Mathematik fur Informatiker I - TU Dortmundls5-Prof. Dr. Bernhard Ste en Mathematik fur Informatiker...

Mathematik fur Informatiker I

WS 2013/14

Prof. Dr. Bernhard Steffen

Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 1 / 107

Einleitung

Dozent:Prof. Dr. Bernhard Steffen

WiMis:Malte Isberner, Dr. Oliver Ruthing, Melanie Schmidt,Dr. Hubert Wagner

Studentische Tutoren:Jessica Buehler, Marcel Clostermann, Nils Dabrock,Daniel Friesel, Till Hartmann, Philip Kißmer, Annika Nehrke,Richard Niland, Lars Filipp Lenssen, Dennis Menzel, Kai Sauerwald,Galyna Safarova, Katharina Schamber, Martin Schwitalla,Tim Vormann, Marcel Walker

Einleitung Organisation

Organisation

Organisation: Vorlesung

Vorlesungstermine:

Dienstag 16.15 Uhr - 17.45 Uhr (SRG, HS 001) oderMittwoch 08.15 Uhr - 09.45 Uhr (Horsaalzelt)Donnerstag 10.15 Uhr - 11.45 Uhr (SRG, HS 001) oderDonnerstag 18.15 Uhr - 19.45 Uhr (SRG, HS 001)

Zusatztermin

Dienstag, 18.15 Uhr, OH 14, E023Fragestunde mit Prof. SteffenTermine nach Ankundigung.

Organisation: Material

Vorlesungsseite

Lehrstuhl 5 → Lehre → WS12/13Wichtige Ankundigungen, TermineWeblinks (EWS, AsESS,..)Keine Vorlesungsmaterialien

EWS Arbeitsraum

Anmeldung und Freischaltung erforderlichSkript, Folien, UbungsblatterForum fur Diskussionen

Skript

Stand WS 2012/2013Nicht weiter gepflegtIm Aufbau: Trilogie Grundlagen der hoheren InformatikKlausurrelevanter Haupttext und grau unterlegtes Zusatzmaterial

Folien

Weniger ausfuhrlich als das Buch/SkriptFoliensatze vor der Vorlesung verfugbar

Ubungsblatter

Nur als Download (EWS)Veroffentlichung: Donnerstags bis 18.00 UhrAbgabe:Freitags der Folgewoche bis 14.00 Uhr (Zettelkasten, OH 20)

Trilogie Grundlagen der hoheren Informatik

Band 1: Induktives Vorgehen (in Druck)Band 2: Algebraisches Denken (Fruhjahr 2014)Band 3: Perfektes Modellieren (Herbst 2014)

Organisation: Ubungen

40 Gruppen einrichtbar

Termine fur die Ubungsgruppen:

Mi, 8-10 Uhr (2 Gruppen)Mi, 12-14 Uhr (5 Gruppen)Do, 8-10 Uhr (6 Gruppen)Do, 16-18 Uhr (8 Gruppen)Fr, 8-10 Uhr (7 Gruppen)Fr, 10-12 Uhr (5 Gruppen)Fr, 12-14 Uhr (5 Gruppen)Fr, 14-16 Uhr (2 Gruppen)

Anmeldung bis zum 21.10.2013, 12:00 uber das AsSESS-System.

Organisation: Ubungen

Modalitaten der Ubungen:

Abgabe in Gruppen 2-3 StudierendeJe Ubungungsblatt 1-2 KorrekuraufgabenZweimalige Nichtabgabe keine weitere KorrekturLuckenlose Abgabe Korrektur der Probeklausur

Organisation: Prufungen und Scheine

Benotete Modulprufung (Klausur, max. 180 Minuten)

40% der Punkte zum BestehenKeine Blocke, die einzeln bestanden werden mussen

Klausurtermine:

Erstklausur: Samstag, 29. Marz 2014, ca. 11.30-14.30 UhrZweitklausur: Nach dem Sommersemester 2014, Termin noch nichtbekannt

Zulassungsvoraussetzung (Studienleistung):

Abgabe der ProbeklausurIm Vorjahr erbrachte Studienleistungen sind gultig!

Motivation

Einleitung Themenubersicht

Themenubersicht

Einige Beispiele

Euklidischer Algorithmus

Turme von Hanoi

Suche von Objekten

Trennung vonSyntax und Semantik

Lernziele

Zweifelsfreies Verstehen

Einsatz wiederverwendbarerMuster

Prinzipielles Vorgehen

Beherrschung vonModellierungsspielraumen

Inhalte der Vorlesung

Euklid, ca. 360 - 280 v. Chr.

