Grundlagen der Probabilistik - · Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der ... Lehre der...

Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe

Grundlagen der Probabilistik

Matthias Voigt

Gliederung

• Einleitung• Theoretische Grundlagen der Stochastik • Probabilistische Methoden • Mögliche Ergebnisse von probabilistischen

Untersuchungen• Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen

Untersuchungen• Zusammenfassung

1. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt

Folie 2

Einleitung

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StochastikLehre der Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

KombinatorikWie viele Möglichkeiten gibt es, Elemente anzuordnen oder aus einer Menge von Elementen zu ziehen?

StatistikAbleiten von Gesetzmäßigkeiten und Strukturen aus Ereignissen

ProbabilistikDefinition von Modellen zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen

Vorhersagen dieser Ereignisse

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Eingangsgrößen:Geometrie Belastung

Materialeigenschaften

Deterministische Untersuchungen

Ergebnisse:Temperatur

Spannungen Lebensdauer

Strukturanalyse

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Probabilistische Untersuchungen

Strukturanalyse

Gliederung

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Zufallsvariablen

Zufallsexperiment

Zufallsvariable

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diskret stetig

Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Gaußverteilung

• auch Normalverteilung genannt

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Lognormalverteilung

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Gleichverteilung

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Dreieckverteilung

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Arithmetischer Mittelwert:

Flächenschwerpunkt der Fläche unter der Dichtefunktion−

Stark abhängig von Ausreißern

Median oder Zentralwert: Stichprobenwert, der genau in der Mitte einer geordneten Stichprobe steht.

Robustes Lagemaß

Modulwert oder Modus: Ausprägung mit der größten Häufigkeit−

Nur eindeutig, wenn die Häufigkeitsverteilung ein eindeutiges Maximum aufweist

Statistische Maße von Stichproben 1

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Standardabweichung:

Variationskoeffizient:

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Skewness (Schiefe): Grad der Asymmetrie einer Verteilung um den Zentralwert

Kurtosis: Grad der Flachheit/Steilheit einer Verteilung

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Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstest

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Der Anderson-Darling-Test ist eine Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstests.Die Abweichungen der Testverteilung von der Zielverteilung werden in den Randbereichen der Verteilungen höher und im Mittelbereich der Verteilung niedriger gewichtet.

Kritische Werte für sind abhängig von der verwendeten Verteilungsfunktion . Tabellierte Werte für für verschiedene Verteilungsfunktionen sind z.B. in [11] veröffentlicht.

Anderson-Darling-Test

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Korrelationen

Korrelationskoeffizient nach Pearson

Wertebereich: [-1,1]

-1 oder 1 starker linearer Zusammenhang≈

0 kein linearer Zusammenhang

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Korrelationen

Folie 19

Rangkorrelationskoeffzient nach Spearman

Wertebereich: [-1,1]≈

-1 oder 1 starker linearer oder monotoner nicht-

linearer Zusammenhang≈

0 kein linearer oder monotoner nicht-

linearer Zusammenhang

Korrelationen

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Korrelationen

Nichtlineare Zusammenhänge?

• Quadratischer Korrelationskoeffizient DYNARDO [9]• Regression • Nichtlineares Korrelationsmaß ProSi • Ant-Hill-Plot

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Konfidenzintervall 1

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Statistische Maße (z.B. Mittelwert, Standardabweichung …) sind Punktschätzungen enthalten keine Aussage über die Güte der Schätzung

Relative Häufigkeit des Ereignisses

Linke Grenze:

Rechte Grenze:

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Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt

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Weicht der Korrelationskoeffizient statistisch signifikant von Null ab, unterscheidet sich seine Verteilung von der Normalverteilung [1].

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(α=0.05)

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(α=0.05)

Problem: Meist werden Systeme untersucht, in denenmehrere Zufallsvariablen Einfluss auf eine Ergebnisgrößehaben.

Die Anzahl der Zufallsvariablen hat Einfluss auf dieIrrtumswahrscheinlichkeit der Konfidenzintervalle.

Lösung:Anpassung der tolerierbaren Irrtumswahrscheinlichkeitmithilfe der Bonferroni-Methode oder Bonferroni-Korrektur:

Die Bonferroni-Methode ist eine grobe Näherung undsehr konservativ.

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Folie 30

(α=0.05)

Gliederung

Folie 31

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Monte-Carlo-Simulation (MCS)

Sampling-Methoden 1

• Simple-Random-Sampling (SRS)•

Realisierungen werden „zufällig“ ermittelt

„Transformation“ der durch die Zufallsgeneratoren ermittelten Gleichverteilungen in andere Verteilungen erfolgt z.B. mittels Inversions- methode oder Annahme- Ablehnungsmethode

„Cluster“-Bildungen der Realisierungen ist möglich

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Sampling-Methoden 2

Latin-Hypercube-Sampling (LHS)

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Sampling-Methoden 3

Descriptive-Sampling (DS)

Folie 35

Sampling-Methoden 3

Vor- und Nachteile der Sampling-Methoden

• Zufallszahlen werden „unsystematisch“ erzeugt• Liefert bei geringen Stichprobenumfang hohe

statistische Unsicherheiten

LHS / DS

• Zufallszahlen werden „systematisch“ erzeugt• Beschreibt die Zufallsvariablen mit wenigen

Realisierungen gut

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Monte-Carlo-Simulation

Folie 37

Monte-Carlo-Simulation

Folie 38

Überleben

Versagen

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Antwortflächenverfahren (RSM)

