Post on 26-Jun-2015
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Analysis I # 1 prufungsrelevant
2.18 Definition: induktive Teilmenge
Analysis I # 2 prufungsrelevant
2.19 Definition der naturlichen Zahlen
Analysis I # 3 prufungsrelevant
2.21 Satz: Prinzip der VollstandigenInduktion
Analysis I # 4 prufungsrelevant
2.28 Definition der rationalen Zahlen
Analysis I # 5 prufungsrelevant
2.29 Satz von Archimedes
Analysis I # 6 prufungsrelevant
2.31 Satz:Dichtheitseigenschaft derrationalen Zahlen
Analysis I # 7 prufungsrelevant
2.37 Existenz von√c
Analysis I # 8 prufungsrelevant
2.38 Existenz von n√c
# 1 Antwort
Eine Teilmenge M von R heißt induktiv, falls
(i) 0 ∈M
(ii) falls x ∈M , so ist auch x+ 1 ∈M
# 2 Antwort
(i) Die Menge N der naturlichen Zahlen ist der Durch-schnitt aller induktiven Teilmengen von R
(ii) Die Menge N der naturlichen Zahlen ist definiert durch:
N := {n ∈ No : n ≥ 1}
(iii) Die Menge Z der ganzen Zahlen ist definiert durch:
Z := {...,−1, 0, 1, ...}
# 3 Antwort
Sei fur jedes n ∈ No eine Aussage (Bn) gegebenund gelte
(i) (Bo) ist wahr
(ii) Falls (Bn) fur ein beliebiges n ∈ No richtig ist, dannist (Bn+1) richtig. Dann ist also (Bn) wahr fur allen ∈ No
# 4 Antwort
Die rationalen Zahlen Q sind definiert durch:Q ={mn , m ∈ Z, n ∈ N}
# 5 Antwort
(i) Zu jedem x ∈ R∃n ∈ N ,sodass n > x.
(ii) Zu jedem x ∈ R∃z ∈ N ,sodass z < x.
(iii) Zu jedem x ∈ R∃n ∈ N , sodass 1n < x.
Ein Korper mit diesen Eigenschaften heißtarchimedischer Korper
# 6 Antwort
Seien x, y ∈ R mit x < y .Dann ∃y ∈ Q mit x < q < y. (“Q liegt dicht in R”)
# 7 Antwort
Fur jedes c ≥ 0, c ∈ R∃x ∈ R : x ≥ 0, sodass x2 = c.Wir schreiben dann x =
√c = c
12
# 8 Antwort
Sei n ∈ N.Dann existiert zu c ≥ 0 genau ein x ∈ R, x > 0,sodass x2 = c.Wir setzen dann x = n
√c = c
1n
Analysis I # 9 prufungsrelevant
2.39 Rechenregeln fur Potenzen mitrationalen Exponenten
Analysis I # 10 prufungsrelevant
2.40 Definition: Binomialkoeffizienten
Analysis I # 11 prufungsrelevant
2.41 Satz uber die Anzahl vonTeilmengen und Anordnungen endlicher
Mengen
Analysis I # 12 prufungsrelevant
2.43 Binomische Formeln
Analysis I # 13 prufungsrelevant
3.1 Definition: Der Absolutbetrag
Analysis I # 14 prufungsrelevant
3.2 Die eigenschaften desAbsolutbetrags
Analysis I # 15 prufungsrelevant
3.4 Definition: Abstand
Analysis I # 16 prufungsrelevant
3.6 Definition Zahlenfolge
# 9 Antwort
Fur x ≥ 0 und p, q ∈ N, setzen wir xpq =
(x
1q
)p
Fur x > 0 setzen wir x−pq = ( 1x)
pq .
Dann gilt ∀r, s ∈ Q:
xr+s = xrxs
xrs = (xr)s
(xy)r = xr + yr
# 10 Antwort
Fur n∈No definieren wir(nk
).
Wir lesen “n uber k”(nk
)= n!
k!(n−k)! = 1..n(1..k)(1..n−k)
Insbesondere(n0
)= 1,
(nn
)= 1,
(nk
)=(
nn−k)
# 11 Antwort
(i) Es gibt 2n Teilmengen von {1, 2, ..., n}Teilmengen sind ungeordnet, d.h. {1, 2} ={2, 1}Ø ist Teilmenge von jeder Menge
(ii) Es gibt n! Anordnungen von {1, 2, ..., n}Anordnungen berucksichtigen die Reihen-folge, d.h. {1, 2} 6= {2, 1}
(iii) Es gibt n!(n−k)! Anordnungen von k Elementen
(iv) Es gibt(nk
)k-element. Teilm. von {1, 2, ..., n}
# 12 Antwort
Fur x, y ∈ R und n ∈ N gilt:
(x+ y)n =n∑
k=0
(nk
)xn−kyk
# 13 Antwort
|x|:=
{x, falls x ≥ 0
−x, falls x < 0
# 14 Antwort
(i) |x| ≥ 0 und |x| = 0 genau dann, wenn x = 0
(ii) |x · y| = |x| · |y|
(iii) |x+ y| ≤ |x|+ |y|
# 15 Antwort
Zu x, y ∈ R heißt |x− y| Abstand von x und y
