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OPTIMIERTER ENTWURF VONHOCHLEISTUNGSWÄRMEÜBERTRAGERN
Dissertationzur Erlangung des Grades
Doktor-Ingenieur
derFakultät für Maschinenbau
der Ruhr-Universität Bochum
vonEnder Tandogan
aus Istanbul, Türkei
Bochum 2001
Dissertation eingereicht am: 01.06.2001
Tag der mündlichen Prüfung: 10.09.2001
Erster Referent: Prof. Dr.-Ing. W. Leiner
Zweiter Referent: Prof. Dr.-Ing. V. Scherer
„Es ist nicht genug, zu wissen, man muss auch anwenden.“Goethe, Wilhelm Meisters Wanderjahre
VORWORT
Die vorliegende Arbeit entstand als Dissertation in den Jahren 1998 bis 2001 wäh-rend meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Thermo- undFluiddynamik der Ruhr-Universität Bochum.
Die erste Anregung zu dieser Arbeit verdanke ich Herrn Prof. Dr. Nimai-Kumar Mitra,den wir im Oktober 1999 verloren haben. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Leiner für die anschließende wissenschaftliche Betreuung der Arbeitund die zahlreichen kritischen Diskussionen. Diese Unterstützung hat das Zustande-kommen der Arbeit mit ihrer jetzigen Zielsetzung möglich gemacht.
Herrn Prof. Dr.-Ing. Viktor Scherer danke ich für die Übernahme des Korreferatesund für sein freundliches Interesse an der Arbeit.
Dem Inhaber des Lehrstuhls „Verfahrenstechnische Transportprozesse“, Herrn Prof.Dr.-Ing. Eckhard Weidner, danke ich für die Unterstützung besonders in der Endpha-se der Arbeit. Insbesondere bedanke ich mich für den Rückhalt von Herrn Oberinge-nieur Dr.-Ing. Marcus Petermann.
Der Europäischen Union danke ich für die finanzielle Unterstützung im Rahmen desProjekts „Vortex Enhanced Heat Exchangers (VEHE)“. Dabei bedanke ich mich beiHerrn Dr.-Ing. Efat Chafik, nicht nur als Ansprechpartner in EU-Angelegenheiten,sondern auch für die Fachgespräche während der Forschungsarbeit.
Die engagierte Mitarbeit von (ehemaligen) Studenten war mir eine hilfreiche Unter-stützung bei der Anfertigung der Dissertation. Im einzelnen danke ich Dipl.-Ing. Chri-stian Thulfaut, Dipl.-Ing. Wilhelm Scheidtmann, Dipl.-Ing. Marco Horstmann, Dipl.-Ing. Mohammed Janati, Dipl.-Ing. Jörg Friedlein, cand.-Ing. Karsten Grasemann undDipl.-Ing. Patrick Zander.
Meinen Zimmernachbarn Herrn Dr.-Ing. Shisheng Wang und Herrn Dr.-Ing. AbdallaBatta gebührt mein besonderer Dank für die geduldige und offene Diskussion vonwissenschaftlichen Fragestellungen.
Weiterhin möchte ich mich ganz herzlich bei allen Kolleginnen und Kollegen des In-stituts und des Lehrstuhls für Verfahrenstechnische Transportprozesse für die aus-gezeichnete Arbeitsatmosphäre bedanken: Insbesondere Frau Ute Hendl, Frau Ur-sula Beitz, Frau Karin Hülsewig, Herrn Dipl.-Ing. Wolf-Dieter Manns, Herrn Dipl.-Ing.Udo Czwiklinski, Herrn Klaus-Peter Gottschlich, Herrn Günter Vohwinkel, Herrn HansStruck, Frau Renate Gölzenleuchter, Herrn Eberhard Dimter und Herrn ChristianGramann danke ich für die freundliche Hilfe.
Gewidmet ist diese Arbeit meinen Eltern und meiner Schwester. Ihrer Unterstützungund Geduld habe ich diesen Lebensweg zu verdanken.
Witten, im September 2001
Inhaltsverzeichnis -I-
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis ........................................................................................................ I
Nomenklatur .............................................................................................................. IV
1. Problematik............................................................................................................. 1
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit ................................................................. 7
2.1 Auslegung und Nachrechnung von Wärmeübertragern................................ 7
2.2 Übertragungskennwerte ............................................................................. 12
2.2.1 Wärmeübergang ............................................................................. 12
2.2.2 Wahl der Bezugstemperatur ........................................................... 13
2.2.3 Impulsübertragung und Strömungsverluste .................................... 15
2.3 Maßnahmen zur Wärmeübergangssteigerung ........................................... 16
2.4 Bewertung von Wärmeübertragern ............................................................ 21
2.4.1 VG1-Kriterium ................................................................................. 22
2.4.2 Berücksichtigung von Exergieverlusten .......................................... 24
2.5 Zielsetzung ................................................................................................. 28
3. Ausgewählte Übertragungsflächen ....................................................................... 31
3.1 Konfigurationen des VEHE-Projektes......................................................... 31
3.1.1 Lamellenrohrkonfiguration............................................................... 31
3.1.2 Plattenwärmeübertragerkonfiguration mit geprägten
Wirbelerzeugern....................................................................................... 33
3.1.3 Wärmeübertrager mit dreieckigen Kanälen mit eingestanzten
