierung von Ω in Dreiecke und

P1 := P(x , y) = a1x + a2y + a3 : a1, a2, a3 ∈ R.

Die Elemente der Räume L2(Ω), H1(Ω) und H2(Ω) werden durchElemente von

Vh := w ∈ C0(Ω) : w |T ∈ P1 für alle T ∈ Th

approximiert. Da im Algorithmus auch H10 (Ω) gebraucht wird, sei

V0,h := Vh ∩ H10 (Ω) = w ∈ Vh : w |∂Ω ≡ 0.

Elemente in Vh sind Lipschitz-stetig Vh ⊂ H1(Ω) ⊂ L2(Ω).

Jedoch Vh * H2(Ω)

neuen Begriff für zweite Ableitung einführen.

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Definition der zweiten Ableitung

Für u ∈ H2(Ω) und i, j ∈ 1, 2 definiere

Di (u) :=∂u∂xi

und D2ij (u) :=

∂2u∂xi∂xj

,

wobei x1 := x und x2 := y . Die Greensche Formel liefert:∫Ω

D2ij (u)ϕ dx = −

∫Ω

Di (u)Dj (ϕ) dx für alle ϕ ∈ H10 (Ω).

Sei nun u ∈ Vh ⊂ H1(Ω). Definiere diskretes Analogon D2hij von D2

ij , sodass D2

hij (u) ∈ V0,h und∫Ω

D2hij (u)ϕ dx = −

∫Ω

Di (u)Dj (ϕ) dx für alle ϕ ∈ V0,h

gilt. Die Funktionen D2hij (u) sind dadurch eindeutig festgelegt.

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Diskretisierung von (MA)

Sei v stetig und fh ∈ C0(Ω) eine Näherung von f .

Definiere Approximationen der Elemente von Q, Qf und Vv durchElemente von

Qh := q ∈ (V0,h)2×2 : q = (qij )1≤i,j≤2, q21 = q12,Qf ,h := q ∈ Qh : det q(Pk ) = fh(Pk ) für alle k ∈ 1, 2, ...,N0h,Vv,h := u ∈ Vh : u(P) = v(P) für alle P ∈ Σh ∩ ∂Ω.

Es ergibt sich folgende Diskretisierung:

Finde uh ∈ Vv,h,

mit D2h11(uh)(Pk )D2

h22(uh)(Pk )− (D2h12(uh)(Pk ))2 = fh(Pk )

für alle k ∈ 1, 2, ...,N0,h.

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Lösungsverfahren

Teilprobleme



Wahl der Startwerte

Sei stets Ω = (0, 1)× (0, 1).

Benutze Lösung u von

∆u = s√

f in Ω,

u = v auf ∂Ω.

Benamou, Froese und Oberman: s =√

2Dean und Glowinski: s = −1,

r = 1,uniforme Familie vonTriangulierung

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Lösungsverfahren

Teilprobleme



Beispiel 1: klassische und starke Lösung

f (x , y) := (1 + x2 + y2)ex2+y2und v(x , y) := e

12 (x2+y2)

Alle Verfahren konvergieren gegen v .M2 ist schneller als M1.

Abbildung 2: Exakte Lösung

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Beispiel 2: klassische und starke Lösung

f (x , y) :=1√

x2 + y2und v(x , y) :=

2√

23

(x2 + y2)34

Alle Verfahren konvergieren gegen v .M2 ist schneller als M1.

Abbildung 3: Exakte Lösung

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Sattelpunktproblem

Lösungsverfahren

Teilprobleme



Beispiel 3: keine glatte Lösung

f (x , y) := 1 und

v(x , y) := 1 (BFO), M1 schneller als M2

v(x , y) := 0 (DG)

Abbildung 4: Berechnete Lösung und Nullrandwerten von (DG)24 / 27


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Teilprobleme



Beispiel 4: klassische aber keine starke Lösung

f (x , y) :=2

(2− x2 − y2)2 und

v(x , y) := −√

2− x2 − y2 (BFO), Konvergenz, M2 schneller als M1

v(x , y) :=√

2− x2 − y2 (DG), Divergenz für jedes r > 0

Abbildung 5: Lösung mit der zweiten Wahl von v

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Teilprobleme



Vergleich der Methoden

M2 und M3 benötigen stets etwa gleiche Anzahl an Iterationen.

Iterationen von M3 aufwendiger als bei M1 und M2.

M3 divergiert bei Beispiel 4.

M1 und M2 bevorzugen.

M2 bei glatten Lösungen schneller als M1.

M2 bei weniger Regularität langsamer als M1.

M1 nahezu unbeeinflusst von der Regularität.

M2 benutzen, falls bekannt ist, dass eine starke oder klassischeLösung existiert, sonst M1 verwenden.

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Lösungsverfahren

Teilprobleme



Zusammenfassung

Letzte Woche: Finite-Differenzen-Verfahren undLösen von Poisson-Gleichungen von (BFO)

+ leicht zu implementieren+ Konvergenz bei allen Beispielen– keine Konvergenzaussagen

Heute: Erweiterte Lagrange-Methode von (DG)

(MA)←→ Sattelpunktproblem←→ ALG2Diskretisierung mit Finite-Elemente-Methode

– bekanntes Beispiel für Divergenz– keine Konvergenzaussagen, da Qf nicht konvex ist

Fazit: Bei glatten Lösungen M2 benutzen, sonst M1.

Offene Frage: Wie sehen die Konvergenzeigenschaften dieser dreiVerfahren aus?

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