(i) |x− y| ≥ 0|x− y| = 0⇔ x = y
(ii) Symmetrie: |x− y| = |y − x|
(iii) Dreiecksungleichung: |x+ y| ≤ |x+ z|+ |z− y|
# 16 Antwort
Zahlenfolge (am)m∈Nist Abbildung N→ R, n ∈ N 7→ an ∈ R
Analysis I # 17 prufungsrelevant
3.9 Definition: Konvergenz einer Folge
Analysis I # 18 prufungsrelevant
3.10 Die epsilon-Umgebung
Analysis I # 19 prufungsrelevant
3.11 Definition: Divergente Folge
Analysis I # 20 prufungsrelevant
3.13 Definition: beschrankte Folgen
Analysis I # 21 prufungsrelevant
3.14 Satz: Konvergente Folgen sindbeschrankt
Analysis I # 22 prufungsrelevant
3.16 Grenzwert einer Folge
Analysis I # 23 prufungsrelevant
3.17 Summe und Produkt konvergenterFolgen
Analysis I # 24 prufungsrelevant
3.19 Satz: Quotient konvergenter Folgen
# 17 Antwort
(am)m∈N sei konvergent gegen a ∈ R , falls ∀ε > 0∃N ∈N mit |an − a| < ε∀n ≥ NFalls (am)m∈N konvergent gegen a schreiben wir:
limn→∞
an = a
an −→ a (n→∞)
ann→∞−−−−−→a
# 18 Antwort
Sei ε > 0, a ∈ R(a− ε, a+ ε) = {x ∈ R : a− ε < x < a+ ε}
Dann bedeutet die Konvergenz von (an)n∈N gegen a, dassfur eine beliebige ε−Umgebung von a“fast alle”Folgegliederin der ε−Umgebung liegen (alle bis auf endlich viele)Fur große n liegt an in der ε-Umgebung
a3 a− ε
an : n ≥ N
a a+ ε a1 a2
# 19 Antwort
Eine Folge die nicht konvergiert heißt divergent
# 20 Antwort
Eine Folge (an)n∈N heißt beschrankt, falls ein k > 0 ex-istiert, sodass|an| ≤ k∀n ∈ N
(an)n∈N heißt nach oben beschrankt, falls ein k > 0 ex-istiert, sodassan ≤ k∀n ∈ N
(an)n∈N heißt nach unten beschrankt, falls ein k > 0 ex-istiert, sodassan ≥ −k∀n ∈ N
# 21 Antwort
Jede konvergente Folge ist beschrankt.
# 22 Antwort
Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig.
# 23 Antwort
Seien (an)n∈N, (bn)n∈N konvergente Folgenann→∞−−−−→ a und bnn→∞−−−−→ b
(i) Dann konvergiert (an + bn)n∈N und
an + bnn→∞−−−−−→a+ b
(ii) Weiter konvergiert auch (an · bn)n∈N
und an · bnn→∞−−−−−→a · b
# 24 Antwort
Seien (an)n∈N, (bn)n∈N konvergent,ann→∞−−−−→ a, bnn→∞−−−−→ bund sei b 6= 0 , dann ∃no ∈ N , sodass bn 6= 0∀n ≥ no.
Weiter ist
(anbn
)n∈N,n≥no
und limn→∞
anbn
= ab
Analysis I # 25 prufungsrelevant
3.20 Satz: Großenvergleich konvergenterFolgen
Analysis I # 26 prufungsrelevant
3.22 Definition: Bestimmt divergent
Analysis I # 27 prufungsrelevant
3.24 Satz: Kehrwert bestimmterdivergenter Folgen. Kehrwert von
Nullfolgen
Analysis I # 28 prufungsrelevant
3.25 Definition: Intervalle
Analysis I # 29 prufungsrelevant
3.26 Definition: Intervallschachtelung
Analysis I # 30 prufungsrelevant
3.27 Satz: Intervallschachtelungenerfassen genau einen Punkt
Analysis I # 31 prufungsrelevant
3.30 Darstellung reeller Zahlenbezuglich einer Basis
Analysis I # 32 prufungsrelevant
3.32 Satz zur Intervallschachtelung
# 25 Antwort
Falls an → a (n → ∞) und bn → b (n → ∞) gelteweiter an ≤ bn∀n ∈ N. Dann folgt a ≤ b
# 26 Antwort
Eine Folge (an)n∈N heißt bestimmt divergent gegen +∞, falls zu jedem k > 0 ein N ∈ N exisitert, sodass an ≥k ∀n ≥ N(an) heißt bestimmt divergent gegen −∞ , falls (−an)n∈Nbestimmt divergent gegen +∞ ist.Wir schreiben in diesen Fallen:an → +∞ (n→∞) bzw. an → −∞ (n→∞)
# 27 Antwort
(i) (an)n∈N sei bestimmt divergent gegen +∞ bzw.gegen −∞Dann ∃no ∈ N,sodass an 6= 0∀n ≥ no und(
1an
)n∈N,n≥no
ist Nullfolge.
(ii) Sei (an)n∈N Nullfolge. Falls dann an ≥ 0 und
an 6= 0∀n ∈ N , dann ist
(1an
)n∈N
bestimmt
divergent gegen +∞.