Eingabe: Naturliche Zahlen n,mAusgabe: ggT (n,m)solange n 6= 0 und m 6= 0 tue

wenn n > m dannn← n −m

sonstm← m − n

EndeGib n + m aus.

Kern: Invariante bezuglich gemeinsamer Teiler

GT ({a, b}) = GT ({a− b, b}) falls a ≥ b

Mathematische Beruhrungspunkte:

Naturliche Zahlen, ganze Zahlen

Ordnungen

Induktives Definieren

Induktives Beweisen

Einleitung Turme von Hanoi

Turme von Hanoi

Wie bekommt man den Turm vom Ausgangsstab (A) zum Zielstab (Z)wenn man ..

den Hilfsstab (H) benutzen darf

nur eine Scheibe pro Schritt bewegen darf

nur kleinere Scheiben auf großere gelegt werden durfen

Turme von Hanoi

Einfach fur 2 Scheiben

Turme von Hanoi

Nun mit 3 Scheiben

Fur obere 2 Scheiben Problem schon gelost

Vertausche Rollen von Stab H und Z

Turme von Hanoi

Nun mit 3 Scheiben

Fur obere 2 Scheiben Problem schon gelost

Vertausche Rollen von Stab H und Z

Turme von Hanoi

Nun mit 3 Scheiben

Bewege die großte Scheibe auf den Zielstab

Turme von Hanoi

Nun mit 3 Scheiben

Fur die Scheiben auf dem Hilfsstab ist das Problem schon gelost

Vertausche Rollen von Stab A und H

Turme von Hanoi

Nun mit 3 Scheiben

Fur die Scheiben auf dem Hilfsstab ist das Problem schon gelost

Vertausche Rollen von Stab A und H

Turme von Hanoi

Problem gelost!

Turme von Hanoi

Kernfragen:

Finden des rekursivenAlgorithmus

Finden/Einhalten derInvarianten

Ermittlung der Komplexitat

Hanoi (n,a,h,z) ≡Wenn (n > 0)

dann Hanoi(n-1,a,z,h);Verschiebe oberste Scheibe von a nach z;Hanoi(n-1,h,a,z);

Einleitung Suche von Objekten

Suche von Objekten

Wie oft muss man hochstens in den Sack greifen, um festzustellen, ob sichein bestimmtes Objekt darin befindet?

Einfache Antwort: Man muss alle Objekte herausholen.

Geht das auch besser?

Einleitung Suche von Objekten

Suche von Objekten

Kern: GeeigneteUmstrukturierung des Problems,z.B. sortieren

Effiziente Suche im Internetbasiert auf massiver Vorarbeit

Bei Google: Indizierung,Page Ranking,...

Wichtig: Klarstellung der jeweiligen Spielraume zur Umstrukturierung!

Einleitung Terminierung von Funktionen

Terminierung von Funktionen

Collatz-Funktion

Eingabe: Naturliche Zahl n > 0Ausgabe: 1solange n 6= 1 tue

wenn n gerade dannn← n/2

sonstn← 3n + 1

EndeGib n aus.

Fur n = 27:27, 82, 41, 124, 62, 31, 94,47, 142, 71, 214, 107, 322,161, 484, 242, 121, 364, 182,91, 274, 137, 412, 206, 103,310, 155, 466, 233, 700, 350,175, 526, 263, 790, 395,1186, 593, 1780, 890, 445,. . .6154, 3077, 9232, 4616,. . .40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Terminierung unbekannt!

Einleitung Terminierung von Funktionen

Terminierung von Funktionen

Nochmal Euklidischer Algorithmus..

Eingabe: Naturliche Zahlen n,mAusgabe: ggT (n,m)solange n 6= 0 und m 6= 0 tue

wenn n > m dannn← n −m

sonstm← m − n

EndeGib n + m aus.

Beobachtung: n+m nimmt in jedem Schleifendurchlauf echt ab!

Einleitung Umgang mit beschrankten Ressourcen

Umgang mit beschrankten Ressourcen

Beispiel: Schwarmintelligenz: Losen komplexer Aufgaben im Kollektiv

Einleitung Umgang mit beschrankten Ressourcen

Umgang mit beschrankten Ressourcen

Beispielszenario:

Ausgangspunkt:

Die Einzelgerate haben beschrankte Arithmetik (z.B. 32 Bit).

Es soll prazise mit ganzen Zahlen bis zu dieser Grenze gerechnetwerden (+,−, ∗, /)

Problem: Zwischenergebnisse konnen viel grosser sein!

Wie konnte das gehen?

Kern: ’Teile und herrsche’-Prinzip, z.B.: (semantische) Dekompositiondes Problems ( Chinesischer Restsatz).

