O ine Bewegungsplanung: Translation und Rotation Bewegung, Translation und Rotation gleichzeitig...

Offline Bewegungsplanung: Translation undRotation

Elmar Langetepe

University of Bonn

Offline Bewegungsplanung 9.12.13 Kollisionsfreie Wege c©Elmar Langetepe WS ’1314 1

Jetzt: Translation und Rotation!

• Konvexer Roboter, m Ecken

• Polygonale Szene, n Ecken

• Bewegung, Translation und Rotation gleichzeitig

• Startpunkt S, Endpunkt T

• Kollisionsfreie Bewegung?

• Wie aufwendig ist die Berechnung? Untere Schranke!

• Kann ich einen Weg angeben? Obere Schranke!

Kapitel 2.3 Beispiel!

Bewegung von A nach B mit Rotation und Translation

Untere Schranke! Th. 2.25

• Liniensegment bewegen

• Von s nach t in Szene mit n Kanten

• Mindestens Ω(n2) Bewegungsschritte

• Translation, Rotation im Wechsel

• Konstruktiv!

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LowerBound.html

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• Einen B Block uberwinden,

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• Einen B Block uberwinden, in die Kerbe

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• Dazu: Sukzessive Reihe von A Blocken uberwinden

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• Dazu: Sukzessive Reihe von C Blocken uberwinden

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• Nachster B Block: zuruck!!

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• O(n) fur jeden B-Block!6

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• O(n) fur jeden B-Block! n Blocke: Ω(n2)6

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Berechne 3D Konfigurationsraum? Ein Hindernis!

KonfigurationsraumArbeitsraum

Ideen!

• Konfigurationsraum berechnen:

Ideen!

– Problem: Kurven als Kanten

Ideen!

• Diskrete Orientierungen:

Ideen!

• Diskrete Orientierungen: θi = i · 360

k , 0 ≤ i ≤ k − 1

Ideen!

k , 0 ≤ i ≤ k − 1

– Vereinigung

Ideen!

k , 0 ≤ i ≤ k − 1

– Vereinigung– Problem: (x, y, θi), (x, y, θi+1) in Cfrei , dazwischen nicht!

Ideen!

k , 0 ≤ i ≤ k − 1

– Vereinigung– Problem: (x, y, θi), (x, y, θi+1) in Cfrei , dazwischen nicht!– Abhilfe: Vergroßern!

Ideen!

k , 0 ≤ i ≤ k − 1

– Vereinigung– Problem: (x, y, θi), (x, y, θi+1) in Cfrei , dazwischen nicht!– Abhilfe: Vergroßern!– Keine Korrekte Bahnplanung!

Kritische Platzierung: 2.3.1

• Ansatz: Wann andert sich der Konfigurationsraum substantiell

• Neue Kante, neuer Knoten

• Definition: Kritische Platzierungen

• Zum Beispiel bei Kontakten mit Hindernissen!

W3S3W2

Anderung des Konfigurationsraumes!Auch bei Wechsel parallel und nicht-parallel! Neue Knoten

KonfigurationsraumArbeitsraum

Kritische Platzierungen Def.: 2.27

R konvexer Roboter m Ecken, Pi polygonale Hindernisse

Kontaktpaar O = (W,S),

Kontaktpaar O = (W,S), W beruhrt S

i) W ist eine Hinderniskante und S eine Roboterecke (Typ I) oder

ii) W ist eine Hindernisecke und S eine Roboterkante (Typ II) oder

iii) W ist eine Hindernisecke und S eine Roboterecke (Typ III)

Freie Plazierung (x, y, θ):

Freie Plazierung (x, y, θ): Kritische Plazierung

• drei paarweise verschiedene Kontaktpaare vom Typ I oder II oder

• Kontaktpaar vom Typ III und Kontaktpaar vom Typ I oder II

(i) (iii)(ii)

P1 P1P1

Zelle Cfrei: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Jede Zelle von Cfrei besitzt Krit. Platzierung!

(i)/(ii)

Kurven in Cfrei! Bem. 2.29

• Zwei Kontakte behalten

• Kurve eines Referenzpunktes (x, y)

O2KRO1

• Parametrisierung: Grad 4

O2KRO1

• Parametrisierung: Grad 4 (Ubungsaufgabe)

O2KRO1

Anzahl Kontakte: Kor. 2.30

W2 W1R

• Drei Kontaktpaare Oi = (Wi, Si)

W2 W1R

• 2 Falle: Zwei festhalten oder die Hindernisse bewegen

W2 W1R

• Kurve Grad 4 (Bem. 2.29) und Grad 1 schneiden

W2 W1R

• Hochstens vier mal kommt das vor!

W2 W1R

• Hochstens vier mal kommt das vor!

• Typ III und Typ I/II?

W2 W1R

Anzahl Krit. Platzierungen: Th. 2.31

• |R| = m,∑|Pi| = n

• Ecke/Kante, Kante/Ecke, Ecke/Ecke

• |R| = m,∑|Pi| = n

• 2mn Kontaktpaare Typ I/II

• |R| = m,∑|Pi| = n

• Je drei auswahlen:(2mn3

)∈ O(m3n3)

• |R| = m,∑|Pi| = n

)∈ O(m3n3)

• 4 mal vorkommen: O(m3n3)

• |R| = m,∑|Pi| = n

)∈ O(m3n3)

• Typ III und Typ I/II: O((mn2

• |R| = m,∑|Pi| = n

)∈ O(m3n3)

• Typ III und Typ I/II: O((mn2

• Konvexitat nicht genutzt

Ω(m3n3) konstruktiv:

Ω(m3n3) konstruktiv:(m3

R konvex! Krit. Platzierungen: Th. 2.32

• |R| = m konvex,∑|Pi| = n

• Anzahl Kritische Platzierungen: O(mnλ6(mn))

• λ6(mn) ∈ O(mn log∗(mn))

• λ6(mn) ∈ O(mn log∗(mn)) subquadratisch

• Davenport-Schinzel-Sequenzen

• Wichtige Elemente fur Bahnplanung

• Beweis Komplexitat

• Berechnen!

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