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Fuzzy LogikProseminar: The Virtual Laboratory

Manuela Matterne 12.11.03 Fuzzy Logik

Autor: Manuela Matterne

E-Mail: mmatterne@tiscalimail.de

Manuela Matterne 12.11.03 Fuzzy Logik 1

I. Einleitung

II. Fuzzy -Mengen

III. Fuzzy -Logik

IV. Anwendung

V. Perspektiven

„Genauigkeit ist nicht Wahrheit.“ Henri Matisse

Die Luftballon-Aufblasmaschine

I. Einleitung

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fuzzy = flaumig, faserig, fusselig, kraus, struppig,

verschwommen, benommen

Lukasiewicz (1900) • 3-wertige Logik mit einer Wahrscheinlichkeitszahl als 3.

Parameter

Lofti A. Zadeh• Veröffentlichung zu Fuzzy -Sets (1965)

• Einführung einer Zugehörigkeitsfunktion (membership -function) mit Werten zwischen 0 und 1.

• Verbreitung in Asien (Fuzzy entspricht asiatischer Denkweise)

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I. Einleitung

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• ‚scharfe‘ Menge der dicken Bücher

• Fuzzy -Menge der dicken Bücher

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Definition: F ist eine Fuzzy-Menge über XF: X à [0,1]

II. Fuzzy-Mengen

1. Fuzzy -Menge

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µA(x) = 0,7

Beispiele:

•µdick(Romeo & Julia) = 0,1

•µdick(Duden) = 0,8

•µdick(Der Brockhaus) = 1

A = {(x, µA(x)), x ? X}

•A = {(Romeo & Julia; 0,1), (Duden; 0,8), (Der Brockhaus; 1,0)}

II. Fuzzy-Mengen

2. Zugehörigkeitsgrad

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A ?B = {(x; µA? B(x))} ? x ? X

mit µA? B(x) := max{(µA(x); µB(x))} ? x ? X

Beispiel:

X = {R&J, D, BH, CD-B, HdR, }A = {(R&J; 0,1), (BH; 1,0), (D; 0,6), (HdR; 0,8)}B = {(BH; 1,0), (CD-B; 0,6), (D; 0,3), (HdR; 0,7)}

A ? B = {(R&J; 0,1), (D; 0,6), (BH; 1,0), (CD-B; 0,6), (HdR; 0,8)}

II. Fuzzy-Mengen

3. Vereinigung

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A n B = {(x; µAnB(x))} ? x ? X

mit µAnB(x) := min{(µA(x); µB (x))} ? x ? X

Beispiel:

X = {R&J, D, BH, CD-B, HdR, }A = {(R&J; 0,1), (BH; 1,0), (D; 0,6), (HdR; 0,8)}B = {(BH; 1,0), (CD-B; 0,6), (D; 0,3), (HdR; 0,7)}

A n B = {(BH; 1,0), (D; 0,3), (HdR; 0,7)}

Bezüglich Schnittmenge und Vereinigung gilt das Distributivgesetz.

II. Fuzzy-Mengen

4. Schnittmenge

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A = {(x; µA (x))} ? x ? X

mit µA (x) := 1 - µA(x); ? x ? X

Beispiel:

X = {R&J, D, BH, CD-B, HdR, }A = {(R&J; 0,1), (BH; 1,0), (D; 0,6), (HdR; 0,8)}

A = {(R&J; 0,9), (D; 0,4), (CD-B; 1,09), (HdR; 0,2)}

Es gilt das Theorem von deMorgan:

und

II. Fuzzy-Mengen

5. Komplement

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•A+B = {(x; µA+B (x))} ? x ? X

mit µA+B (x) := µA(x) + µB(x) - µA (x)? µB(x)

•A?B = {(x; µA� B (x))} ? x ? X

mit µA? B (x) := µA (x)?µB(x)

•A ? B ? µA(x) = µB(x) ? x ? X

•Distributivgesetz und Implikation gelten nicht.

II. Fuzzy-Mengen

6. Weitere Mengenoperationen

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1. Scharf (Ja/Nein)

2. Fuzzy

3. Ultrafuzzy

II. Fuzzy-Mengen

7. Ultra-Fuzzy

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(1) µA? B (x) = min{µA(x); µB(x)} Minimum Operator

(2) µA? B (x) = µA(x) µB(x) Produkt Operator

(3) µA? B (x) = max{0; µA(x)+µB(x)-1}

(1) µA? B (x) = max{µA(x); µB(x)} Maximum Operator

(2) µA? B (x) = µA(x) +µB (x) - µA(x) µB (x)

(3) µA? B (x) = min{1; µA(x)+µB(x)}

(1) µA (x) := 1 - µA (x);

III. Fuzzy-Logik

1. UND / ODER Operator, Negation

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(1) µA?B (x) = ? [µA(x)?µB(x)] + (1- ?)? [µA(x) +µB(x) -µA(x) µB(x)]

mit ? ? [0;1]

(2) µA ? B (x) = [µA(x)?µB(x)] 1- ?? [1-(1-µA(x)) ?(1 -µB(x) )] ?

mit ? ? [0;1]

UND ODER

? =1 ?=0

?=0 Kompensation ?=1

keine volle

III. Fuzzy-Logik

2. Kompensatorische Operationen

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•Beeinflussung des Wahrheitswertes, keine Änderung

•Verstärkung oder Abschwächung der Elementeigenschaften

•Beispiele: „sehr“ – Quadrieren der Zugehörigkeitsfunktion„mehr oder weniger“ – Quadratwurzel -? -

III. Fuzzy-Logik

3. Modifizierer

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Anwendung in Regelungstechnik (Fuzzy -Control) und Entscheidungsfindungsprozessen (selten)

Beispiele:

•U-Bahn in Sendai/Japan

•Antiblockiersystem

•Aufzug

•Camcorder

•Waschmaschine

•Golfdiagnosesystem

IV. Anwendung

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Fuzzifizierung

•Zuordnen eines scharfen Wertes zu einer unscharfen Menge

Inferenz

•Abarbeitung der Verknüpfungsvorschriften der Variablen

Defuzzifizierung

•Ermittlung des exakten Wertes der Ausgangsvariablen

IV. Anwendung

1. Fuzzy -Control

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• Eingangsgrößen:

Winkel zwischen Plattform und Pendel

Winkelgeschwindigkeit

• Ausgangsgröße:

Verfahrgeschwindigkeit der Plattform

IV. Anwendung

2. Invertiertes Pendel

In Kombination mit Neuronalen Netzen gute Einsatzmöglichkeiten

• Neuro-Fuzzy -Systeme zur Handhabung komplexer Anlagen und Prozesse

• Neuro-Fuzzy -Data-Mining zur Datenanalyse

Reine Fuzzy -Regler sind meist zu aufwendig im Entwurf

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V. Perspektiven

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