Wirbelerzeugern....................................................................................... 35
3.2 Referenzkonfigurationen ............................................................................ 37
Inhaltsverzeichnis-II-
4. Experimentelle Untersuchungen........................................................................... 38
4.1 Bestimmung lokaler Wärmeübergangskoeffizienten durch Messung des
analogen Stoffübergangs ................................................................................. 38
4.2 Versuchskonfiguration VEHE-Dreieckskanal.............................................. 47
5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung ................................................. 49
5.1 Kostenzuordnung zu Bau- und Betriebsgrößen.......................................... 49
5.1.1 Kostenoptimierung für einseitige Betrachtung (Tw = konst.)............ 51
5.1.2 Kostenoptimierung für Betrachtung des beidseitigen
Wärmeübergangs .................................................................................... 55
5.2 Flächenbezogene Kosten........................................................................... 57
5.3 Förderleistungsabhängige Kosten.............................................................. 59
6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern .............................................. 61
6.1 Entwurfskonzept......................................................................................... 61
6.2 Diskretisierung und Zahl der Elemente....................................................... 63
7. Ergebnisse ........................................................................................................ 72
7.1. Messungen zum Wärmeübergang im Dreieckskanal
mit und ohne Wirbelerzeuger ........................................................................... 72
7.1.1 Referenzkanal ohne Wirbelerzeuger............................................... 73
7.1.2 Dreieckskanal mit Wirbelerzeuger................................................... 76
7.1.2.1 Fläche II a ohne Wirbelerzeuger.......................................... 77
7.1.2.2 Fläche II b mit Wirbelerzeugern........................................... 80
7.1.2.3 Fläche II c mit Aussparungen .............................................. 81
7.1.3 Berücksichtigung der stromauf absorbierten NH3-Menge und
flächengemittelte Kennzahlen .................................................................. 87
7.1.4 Vergleich mit numerischen Ergebnissen ......................................... 91
7.2 Ergebnisse der Kostenoptimierung ............................................................ 93
7.2.1 Kostenoptimierter Betrieb (einseitige Betrachtung)......................... 93
7.2.2 Kostenoptimierter Betrieb (beidseitige Betrachtung) ....................... 95
7.3 Diskussion der Ergebnisse der Kostenoptimierung .................................. 100
Inhaltsverzeichnis -III-
8. Zusammenfassung ............................................................................................. 103
9. Quellenhinweise.................................................................................................. 105
10. Anhang ........................................................................................................A1
A. Kostenoptimierung für beidseitige Betrachtung............................................A1
B. Eng. software for optimized design of vortex enhanced heat exchangers ...A4
Nomenklatur-IV-
NOMENKLATUR
Physikalische GrößenZeichen Bedeutung SI-Einheit
A Wärmeübertragungsfläche m2
A Parameter zur Bezeichnung der Stromführung -
Af Frontfläche m2
a Temperaturleitfähigkeit m2/s
B Kanalbreite m
B Parameter zur Wahl einer Stromführung -
b Belegungsdichte kg/m2
C Parameter zur Bezeichnung einer Stromführung, Konstante -
c Konstante, Faktor -
cp spezifische isobare Wärmekapazität J/(kg K)
D binärer Diffusionskoeffizient m2/s
d Parameter zur Wahl einer Stromführung -
dh hydraulischer Durchmesser m
E Exergie J
E! Exergiestrom W
F Korrekturfaktor -
H Kanalhöhe m
H Enthalpie J
h Höhe m
h spezifische Enthalpie J/kg
K Kosten €
K! Kostenstrom €/s
k Wärmedurchgangskoeffizient W/(m2 K)
k1 Materialkosten €/m2
k2 Stanz- und/oder Prägekosten €/m2
k3 Montage- und Gehäusekosten €/m2
Nomenklatur -V-
Zeichen Bedeutung SI-Einheit
kA flächenbezogener Kostenfaktor €/m2
Ak! flächenbezogener Kostenfaktorstrom €/(m2 s)
kP Kostenfaktor für Pumpleistung €/J
kv volumenbezogener Kostenfaktor €/m3
k�T Kostenfaktor für Exergieverlust durch Temperaturdifferenz €/J
L Kanallänge m
M Masse kg
M! Massenstrom kg/s
m! Massenstromdichte kg/(m2 s)
n Richtungsvektor normal zur Wand -
nx, ny, nz Zahl der Elemente in drei Raumrichtungen -
NTU number of transfer units -
P dimensionslose Temperaturänderung -
P! Pumpleistung W
p Druck Pa
ppm parts per million (millionstel Massenanteil) -
Q Wärme J
Q! Wärmestrom W
R Radius m
R Wärmekapazitätsstromverhältnis -
R Remissionsgrad -
R spezifische Gaskonstante J/(kg K)
Rmol universelle Gaskonstante J/(mol K)
S Entropie J/K
S! Entropiestrom W/K
s spezifische Entropie J/(kg K)
T Temperatur K
t Eindüszeit s
tA Abschreibungszeit s
u Geschwindigkeit m/s
uSchall Schallgeschwindigkeit m/s
Nomenklatur-VI-