Einleitung Eigenfaces

Lineare Gleichungssysteme

Aus der Schule bekannt:

x + 3y − 2z = 22x + 4y = 3−3x − 5y + 2z = 6

Systematische Losung durch geeignetes ‘Framework’

Einleitung Eigenfaces

Eigenfaces

involvierteres ’Teile und herrsche’-Prinzip.

auch eine semantische Dekomposition des Problems.

Einleitung Trennung von Syntax und Semantik

Trennung vonSyntax und Semantik

Trennung von Syntax und Semantik

Kern: Etablierung von Modellierungsspielraumen

Beispiel: Rechnen Sie einmal mit romischen Zahlen

Einleitung Lernziele

Lernziele

Zweifelfreies Verstehen:

mathematische Prazision,

dazugehorige Formalismen,sowie

mathematisches Vorgehen.

Einsatz wiederverwendbarerMuster:

Beschreibungsmuster

Strukturierungsmuster

Beweismuster

algorithmische Muster

Lernziele

Prinzipielles Vorgehen:

Was ist der Kern des Problems?

Was sind angemessene Losungsmuster?

Wie kann man diese Muster gezielt zur Problemlosung einsetzen?

Wie erhalt man ein spezifisches Losungsszenario(Domanenmodellierung)

Lernziele

Beherrschung von Modellierungsspielraumen:

I Trennung von Syntax/Semantik: WIE vs. WAS

II (Induktives) Strukturieren

III Generalisierung und Abstraktion

als Grundlage fur ’teile und herrsche’-Prinzipien wie:

IV Invarianz

V Kompositionalitat

mit dem Ziel:

VI Effizienz

VII Korrektheit (z.B.(induktive) Beweisbarkeit)

VII Skalierbarkeit

Einleitung Aufbau der Vorlesung

Aufbau der Vorlesung

Einleitung Aufbau der Vorlesung

Vorlesungsinhalte

Einfuhrung, Ubersicht

Aussagen und Mengen

Relationen und Funktionen

Induktives Definieren

Darstellung und Bedeutung

Induktives Beweisen

Ordnungsstrukturen

Algebraische Strukturen

Matrizen

Lineare Gleichungssysteme

Invertierbarkeit von Matrizen

Vektorraume

Erzeugendensysteme, Basen

Dimension eines Vektorraumes

Lineare Abbildungen

Determinanten

Eigenwerte und Eigenvektoren

Orthogonalisierbarkeit von Matrizen

Aussagen und Mengen

2. Aussagen und Mengen - Themenubersicht

Aussagen

Aussagenlogik

Anwendung: Digitale Schaltkreise

Pradikatenlogik

Logische Beweisprinzipien

Mengen

Mengenbeziehungen

Machtigkeit endlicher Mengen

Mengenverknupfungen

Antinomien

Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen

Aussagen

Definition 2.1 (2.1 im Buch)

Aussagen sind (schrift-)sprachliche Gebilde, fur die es sinnvoll ist, ihneneinen Wahrheitswert wahr (w) oder falsch (f) zuzuordnen.

Beispiel 2.2 (2.1)

1 Borussia Dortmund ist Deutscher Fussballmeister der Herren 2012.(w)

2 Delphine sind Fische. (f)

3 5 ist eine Primzahl. (w)

4 Es gibt nur endlich viele Primzahlen. (f)

5 Jede gerade naturliche Zahl grosser als zwei ist Summe zweierPrimzahlen. (?)

Keine Aussagen

Beispiel 2.3 (2.2)

1 Wie spat ist es?

2 Kommt her!

3 Diese Aussage ist falsch.

Bei Satz 3) liegt ein logisches Paradoxon vor.

Nicht klar einordenbare Satze

Beispiel 2.4 (2.3)

1 Heute ist das Wetter schon.

2 Verdi hat die bedeutendsten Opern komponiert.

Solche Uneindeutigkeiten sind in der Mathematik und Informatik in derRegel nicht von Bedeutung.

Grund: Strenge Anforderungen an Syntax und Semantik.

Verknupfung von Aussagen

Definition 2.5 (2.2)

Seien A und B beliebige Aussagen, dann auch die

Negation von A: (¬A). Der Wahrheitswert von A wird invertiert.

Disjunktion von A und B: (A ∨ B). Wahr genau dann, wenn mindestenseine der beiden Aussagen wahr ist.

Konjuktion von A und B: (A ∧ B). Wahr genau dann, wenn beideAussagen wahr sind.

Implikation von A und B: (A ⇒ B). Wahr genau dann, wenn falls Awahr ist auch B wahr ist.

Aquivalenz von A und B: (A ⇔ B). Wahr genau dann, wenn beideAussagen den gleichen Wahrheitswert besitzen.

