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Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-1

2. Lagrange-Gleichungen

● Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen.

● Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen herleiten, mit denen sich das Auf-stellen der Bewegungsgleichungen weiter vereinfacht.

● Besonders einfach werden die Lagrange-Gleichungen für konservative Systeme. Konservative Systeme sind Sys-teme, bei denen alle eingeprägten Kräfte konservativ sind.


2. Lagrange-Gleichungen

2.1 Lagrange-Gleichungen für allgemeine Systeme

2.2 Lagrange-Gleichungen für konservative Systeme

2.3 Beispiel: Federpendel

2.4 Beispiel: Hallenkran


2.1 Allgemeine Systeme

● Verallgemeinerte Koordinaten:– Bei einem System von n Massenpunkten wird die Lage der

Massenpunkte durch n Ortsvektoren ri beschrieben.

– Wenn das System f Freiheitsgrade hat, dann sind die n Ortsvektoren Funktionen von f unabhängigen verallge-meinerten Koordinaten q

j :

– Für die virtuellen Geschwindigkeiten gelten die linearisierten Beziehungen

r i=r i q1 , , q f , i=1, , n

r i=∂ r i∂q1

q1∂ r i∂q f

q f=∑j

∂ r i∂q j

q j , i=1, ,n



● Virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte:– Für die virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte gilt:

– Die Reihenfolge der Summation darf vertauscht werden:

– Mit den verallgemeinerten Kräften

folgt:

P=∑i

F ie⋅ r i=∑

i

F ie ⋅∑

j

∂ r i∂q j

q j=∑i∑j

F ie ⋅∂ r i∂q j

q j

P=∑j∑i


q j

Q j=∑i


P=∑j

Q j q j



– Beispiel: Pendelx

z

Rφ

mg

r =R sinexcose z

F e =mg e z

∂ r∂

=R cose x−sine z

Q=Fe ⋅∂ r∂

=mg e z⋅R cos e x−sine z =−mg R sin

P=Q=−mg R sin



● Virtuelle Leistung der Trägheitskräfte:– Für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte gilt:

– Wegen

gilt:

PT=−∑i

mi r i⋅ r i=−∑i

mi r i⋅∑j

∂ r i∂q j

q j

=−∑i∑j

mi r i⋅∂ r i∂q j

q j=−∑j∑i


q j

ddt r i⋅

∂ r i∂q j = r i⋅

∂ r i∂q j

r i⋅∂ r i∂q j


=middt r i⋅

∂ r i∂q j −mi r i⋅

∂ r i∂q j



– Aus

folgt:

– Ableiten nach führt auf

– Damit gilt:

r i=r i q1 , , q f , i=1, , n

r i=∂ r i∂q1

q1∂ r i∂q f

q f=∑j

∂ r i∂q j

q j

q j∂ r i∂ q j

=∂ r i∂q j


=middt r i⋅

∂ r i∂q j −mi r i⋅

∂ r i∂q j

=ddt mi r i⋅

∂ r i∂ q j −mi r i⋅

∂ r i∂q j



– Wegen

gilt:

– Für die kinetische Energie eines Massenpunktes gilt:

∂

∂ q jmi r i⋅r i =mi

∂ r i∂ q j

⋅r imi r i⋅∂ r i∂ q j

=2mi r i⋅∂ r i∂ q j

∂

∂q jmi r i⋅r i =mi

∂ r i∂q j

⋅r imi r i⋅∂ r i∂q j

=2mi r i⋅∂ r i∂q j


=ddt [ ∂

∂ q j 12mi r i

2]− ∂

∂q j 12mi r i

2

T i=12mi v i

2=12mi r i

2



– Damit gilt für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte:

– Mit der kinetischen Energie des Gesamtsystems folgt:

PT=−∑j∑i


q j=−∑j∑i ddt

∂T i∂ q j

−∂T i∂q j q j

T=∑i

T i

PT=−∑j [ddt

∂T∂ q j −

∂T∂q j ] q j



● Prinzip der virtuellen Leistung:– Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung

folgt damit:

– Da die virtuellen Geschwindigkeiten unabhängig vonein-ander sind und das Prinzip der virtuellen Leistung für belie-bige virtuelle Geschwindigkeiten gilt, muss jeder Summand für sich verschwinden.