Zeichen Bedeutung SI-Einheit
V Volumen m3
Vfluid Fluidvolumen m3
V! Volumenstrom m3/s
W! Wärmekapazitätsstrom W/K
x Massenanteil -
x̂ normierte Lauflänge -
x, y, z kartesische Koordinaten m
z Zinssatz pro Zeiteinheit 1/s
α Wärmeübergangskoeffizient W/(m2 K)
β Anstellwinkel Grad
β Stoffübergangskoeffizient m/s
ε Nutzungsfaktor -
η dynamische Viskosität kg/(m s)
λ Wärmeleitfähigkeit W/(m K)
ν kinematische Viskosität m2/s
ρ Dichte kg/m3
τ Schubspannung N/m2
Dimensionslose Größen, KennzahlenDefinition Bedeutung
FrReSh= Frössling-Zahl
fL4
d
u2
pAA
u2
p
u2
h
2
f
22
w
ρ∆=
ρ∆=
ρτ= Reibungsbeiwert
j31
32
PrRe
NuPrSt == Colburn-Faktor
Nomenklatur -VII-
Definition Bedeutung
LeDa
PrSc == Lewis-Zahl
MaSchalluu= Mach-Zahl
Nuλ
α= hd Nusselt-Zahl
Prλ
η=ν= pc
aPrandtl-Zahl
Reη
ρ=ν
= hh dudu Reynolds-Zahl
ShDdhβ= Sherwood-Zahl
StpcuPrRe
Nuρ
α== Stanton-Zahl
Indizes, tiefgestelltZeichen Bedeutung
A Fläche
app Apparat
aus Austritt
b Bulk
c kritisch
e Element
gegen Gegenstrom
gen generieren
ges gesamt
gl Gleichstrom
H auf die einfache Kanalhöhe bezogen
2H auf die doppelte Kanalhöhe bezogen
irr irreversibel
i, j, k Laufvariablen
Nomenklatur-VIII-
Zeichen Bedeutung
k kalt
L Luft
m mittel
min Minimalwert
opt optimal
p periodisch
ref Referenz (-temperatur)
v Volumen
v Verlust
w Wand
w warm
x, y, z kartesische Koordinaten
Zelle gesamte Zelle
∆T Temperaturdifferenz
∆t Betriebs- oder Nutzungsdauer
∆p Druckdifferenz
0 Referenzkonfiguration
1, 2 Seiten eines Wärmeübertragers mit zwei Fluiden
∞ unendlich
Indizes, hochgestellt
Zeichen Bedeutung
´ Eintritt
´´ Austritt
ε Exponent
Nomenklatur -IX-
KurzbezeichnungenBezeichnung Bedeutung
AAM Ammoniak-Absorptions-Methode
CFD Computational Fluid Dynamics
FIVO Finite-Volumen-Berechnungsverfahren (Programmpaket)
Int Integer-Zahl (Nachkommastellen werden abgeschnitten)
LMTM Logarithmic Mean Temperature Difference
SF Stromführung
VEHE Vortex Enhanced Heat Exchanger
VG Vortex Generator
WE Wirbelerzeuger
TUFI_E Tube-Fin-Konfiguration, Einlaufströmung, s. Bastani Jahromi [4]
TUFI_PV Tube-Fin-Konfiguration, periodisch vollentwickelte Strömung,
s. Bastani Jahromi [4]
H_1DR Hutze, eine doppelreihige Anordnung, s. Behle [10]
H_2DR Hutze, zwei doppelreihige Anordnungen, s. Behle [10]
DFWE Deltaflügelwirbelerzeuger, s. Brockmeier [24]
DWWEP Deltawingletwirbelerzeugerpaar, s. Brockmeier [24]
1DWP ein ausgestanztes Deltawingletpaar, s. Chen [27]
4DWP vier ausgestanzte DWP, alternierend versetzt, s. Chen [27]
LWE Längswirbelerzeuger, s. Grosse-Gorgemann [61]
FSB fluchtend, symmetrisch und beidseitig angeordnete
Rechteckwinglets, s. Güntermann [62]
QR Querrippen, s. Lorenz [83]
HPV_1DR Hutzenparametervariation, doppelreihige Anordnung,
s. Müller [88]
HAV_1DR Hutzenanordnungsvariation, doppelreihige Anordnung,
s. Müller [88]
DWP Deltawingletpaar, s. Tiggelbeck [132]
DWP_DR Deltawingletpaar in Doppelreihe, s. Tiggelbeck [132]
FGBG45 Rechteckwinglet, Anstellwinkel 45°, s. Weber [141]
FGBG90 Rechteckwinglet, Anstellwinkel 90°, s. Weber [141]
Nomenklatur-X-
Chemische VerbindungenBezeichnung Bedeutung
H2O reines Wasser
H2O2 Wasserstoffperoxid
MnCl2 Mangan(II)-Chlorid
MnO2 Mangandioxid (Braunstein)
Mn(OH)2 Manganhydroxid
NH3 Ammoniak
NH4Cl Ammoniumchlorid (Salmiak)
NH4OH Ammoniumhydroxid
1. Problematik -1-
1. PROBLEMATIK
Wärmeübertrager sind Apparate, die Wärme in Richtung eines Temperaturgefälles
zwischen zwei oder mehr fluiden Stoffströmen übertragen, Abb. 1.1. Sie dienen der
Zustandsänderung dieser Fluide (Kühlen, Heizen, Verdampfen, Kondensieren bzw.
Änderung physikalischer Eigenschaften, z. B. der Viskosität oder Löslichkeit durch
Temperaturänderung) oder helfen, beispielsweise durch Abwärmenutzung, Prozesse
wirtschaftlicher werden zu lassen.
Abb. 1.1: Schema eines Hochleistungswärmeübertragers, Energy Efficiency
Office [38]
Nach ihrer Funktionsweise werden direkte, indirekte und Speicherwärmeübertrager
unterschieden, Gelbe [57]. Die vorliegende Arbeit behandelt nur stationär durch-
strömte indirekte Wärmeübertrager, in denen die Fluide durch feste Wände getrennt
1. Problematik-2-
sind (Rekuperatoren) und kein Stoffübergang zwischen den Fluiden stattfindet. Sol-
che Wärmeübertrager werden z. B. in der Energietechnik, der Verfahrenstechnik, der
Klimatechnik, der Kraftfahrzeug- und Luft- und Raumfahrttechnik eingesetzt. In mo-
bilen Anwendungen stellen Abmessungen und Gewichte wichtige Konstruktionskrite-
rien von Rekuperatoren dar, Kays & London [70], und tragen zu den Betriebskosten
des Systems bei.
In dieser Arbeit werden Einphasenströmungen mit geringen Änderungen der Stoff-
werte behandelt, d. h. es werden moderate Unterschiede der Temperaturniveaus, bei
mäßigen Geschwindigkeiten weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit (Ma < 0,3), wo
Dichteänderungen eine untergeordnete Rolle spielen (Bejan [16], Gersten [59] und
Muralidhar & Biswas [89]), betrachtet.
Je nach Anwendung unterscheidet man Wärmeübertrager für tiefe, mittlere oder ho-
he Temperaturen. Unterhalb der Umgebungstemperatur sind Anwendungen von
Wärmeübertragern vor allem in Kälteanlagen interessant. Die Ergebnisse dieser Ar-
beit eignen sich vorwiegend für den Temperaturbereich zwischen -50°C und +500°C.