# 28 Antwort
Seien a, b ∈ R, a < b , dann definieren wir folgende In-tervalle: [a, b]
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}(“geschlossen”)(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}(“offen”)[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}(“halboffen”)(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}(“halboffen”)
Sei I eines dieser Intervalle, dann definiere:Intervalllange: | I | := b− aMitte des Intervalls: a+b
2
# 29 Antwort
Eine Intervallschachtelung ist eine Folge (In)n∈NvonIntervallen der Form In = [an, bn], an < bn mit der Eigen-schaftI1 ⊃ I2 ⊃ ... und| I | = bn − an −→ 0 (n→∞)
# 30 Antwort
Sei (In)n∈N Intervallschachtelung , dann existiert genauein x ∈ R, sodass x ∈ In ∀n ∈ N
# 31 Antwort
Sei B ∈ N, B ≥ 2Zu 0 ≤ x < 1 existiert (xi)i∈N mit xi ∈ No, xi ≤ B − 1,sodass ∀n ∈ N gilt:
n∑i=1
xiB−i ≤ x ≤
n∑i=1
xiB−i +B−n
# 32 Antwort
Sei (xi)i∈NFolge mit xi ∈ No, xi ≤ B − 1 und setze
an :=n∑
i=1xiB
−i und bn :=n∑
i=1xiB
−i+B−n. Dann definiert
In := [an, bn]
eine Intervallschachtelung
Analysis I # 33 prufungsrelevant
3.33 Dichtheit der rationalen Zahlen inden reellen Zahlen
Analysis I # 34 prufungsrelevant
3.34 Definition: Teilfolge
Analysis I # 35 prufungsrelevant
3.35 Definition Haufungspunkt
Analysis I # 36 prufungsrelevant
3.36 Proposition: Charakterisierung vonHaufungspunkten
Analysis I # 37 prufungsrelevant
3.37 Satz von Bolzano-Weierstraß
Analysis I # 38 prufungsrelevant
3.38 Definition: (streng) Monotonwachsende, (streng) monoton fallende
Folgen
Analysis I # 39 prufungsrelevant
3.39 Monotone Konvergenz
Analysis I # 40 prufungsrelevant
3.40 Definition:Cauchy-Folgen
# 33 Antwort
Jede reelle Zahl wird durch eine Intervallschachtelungmit rationalen Randpunkten erfasst.Insbesondere: Jede reelle Zahl kann beliebig gut durchrationale Zahlen approximiert werden.
”Q liegt dicht in R”
# 34 Antwort
Eine Folge (a′k)k∈N heißt Teilfolge von (an)n∈N , fallseine Folge (nk)k∈N mit nk ∈ N , sodassn1 < n2 < n3 < ... unda′k = ank
∀k ∈ N
# 35 Antwort
a ∈ R heißt Haufungspunkt einer Folge (an)n∈N , fallseine Teilfolge (a′k)k∈N existiert mita′k −→ a (k →∞)
# 36 Antwort
a ist genau dann Haufungspunkt von (an)n∈R falls gilt:∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ≥ N : |an − a| < ε
# 37 Antwort
Jede beschrankte Folge besitzt einen Haufungspunkt.
# 38 Antwort
(an)n∈N heißt monoton wachsend, fallsa1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ...
(an)n∈N heißt streng monoton wachsend, fallsa1 < a2 < a3 < ...
(an)n∈N heißt monoton fallend, fallsa1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ...
(an)n∈N heißt streng monoton fallend, fallsa1 > a2 > a3 > ...
# 39 Antwort
Sei (an)n∈N monoton steigend, dann konvergiert (an)n∈Ngenau dann, wenn (an)n∈N beschrankt ist.
# 40 Antwort
(an)n∈N heißt Cauchy-Folge, falls:∀ε > 0∃N ∈ N, sodass |an − am| < ε∀n,m ≥ N
Analysis I # 41 prufungsrelevant
3.41 Satz: Eigenschaften vonCauchy-Folgen
Analysis I # 42 prufungsrelevant
3.42 Satz: CauchyKonvergenz-kriterium
Analysis I # 43 prufungsrelevant
3.44 Korollar: In welchemZusammenhang stehen Haufungspunkt
und Beschranktheit einer Folge ?
Analysis I # 44 prufungsrelevant
3.45 Definition: unendliche Reihen
Analysis I # 45 prufungsrelevant
3.46 Definition: Konvergenz von Reihen
Analysis I # 46 prufungsrelevant
3.47 Geometrische Reihe
Analysis I # 47 prufungsrelevant
3.47 Harmonische Reihe
Analysis I # 48 prufungsrelevant
3.48 Satz: Linearkombinationkonvergenter Reihen
# 41 Antwort
Sei (an)n∈N Cauchy-Folge. Dann ist (an)n∈N beschrankt.
# 42 Antwort
Eine Folge (an)n∈N konvergiert genau dann, wenn sieCauchy-Folge ist.
# 43 Antwort
Sei (an)n∈N beschrankt. Dann gilt: (an)n∈N hat genaueinen Haufungspunkt ⇔ (an)n∈N ist konvergent.
# 44 Antwort
Sei (an)n∈N Folge. Betrachte dann die Folge (sn)n∈N der
Partialsummen sn := a1 + ...+ an =n∑
i=1ai.
Wir nennen (sn)n∈N Reihe und wir schreiben dafur:∞∑i=1
ai.
# 45 Antwort
Die Reihe∞∑i=1
aiheißt konvergent, falls (sn)n∈N konver-
gent. Falls dann s = limn→∞
sn, so setzen wir∞∑i=1
ai = s (trotz der Doppeldeutigkeit)
# 46 Antwort
Sei q ∈ R,|q| < 1 und setze ai := qi, i ∈ No. Dann heißt∞∑i=0
qi geometrische Reihe (zu q).
sn =n∑
i=0ai = 1 + q + q2 + ...+ qn
q · sn = q + q2 + ...+ qn + qn+1
Damit (1 − q) · sn = 1 − qn+1, also sn = 1−qn+1
1−q −→1
1−q (n→∞).
Damit∞∑i=0
qi = 11−q
# 47 Antwort
Setze ai = 1i , i ∈ N. Dann heißt
∞∑i=1
1i harmonische
Reihe.(sn)n∈N ist divergent, denn ∀n ∈ N
s2n − sn =1
n+ 1+
1
n+ 2+ ...+
1
2n︸ ︷︷ ︸nSummanden alle≤ 1
2n
Damit: s2n − sn ≥ n2n = 1
2 . Damit ist (sn)n∈N keineCauchy-Folge. Mit Cauchy Konvergenzkriterium 3.42 folgt(sn)n∈N divergent, sogar bestimmt divergent gegen +∞.