PPT=0

∑j [Q j−

ddt

∂T∂ q j

∂T∂q j ] q j=0



● Ergebnis:– Das Prinzip der virtuellen Leistung muss für beliebige virtu-

elle Geschwindigkeiten gelten.– Da die virtuellen Geschwindigkeiten unabhängig vonein-

ander sind, müssen die folgenden f Gleichungen erfüllt sein:

– Diese Gleichungen werden als Lagrangesche Gleichungen 2. Art bezeichnet.

ddt

∂T∂ q j −

∂T∂q j

=Q j , j=1, , f



● Beispiel: Pendel– Kinetische Energie:

– Mit der verallgemeinerten Koordinate φ gilt:

– Ableitungen der kinetischen Energie:

– Bewegungsgleichung:

T=12m x2z2

x=R cos , z=−R sin T=12m R22

∂T∂

=m R2 ,ddt

∂T∂

=m R2 ,∂T∂

=0

m R2=Q=−mg R sin


2.2 Konservative Systeme

● Konservative Systeme:– Ein System heisst konservativ, wenn alle eingeprägten

Kräfte konservativ sind.– Eine Kraft heißt konservativ, wenn die Arbeit, die sie an

einem Massenpunkt verrichtet, nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt, aber unabhängig von der Bahnkurve ist.

C1

C2

P1

P2

W 12=∫C1

F⋅d r=∫C 2

F⋅d r



– Die Gewichtskraft ist eine konservative Kraft:

– Die Kraft einer linear elastischen Feder ist eine konservative Kraft:

x

y

z

GP

1

P2

C1

C2

W G=−mg z2−z1

F

s1

s2

r

W F=−12c s2

2−s1

2



● Potenzial:– Der Wert des Potenzials einer konservativen Kraft an einem

Ort P ist gleich dem Wert der Arbeit, den die Kraft an einem Massenpunkt verrichtet, wenn er vom Ort P an einen festen Bezugspunkt P

0 verschoben wird:

P0

P

C0

V P =W 0=∫C 0

F⋅d r



– Potenzial der Gewichtskraft:● Wird der Bezugspunkt bei z = 0 gewählt, dann gilt für

das Potenzial der Gewichtskraft in der Nähe der Erdoberfläche:

– Potenzial der Federkraft:● Wird als Bezugspunkt der unverformte Zustand gewählt, dann

gilt für das Potenzial der Federkraft:

V G x , y , z =mg z

V F s=12c s2



● Zusammenhang zwischen Kraft und Potenzial:– Für eine infinitesimale Änderung des Ortes gilt:

– Auf dem Weg vom Punkt mit den Koordinaten (x, y, z) an den Punkt mit den Koordinaten (x+dx, y+dy, z+dz) verrich-tet die Kraft die Arbeit

V xdx , ydy , zdz =V x , y , z dV

=V x , y , z ∂V∂ xdx∂V

∂ ydy∂V

∂ zdz

dV=∂V∂ xdx

∂V∂ ydy

∂V∂ zdz

dW=F⋅d r=F x dxF ydyF z dz



– Aus folgt:

– Die Kraft ist gleich dem negativen Gradienten des Potentials.

– Schwerkraft:

– Federkraft:

dV=−dWF x=−

∂V∂ x

F y=−∂V∂ y

F=−∂V∂ r

F z=−∂V∂ z

V G x , y , z =mg z G z=−∂V G

∂ z=−mg

V F s=12c s2 F s=−

∂V F

∂ s=−c s



● Systeme von Massenpunkten:– Für ein System von Massenpunkten ist die potenzielle

Energie gleich der Summe der potenziellen Energien der Massenpunkte:

– Für die Kraft auf einen Massenpunkt folgt:

– Damit gilt für die verallgemeinerten Kräfte:

V r1 , , r n=∑i

V i r i

F ie =−

∂V i∂ r i

=−∂V∂ r i

Q j=∑i

F ie⋅∂ r i∂q j

=−∑i

∂V∂ r i

⋅∂ r i∂q j

=−∂V∂q j



– Dabei ist

● Lagrangesche Gleichungen für konservative Systeme:– Wenn alle eingeprägten Kräfte konservative Kräfte sind,

lauten die Lagrangeschen Gleichungen:

– Die Funktion

wird als Lagrangesche Funktion bezeichnet.