Bei höheren Temperaturen bis etwa 1400°C werden z. B. Abhitzekessel mit hohem
Beitrag der Strahlung zur Wärmeübertragung in der Petrochemie betrieben; oberhalb
von etwa 1000°C treten in Gasen zunehmend thermische Dissoziation und Abwei-
chungen vom Idealgasverhalten auf. Bei tiefen Temperaturen spielen die Kondensa-
tion und das Ausfrieren von Luftfeuchte und Erstarrung der Wärmeträger oft eine
große Rolle.
Die vorliegende Untersuchung berücksichtigt vorwiegend Wärmeübertragung nahe
dem Umgebungsdruck, wobei starke Druckgradienten und Änderungen der Aggre-
gatzustände außer Acht gelassen werden. Platten- und Lamellen-Rohr-
Wärmeübertrager werden speziell betrachtet. Diese lassen sich in kompakter raum-
sparender Bauweise herstellen, Wadekar [140]. So sind Rekuperatoren mit dicht ge-
packten Wärmeübertragungsflächen über 700 m2/m3 Bauvolumen gängige Anwen-
dungen in Raumfahrt und Flugzeugbau, Shah [109-112]. Die menschliche Lunge
stellt einen Wärmeübertrager mit einer mit Abstand größten bezogenen Wärmeüber-
tragungsfläche von 2000 m2/m3 dar, Shah [112].
1. Problematik -3-
Die Wahl der Wärmeübertragerbauart erfolgt einerseits mit Rücksicht auf die einge-
setzten Medien, deren Stoffeigenschaften und korrosive Wirkung, andererseits unter
dem Gesichtspunkt geringster Kosten für Apparat und Betrieb bei hoher Verfügbar-
keit.
Der Wärmeübergangskoeffizient soll bei möglichst geringem Druckverlust maximiert
werden, London [81]. Das kann mit aktiven Maßnahmen, wie dem Einsatz von pul-
sierenden Strömungen, erfolgen, Tandogan & Mitra [128] und Tandogan et al. [129].
Die Erzeugung von Hochleistungsoberflächen durch geometrische Oberflächenmodi-
fikationen gehört zu den passiv wirkenden Maßnahmen. Der Bedarf an Wärmeüber-
tragungsfläche und Förderleistung ist bei Luft- und Gasströmungen geringer Wär-
meleitfähigkeit und Dichte besonders hoch. Luftgekühlte Kondensatoren für die
Energie- und Prozesstechnik oder Luftkühler für Kraftfahrzeuge sind typische An-
wendungsbeispiele. Hier besteht besonderer Bedarf an wärmeübergangssteigernden
Modifikationen der Übertragungsflächen.
Die Wirkung einer Manipulation der Strömung zur Erhöhung des Wärmeübergangs
kann nur mit Kenntnis der resultierenden lokalen Wärmeübergangskoeffizienten be-
wertet und weiter verbessert werden. Denn die Kenntnis der lokalen Wärmeüber-
gangskoeffizientenverteilung erlaubt ein besseres Verständnis der Wechselwirkun-
gen zwischen dem Strömungsfeld und dem lokalen Wärmeübergang, welches wie-
derum zur Optimierung von Maßnahmen zur Strömungsmanipulation dienen kann.
Es gibt grundsätzlich zwei Wege, die lokale Verteilung des Wärmeübergangs zu un-
tersuchen. Der eine Weg, der in dieser Arbeit beschritten wird, ist die experimentelle
Bestimmung von lokalen Wärmeübergangsverteilungen. Der andere Weg ist die
computergestützte Berechnung des Strömungs- und Temperaturfeldes durch diskre-
tisierte Lösung der Erhaltungsgleichungen und numerische Ermittlung der lokalen
Wärmeübergangsverteilung auf den Wärmeübertragungsflächen, z. B. Cziesla et al.
[31].
Der Einfluss von Wirbelerzeugern auf die Erhöhung des Wärmeübergangs im Ver-
gleich zu einer glatten Fläche wird anhand Abb. 1.2 und 1.3 illustriert.
1. Problematik-4-
Abb. 1.2: Kanal mit periodisch angeordneten Delta Winglet Paaren, Schulz &
Fiebig [107]
Abb. 1.3: Quergemittelte Nusselt-Zahl in einem ebenen Spalt mit einer Querreihe
von Deltawinglets, Grosse-Gorgemann [61]
Die vorliegende Arbeit ist im Rahmen eines von der Europäischen Union finanzierten
Forschung- und Entwicklungsvorhabens VEHE (Vortex Enhanced Heat Exchangers)
entstanden. Im Rahmen einer Partnerschaft zwischen Hochschulen und Industrie
werden aus Ergebnissen wissenschaftlicher Untersuchungen, die maßgeblich am
Institut für Thermo- und Fluiddynamik der Ruhr-Universität Bochum durchgeführt
wurden, erfolgversprechende Wirbelerzeugerkonfigurationen ausgewählt und in in-
dustriell gefertigte Wärmeübertrager implementiert.
1. Problematik -5-
Drei Typen von Wärmeübertragern werden in diesem Projekt untersucht:
1.) Lamellen-Rohr-Wärmeübertrager mit Kreisrohren und aus den Rippen ausge-
stanzten Wirbelerzeugern,
2.) Plattenwärmeübertrager mit in die Platten geprägten Mulden (embossed VG‘s),
die als Wirbelerzeuger wirken und
3.) Plattenwärmeübertrager mit dreieckige Kanäle als Sekundärrippen mit ausge-
stanzten Wirbelerzeugern.