Wir sagen dann∞∑i=1
aibestimmt divergent gegen +∞ und
schreiben∞∑i=1
ai = +∞
# 48 Antwort
Sei∞∑i=1
ai und∞∑i=1
bi konvergent, und seien weiter λ, µ ∈
R. Dann ist die Reihe∞∑i=1
(λai + µbi
)konvergent und
∞∑i=1
(λai + µbi
)= λ
∞∑i=1
ai + µ∞∑i=1
bi
Analysis I # 49 prufungsrelevant
3.50 Cauchy Konvergenzkriterium furReihen
Analysis I # 50 prufungsrelevant
3.52 Satz: Leibnitz Konvergenzkriteriumfur alternierende Reihe
Analysis I # 51 prufungsrelevant
3.54 Definition: Absolut konvergenteReihen
Analysis I # 52 prufungsrelevant
3.56 Satz: Majorantenkriterium fur dieabsolute Konvergenz einer Reihe
Analysis I # 53 prufungsrelevant
3.57 Satz: Quotientenkriterium fur dieabsolute Konvergenz einer Reihe
Analysis I # 54 prufungsrelevant
3.59 Satz: Wurzelkriterium fur dieabsolute Konvergrenz einer Reihe
Analysis I # 55 prufungsrelevant
3.61 Satz: Umordnungen einer absolutkonvergenten Reihe sind absolut
konvergent
Analysis I # 56 prufungsrelevant
3.63 Satz: Doppelreihensatz
# 49 Antwort
Eine Reihe∞∑i=0
ai ist genau dann konvergent, wenn gilt:
~ Zu jedem ε > 0 ∃n ∈ N, sodass n,m ∈ N,m > n∣∣∣∣ m∑i=n+1
ai
∣∣∣∣ < ε
# 50 Antwort
Ist (ai)i∈N monoton fallend mit ai → 0 (i −→∞)Dann konvergiert die“alternierende Reihe”a1−a2+a3−
a4 + ...− =∞∑i=1
(−1)i+1ai
Beispiel:Die alternierden harmonische Reihe 1− 1
2 + 13−
14 +...−...
# 51 Antwort
Eine Reihe∞∑i=1
ai heißt absolut konvergent, falls die Reihe
∞∑i=1|ai| konvergiert.
Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe ist konver-gent, aber nicht absolut konvergent.
Eine absolut konvergente Reihe∞∑i=1
ai ist insbesondere
konvergent und∣∣∣∣ ∞∑i=1
ai
∣∣∣∣ ≤ ∞∑i=1|ai|
# 52 Antwort
Sei∞∑i=1
ai eine Reihe und∞∑i=1
ci eine konvergente Reihe
mit |ai| ≤ ci∀i > i0
Dann folgt, dass∞∑i=1
ai absolut konvergent ist.( ∞∑i=1
ci (konvergente) ”Majorante”
)
# 53 Antwort
Sei∞∑i=1
ai mit ai 6= 0 ∀i ∈ N . Es gebe i0 ∈ N und
0 < q < 1 , sodass
∣∣∣∣ai+1
ai
∣∣∣∣ ≤ q ∀i ≥ i0. Dann ist∞∑i=1
ai
absolut konvergent.
# 54 Antwort
Sei∞∑i=1
ai Reihe. Es gebe i ∈ N und 0 < q < 1, sodass i√|ai| ≤
q ∀i ≥ i0 Dann ist∞∑i=1
ai absolut konvergent.
# 55 Antwort
Sei∞∑i=1
ai absolut konvergente Reihe und sei ϕN → N
(d.h. zu jedem j ∈ N existiert ein i = ϕ−1 ∈ N, sodassϕ(i) = j )
Dann ist auch die ungeordnete Reihe∞∑i=1
aϕ(i) = aϕ(1) +
aϕ(2)+...+ absolut konvergent und∞∑i=1
aϕ(i) =∞∑i=1
ai.
# 56 Antwort
Sei aij ∈ R, i, j ∈ N gegeben. Es gebe eine Aufzahlung
(ci)i∈N aller Elemente aij , sodass∞∑i=1
ci abolsut konvergent
ist. Dann gilt:
(i) Die Zeilensummen zi =∑j∈N
aij konvergiert ab-
solut.
(ii) Die Spaltensummen sj =∑i∈N
aij konvergiert
absolut.
(iii) Es gilt∞∑i=1
zi =∞∑j=1
sj =∞∑i=1
ci =∞∑
i,j=1aij
Analysis I # 57 prufungsrelevant
3.65 Satz: Produkt absolut konvergenterReihen
Analysis I # 58 prufungsrelevant
3.66 Satz:Die Exponentialreihe zu x istfur alle x ∈ R absolut konvergent.
Analysis I # 59 prufungsrelevant
3.67 Definition: Zahl e
Analysis I # 60 prufungsrelevant
3.68 Satz: Additionstheorem derExponentialfunktion
Analysis I # 61 prufungsrelevant
3.70 Satz: exp(q · x) = exp(x)q furrationale q
Analysis I # 62 prufungsrelevant
3.71 Dezimaldarstellung durchunendliche ReihePeriodische
Dezimalzahlen
Analysis I # 63 prufungsrelevant
3.72 Proposition: Charakterisierung derUneindeutigkeit der Dezimaldarstellungeiner rellen Zahl als unendliche Reihe
Analysis I # 64 prufungsrelevant
4.1 Definition: Abbildung,Definitionsbereich, Wertebereich
# 57 Antwort
Seien∞∑i=1
bi ,∞∑j=1
cj absolut konvergent. Setze dann di :=
i∑j=1
bjci−j+1 Dann konvergiert∞∑i=1
di absolut und es gilt
S :=∞∑i=1
di =
( ∞∑i=1
bi
)·( ∞∑
j=1cj
)=
∞∑i,j=1
bicj
# 58 Antwort
Fur jedes x ∈ R konvergiert die Exponentialreihe
exp(x) :=
∞∑i=0
1
i!xi
# 59 Antwort
Wir definieren die Eulersche Zahle := exp(1) = 1 + 1 + 1
2 + 16 + ...