V q1 , ,q f =V r1q1 , ,q f , , rn q1 , ,q f

ddt

∂T∂ q j −

∂T∂q j

=−∂V∂q j

ddt

∂T∂ q j −

∂

∂q jT−V =0

L=T−V



– Da die potenzielle Energie nicht von den Geschwindigkeiten abhängt, erfüllt die Lagrangesche Funktion die Gleichungen

– Das sind die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art für konser-vative Systeme.

– Zur Ermittlung der Bewegungsgleichungen müssen nur die kinetische und die potenzielle Energie berechnet werden.

– Die Bewegungsgleichungen folgen durch Differenzieren nach den verallgemeinerten Koordinaten.

ddt

∂ L∂ q j −

∂ L∂q j

=0, j=1, , f



● Beispiel: Pendel x

z

Rφx=R sin , z=R cos

V=−mg z=−mg R cos

L=T−V=12m R2 2mg R cos

∂ L∂

=m R2 ,ddt

∂ L∂ =m R2

∂ L∂

=−mg R sin m R2mg R sin=0



● Systeme mit konservativen und dissipativen Kräfte:– Wirken auf ein System konservative und dissipative Kräfte,

dann können die konservativen Kräfte in der Lagrange-Funktion berücksichtigt werden.

– Die Lagrange-Gleichungen enthalten zusätzlich die verall-gemeinerten dissipativen Kräfte:

ddt

∂ L∂ q j −

∂ L∂q j

=Q jd , j=1, , f



● Aufgabenstellung:– Der abgebildete Schwinger besteht aus

einem Massenpunkt der Masse m und einer Feder mit der Federkonstanten c.

– Die augenblickliche Länge der Feder ist R.

– Die Länge der Feder im entspannten Zustand ist R

0.

– Gesucht sind die Bewegungsglei-chungen, wenn vorausgesetzt wird, dass der Schwinger sich nur in der Ebene bewegt.

c

m

P

R



● Verallgemeinerte Koordinaten:– Die Lage des Massenpunktes liegt

eindeutig fest, wenn die aktuelle Länge R der Feder und der Winkel φ gegeben sind.

– Als verallgemeinerte Koordinaten werden gewählt:

m

P

R φ

z

x

q1=RR0, q2=



– Zwischen den verallgemeinerten und den kartesischen Ko-ordinaten besteht der Zusammenhang

– Daraus folgt für die Geschwindigkeit:

x=R sin=R0q1sin q2 , z=R cos=R0q1cosq2

v x= x=R0 q1sinq2q1 q2cosq2

vz= z=R0 q1cosq2−q1 q2sinq2



● Kinetische Energie:– Für die kinetische Energie des Massenpunkts gilt:

T q1 ,q2 , q1 , q2=12m v x

2v z

2

=12mR0

2 [ q1sinq2q1 q2cosq2 2 q1cosq2−q1 q2sinq2

2]

=12mR0

2 q12q1

2 q22



● Potenzielle Energie:– Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der po-

tenziellen Energie der Federkraft und der potenziellen Energie der Gewichtskraft.

– Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Federkraft wird die entspannte Feder gewählt.

– Dann gilt für die potenzielle Energie der Federkraft:

V F q1 , q2=12c R−R0

2=12c R0

2q1−1

2



– Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Ge-wichtskraft wird Punkt P gewählt.