Die Symbole ¬,∨,∧,⇒,⇔ heißen Junktoren.Prioritaten: pr(¬) > pr(∧) > pr(∨) > pr(⇒) = pr(⇔).

Wahrheitstafeln

A B ¬A A ∨ B A ∧ B A ⇒ B A ⇔ Bf f w f f w wf w w w f w fw f f w f f fw w f w w w w

A B ¬A ¬B ¬A ∨ ¬B ¬(¬A ∨ ¬B) A ∧ B ¬A ∨ B A ⇒ Bf f w w w f f w wf w w f w f f w ww f f w w f f f fw w f f f w w w w

Semantische Aquivalenzen

Lemma 2.6 (2.1)

Es gelten fur beliebige Aussagen A, B, C die folgenden Aquivalenzen:

A ∧ B ≡ B ∧ A (Kommutativit”at)A ∨ B ≡ B ∨ A

(A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) (Assoziativit”at)(A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)

A ∧ (A ∨ B) ≡ A (Absorption)A ∨ (A ∧ B) ≡ A

A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) (Distributivit”at)A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

A ∧ ¬A ≡ ⊥ (Negation)A ∨ ¬A ≡ >

Semantische Aquivalenzen

Lemma 2.6

A ∧ A ≡ A (Idempotenz)A ∨ A ≡ A

¬¬A ≡ A (Doppelnegation)

¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B (deMorgansche Regeln)¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

> ∧ A ≡ A (Neutralitat)⊥ ∨ A ≡ A

Beispiel: Halbaddierer

A BC︷︸︸︷A∧B

D︷︸︸︷A∧ C

E︷︸︸︷C ∧ B

Z︷︸︸︷D ∧ E

U︷︸︸︷C ∧ C

0 0 1 1 1 0 00 1 1 1 0 1 01 0 1 0 1 1 01 1 0 1 1 0 1

Pradikatenlogik

1 + 2 = 2 + 1

2 + 3 = 3 + 2

6 + 14 = 14 + 6

∀x ∈ N. ∀y ∈ N. x + y = y + x

Pradikatenlogik uber naturlichen Zahlen

Bestandteile:

1 Junktoren der Aussagenlogik

2 Relationale Ausdrucke mit freien Variablen (Pradikate oderAussageformen). Bsp.: A(n) =df (n + 1 ≤ 3)

3 Quantoren fur All- und Existenzaussagen

Allaussage: ∀ n. A(n). Diese ist genau dann wahr, wenn A(n) fur alleWerte n ∈ N wahr ist.

Existenzaussage: ∃ n. A(n). Diese ist genau dann wahr, wenn A(n) furmindestens einen Wert n ∈ N wahr ist.

Vereinbarung: Quantoren binden schwacher als Junktoren.

Beispiel - Quantoren

Pradikat fur ggT

Zunachst Pradikat fur “teilt”

n|m =df ∃k ∈ N. n · k = m

Darauf aufbauend:

ggT (n,m, x) =df x |n ∧ x |m ∧ ∀y ∈ N. (y |n ∧ y |m)⇒ y ≤ x

Negation quantifizierter Formeln

Lemma 2.7 (2.2)

1 ¬(∀x .A(x)) ≡ ∃x .¬A(x)

2 ¬(∃x .A(x)) ≡ ∀x .¬A(x)

Beweis (intuitiv semantisch)

¬(∀x .A(x)) ist wahr gdw . ∀x .A(x) ist falschgdw . A(x) ist falsch fur mindestens ein xgdw . ¬A(x) ist wahr fur mindestens ein xgdw . ∃x .¬A(x) ist wahr

Axiomatisches Beweisen

zu Zeigen: > ∨ A ≡ >

Beweis (axiomatisch)

> ∨ A ≡ (A ∨ ¬A) ∨ A (Negation)≡ A ∨ (¬A ∨ A) (Assoziativitat)≡ A ∨ (A ∨ ¬A) (Kommutativitat)≡ (A ∨ A) ∨ ¬A (Assoziativitat)≡ A ∨ ¬A (Idempotenz)≡ > (Negation)

Zum Vergleich:

A > > ∨ Aw w wf w w

Aussagen und Mengen 2.2. Mengen

Mengen

Georg Cantor (1845-1918)

”‘Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M vonbestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unsererAnschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente) von Mgenannt werden) zu einem Ganzen.”’ (Definition 2.3 im Buch)

Mengenbeziehungen

Seien A und B Mengen.

1 A ⊆ B (sprich A ist Teilmenge von B) ⇔ (∀x .x ∈ A ⇒ x ∈ B)

2 A = B (sprich A ist gleich B) ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.

3 A ⊂ B (sprich A ist echte Teilmenge von B)⇔ A ⊆ B ∧ A 6= B.

Potenzmenge

Sei M eine Menge. Die Potenzmenge von M ist definiert durchP(M) := {M ′ | M ′ ⊆ M}.

