Monte-Carlo Simulation

Prof.Dr. Michael Fröhlich

DAA-Workshop für junge Mathematiker im BachelorstudiumReisenburg, 03.09.2014

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Agenda

1 Simulationstechniken (Monte-Carlo-Methoden)

2 Excel-Beispiele

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1. Simulationstechniken (Monte-Carlo-Methoden)

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1. Simulationstechniken (Monte-Carlo-Methoden)

Wie kann man eine exponential-verteilte Zufallsvariable simulieren?PC und Taschenrechner können nur im Intervall [0,1] gleichverteilteZufallsvariablen simulieren?

Lösungsansatz:

Man bestimme die Quantilsfunktion der Verteilung, d.h. dieUmkehrfunktion der Verteilung.

Man ermittelt eine Realisation der gleichverteilten Zufallsgrößeaus [0,1].

Man setzt diese in die Quantilsfunktion der Verteilung ein underhält eine Realisation einer exponential-verteilten Zufallsgröße .

Man nennt diese Methode Inversionsmetheode.

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1. Simulationstechniken (Monte-Carlo-Methoden)

Wie kann man eine exponential-verteilte Zufallsvariable simulieren?PC und Taschenrechner können nur im Intervall [0,1] gleichverteilteZufallsvariablen simulieren?

Lösungsansatz:

Man bestimme die Quantilsfunktion der Verteilung, d.h. dieUmkehrfunktion der Verteilung.

Man ermittelt eine Realisation der gleichverteilten Zufallsgrößeaus [0,1].

Man setzt diese in die Quantilsfunktion der Verteilung ein underhält eine Realisation einer exponential-verteilten Zufallsgröße .

Man nennt diese Methode Inversionsmetheode.

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1. Simulationstechniken (Monte-Carlo-Methoden)

Wie kann man eine exponential-verteilte Zufallsvariable simulieren?PC und Taschenrechner können nur im Intervall [0,1] gleichverteilteZufallsvariablen simulieren?

Lösungsansatz:

Man bestimme die Quantilsfunktion der Verteilung, d.h. dieUmkehrfunktion der Verteilung.

Man ermittelt eine Realisation der gleichverteilten Zufallsgrößeaus [0,1].

Man setzt diese in die Quantilsfunktion der Verteilung ein underhält eine Realisation einer exponential-verteilten Zufallsgröße .

Man nennt diese Methode Inversionsmetheode.

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1. Simulationstechniken (Monte-Carlo-Methoden)

Wie kann man eine exponential-verteilte Zufallsvariable simulieren?PC und Taschenrechner können nur im Intervall [0,1] gleichverteilteZufallsvariablen simulieren?

Lösungsansatz:

Man bestimme die Quantilsfunktion der Verteilung, d.h. dieUmkehrfunktion der Verteilung.

Man ermittelt eine Realisation der gleichverteilten Zufallsgrößeaus [0,1].

Man setzt diese in die Quantilsfunktion der Verteilung ein underhält eine Realisation einer exponential-verteilten Zufallsgröße .

Man nennt diese Methode Inversionsmetheode.

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1. Simulationstechniken (Monte-Carlo-Methoden)

Der Beweis, warum die Inversionsmethode funktioniert:

Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F und U eine auf[0,1] gleichverteilte Zufallsvariable. Dann haben Y := F−1(U) und Xdieselbe Verteilungsfunktion.

Beweis: Sei FY die Verteilungsfunktion von Y . Dann gilt

FY (x) = P(Y ≤ x) = P(F−1(U) ≤ x) = P(U ≤ F(x)) = F(x),

was die Behauptung zeigt.Die letzte Gleichung folgt aus der Tatsache, daß U gleichverteilt ist,also P(U ≤ x) = x für alle x.

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1. Simulationstechniken (Monte-Carlo-Methoden)

Simulation einer Poisson-λ-verteilten Schadenanzahl:

Wir starten bei n := 0 und T := 1.

Dann simulieren wir eine auf ]0,1[ gleichverteilte Zufallsvariable uund setzen T := uT .

Falls T ≥ e−λ, setzen wir n := n+ 1 und gehen zurück zu Schritt 2.

Falls T < e−λ, so ist n eine Realisierung der Schadenanzahl N.