Ein Arbeitsbeitrag des Lehrstuhls für Verfahrenstechnische Transportprozesse (frü-
her Lehrstuhl für Wärme- und Stoffübertragung) im Institut für Thermo- und Fluiddy-
namik der Ruhr-Universität Bochum (RUB) ist die Entwicklung eines Computerpro-
gramms zur thermischen Auslegung bzw. Nachrechnung der ausgesuchten Wärme-
übertragertypen. Wichtige Größen zur Charakterisierung des Betriebs eines Rekupe-
rators sind die Eintrittsgeschwindigkeiten bzw. Reynolds-Zahlen jedes der beiden
Fluide.
Üblich sind bei Luft als Arbeitsmittel Strömungsgeschwindigkeiten zwischen 1 m/s
und 10 m/s (Paikert [92]), wobei sich eine Mach-Zahl von 0,003 ≤ Ma ≤ 0,03 ergibt,
so dass die oben genannte Annahme eines Fluids konstanter Stoffeigenschaften nä-
herungsweise gut erfüllt ist.
Wird auf der Luftseite eine realistische Kanalhöhe von 3 mm gewählt, z. B. in einem
Lamellen-Rohr-Wärmeübertrager als Motorkühler für einen Personenkraftwagen, so
liegt die auf die Kanalhöhe bezogene Reynolds-Zahl im Bereich 200 ≤ Re ≤ 2000. In
modernen Kfz-Kühlern werden z. T. Kanalhöhen um 1 mm realisiert. In diesem
Reynolds-Zahl-Bereich sind Spaltströmungen in glatten Kanälen meist laminar, Shah
& Bhatti [113] und Shah & London [114]. Im Spalt mit eingebauten Turbulatoren zur
Wärmeübergangserhöhung auf den Spaltwänden ist die kritische Reynolds-Zahl, bei
der die Strömung instationär wird, wesentlich niedriger. Die Strömungen in Hochleis-
tungswärmeübertragern mit Wirbelerzeugern liegen i. Allg. im laminaren oder im
Transitionsbereich.
1. Problematik-6-
Einerseits werden eigene Messergebnisse zum Wärmeübergang in einem dreiecki-
gen Kanal mit Wirbelerzeugern präsentiert, andererseits werden Ergebnisse von an-
deren Arbeiten, die in den letzten Jahren an der Ruhr-Universität Bochum (vor allem
in der Forschergruppe Wirbel und Wärmeübertragung) entstanden sind, mit heran-
gezogen. Hierzu wird eine Datenbank aufgebaut, die in geeigneter Form Wärme-
übergangs- und Druckverlustkennzahlen von ausgewählten Oberflächenkonfiguratio-
nen mit Wirbelerzeugern katalogisiert, Scheidtmann et al. [103, 104]. Eine Zielset-
zung ist die kostengünstige Auslegung von Wärmeübertragern durch standardisier-
ten Zugriff auf diese Datenbank mit einer geeigneten Software.
Der Wärmeübergang wird in Form der Stanton-Zahlen St in Abhängigkeit von der
Reynolds-Zahl Re und Prandtl-Zahl Pr und des Strömungsverlusts durch den effekti-
ven Reibungsbeiwert f als Funktion von Re charakterisiert. Neben St wird auch der
Colburn-Faktor j = St Pr2/3 zur Kennzeichnung des Wärmeübergangs verwendet.
Die Arbeit zeigt Methoden für eine aufwandsoptimierte Auslegung von Wärmeüber-
tragern auf Basis von Flächencharakteristiken St oder j und f auf. Das Ziel der Opti-
mierung ist die Minimierung des Gesamtaufwands bzw. der Kosten für Investitionen
und Betrieb. Die Investitionen hängen wesentlich von der erforderlichen Apparate-
größe bzw. der Übertragungsfläche des Wärmeübertragers ab. Der Betriebsaufwand
wird vorwiegend durch den Bedarf an Förderleistung und, im Umfeld einer Anlage,
durch die Entwertung der Wärme durch ihre Überführung auf ein niedrigeres Tempe-
raturniveau bestimmt.
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -7-
2. STAND DES WISSENS UND ZIELE DER ARBEIT
2.1 AUSLEGUNG UND NACHRECHNUNG VON WÄRMEÜBERTRA-GERN
Zwei Typen von Aufgaben der Berechnung von Wärmeübertragern treten auf: die
Auslegung neuer und die Nachrechnung vorhandener Wärmeübertrager (Roetzel &
Spang [96], Baehr & Stephan [3] und Incropera & DeWitt [65]). Ausgehend von der
Betriebscharakteristik P = P(NTU, R, SF) spricht man vom Auslegungsproblem,
wenn die dimensionslose Temperaturänderung P und das Kapazitätsstromverhältnis
R gegeben sind und die Zahl der Übertragungseinheiten NTU abhängig von der
möglichen Stromführung SF gesucht wird1. Dabei sind die dimensionslosen Größen
P, R und NTU folgendermaßen definiert:
Dimensionslose Temperaturänderungen2:
'2
'1
''1
'1
1 TTTTP
−−= bzw. '
2'1
'2
''2
2 TTTTP
−−= (2.1)
Kapazitätsstromverhältnisse:
2p2
1p11 cM
cMR
!
!= bzw.
11p1
2p22 R
1cMcM
R ==!
!(2.2)
Zahl der Übertragungseinheiten:
11 W
AkNTU!
= bzw. 2
2 WAkNTU!
= (2.3)
Für eine gewählte Flächenkonfiguration mit bekannten Stoffdaten und Strömungsge-
schwindigkeiten liegt die Wärmeübertragungsfläche fest. Anders verhält es sich bei
1 Die Betriebscharakteristik P1 wird auch als Wirkungsgrad eines Wärmeübertragers bezeichnet, wenn„1“ der kleinere Wärmekapazitätsstrom ist. Andere Bezeichnungen dafür sind ε oder φ. Für das Kapa-zitätsstromverhältnis R wird teilweise auch µ verwendet. NTU ist ein Akronym für „Number of TransferUnits“.2 Die dimensionslose Temperaturänderung des kleineren Wärmekapazitätsstroms 1 oder 2 ist derWärmeübertragerwirkungsgrad.