– Dann gilt für die potenzielle Energie der Gewichtskraft:

V G q1 , q2=−mg z=−mg R0q1cosq2



● Lagrange-Funktion:– Für die Lagrange-Funktion gilt:

– Dabei ist

– Die Lagrange-Funktion ist also gegeben durch

Lq1 ,q2 , q1 , q2=T q1 ,q2 , q1 , q2−V q1 ,q2

V q1 ,q2=V F q1 ,q2V G q1 ,q2

L=12mR0

2 q12q1

2 q22 −12c R0

2q1−1

2mg R0q1cosq2



● Ableitungen der Lagrange-Funktion:

∂L∂ q1

=mR02 q1

ddt

∂L∂ q1 =mR0

2 q1

∂ L∂ q2

=m R02q1

2 q2 ddt

∂ L∂ q2 =mR0

2 2q1 q1 q2q12 q2

∂ L∂q1

=mR02q1 q2

2−c R0

2q1−1 mg R0 cosq2

∂ L∂q2

=−mg R0q1sin q2



● Lagrange-Gleichungen:

ddt

∂ L∂ q1 −

∂ L∂q1

=0

m R02 q1−m R0

2q1 q22c R0

2q1−1 −mg R0cosq2=0

ddt

∂ L∂ q2 −

∂ L∂q2

=0

m R02 2q1 q1 q2q1

2 q2 mg R0q1sin q2=0



– Die Bewegungsgleichungen lauten also:

q1−q1 q22cm

q1−1 −gR0cosq2=0

q1 q22 q1 q2gR0sinq2=0

R=R0q1 , =q2



● Spezialfall: Geradlinige Bewegung– Für die Anfangsbedingungen ist

eine Lösung der zweiten Bewegungsgleichung.– Die erste Bewegungsgleichung lautet dann

– Die statische Lösung dieser Gleichung ist

q20=0, q20=0

q2t =0

q1cm

q1−1 −gR0

=0 q1cmq1=

cmgR0

q1s=1mgc R0

R s=R0mgc



– Rs ist die Länge, die die Feder infolge der Gewichtskraft in

der Ruhelage hat.– Mit folgt:

– Daraus folgt:

– Die Variable x misst die Auslenkung gegenüber der sta-tischen Ruhelage.

– Sie erfüllt die Schwingungsgleichung eines Einmassen-schwingers.

q1=q1 sx xcm

q1 sx =cmgR0

xcmx=0



● Grenzfall: Sehr steife Feder– Für folgt aus der ersten Gleichung:

– Damit lautet die zweite Gleichung:

– Das ist die Schwingungsgleichung des mathematischen Pendels.

c /m∞ q11

q2gR0sin q2=0



m2

m1c

H



● Berechnungsmodell:– Der Hallenkran besteht aus einem als starr angenommenen

Träger, auf dem sich die Laufkatze bewegt.

– Die Laufkatze hat eine Gesamtmasse m1.

– Die Elastizität des Antriebs wird durch eine lineare Feder mit der Federkonstanten c abgebildet.

– An der Laufkatze hängt an einem dehnstarren masselosen Seil der Länge H die Traglast der Masse m

2.



– Die Laufkatze läuft auf vier Rädern. – Das Massenträgheitsmoment eines jeden Rades um seine

Achse ist J.– Jedes Rad hat den Radius R.

● Aufgabenstellung:– Es sind die Bewegungsgleichungen aufzustellen für den

Fall, dass der Antrieb ausgeschaltet ist.

RJ



● Wahl der Koordinaten:

m2

m1c

x

z

φ



– Physikalische Koordinaten:● Die Position der Laufkatze wird durch die Koordinate x

1 be-

schrieben, die ab der Ruheposition gemessen wird.● In der Ruheposition ist die Feder entspannt.● Die Stellung der Räder wird durch den Winkel φ beschrieben,

der ab der Stellung der Räder in der Ruheposition gemessen wird.

● Es wird angenommen, dass die Räder rollen. Daher haben alle Räder den gleichen Winkel φ.

● Die Position der Traglast wird durch die Koordinaten x2 und z

2

beschrieben.