Bemerkung:Man erhalt e = limn→∞
(1 + 1
n
)n
# 60 Antwort
∀x, y ∈ R giltexp(x+ y) = exp(x) · exp(y)
Es ist ∀x ∈ R
(i) exp(x) > 0
(ii) exp(−x) = 1exp(x)
# 61 Antwort
∀x ∈ R und ∀y ∈ Q gilt exp(qx) = exp(x)q
Insbesondere exp(q) = eq (setze x = 1)
# 62 Antwort
In 3.30:Zu 0 ≤ x < 1 , existieren (xi)i∈N , xi ∈ {0, ..., 9},so dass ∀n ∈ N
∞∑i=1
xi · 10−i ≤ x <n∑
i=110−i + 10−n
Insbesondere:∞∑i=1
xi10−i = x
Wir schreibenx = 0, x1, x2, x3,...
# 63 Antwort
Seien 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 mit Dezimaldarsellungen
x = x0 +∞∑i=1
xi10−i und y = y0 +∞∑i=1
yi10−i
mit x0, y0 ∈ {0, 1}, xiyi ∈ {0, ..., 9}.
Seien (xi)i∈N0 und (yi)i∈N0unterschiedlich mit i0 = min{i ∈N0, xi 6= yi} und xi0 < yi0Dann x = y genau dann, wenn xi0 = yi0 + 1xi =0 ∀i ≥ i0 + 1yi =9 ∀i ≥ io + 1
# 64 Antwort
Seien M,N Mengen und eine Abbildung f : M → Nordnet jedem Element von M ein Element aus N zu. x ∈M → f(x) ∈ Nf hat Definitionsbereich M und Wertebereich N.
Analysis I # 65 prufungsrelevant
4.2 Definition: Injektive, surjektive,bijektive Abbildung; Umkehrabbildung
einer bijektiven Abbildung
Analysis I # 66 prufungsrelevant
4.3 Definition: Komposition vonAbbildungen
Analysis I # 67 prufungsrelevant
4.4 Definition: Gleichmachtigkeit vonMengen endliche, abzahlbar
(unendliche), hochstens abzahlbare,uberabzahlbare Mengen
Analysis I # 68 prufungsrelevant
4.5 Satz: Teilmengen hochstensabzahlbarer Mengen sind hochstens
abzahlbar. Die Vereinigung hochstensabzahlbar vieler hochstens abzahlbarer
Mengen ist hochsten abzahlbar.
Analysis I # 69 prufungsrelevant
4.6 Korollar: Z und Q sind abzahlbar
Analysis I # 70 prufungsrelevant
4.7 Satz: Die Menge der Folgen in {0,1}ist uberabzahlbar
Analysis I # 71 prufungsrelevant
4.8 Satz: R ist uberabzahlbar
Analysis I # 72 prufungsrelevant
4.9 Definition: Reellwertige Funktion,Graph einer Funktion
# 65 Antwort
(i) f heißt injektiv, falls zu jedem y ∈ N hochstensein Element existiert, so dass f(x) = y
(ii) f heißt surjektiv, falls zu jedem y ∈M ein x ∈M existiert, so dass f(x) = y
(iii) f heißt bijektiv, falls zu jedem y ∈M genau einx ∈M existiert, so dass f(x) = y.In diesem Fall definieren wir die Umkehrfunk-tion(Inverse) von f
f−1 : N →M f−1(y) = x
# 66 Antwort
Seien M,N,L Mengen und f : M → N , g : N → LDann definieren wir die Komposition g ◦ f :M → L
(g ◦ f)(x) := g(f(x))
# 67 Antwort
M und N heißen gleichmachtig,falls eine bijektive Ab-bildung f : M → N existiert. M heißt endlich mitKardinalitat n ∈ N, falls M gleichmachtig ist zur Menge1, 2, .., n. Die leere Menge definieren wir als endlich mitKardinalitat 0. M heißt unendlich, falls M nicht endlich ist.M heißt abzahlbar(unendlich), falls M gleichmachtigmit N ist.Dann ist (ai)i∈N mit ai = f(i) ∈ M Aufzahlungder Elemente von M. M heißt hochstens abzahlbar, fallsM endlich oder abzahlbar ist. M heißt uberabzahlbar,falls M weder endlich noch abzahlbar ist.
# 68 Antwort
(1) Jede Teilmenge einer hochstens abzahlbaren Mengeist hochstens abzahlbar.
(2) Die Vereinigung hochstens abzahlbarer vielerhochstens abzahlbarer Mengen ist hochstens
abzahlbar.M1M2, ..,Mi jeweils hochstens abzahlbar. DannM2 ∪M3 ∪ ...
# 69 Antwort
Z und Q sind abzahlbar
# 70 Antwort
Die Menge der Folgen (ai)i∈N mit ai ∈ {0, 1}∀i ∈ N istuberabzahlbar..
# 71 Antwort
R ist uberabzahlbar
# 72 Antwort
Sei D ⊂ R. Unter einer reellwertigen (reellen) Funk-tion f auf D verstehen wir eine Abbildung.