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-8-
der Nachrechnung. Hier ist der Wärmeübertrager vorgegeben und somit auch der
Wert von NTU. Kennt man die Massenströme lässt sich die Größe P bestimmen, wo-
durch man bei bekannten Eintrittstemperaturen die Austrittstemperaturen erhält.
Abb. 2.1: Illustration der Vorgehensweise zur Auslegung und Nachrechnung von
Wärmeübertragern
Beide Methoden der Abb. 2.1 werden häufig kombiniert. Dabei gibt man den ge-
wünschten Wärmeübertragertyp mit seinen Abmessungen vor. Mit den Eintrittstem-
peraturen und Massenströmen werden die Temperaturen am Austritt und die Druck-
verluste auf jeder Seite berechnet. Erfüllen diese nicht die gewünschten Anforderun-
gen, werden die Abmessungen des Wärmeübertragers iterativ variiert, bis die Wir-
kungsgrade und Druckverluste die geforderten Werte erreichen.
Zur Auslegung bzw. Nachrechnung von Wärmeübertragern gibt es eine Reihe von
Berechnungsmethoden, die sich durch das Anwendungsgebiet sowie durch den Re-
chenaufwand und ihre Genauigkeit unterscheiden [96]. Tabelle 2.1 liefert eine Über-
sicht gängiger Methoden.
Die beste örtliche und zeitliche Auflösung liefern Differenzenverfahren, wobei diese
Verfahren den Nachteil haben, sehr aufwendig zu sein. Diese Methoden eignen sich
vornehmlich für den Fall der Nachrechnung. Dabei können das Strömungsfeld und
das Temperaturfeld zunächst unbekannt sein. Vorausgesetzt werden u. a. Konfigu-
ration, Reynolds-Zahl und Stoffdaten. Die Konturen des Strömungsweges bzw. die
Randbedingungen werden eingegeben und die Kontinuitäts-, Impuls- und Ener-
giegleichungen für einzelne Volumenelemente des Fluids und ggf. der Wände nume-
P1,2 = P(NTU, R, SF)1,2
geg.: R1,2 und P1,2
Auslegung
ges.: NTU1,2
geg.: R1,2 und NTU1,2
Nachrechnung
ges.: P1,2
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -9-
risch gelöst. Die Qualität der numerischen Modelle, z. B. die Berücksichtigung varia-
bler Stoffwerte oder die Verwendung geeigneter Turbulenzansätze und der gewähl-
ten Gitter, hat Einfluss auf die Genauigkeit der Ergebnisse.
Tabelle 2.1: Berechnungskonzepte von Wärmeübertragern. In allen Fällen, außer
den Differenzverfahren, ist die Vorgabe der Funktionen Nu(Re, Pr) und f(Re) erfor-
derlich.
Bezeichnung EigenschaftenDifferenzenverfahren, Finite-Volumen-
Verfahren (z. B. Bastani Jahromi [4]) -
vorzugsweise für repräsentative Kanäle in
einfachen Stromführungen,
Stoffdaten, Konfiguration sowie
Reynolds-Zahl müssen gegeben sein.
Numerische Berechnung von Strömungs-
und Temperaturfeldern. Hierbei wird ein
dichtes Feld lokaler Größen bestimmt.
Verfahren ist für Nachrechnung geeignet.
Zellenmethode (z. B. Gaddis [54]) -
für komplexere Stromführungen,
Strömungsverluste in den relativ einfa-
chen einzelnen Zellen und die NTUi und
Pi einer Zelle i müssen bekannt sein.
Aufteilung einer Austauschfläche in Ein-
zelapparate mit individuellen Ein- und
Austrittstemperaturen bzw. Stromführun-
gen. Verfahren ist für Nachrechnung ge-
eignet.
Konzept der mittleren Temperaturdiffe-
renz (z. B. Incropera & DeWitt [65]) -
Stromführung, Übertragungsfläche und
Wärmeübergangskoeffizient im Wärme-
übertrager sind bekannt, aus einem ge-
forderten Wirkungsgrad wird NTU be-
rechnet.
Die mittlere logarithmische Temperatur-
differenz bei Gegenstrom wird für eine
gewählte Stromführung mit einem Faktor
F zur Kennzeichnung der Minderung der
Übertragungsleistung im Vergleich zu
Gegenstrom multipliziert
∆Tm = ∆Tm gegen F, F = F(P, R, SF). Ver-
fahren ist für Auslegung und Nachrech-
nung geeignet.
Wirkungsgrad-NTU-Methode
(z. B. Incropera & DeWitt [65]) -
die Strömungsform im Wärmeübertrager
ist bekannt.
Der Wirkungsgrad P eines Wärmeüber-
tragers wird aus einer Vielfalt von be-
kannten Funktionszusammenhängen P =
P(NTU, R, SF) ermittelt. Verfahren ist für
Auslegung und Nachrechnung geeignet.
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-10-
Trotz des hohen Aufwands und den noch vorhandenen Fehlerquellen ist die Anwen-
dung einer Feldberechnung, z. B. Differenzenverfahren, auf einen ganzen Apparat i.
Allg. noch nicht möglich.
Eine andere Berechnungsmethode ist die Zellenmethode, bei der ein Gesamtapparat
in gekoppelte „Zellen“ mit individuellen Stromführungen aufgeteilt wird. Vorausge-
setzt wird der Wirkungsgrad einer Zelle i. Dabei entsteht ein Gleichungssystem, mit
dem man, ausgehend von den Eintrittstemperaturen, die Austrittstemperaturen aus
den einzelnen Zellen und dem Gesamtapparat berechnet und diese entsprechend
der Gesamtstromführung als Eintrittstemperaturen nachfolgender Zellen behandelt
(Gaddis [54] und Gaddis & Schlünder [55]).
