Grundbegriffe der Schulgeometrie

SS 2008 Teil 3

(M. Hartmann)

Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Analogisieren im Bereich der Inhaltslehre

Analogisieren in der Inhaltslehre

Beispiel 1: Vom Flächeninhalts- zum Volumenbegriff

G 1G 2

G 3

G 4

Begriffliche Grundidee:Auslegen

Begriffliche Grundidee:Auslegen

Abzählverfahrenliefert Formel fürSonderfall

Abzählverfahrenliefert Formel fürSonderfall

Rückführungauf Sonderfalldurch Umbau

Rückführungauf Sonderfalldurch Umbau

Triangulation Triangulation

An

alo

gisie

ren

An

alo

gisie

ren

An

alo

gisie

ren

An

alo

gisie

ren

Analogisieren in der Inhaltslehre: 1. Beispiel vom Flächen- zum Volumenbegriff

Beispiel 2: Die vielfältigen Analogisierungs-möglichkeiten der Tortenstückmethode

½ U

r

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode

Anwendung auf Kreissektorinhalt

½ b

AKreis•Rechteck ? r

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode

Anwendung auf Kreisring

½ U2 + ½ U1

U1 U2

= Um

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode

Anwendung auf Röhre

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode

Anwendung auf Röhre

UMittel

UMittel

h

d

hVRöhre = U Mittel ∙ d∙h

d

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode

Anwendung auf Torus

Querschnittsfläche A

Mittlerer Umfang U

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode

Anwendung auf Torus

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode

Anwendung auf Torus

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode

Querschnittsfläche A

UMittel

UMittel

A

VTorus = A ∙ U Mittel

Tortenstückmethode etwas anders

Umfang

Inhalt=

½ • r

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode

Tortenstückmethode etwas anders

Umfang

Inhalt=

½ • r

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode

Anwendung auf Kugel

Beziehung zwischen Oberfläche und Kugel

Beziehung zwischen Oberfläche und Kugel

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode

Kreisumfang

UKreis

AnalogisierenAnalogisieren

B A

< 4r²2r² < AKreis

< 4d2d <

< 3•AKreis1•AKreis <

= 4 • AKreis

Kreisfläche

Kugeloberfläche

AnalogisierenAnalogisieren

Kugelvolumen

= 3,14 • r² OHalbkugel

< 3•VKegel1•VKegel <

= 4 • VKegel

VHalbkugel

= 3,14 • d

Analogisieren

Grobabschätzungen führen auf Formeln vom Typ:

Inhalt = x • Vergleichsinhalt

Analogisieren in der Inhaltslehre: 3. Beispiel Kreisfläche durch Vergleich

Beispiel 3: Formelbildung für Kreis und Kugel

AnalogisierenAnalogisieren

AnalogisierenAnalogisieren

Analogisieren

Kugelvolumen = 4 • VKegel

= 4 • AKreisKugeloberfläche

Kreisfläche = 3,14 • r²

Kreisumfang = 3,14 • d

Analogisieren in der Inhaltslehre: 3. Beispiel Kreisfläche durch Vergleich

Gute ikonische Repräsentation für den Unterricht

Gute ikonische Repräsentation für den Unterricht

Bedeutung für den Unterricht

• Die Schüler können an Standardinhalten unmittelbar die Schlagkraft einer heuristischen Methode erfahren

• Die hohe Vielfalt der Entdeckungsmöglichkeiten machen das kreative Moment der Mathematik erfahrbar

• Präzises verbales Beschreiben wird geübt• Nachhaltigkeit des Lernens wird verbessert

– Alte Inhalte werden wiederholt, – neue Inhalte besser vernetzt

Analogisieren

• Prinzipiell können jederzeit beliebige (neue) mathematische Begriffe gebildet werden

• Entscheidend für das „Überleben“ eines Begriffs ist aber dessen mathematische Beziehungshaltigkeit!1. Bsp.: Ein Viereck mit drei gleichlangen Seiten heißt „Dreiseitgleich

“.– Solange man keine anderen Eigenschaften des Begriffs findet, die in

Beziehung zueinander stehen, ist das Dreiseitgleich mathematisch langweilig und damit zum Aussterben verurteilt...

2. Bsp.: Ein Viereck, dessen Gegenseiten summengleich sind, heißt „Gegenseitensummerich“.

– Beim „Gegenseitensummerich“ findet man eine zusätzliche interessante Eigenschaft: Dieses Viereck besitzt stets einen Inkreis

– Der „Gegenseitensummerich“ wird also weiterleben (Wenn er dies auch entsprechend seiner Inkreiseigenschaft normalerweise unter dem Decknamen Tangentenviereck tut)

Fachmathematischer AspektWelche Kreationen sind mathematisch wertvoll?