Anwendung: Klassifikationssysteme

Typsysteme

Ontologien

Abstraktion

Mengenverknupfungen/Operationen

Seien A und B Mengen. Dann sind folgende Mengenverknupfungendefiniert:

Vereinigung A ∪ B := {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}Schnitt A ∩ B := {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}

Differenz A\B := {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}Symmetrische Differenz A∆B := (A ∪ B)\(A ∩ B)

Venn-Diagramme

A ∩ B

A ∪ B

Figure : Venn-Diagramme

Machtigkeit endlicher Mengen

Satz 2.17 (2.2)

Seien A und B endliche Mengen. Dann gilt:

1 |A\B| = |A| − |A ∩ B|2 |A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|3 |A∆B| = |A|+ |B| − 2|A ∩ B|

Intuition: Einfach zahlen

Mengengesetze

Lemma 2.15 (2.3)

Seien A, B, C Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge M. Dann gilt:

A ∩ B = B ∩ A (Kommutativit”at)A ∪ B = B ∪ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Assoziativit”at)(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

A ∩ (A ∪ B) = A (Absorption)A ∪ (A ∩ B) = A

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Distributivit”at)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ A{ = ∅ (Komplement)

A ∪ A{ = M

Mengengesetze

Lemma 2.15 (2.3)

Seien A, B, C Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge M. Dann gilt:

A ∩ A = A (Idempotenz)A ∪ A = A

A{ { = A (Doppelnegation)

(A ∩ B){ = A{ ∪ B{ (deMorgansche Regeln)

(A ∪ B){ = A{ ∩ B{

M ∩ A = A (Neutralitat)∅ ∪ A = A

Abstrakte Theoriebildung

A ∩ B = B ∩ A A ∧ B ≡ B ∧ AA ∪ B = B ∪ A A ∨ B ≡ B ∨ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)

A ∩ (A ∪ B) = A A ∧ (A ∨ B) ≡ AA ∪ (A ∩ B) = A A ∨ (A ∧ B) ≡ A

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

A ∩ A{ = ∅ A ∧ ¬A ≡ ⊥A ∪ A{ = M A ∨ ¬A ≡ >

A ∩ A = A A ∧ A ≡ AA ∪ A = A A ∨ A ≡ A

A{ { = A ¬¬A ≡ A

(A ∩ B){ = A{ ∪ B{ ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B(A ∪ B){ = A{ ∩ B{ ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

M ∩ A = A > ∧ A ≡ A∅ ∪ A = A ⊥ ∨ A ≡ A

Korrektheit und Vollstandigkeit

Zentrale Zielstellung bei Regel/Gleichungssystemen (Axiomatisierungen)

Korrektheit: Alles was aus den Regeln/Gleichungen durch Ersetzenvon Gleichem durch Gleiches abgeleitet werden kann gilt.

Vollstandigkeit: Alles was gilt kann aus den Regeln/Gleichungendurch Ersetzen von Gleichem durch Gleiches abgeleitet werden.

Syntaktisches Vorgehen als Schritt zur Automatisierung (Stichwort:Termrewriting)

Antinomien

Russelsche Antinomie:

R = {M|M /∈ M}”‘Menge”’ aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten

Allmenge:

”‘Menge”’ aller Mengen

Konzeptuelles Problem: Selbstreferenzierung

Halteproblem

Selbstanwendung

Relationen und Funktionen

3. Relationen und Funktionen - Themenubersicht

Relationen

Kartesisches Produkt

n-stellige Relationen

Binare Relationen

Funktionen

Eigenschaften von Funktionen

Machtigkeit von Mengen

Partiell definierte Funktionen

Aquivalenzrelationen

Partitionen

Kardinalzahlen

Relationen und Funktionen 3.1 Relationen

Kartesisches Produkt

Seien A und B Mengen. Das Kartesische Produkt von A und B istdefiniert durch:

A× B =df {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}

Elemente (a, b) ∈ A× B heißen geordnete Paare. Auf diesen ist dieGleichheit definiert durch:

(a, b) = (a′, b′) ⇔df a = a′ ∧ b = b′.

Spielkarten

Beispiel 3.2 (3.1)

A = {♣,♠,♥,♦}B = {As,Konig,Dame,Bube, 10 , 9 , 8 , 7}

A× B = { (♣,As), . . . , (♣, 7),

(♠,As), . . . , (♠, 7),

(♥,As), . . . , (♥, 7),

(♦,As), . . . , (♦, 7) }

Die Menge der 32 Spielkarten in einem Skat-Spiel.