f : D → R
Der Graph von f ist die Menge
graph(f) := {(x, y) : x ∈ D, y ∈ R, y = f(x)}
Analysis I # 73 prufungsrelevant
4.12 Definition: Verknupfungen vonFunktionen: Summe, Vielfaches,
Produkt, Quotient
Analysis I # 74 prufungsrelevant
4.13 Definition: Haufungspunkt einerMenge D ⊂ R
Analysis I # 75 prufungsrelevant
4.14 Definition: Konvergenz einerFunktion an einem Punkt
Analysis I # 76 prufungsrelevant
4.15 Satz: AquivalenteCharakterisierung mit ’ε− δ Kriterium’
Analysis I # 77 prufungsrelevant
4.17 Definition: Rechts- undlinksseitiger Grenzwert
Analysis I # 78 prufungsrelevant
4.19 Definition: Stetigkeit
Analysis I # 79 prufungsrelevant
4.23 Satz: Summe, skalares Vielfachesund Produkt stetiger Funktionen gibt
wieder eine stetige Funktion. DerQuotient stetiger Funktionen ist stetig
auf seinem Definitionsbereich
Analysis I # 80 prufungsrelevant
4.24 Definition: Polynome und rationaleFunktionen
# 73 Antwort
Seien f, g : D → R, D ⊂ R, λ ∈ R Dann definieren wir
(f + g) (x) := f(x) + g(x)
(f · g) (x) := f(x) · g(x)
(λf) (x) := λf(x)
f + g, f · g, λf jeweils Funktionen auf D. Setze D := {x ∈D : g(x) 6= 0}Dann definiere f
g : D → R ,(fg
)(x) := f(x)
g(x)
# 74 Antwort
Sei D ⊂ R . x0 ∈ R heißt Haufungspunkt von D, fallseine Folge (xk)k∈N in D (d.h. x ∈ D ∀k ∈ N) existiert, sodassxk → x0 (k →∞)
# 75 Antwort
Sei D ⊂ R, f : D → R und sei x0 ∈ R Haufungspunktin D. Dann zeigen wir
f(x) konvergiert gegen n ∈ R , falls x “ gegen x0 in D “falls: Fur jede Folge (xk)k∈N in D gilt.f(xk)→ a (k →∞)
Wir schreiben dannf(x)→ a (x→ x0, x ∈ D)
oderlimx→x0x∈D
f(x) := a
# 76 Antwort
Sei D ⊂ R, x0 Haufungspunkt von D. Dann sind
1) f(x)→ a (x→ x0)
2) ”ε-δ” - KriteriumZu jedem ε > 0 existiert δ > 0 , so dass ∀x ∈ Dmit |x− x0| < δ gilt, das |f(x)− a| < ε
# 77 Antwort
Sei x0 ∈ R Haufungspunkt von D ∈ R und f : D → RDann ist
(i) fur f(x) = cx ↘ x0 bedeutet, dass fur alle Folgen (xk)k∈Nmit xk ∈ D und xk > x0 ∀k ∈ N folgt
f(xk)→ c (k →∞)
limx↘x0
f(x) heißt rechtsseitiger Limes
(ii) limx↗x0
= c ...heißt linksseitiger Limes
# 78 Antwort
Sei f : D → R, x0 ∈ D .Dann heißt f stetig an x0 , falls lim
x→x0x∈D
f(x) = f(x0) . f ist
stetig in D, falls f stetig an x0∀x0 ∈ D.
# 79 Antwort
Seien f, g : D → R stetig und sei λ ∈ R , dann sind auchdie Funktionen f + g, f · g, λ · f : D → R stetig.
Fur D’:= {x ∈ D : g(x) 6= 0} gilt fg : D′ → R ist stetig.
# 80 Antwort
(1) Ein Polynom auf R ist eine FunktionP : R→R der Form p(x) := anx
n+an−1xn−1+a1x+a0
mit Koeffizienten a0, . . . , an ∈ R , n ∈ N0
Falls a 6= 0, so heißt P Polynom vom Gradn.
(2) Eine rationale Funktion r : D → R ist in der
Gestalt r(x) := P (x)q(x) ∀x ∈ D , wobei P,q Poly-
nome und q(x) 6= 0∀x ∈ D
Analysis I # 81 prufungsrelevant
4.25 Korollar: Rationale Funktionensind stetig
Analysis I # 82 prufungsrelevant
4.26 Stetigkeit ist lokale Eigenschaft
Analysis I # 83 prufungsrelevant
4.27 Satz: Komposition stetigerFunktionen ist stetig
Analysis I # 84 prufungsrelevant
4.28 Zwischenwertsatz (Nullstellensatz)
Analysis I # 85 prufungsrelevant
4.29 Korollar: Zwischenwertsatz(allgemeine Version)
Analysis I # 86 prufungsrelevant
4.30 Beispiel: Polynome ungeradenGrades besitzen mindestens eine
Nullstelle
Analysis I # 87 prufungsrelevant
4.31 Definition: Uneigentliche Intervalle
Analysis I # 88 prufungsrelevant
4.32 Proposition: Stetige Abbildungenbilden Intervalle (evtl. uneigentlich) auf
Intervalle (evtl. uneigentlich) ab
# 81 Antwort
Polynome und rationale Funktionen sind stetig
Beweis: Zeige, dass die konstante Funktion f(x) = c∀x ∈R eine stetige Funktion definiert, genauso dass idR:R→ Rx 7→ x stetig ist. Dann lasst sich jedes Polynom undjede rationale Funktion erzeugen durch Addition, Multip-likation, Skalarmultiplikation und Division. Die Stetigkeitfolgt dann aus 4.23.
# 82 Antwort
Seien f, g : D → R und x0 ∈ D. Falls fur ein ε > 0 gilt:f(x) = g(x) ∀x ∈ D mit |x− x0| < δ (“f und g stimmenlokal uberein”) , so ist f genau dann stetig an x0, falls gstetig an x0ist (“Stetigkeit ist lokale Eigenschaft”).
# 83 Antwort
Sei f : D → R stetig in D ⊂ R . Sei g : E → R stetig,E ⊂ R, gelte f(D) := {f(x) : x ∈ D} ⊂ E . Dann ist
g · f : D → R stetig.