Überleben

Versagen

Versuchspläne 1

Vollfaktorieller Versuchsplan

Folie 40

[4,5,6]

Versuchspläne 2

Central-Composite-Design

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[4,5,6]

Versuchspläne 3

Box-Behnken-Design

Folie 42

[4,5,6]

Versuchspläne 4

Simplex-Design

Folie 43

[4,5,6]

Folie 44

Versuchspläne 5

* Bei den Variablenanzahlen 3-7 und 9-12 sind die originalen BBD [7] dargestellt die anderen beruhen auf Veröffentlichungen von Mee [8]

Methode der kleinsten Quadrate 1

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Approximationsfunktion mit Polynomen zweiter Ordnung:

Methode der kleinsten Quadrate 2

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[4,5,6]

Bestimmtheitsmaß:

Summe der Abweichungsquadrate:

Totale Summe der Abweichungsquadrate:

Summe der Quadrate der Approximationsfehler:

Analyse des Approximationsergebnisses

Folie 47

[4,5,6]

Analyse des Approximationsergebnisses

Das Bestimmtheitsmaß beschreibt den Anteil der Varianz von , der durch die Eingangsgrößen erklärt wird.

korrigiertes Bestimmtheitsmaß:

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[4,5,6]

Gliederung

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(LHS, DS) (SRS) MCS

Ausfallwahrscheinlichkeit

1. Dresdner Probabilistik-Workshop Folie 50

Importance Sampling, Zuverlässigkeitsverfahren

Notwendige Anzahl der deterministischen Rechnungen:

MCS: SRS LHS, DS

RSM: - Stark abhängig von der Variablenanzahl - Größer bei unbekannter Lage der Versagensfunktion - Betrachtung jeweils nur einer Ergebnisgröße möglich

Importance Sampling: - Größer bei unbekannter Lage der Versagensfunktion - Betrachtung jeweils nur einer Ergebnisgröße möglich

Zuverlässigkeitsverfahren:- Betrachtung jeweils nur einer Ergebnisgröße möglich- Numerische Probleme bei stark nichtlinearen Versagensfunktionen

Ausfallwahrscheinlichkeit

Folie 51

Robustes Design ?

• Ingenieurmäßige (deterministische) Maße:−

Überschreiten von Grenzwerten

Auftreten von unerwünschten plötzlichen Änderungen der Ergebnisgrößen (z.B. lokales Maximum der Ergebnisgröße)

Ansprechen von Systeminstabilitäten (z.B.: Beulen)

• Statistische Maße−

Lage der Mittelwerte der Ergebnisgrößen

Größe der Variationskoeffizienten der Ergebnisgrößen

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Robustes Design ?

Folie 54

Robustes Design ?

Verzweigungssystem

Robustes Design ?

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Verzweigungssystem mit Ausreißern

Robustes Design ?

Notwendige Anzahl der det. Rechnungen bei einer MCS:

Überschreiten von Grenzwerten, Auftreten vonunerwünschten plötzlichen Änderungen der Ergebnisgrößen,Ansprechen von Systeminstabilitäten: −

Abhängig von der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

Lage der Mittelwerte der Ergebnisgrößen: −

30…50

Größe der Variationskoeffizienten der Ergebnisgrößen:−

50…100

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Sensitivitäten

Folie 57

Sensitivitäten

Folie 58

Sensitivitäten

Folie 59

Notwendige Anzahl der det. Rechnungen bei einer MCS:•

Abhängig von der Anzahl der probabilistischen Eingangsgrößen

Abhängig von den Beträgen der zu ermittelnden Korrelationskoeffizienten

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Verbesserung des Systems

Folie 61

Probabilistische Optimierung

Strukturanalyse

Folie 62

Folie 63

Gliederung

• Einleitung• Theoretische Grundlagen der Stochastik• Probabilistische Methoden • Mögliche Ergebnisse von probabilistischen

Folie 64

Einfluss der Eingangsgrößenstreuung

Folie 65

Einfluss der Eingangsgrößenstreuung

Folie 66

Einfluss der Eingangsgrößenkorrelation

Folie 67

Einfluss der Eingangsgrößenkorrelation

Folie 68

Gliederung

• Einleitung• Theoretische Grundlagen der Stochastik• Probabilistische Methoden • Mögliche Ergebnisse von probabilistischen

Folie 69

Folie 70

Probleme Vorteile

• ausreichende Datenbasis für stochastische Variablen

• höherer Ingenieuraufwandparametrische

Modelle be-

züglich

der stochastischen Variablen,Interpretation der Ergebnisse

• hoher Berechnungsaufwanddurch mehrfache Struktur-

analysen

• Versagenswahrscheinlichkeitkeine akkumulierten konservativen Annahmen

• Robustheit des Designs• Sensitivität

bezüglich der

stochastischen Variablen• Kostengünstigeres Design

größere Toleranzen wenn möglich, kleinere Toleranzen

wenn nötig

bei der Anwendung der probabilistischen

Methoden

Zusammenfassung

Grundlagen der Probabilistik

Matthias Voigt

Literatur

1. Dresdner Probabilistik- Workshop

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Literatur

1. Dresdner Probabilistik- Workshop

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Deterministisches Beispiel

Folie 74

Deterministisches Beispiel

Folie 75

Verformungen:

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