Beispiel: Kalendar

Kalenderwochen W = {1, 2, ..., 52}Tage T = {Montag ,Dienstag , ....,Sonntag}

(47. Kalenderwoche 2004, Montag) ⇒ 15. November 2004

Konventionen

n-faches kartesisches Produkt (n ≥ 1)

M1 ×M2 × . . .×Mn =df ((. . . (M1 ×M2)× . . .)×Mn)

n-Tupel: (m1,m2, . . . ,mn) =df ((..(m1,m2), . . .),mn)

A2 =df A× A

An =df A× . . .× A︸︷︷︸n mal

Beispiel: Endliche Bitvektoren

Beispiel 3.3

Sei M = {m1, . . . ,mn} endliche Menge und

A ⊆ M Teilmenge von M.

Charakteristischer Bitvektor (bA1 , . . . , bAn ) ∈ {0, 1}n:

bAi = 1 ⇔df mi ∈ A.

Beispiel

Menge der Monate M =df {Januar , . . . ,Dezember}.

Monate mit 31 Tagen: M31 =df {Januar,Marz,Mai,Juli,August,Oktober, Dezember}.

Merkregel:

Als Bitvektor: bM31 =df (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1)

Beispiel

Menge der Monate M =df {Januar , . . . ,Dezember}.

Monate, die Buchstaben “r” enthalten:Mr =df M \ {Mai , Juni , Juli ,August}.

Als Bitvektor: bMr =df (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1)

n-stellige Relationen

Seien M1, . . . ,Mn Mengen (n ≥ 1).

Eine Teilmenge R ⊆ M1 × . . .×Mn heißt n-stellige Relation aufM1 × . . .×Mn.

Beispiel : Einheitskugel im R3

K =df {(x , y , z) ∈ R3 |√x2 + y2 + z2 ≤ 1}

Binare Relationen

Im Falle von n = 2 spricht man von einer binaren Relation.

Also R ⊆ A× B

Beispiel: Zuordnung Dozenten - Kurse

Umkehr- und Produktrelationen

Fur R ⊆ A× B ist Umkehrrelation R−1 ⊆ B × A ist definiert durch

R−1 =df {(b, a) | (a, b) ∈ R}.

Fur R1 ⊆ A×B und R2 ⊆ B × C ist die Produktrelation R1 � R2 ⊆ A× Cdefiniert durch

R1 � R2 =df {(a, c) | ∃ b ∈ B. (a, b) ∈ R1 ∧ (b, c) ∈ R2 }.

Beispiel: Produktrelation

Konventionen, Begriffe

Infixnotation: a R b statt (a, b) ∈ R

Bildmenge: R(a) =df {b | (a, b) ∈ R}

Urbildmenge: R−1(b) =df {a | (a, b) ∈ R}

Homogene Relation: R ⊆ A× A

Identische Relation: IA =df {(a, a) | a ∈ A} ⊆ A× A.

Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen

Rechts- und Linkseindeutigkeit

Eine Relation R ⊆ A× B heißt

1 rechtseindeutig ⇔df

∀ a ∈ A, b1, b2 ∈ B. (a, b1) ∈ R ∧ (a, b2) ∈ R ⇒ (b1 = b2)

2 linkseindeutig ⇔df

∀ a1, a2 ∈ A, b ∈ B. (a1, b) ∈ R ∧ (a2, b) ∈ R ⇒ (a1 = a2)

Nicht rechtseindeutige Relation Nicht linkseindeutige Relation

Rechts- und Linkstotalitat

Definition 3.8 (Rechts-,Linkstotalitat) (3.7)

Eine binare Relation R ⊆ A× B heißt

1 linkstotal ⇔df ∀ a ∈ A. ∃ b ∈ B. (a, b) ∈ R

2 rechtstotal ⇔df ∀ b ∈ B. ∃ a ∈ A. (a, b) ∈ R

Definition 3.9 (Funktion) (3.8)

Eine rechtseindeutige, linkstotale Relation heißt Funktion.

Bezeichnungen

Funktionsdefinition: f : A→ B statt f ⊆ A× B

Funktionsanwendung: b = f (a) statt {b} = f (a)

Funktionskomposition: Fur f : A→ B, g : B → C istg ◦ f ⇔df f � g insbesondere (g ◦ f )(a) = g(f (a))).

Menge der Funktionen: BA =df {f | f : A→ B}

Identische Funktionen: idA : A→ A durch idA(a) = a.

Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat

Eine Funktion f : A→ B heißt:

1 injektiv ⇔df f ist linkseindeutig

2 surjektiv ⇔df f ist rechtstotal

3 bijektiv ⇔df f ist injektiv und surjektiv

Falls f : A→ B bijektiv ist, existiert eine Umkehrfunktion f −1 : B → A

Beispiele: Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat

Beispiel 3.11 (3.2)

1 Die Funktion f1 : N→ N mit n 7→ 2 n ist injektiv und nicht surjektiv

2 Die Funktion f2 : Z→ N mit z 7→ |z | ist surjektiv und nicht injektiv

3 Die Funktion f3 : Q→ Q mit q 7→ 2 q ist bijektiv.

Das Beweisprinzip der Kontraposition

Beweisprinzip 3.12

Seien A,B Aussagen. Dann gilt:

(A ⇒ B) ≡ (¬B ⇒ ¬A)

bzw.(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A).

In Worten: Eine Implikation A ⇒ B kann man beweisen, indem man dieumgekehrte Implikation uber den negierten Aussagen beweist.

Komposition und Bijektivitat

Satz 3.13 (3.3)

Seien f : A→ B und g : B → A Funktionen mit

g ◦ f = idA und

f ◦ g = idB .

Dann sind f und g bijektiv. Inbesondere gilt f −1 = g und g−1 = f .

Beweisprinzip: Quantorenauflosung

Beweisprinzip 3.14

Allaussage ∀ x . A(x):

Wahle Variable x beliebig aus der Struktur und beweise dann A(x).

Formulierung: “Sei x beliebig, aber fest gewahlt”.

Existenzaussage ∃ y . A(y):

Wahle Variable y geeignet aus der Struktur und beweise dann A(y).

Formulierung:“Wahle y als ..” oder “Setze y = ..”.

Erhaltungssatz

Satz 3.1

Seien f : A→ B und g : B → C Funktionen. Dann gilt:

1 g ◦ f ist injektiv, falls f und g injektiv sind.

2 g ◦ f ist surjektiv, falls f und g surjektiv sind.

3 g ◦ f ist bijektiv, falls f und g bijektiv sind.

Schubfachprinzip

Satz 3.2

Seien A und B endliche Mengen mit |A| = |B| und f : A→ B eineFunktion. Dann sind aquivalent:

1 f ist injektiv,

2 f ist surjektiv und

3 f ist bijektiv.

Beweisprinzip 4 (Schubfachprinzip)

Seien A und B endliche Mengen und f : A→ B eine Funktion. Dann gilt:

1 Falls |A| > |B|, so ist f nicht injektiv.

2 Falls |A| < |B|, so ist f nicht surjektiv.

Machtigkeitsbeziehungen von Mengen

Seien A und B Mengen.

1 A und B heissen gleichmachtig, in Zeichen A ∼= B, falls es einebijektive Funktion f : A→ B gibt.

2 A ist weniger machtig als B, in Zeichen A 5 B, falls es eineinjektive Funktion f : A→ B gibt.

Beispiel

{1, 2, 3, 4} ∼= {♣,♠,♥,♦}

{2, 3, 4, 5} 6∼= {gelb, rot, blau}, aber {gelb, rot, blau} 5 {2, 3, 4, 5}.

Machtigkeiten von unendlichen Mengen

Satz 3.16 (3.4)

Seien A und B Mengen. Dann gilt:A ∼= B ⇔ A 5 B ∧ B 5 A.

Beweis:

“⇒” klar.“⇐” ist anspruchsvoll. Satz von Cantor-Schroder-Bernstein. �

Endliche und unendliche Mengen

Eine Menge M heißt unendlich genau dann, wenn ∃M ′ ⊂ M. M ′ ∼= M.Andererseits ist M endlich.

M heißt abzahlbar unendlich genau dann, wenn M ∼= N.

Es gilt: N ∼= Z ∼= N× N ∼= Q.

Ringschluss

Beweisprinzip 5 (Ringschluss — Speziell)

Seien A1,A2, . . . ,An Mengen mit A1 5 A2 5 · · ·An−1 5 An 5 A1.Dann gilt A1

∼= A2∼= · · ·An−1

∼= An.

N ∼= Z

Betrachte bijektive Funktion:

fZ : N→ Z

n 7→{

n2 falls n gerade−n+1

2 falls n ungerade

Dann: 0 7→ 0, 1 7→ −1, 2 7→ 1, 3 7→ −2, 4 7→ 2, . . . .

N ∼= N× N

1. CantorschesDiagonalverfahren

Explizit: d(m, n) =df12 (n + m)(n + m + 1) + m.

Beweisprinzip: Widerspruchsbeweis

Beweisprinzip 3.19 (6)

Sei A eine zu beweisende Aussage. Gelingt es aus der Annahme ¬A aufeine Aussage B zu schliessen, fur die ¬B gilt, so muss A gelten. Kurz:(

(¬A ⇒ B) ∧ ¬B)⇒ A.