In dem Konzept der mittleren Temperaturdifferenz wird bei bekannten Ein- und Aus-
trittstemperaturen des Gesamtapparates zunächst die mittlere logarithmische Tem-
peraturdifferenz ∆Tm (Logarithmic Mean Temperature Difference (LMTD), vgl. [65])
eines reinen Gegenstromapparates nach der Definition
'T''T''T'Tln
)'T''T()''T'T(T
21
21
2121gegenm
−−
−−−=∆ (2.4)
berechnet. Für eine beliebige Stromführung SF wird diese Temperaturdifferenz mit
einem stromführungsabhängigen Faktor 1F ≤
F = F(P, R, SF) (2.5)
korrigiert (∆Tm = ∆Tm ges = ∆Tm gegen F). Für den Wärmestrom gilt dann:
( )gegenmm TFAkTAkQ ∆=∆=! (2.6)
Für reinen Gegenstrom ist definitionsgemäß F =1.
Im Fall der Nachrechnung eines Wärmeübertragers mit bekannten NTU und Strom-
führung kennt man jedoch die Austrittstemperaturen nicht und kann sie nicht ohne
weiteres berechnen. Dies erfordert ein iteratives Vorgehen [65], das für einfache
Stromführungen durch Verwendung von analytischen Wirkungsgrad-NTU-
Beziehungen vermieden wird. Dabei erhält man die Austrittstemperaturen implizit als
dimensionslose Temperaturänderungen (Gl. 2.1) des Wärmeübertragers, wenn NTU,
das Wärmekapazitätsstromverhältnis R und die Stromführung in einen Zusammen-
hang der Form
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -11-
P = P(NTU, R, SF) (2.7)
zu F gesetzt werden können [65].
Der gesuchte Zusammenhang nach Gl. 2.7 kann für eine große Palette von Strom-
führungen nach einem Verfahren von Spang & Roetzel [120] näherungsweise ermit-
telt werden. Sind beispielsweise nach Abb. 2.2 T1´, T2´, Q! , 1M! , 2M! , Stoffwerte und
die Stromführung gegeben, ergeben sich die Wirkungsgrade P1,2 (Gl. 2.1) bei be-
kannten Kapazitätsstromverhältnissen.
Abb. 2.2: Schema eines Wärmeübertrager
Zunächst wird NTU für den Fall des Gegen
1
11
1gegen1 P1
PR1lnR1
1NTU−
−−
= und NTU
oder
1
1gegen1 P1
PNTU−
= , NTU
Die Zahl der Übertragungseinheiten NTU
nun iterativ (Newton-Verfahren) aus
NRaNTURcbaNTU db
1
1bs1
db1
1−=
+
und NTU2 = NTU1 R1. Die Parameter a,
Stromführung (Tabelle 1 und 2 in [120]).
Tabelle 2.2 diese Parameter. Zu Beginn
werden. Mit dem Wert von NTU1,2 liegt die
fest, womit das Problem der Auslegung pr
T1´
T1´´
T2´
T2´´
1M!
2M!
A
Q!s und verwendete Bezeichnungen
stromapparates bestimmt:
2
22
2gegen2 P1
PR1lnR1
1−
−−
= , für R1,2=1 (2.8)
2
2gegen2 P1
P−
= , für R1,2≠1 (2.9)
für die gewählte Stromführung ergibt sich
1)1cb(TU)NTURa1(NTU
bs1
1cbs1
db1G1
−−+ +
(2.10)
b, c, d ergeben sich aus der Wahl der
Für einige einfache Stromführungen gibt
der Iteration kann NTU1s=NTU1G gesetzt
erforderliche Wärmeübertragungsfläche A
inzipiell gelöst ist. Die Frage der konstruk-
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-12-
tiven Gestaltung der Wärmeübertragungsflächen gehört zum Know-how der Herstel-
ler.
Tabelle 2.2: Erforderliche Parameter in Gl. 2.10 für einfache Stromführungen
Stromführung a b c dreiner Gleichstrom 0,671 2,11 0,534 0,5
reiner Kreuzstrom 0,433 1,6 0,267 0,5
beidseitig quervermischter Kreuzstrom 0,251 2,06 0,677 0,5
2.2 ÜBERTRAGUNGSKENNWERTE
2.2.1 WÄRMEÜBERGANG
Der konvektive Wärmeübergangskoeffizient α
ref
w
ref TnT
Tq
∆∂∂λ
−=∆
=α!
(2.11)
wird hier meist in Form der Stanton-Zahl St oder in Form des Colburn-Faktors j aus-
gedrückt. Dabei gilt die Abhängigkeit
pcuPrReNuSt
ρα== (2.12)
Die Reynolds-Zahl ist definiert als:
ηρ=
ν= hh duduRe (2.13)
Für die Nusselt-Zahl, bezogen auf die lokale mittlere (Bulk-)Temperatur des Fluids,
ergibt sich:
ref
hwh
T
dnT
dNu∆
∂∂
=λ
α= (2.14)
In Gl. 2.14 ist w)n/T( ∂∂ der normale Temperaturgradient an der Wärmeübertra-
gungsfläche. Die Definitionen der Stanton-Zahl und des Colburn-Faktors sind anders
als die der Nusselt-Zahl unabhängig von der Wahl der charakteristischen Länge dh.
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -13-
Ein Vorteil ist hierbei, dass sich bei der grafischen Auftragung von St oder j über der
Reynolds-Zahl eine fallende Kurve ergibt, die qualitativ dem Verlauf des Reibungs-
beiwerts entspricht, wodurch die Analogie zwischen Impuls- und Wärmeübertragung
deutlicher sichtbar ist. Ferner ist ∆Tref z. B. die Differenz zwischen der Wandtempe-
ratur und der massenstromgemittelten Temperatur des Fluids im Strömungsquer-
schnitt.