# 84 Antwort
Sei f : [a, b] → R stetig, a < b , und gelte f(a) < 0 undf(b) > 0Dann existiert x0 ∈ (a, b) , sodass f(x0) = 0
a bX Achis
Y A
xis
a bx0
# 85 Antwort
Sei f : [a, b]→ R stetig und f(a) 6= f(b).Dann existiert zu jedem c ∈ R echt zwischen f(x) und f(b)ein x ∈ [a, b], sodass f(x0) = 0
# 86 Antwort
Sei p : R→R Polynom vom Grad n, n = 2k − 1 fur eink ∈ N . Dann besitzt p mindestens eine Nullstelle
# 87 Antwort
Wir definieren die uneigentlichen Intervalle
[a,∞) := {x ∈ R : x ≥ a}
(a,∞) := {x ∈ R : x > a}
(−∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a}
(−∞, a) := {x ∈ R : x < a}
(−∞,+∞) := R
# 88 Antwort
Sei I ⊂ R Intervall (evtl. uneigentlich).Sei f : I → R stetig.Dann ist f(I) ein Intervall (evtl. uneigentlich)
Bemerkung: Klassisches Intervall (“eigentliches Intervall”)kann auf uneigentliches Intervall abgebildet werden.
f(x) :=1
x, I = (0, 1]
dann f stetig, f(I) = [1,∞)
Analysis I # 89 prufungsrelevant
4.33 Definition: Beschrankte Funktionen
Analysis I # 90 prufungsrelevant
4.34 Satz: Eine stetige Funktion aufeinem abgeschlossenem Intervall nimmt
ihr Maximum und ihr Minimum an
Analysis I # 91 prufungsrelevant
4.35 Definition: Gleichmaßig stetigeFunktionen
Analysis I # 92 prufungsrelevant
4.36 Satz: Stetige Funktionen auf einemabgeschlossenem Intervall sind
gleichmaßig stetig
Analysis I # 93 prufungsrelevant
4.38 Definition: (Streng) monotonwachsende, (streng) monoton fallende
Funktionen
Analysis I # 94 prufungsrelevant
4.39 Satz: Eine stetige, streng monotonwachsende Funktion auf einem reellenIntervall ist bijektiv auf ihr Bild. DieUmkehrfunktion ist stetig und streng
monoton wachsend
Analysis I # 95 prufungsrelevant
4.40 Satz/Definition:log := exp−1 : (0,∞)→ R ist stetig,streng monoton wachsend und erfullt∀x, y ∈ R die Funktionsgleichung
log (xy) = log x+ log y
Analysis I # 96 prufungsrelevant
4.41 Definition: Exponentialfunktionzur Basis a>0.
# 89 Antwort
Eine Funktion f : D → R heißt beschrankt (nach un-ten beschrankt, bzw nach oben beschrankt) , falls f(D)eine beschrankte (nach unten beschrankte, bzw nach obenbeschrankte) Menge ist.
# 90 Antwort
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann nimmt f sein Maximumund Minimum an, d.h. es existieren
x+, x− ∈ [a, b]
sodassf(x+) = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}
f(x−) = inf{f(x) : x ∈ [a, b]}
# 91 Antwort
Eine Funktion f : D → R ist gleichmaßig stetig inD, falls:
Zu jedem ε > 0∃δ > 0 , sodass fur alle Punkte im Defini-tionbereich x, y ∈ D mit |x− y| < δ folgt dass |f(x)− f(y)| <ε
# 92 Antwort
Sei f : [a, b]→ R stetig, dann ist f gleichmaßig stetig.
Ersetzen wir in 4.36 das abgeschlossene Intervall [a, b]durch ein Intervall von einem anderen Typ, so ist die Aus-sage in 4.36 im Allgemeinen falsch.
# 93 Antwort
f : D → R heißt monoton wachsend, falls gilt:
x < y, x, y ∈ D ⇒ f(x) ≤ f(y)
f : D → R heißt streng monoton wachsend, falls gilt:
x < y, x, y ∈ D ⇒ f(x) < f(y)
f : D → R heißt monoton fallend, falls gilt:
x > y, x, y ∈ D ⇒ f(x) ≥ f(y)
f : D → R heißt streng monoton fallend, falls gilt:
x > y, x, y ∈ D ⇒ f(x) > f(y)
# 94 Antwort
Sei f : I → R , I (evtl. uneingeschrankt) Intervall.Sei f stetig und streng monoton wachsend.Dann ist auch I ′ = f(I) Intervall (evtl. uneigentlich) undf : I → I ′ ist bijektiv.Weiter ist f−1 : I ′ → I stetig und außerdem streng mono-ton wachsend.
# 95 Antwort
exp : R→ (0,∞)
ist bijektiv, streng monoton wachsend und stetig.Die Umkehrfunktion
log = exp−1
log : (0,∞) → R ist stetig, streng monoton steigend, bi-jektiv und es gilt
log (xy) = log x+ log y ∀x, y > 0
Wir nenen log die Logarithmusfunktion .
# 96 Antwort
Sei a > 0Die Funktion expa(x) := exp (x log a) heißt Exponential-funktion zur Basis a.