Das Prinzip des Widerspruchsbeweises wird auch als Reductio adabsurdum bezeichnet.

N 6∼= {0, 1}N

Satz 3.18 (3.6)

Sei M eine nichtleere Menge. Dann gilt M 6∼= {0, 1}M .

Beweis:

Angenommen g : M → {f | f : M → {0, 1}} bijektiv.

Definiere h : M → {0, 1} durch h(m) =df 1− g(m)(m).

Wg. g surjektiv: ∃m0 ∈ M. g(m0) = h (*)

Nach Konstruktion g(m0)(m0) 6= h(m0).Also g(m0) 6= h im Widerspruch zu (*). �

Cantorsches Diagonalverfahren

2. Cantorsches Diagonalverfahren speziell fur M = N:

0 1 2 . . . i

g(a)(b)Funktionstabelle

Aufzahlung der Funktionen

g(0)(2)g(0)(1) g(0)(i)0 1y

y. . .

Skript: {0, 1}N ∼= P(N) ∼= (0, 1) ∼= R

Partiell definierte Funktionen

Eine rechtseindeutige Relation f ⊆ A× B heißt partiell definierteFunktion.

In der Informatik relevant (z.B. Ein-/Ausgabefunktion).

Notation f : A 99K B.

Definitionsbereich Def (f ) =df {a ∈ A | ∃ b ∈ B. (a, b) ∈ f }.

Relationen und Funktionen 3.3 Aquivalenzrelationen

Aquivalenzrelation

Eine Relation ∼ ⊆ A× A heißt Aquivalenzrelation ⇔df

1 ∼ ist reflexiv, d.h.: ∀ a ∈ A. a ∼ a

2 ∼ ist symmetrisch, d.h.: ∀ a1, a2 ∈ A. a1 ∼ a2 ⇒ a2 ∼ a1

3 ∼ ist transitiv, d.h.: ∀ a1, a2, a3 ∈ A. a1 ∼ a2 ∧ a2 ∼ a3 ⇒ a1 ∼ a3

Beispiele: Verwandtschaftsbeziehungen

Beispiel 3.21 (3.3)

1 Die Geschwisterbeziehung ist eine Aquivalenzrelation.

2 Die Freundschaftsbeziehung ist i.A. keine Aquivalenzrelation, da sienicht transitiv ist. Wenn Anna mit Bob befreundet ist und Bob mitCharlotte, so mussen Anna und Charlotte nicht unbedingt befreundetsein.

3 Die Bruderbeziehung ist keine Aquivalenzrelation, da diese nichtsymmetrisch ist. Andreas ist zwar Bruder von Beate, aber naturlichnicht umgekehrt.

Partitionen

P ⊆ P(M) heißt Partition ⇔df

1 ∅ /∈ P (Die Partitionsklassen sind nichtleer)

M′∈P M ′ = M (Die Partitionsklassen uberdecken M)

3 ∀M1,M2 ∈ P. M1 6= M2 ⇒ M1 ∩ M2 = ∅(Die Partitionsklassen sind

paarweise disjunkt)

Zusammenhang zw. Aquivalenzrelationen und Partitionen

Satz 3.7

1 Sei ∼ ⊆ A× A eine Aquivalenzrelation. Dann ist

A∼ =df {[a]∼ | a ∈ A}wobei [a]∼ =df {a′ | a ∼ a′} die zu a gehorige Aquivalenzklasse ist

eine Partition auf A.

2 Sei P ⊆ P(A) eine Partition auf A. Dann ist

∼P =df {(a1, a2) ∈ A× A | ∃A′ ∈ P. a1, a2 ∈ A′}

eine Aquivalenzrelation.

Partitionen

Jede Funktion f : A→ B induziert eine Aquivalenzrelation ∼f auf A durch:

a1 ∼f a2 =df f (a1) = f (a2).

Die zugehorige Partition wird als Urbildpartition bezeichnet.

Beispiel :

f : N→ N mit f (n) =df n% 3 (n modulo 3)

Die Urbildpartition ist: {{0, 3, 6, . . .}, {1, 4, 7, . . .}, {2, 5, 8, . . .}}

Kardinalzahlen

∼= ist Aquivalenzrelation auf Mengensystemen.

Aquivalenzklassen heißen Kardinalzahlen.

Notation: |M|, ℵ0 =df |N|, ℵ1 =df |R|

Definition Operationen auf Kardinalzahlen (3.14)

1 |A|+ |B| =df |A ∪ B|, falls A ∩ B = ∅2 |A| ∗ |B| =df |A× B|3 |A||B| =df |AB |

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