Goldener Schnitt

O. Lavrova

Historisches zum Goldenen Schnitt

• Die erste genaue Beschreibung stammt von Euklid (325-270 v. Chr.)

• Im 15. Jh. war als “Göttliche Teilung” genannt

• Die Bezeichung “Goldener Schnitt” wurde erstmals 1835 von Martin Ohm benutzt

Definition

Sei a die Länge der Strecke AB. Ein Punkt S teilt diese im Goldenen Schnitt, falls

sich die größere Teilstrecke M zur kleineren m verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil

Ma

mM

Die Goldene Schnittzahl

Ma

mM :

12

6180339.1251 Irrationale Zahl

Die Goldene Schnittzahl

12

Das Quadrat von hat die gleichen Dezimalen wie die Zahl

Der reziproken Wert hat die gleichen Dezimalen wie die Zahl

/1

Die Goldene Schnittzahl

...11

1

11

11,,

11

11,

11

Unendliche Kettenbruch

Jede reelle Zahl kann als (endlicher oder unendlicher) Kettenbruch geschrieben werden

...]1,1,1,1;1[Kettenbruch erlaubt eine rationale Approximation fur irrationale Zahl zu konstruieren

,58

]1,1,1,1;1[,35

]1,1,1;1[,23

]1,1;1[ lässt sich schlecht durch rationale Zahlen annähern: ist “irrationalste” Zahl

Die Fibonacci-Zahlen

Die Folge mit und

heißt Fibonaccifolge, bennant nach Fibonacci (1170-1240, Pisa), die sind Fibonacci-Zahlen

Feststellung: Die Folge der Quotienten zweier aufeinander folgender Zahlen konvergiert gegen

1,0 10 aa

nnn aaa 12

na

251

lim 1

n

n

n aa

Goldenes Dreieck

Das gleichschenklige Dreieck mit goldenem Seitenverhältnis

Zwei Möglichkeiten:• Ein spitzes Goldenes Dreieck mit dem Basis m• Ein stumpfes Goldenes Dreieck mit dem Basis M

Das regelmäßige Fünfeck

• Zwei sich schneidene Diagonalen teilen sich im Verhältnis des Goldenen Schnittes

• Jede Diagonale und die zu ihr parallele Seite stehen zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnittes

• Die äußeren Zacken des Fünfstern sind Goldene Dreiecke

• Das sich zwischen den Diagonalen bildende kleine Fünfeck ist regelmäßig

Goldener Schnitt in Kunst• “Mona Lisa” von Leonardo da Vinci

Die Goldene Zahlenfole

Fibonacci-Zahlen in Natur• Sonnenblume

Kern spiralförmig angeordnet; jeder Kern gehört zu zwei Spiralen; Anzahl der Kerne in diesen beiden Spiralen sind oft aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen (34 und 55 oder 55 und 89)

• Ananas

zeigt oftmals Fibonacci-Spiralmuster

Fibonacci-Zahlen in Natur