Analysis I # 97 prufungsrelevant
4.42 Satz: Eigenschaft derExponentialfunktion zu einer
allgemeinen Basis
Analysis I # 98 prufungsrelevant
4.43 Definition: Allgemeine Potenz ax
fur a > 0, x ∈ R
Analysis I # 99 prufungsrelevant
4.44 Proposition: Rechenregeln furallgemeine Potenzen
Analysis I # 100 prufungsrelevant
5.1 Definition: Der Korper derkomplexen Zahlen C
Analysis I # 101 prufungsrelevant
5.2 Bemerkung 1: Identifizierung von Rals Teilmenge von C; imaginare Einheiti ∈ C; Realteil und Imaginarteil von
z ∈ C
Analysis I # 102 prufungsrelevant
5.2 Bemerkung 2: Identifizierung von Rals Teilmenge von C; imaginare Einheiti ∈ C; Realteil und Imaginarteil von
z ∈ C
Analysis I # 103 prufungsrelevant
5.3 Satz: i2 = −1
Analysis I # 104 prufungsrelevant
5.4 Satz: C ist Korper
# 97 Antwort
expa : R→ (0,∞) ist stetig und es gilt:
(i) expa (x+ y) = expa(x) · expa(y)
(ii) expa(q) = aq fur alle q ∈ Q
Beweis:
(i) folgt aus Funktionsgleichung von exp
(ii) expa(q) = exp(q · log a) = (exp (log a))q = aq
# 98 Antwort
∀a > 0, x ∈ R definiere:
ax := expa(x) = exp (xloga)
Damit insbesondere
ex = expe(x) = exp (x log e) = exp(x) ∀x ∈ R
# 99 Antwort
∀a, b > 0 , x, y ∈ R gilt:
(i) axay = ax+y
(ii) (ax)y = axy
(iii) axbx = (ab)x
(iv)(1a
)x= a−x
# 100 Antwort
Der Korper C der komplexen Zahlen ist definiert alsdie Menge C := {(x, y) : x, y ∈ R} = R× Rmit den Verknupfungen +, · : C× C→ Cdie fur z = (x, y) , w = (u, v) mit x, y, u, v ∈ Rdefiniert sind als
Add + C× C→ C (x,w) 7→ (x+ u, y + v)
Mult · C× C→ C (z, w) 7→ (xu− yv, xv + yu)
# 101 Antwort
1) Wir identifizieren x ∈ R mit (x, 0) ∈ C
In dieser Weise vestehen wir R als Teilmenge von CDann fur x, u ∈ R mit der Multiplikation in C.x · u = (x, 0) · (u, 0) = (xu, 0) = xu
2) Die imaginare Einheit ist i := (0, 1)Dann gilt fur z ∈ C , z = (x, y)iz = (0, 1) · (x, y) = (−y, x)Also Mutiplikation mit i entspricht einer Drehung in derx,y-Ebene um 90° (gegen den Uhrzeigersinn).
# 102 Antwort
3)Fur z = (x, y) ∈ C setzen wirRe z:=x und Im z:=y4)Mit diesen Schreibweisen gilt fur z = (x, y) ∈ C, dassz = x+ iy.Dann:x+ iy = (x, 0) + i · (y, 0) = (x, y) = z
# 103 Antwort
Es gilti2 = i · i = −1 = (−i)2
Beweis:i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1
# 104 Antwort
C mit (+, ·) wie in 5.1 ist KorperMit dem Distributivgesetz und i2 = −1 erhalten wir
(x+ iy) · (u+ iv) = xu+xiv+ iyu+
−yv︷︸︸︷iyiv = (xu− yv) +
i (xv + yu)Es gibt keine Relation “<” auf C , so dass Anordnungs-
und Korperaxiome erfullt sind.
Analysis I # 105 prufungsrelevant
5.6 Definition: Komplex Konjugierteund Betrag von z ∈ C
Analysis I # 106 prufungsrelevant
5.7 Lemma: Eigenschaft der komplexenKonjugation
Analysis I # 107 prufungsrelevant
5.8 Lemma: Eigenschaft des Betrags,insbesondere Dreiecksungleichung
Analysis I # 108 prufungsrelevant
5.10 Definition: Konvergenz einer Folgekomplexer Zahlen
Analysis I # 109 prufungsrelevant
5.11 Satz: Charakterisierung derKonvergenz in C. Aquivalenz mitKonvergenz der beiden Folge der
Realteile und Imaginarteile
Analysis I # 110 prufungsrelevant
5.12 Korollar: Konvergenz einer Folgeund der Folge der komplex Konjugierten
Folgeglieder
Analysis I # 111 prufungsrelevant
Bernoullische Ungleichung (Beweis warUbung)
# 105 Antwort
Sei z ∈ C mit z = (x, y) = x+ iy
(1) z := x− iy heißt komplex konjugiert zu z.
(2) |z| :=√x2 + y2
|·| : C→ R+0 heißt Betrag oder Norm von z.
# 106 Antwort
Seien z, w ∈ C
(1) (z) = z
(2) 2 · Re z = z + z2 · Im z = −i (z − z)
(3) z = z ⇔ z ist reell, also Im z = 0Beweis: Nachrechnen
# 107 Antwort
Fur z, w ∈ C gilt:
(1) |z|2 = zz, |z| = |z|
(2) |z| = 0⇔ z = 0
(3) |zw| = |z| |w|
(4) |Re z| ≤ |z| und |Im z| ≤ |z| und (z + w) =z + w
(5) |z + w| ≤ |z|+ |w| (DGL) und (zw) = zw
(6) |z| ≤ |Im z|+ |Re z|
# 108 Antwort
Eine Folge (Cn)n∈N komplexer Zahlen heißt konvergentgegen c ∈ C , falls :
Zu jedem ε > 0∃N ∈ N : |cn − c| < ε∀n ≥ N
# 109 Antwort
Sei (cn)n∈N Folge in C ,
cn = xn + iyn, xn, yn ∈ R
Dann konvergiert (cn)n∈N in C genau dann, wenn beideFolgen (xn)n∈N , (yn)n∈N in R konvergieren.Falls (cn)n∈N konvergiert, so ist
limx→∞
cn = limn→∞
xn + i limn→∞
yn
# 110 Antwort
Sei (cn)n∈N Folge in C . Dann gilt(cn)n∈N konvergent ⇔ (cn)n∈N konvergent.
Im Falle der Konvergenz:
limn→∞
cn = limn→∞
cn
# 111 Antwort
Sei x ≥ (−1), x ∈ R und sei n ≥ 0, n ∈ N,dann gilt die Bernoullische Ungleichung
(1 + x)n ≥ 1 + nx
mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschatzenlasst.