Post on 06-Apr-2015
Goldener Schnitt
O. Lavrova
Historisches zum Goldenen Schnitt
• Die erste genaue Beschreibung stammt von Euklid (325-270 v. Chr.)
• Im 15. Jh. war als “Göttliche Teilung” genannt
• Die Bezeichung “Goldener Schnitt” wurde erstmals 1835 von Martin Ohm benutzt
Definition
Sei a die Länge der Strecke AB. Ein Punkt S teilt diese im Goldenen Schnitt, falls
sich die größere Teilstrecke M zur kleineren m verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil
Ma
mM
Die Goldene Schnittzahl
Ma
mM :
12
6180339.1251 Irrationale Zahl
Die Goldene Schnittzahl
12
Das Quadrat von hat die gleichen Dezimalen wie die Zahl
Der reziproken Wert hat die gleichen Dezimalen wie die Zahl
/1
Die Goldene Schnittzahl
...11
1
11
11,,
11
11,
11
Unendliche Kettenbruch
Jede reelle Zahl kann als (endlicher oder unendlicher) Kettenbruch geschrieben werden
...]1,1,1,1;1[Kettenbruch erlaubt eine rationale Approximation fur irrationale Zahl zu konstruieren
,58
]1,1,1,1;1[,35
]1,1,1;1[,23
]1,1;1[ lässt sich schlecht durch rationale Zahlen annähern: ist “irrationalste” Zahl
Die Fibonacci-Zahlen
Die Folge mit und
heißt Fibonaccifolge, bennant nach Fibonacci (1170-1240, Pisa), die sind Fibonacci-Zahlen
Feststellung: Die Folge der Quotienten zweier aufeinander folgender Zahlen konvergiert gegen
1,0 10 aa
nnn aaa 12
na
251
lim 1
n
n
n aa
Goldenes Dreieck
Das gleichschenklige Dreieck mit goldenem Seitenverhältnis
Zwei Möglichkeiten:• Ein spitzes Goldenes Dreieck mit dem Basis m• Ein stumpfes Goldenes Dreieck mit dem Basis M
Das regelmäßige Fünfeck
• Zwei sich schneidene Diagonalen teilen sich im Verhältnis des Goldenen Schnittes
• Jede Diagonale und die zu ihr parallele Seite stehen zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnittes
• Die äußeren Zacken des Fünfstern sind Goldene Dreiecke
• Das sich zwischen den Diagonalen bildende kleine Fünfeck ist regelmäßig
Goldener Schnitt in Kunst• “Mona Lisa” von Leonardo da Vinci
Die Goldene Zahlenfole
Fibonacci-Zahlen in Natur• Sonnenblume
Kern spiralförmig angeordnet; jeder Kern gehört zu zwei Spiralen; Anzahl der Kerne in diesen beiden Spiralen sind oft aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen (34 und 55 oder 55 und 89)
• Ananas
zeigt oftmals Fibonacci-Spiralmuster
Fibonacci-Zahlen in Natur