– Zwangsbedingungen:● Die Räder der Laufkatze rollen, ohne zu gleiten. Daher gilt:

● Die Länge des Seils ist konstant:

x 1=R =x1R

x2−x 1 2z 2

2=H 2

R

x 1



– Verallgemeinerte Koordinaten:● Das System hat 2 Freiheits-

grade.● Als verallgemeinerte Koordina-

ten werden die Position x1 der

Laufkatze und der Winkel ψ, der die Lage der Traglast beschreibt, gewählt.

– Zusammenhang zwischen den Koordinaten:

x

z

ψ

x1

x 2=x1H sin , z 2=H cos

x2= x1H cos , z2=−H sin



● Kinetische Energie:– Die kinetische Energie setzt sich zusammen aus der trans-

latorischen kinetischen Energie der Laufkatze, der rotato-rischen kinetischen Energie der vier Räder und der kine-tischen Energie der Traglast.

– Translatorische kinetische Energie der Laufkatze:

– Kinetische Energie der vier Räder:

T 1T=12m1 x1

2

T 1 R=4⋅12J 2

=2J

R2x12



– Kinetische Energie der Traglast:

– Gesamte kinetische Energie:

T 2=12m2 x 2

2 z 2

2 =12m2 [ x1H cos

2

2H 2sin2 ]

=12m2 x1

22 x1H cosH 2

2

T=T 1TT 1 RT 2

=[12

m1m2 2J

R2 ] x1212m2 H

222 x1H cos



● Potenzielle Energie:– Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der po-

tenziellen Energie der Federkraft und der potenziellen Energie der Gewichtskraft.

– Die potenzielle Energie der Federkraft wird ab der Ruhe-lage, in der die Feder entspannt ist, gemessen. Dann gilt

– Der Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Ge-wichtskraft wird in den Ursprung des Koordinatensystems gelegt. Dann gilt:

V F=12c x1

2

V G=−m2 g z 2=−m2 g H cos



– Gesamte potenzielle Energie:

● Lagrange-Funktion:

V=V FV G=12c x1

2−m2 g H cos

L=T−V

L=[12

m1m2 2J

R2 ] x1212m2 H

222 x1H cos

−12c x1

2m2 g H cos



– Mit folgt:

– Ableitungen:

m1=m14 J /R2

L=12 m1m2 x1

212m2 H

222 x1H cos

−12c x1

2m2 g H cos

∂ L∂ x1

= m1m2 x1m2H cos

ddt

∂L∂ x1 = m1m2 x1m2H cos−

2sin



∂ L∂

=m2H H x1cos

ddt

∂ L∂ =m2H H x1cos− x1 sin

∂ L∂ x1

=−c x1 ,∂ L∂

=−m2H x1g sin



● Lagrange-Gleichungen:

ddt

∂ L∂ x1 −

∂ L∂ x1

=0

m1m2 x1m2H cos−2sin c x1=0

ddt

∂ L∂1

−∂ L∂

=0

m2H H x1cos− x1sin m2H x1g sin=0



– Die Bewegungsgleichungen lauten also:

H x1cosg sin=0

m1m2 x 1m2H cos−2sin c x1=0



● Grenzfall: Sehr steife Feder– Für folgt aus der ersten Gleichung:


– Das ist die Schwingungsgleichung des mathematischen Pendels.

c∞ x10

gHsin=0



● Linearisierung:– Für kleine Winkel ψ gilt:

– Damit vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen zu

– Dieses System von zwei gekoppelten homogenen linearen Differentialgleichungen beschreibt die freien Schwingungen eines Systems mit zwei Freiheitsgraden.

cos≈1, sin≈ , 2sin≈

2≈0

m1m2 x1 m2H c x1 = 0

x1 H g = 0



– Für den Spezialfall c = 0 folgt aus der ersten Gleichung:


– Wenn die Trägheit der Laufkatze groß gegenüber der Masse der Traglast ist, gilt

– Damit ergibt sich die linearisierte Gleichung für das mathe-matische Pendel:

x1=−m2H

m1m2

gH

m1m2m1

=0

m1m2

m1m2m1

=1m2m1

≈1

gH

=0

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