Simulation einer Pareto-verteilten Schadenhöhe:

Ist die Zufallsvariable X Pareto-verteilt mit Parameter α undStartwert x0, so ist X verteilt wie x0 · U−

1α , wobei U eine auf ]0,1[

gleichverteilte Zufallsvariable ist. (Inversionsmethode)

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1. Simulationstechniken (Monte-Carlo-Methoden)

Simulation einer Poisson-λ-verteilten Schadenanzahl:

Wir starten bei n := 0 und T := 1.

Dann simulieren wir eine auf ]0,1[ gleichverteilte Zufallsvariable uund setzen T := uT .

Falls T ≥ e−λ, setzen wir n := n+ 1 und gehen zurück zu Schritt 2.

Falls T < e−λ, so ist n eine Realisierung der Schadenanzahl N.

Simulation einer Pareto-verteilten Schadenhöhe:

Ist die Zufallsvariable X Pareto-verteilt mit Parameter α undStartwert x0, so ist X verteilt wie x0 · U−

1α , wobei U eine auf ]0,1[

gleichverteilte Zufallsvariable ist. (Inversionsmethode)

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1. Simulationstechniken (Monte-Carlo-Methoden)

Simulation einer Poisson-λ-verteilten Schadenanzahl:

Wir starten bei n := 0 und T := 1.

Dann simulieren wir eine auf ]0,1[ gleichverteilte Zufallsvariable uund setzen T := uT .

Falls T ≥ e−λ, setzen wir n := n+ 1 und gehen zurück zu Schritt 2.

Falls T < e−λ, so ist n eine Realisierung der Schadenanzahl N.

Simulation einer Pareto-verteilten Schadenhöhe:

Ist die Zufallsvariable X Pareto-verteilt mit Parameter α undStartwert x0, so ist X verteilt wie x0 · U−

1α , wobei U eine auf ]0,1[

gleichverteilte Zufallsvariable ist. (Inversionsmethode)

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1. Simulationstechniken (Monte-Carlo-Methoden)

Simulation einer Poisson-λ-verteilten Schadenanzahl:

Wir starten bei n := 0 und T := 1.

Dann simulieren wir eine auf ]0,1[ gleichverteilte Zufallsvariable uund setzen T := uT .

Falls T ≥ e−λ, setzen wir n := n+ 1 und gehen zurück zu Schritt 2.

Falls T < e−λ, so ist n eine Realisierung der Schadenanzahl N.

Simulation einer Pareto-verteilten Schadenhöhe:

Ist die Zufallsvariable X Pareto-verteilt mit Parameter α undStartwert x0, so ist X verteilt wie x0 · U−

1α , wobei U eine auf ]0,1[

gleichverteilte Zufallsvariable ist. (Inversionsmethode)

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2. Excel-Beispiele

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2. Excel-Beispiele

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2. Excel-Beispiele

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2. Excel-Beispiele

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2. Excel-Beispiele

Wie würde man am geeignetsten eine U(a,b) gleichverteilteZufallsgröße X in Excel simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine B(100;0,1)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Exp(0,5)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Poi(λ)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Par(x0, α)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

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2. Excel-Beispiele

Wie würde man am geeignetsten eine U(a,b) gleichverteilteZufallsgröße X in Excel simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine B(100;0,1)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Exp(0,5)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Poi(λ)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Par(x0, α)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

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2. Excel-Beispiele

Wie würde man am geeignetsten eine U(a,b) gleichverteilteZufallsgröße X in Excel simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine B(100;0,1)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Exp(0,5)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Poi(λ)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Par(x0, α)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

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2. Excel-Beispiele

Wie würde man am geeignetsten eine U(a,b) gleichverteilteZufallsgröße X in Excel simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine B(100;0,1)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Exp(0,5)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Poi(λ)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Par(x0, α)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

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2. Excel-Beispiele

Wie würde man am geeignetsten eine U(a,b) gleichverteilteZufallsgröße X in Excel simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine B(100;0,1)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Exp(0,5)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Poi(λ)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Par(x0, α)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

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„ Insofern sich die Sätze derMathematik auf die Wirklichkeitbeziehen, sind sie nicht sicher, undinsofern sie sicher sind, beziehen siesich nicht auf die Wirklichkeit.“

Albert Einstein

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