Newton Verfahren

Näherungsverfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen

Anwendbar bei stetig differenzierbaren Funktionen

Benannt nach Sir Isaac Newton 1669 Iteration

Das Newton Verfahren

Die zu lösende Gleichung in die Form f(x)=0 bringen

Näherungen der Nullstellen der Gleichung finden:◦ Ausgangsstelle xn wählen

◦ Tangente bei xn bilden

◦ Nullstelle xn+1 der Tangente bestimmen

◦ Nullstelle xn+1 als neue Ausgangsstelle xn wählen

xn nähert sich der Nullstelle der Gleichung an

Iterationschritt

Theoretische Vorgehensweise

Theoretische Vorgehensweise

Theoretische Vorgehensweise

Theoretische Vorgehensweise

Theoretische Vorgehensweise

Theoretische Vorgehensweise

Theoretische Vorgehensweise

Theoretische Vorgehensweise

Theoretische Vorgehensweise

Theoretische Vorgehensweise

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Theoretische Vorgehensweise

Theoretische Vorgehensweise

Theoretische Vorgehensweise

Theoretische Vorgehensweise

Tangente bei xn , also im Punkt P( xn | f(xn) ):

t: y = m x + b t: y = f‘(xn) • x + b

P( xn | f(xn) ) einsetzen:

f(xn) = f‘(xn) xn + b b = f(xn) – f‘(xn) • xn

t: y = f‘(xn) • x + f(xn) – f‘(xn) • xn

t: y = f(xn) + f‘(xn) • (x - xn)

Bestimmung der Nst. der Tangente

Tangente bei xn

Nullstelle der Tangente:Nst. wird als xn+1 bezeichnet:

t(xn+1) = 0 = f(xn) + f‘(xn) • (xn+1 - xn)

- f(xn) = f‘(xn) • (xn+1 - xn)

- f(xn) / f‘(xn) = xn+1 - xn

xn - f(xn) / f‘(xn) = xn+1

xn+1 = xn - f(xn)/f‘(xn)

Bestimmung der Nst. der Tangente

Nst. der Tangente

Konvergenz (= etwa Ännäherung)

Newton Verfahren ist lokal konvergentKonvergenz von xn zu einer Nullstelle ist nur garantiert,

wenn der Startwert schon „ausreichend nahe“ der Nullstelle gewählt wurde

xn kann sich nach dem ersten Iterationsschritt auch weiter entfernen und sich dann erst der Nullstelle annähern

xn kann während der Iteration immer wieder hin und her, also von der einen auf die andere Seite der Nullstelle, springen

Problematisch: Fällt xn auf eine Extremstelle, so hat die Tangente keine Nullstelle und die Gleichung xn+1 = xn - f(xn)/f‘(xn) ist dementsprechend nicht lösbar, da f‘(xn) = 0 wäre und im Nenner steht