2.2.2 WAHL DER BEZUGSTEMPERATUR
Der Einfluss der Wahl der Bezugstemperatur, Eintritts- oder lokale Bulktemperatur in
∆Tref, auf den flächengemittelten Wärmeübergangskoeffizienten soll für eine Wärme-
übertragungsfläche mit konstanter Wandtemperatur diskutiert werden:
Nimmt man einerseits die Eintrittstemperatur T‘ in den Kanal als Referenztemperatur
des Wärmeübergangs an (∆Tref = T‘ – Tw), so ergeben sich für den Wärmeüber-
gangskoeffizienten und die Nusselt-Zahl
w'T T'T
q−
=α!
(2.15)
λ−= h
w'T
dT'T
qNu!
(2.16)
Der Index T‘ weist auf die Eintrittstemperatur als Referenztemperatur des Wärme-
übergangs hin. Integration über der Übertragungsfläche A liefert die mittlere Nusselt-
Zahl
∫∫ −λ==
Aw
h
A'Tm'T dAq
)T'T(AddANu
A1Nu ! (2.17)
mit
∫=A
dAqQ !! (2.18)
Eine Energiebilanz liefert
)''T'T(cAu)''T'T(cMQ pfp −ρ=−= !! (2.19)
Einsetzen von Gl. 2.19 in 2.17 ergibt:
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-14-
L4dPrReP
AAPrRePNu hf
m'T == (2.20)
bzw.
L4dP
PrReNu
dA'StA1St hm'T
Am'T === ∫ (2.21)
Dabei ist der Wirkungsgrad des Wärmeübertragers:
wT'T''T'TP
−−= (2.22)
Der hydraulische Durchmesser dh und das Verhältnis von Frontfläche zu Wärme-
übertragungsfläche Af/A sind definiert als
AV4d fluid
h = (2.23)
L4d
AA hf = (2.24)
Verwendet man andererseits die lokale kapazitätsstromgemittelte Bulktemperatur Tb
als Referenztemperatur (∆Tref = Tb – Tw), so gilt
wbTb TT
q−
=α!
(2.25)
λ−= h
wbTb
dTT
qNu!
mit (2.26)
∫ ρ=Af fp
pb dATuc
cM1T
!(2.27)
Eine Flächenmittelung führt dann zu
∫ ∫ λα
=αλ
=−λ
= hmTbTb
h
wb
hmTb
ddA
AddA
TTq
AdNu
!(2.28)
Für die mittlere Stanton-Zahl gilt entsprechend
p
mTbmTbmTb cuPrRe
NuSt
ρα
== (2.29)
Hiermit wird die number of transfer units NTU definiert:
pf
mTb
cAuA
NTUρα
= (2.30)
L4dNTUSt h
mTb = (2.31)
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -15-
Ein Vergleich zwischen Gl. 2.21 und 2.31 liefert für konstante Wandtemperatur
−−=
hmTbm'T
h dL4Stexp1St
dL4 (2.32)
die sich aus der Bedingung
P = 1 – exp(-NTU) (2.33)
ergibt. Ist beispielsweise in einer Arbeit der Wärmeübergangskoeffizient auf die Ein-
trittstemperatur bezogen angegeben, kann man ohne Kenntnis der messtechnisch
schwer zu ermittelnden lokal variierenden Fluidtemperatur die mittlere Stanton-Zahl
bezogen auf Tb berechnen:
−−= m'T
h
hTb St
dL41ln
L4dSt (2.34)
Die Werte von α, Nu und St in der vorliegenden Arbeit sind auf die Bulktemperatur
bezogen.
2.2.3 IMPULSÜBERTRAGUNG UND STRÖMUNGSVERLUSTE
Der scheinbare Reibungsbeiwert f ist der mittlere dimensionslose Druckgradient
∆p = ''p'p − und lautet
AA
u)''p'p(2f f
2ρ−= (2.35)
Er setzt sich aus drei Anteilen zusammen (Brockmeier [24] und Güntermann [62]).
Der Reibungsbeiwert wird durch die Haftung des Fluids an der Kanalwand verur-
sacht. Der Pumpleistungsaufwand wird noch um den Anteil des Formwiderstands
erhöht. Dieser ist im Wesentlichen durch die Projektionsfläche des Hindernisses (z.
B. Wirbelerzeuger) verursacht. Zu beiden Anteilen kommt die Impulsstromänderung
hinzu, die sich aus der Änderung des Geschwindigkeitsprofils zwischen Ein- und
Austritt des Kanals ergibt. Für ebene Strömungen ohne Ablösung und Formwider-
stände gilt die Colburn-Analogie
j = St Pr2/3 = 0,5 f (2.36)
Der Colburn-Faktor
j = St Pr2/3 (2.37)
beschreibt dabei den um den Einfluss der Prandtl-Zahl korrigierten Wärmeübergang.
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-16-
2.3 MASSNAHMEN ZUR WÄRMEÜBERGANGSSTEIGERUNG
Hochleistungswärmeübertragerflächen sind Übertragungsflächen, die einen hohen
Wärmestrom, bezogen auf die Übertragungsfläche des Wärmeübertragers und die
Temperaturdifferenz zwischen den Fluiden, liefern [70], vgl. Abb. 2.3.
Hochleistungsflächen werden vorwiegend für Anwendungen ausgelegt, bei denen
mindestens ein Fluid ein Gas ist, weil für Gase i. Allg. die aufzuwendende Pumplei-
stung, bezogen auf die übertragene Wärmeleistung, höher ist als bei Flüssigkeiten.
Für die übertragene Wärmeleistung und für die Pumpleistung gelten:
TAStucTAQ p ∆ρ=∆α=! (2.38)
Afu2A
Afu2
AupVP 3
f
2f
ρ=ρ=∆= !! (2.39)
d. h. Verhältnis der Förderleistung zur Wärmeübertragungsleistung steigt etwa mit
dem Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit an3.
Abb. 2.3: Darstellung von Wärmeübertragern in Abhängigkeit vom Grad der Kom-
paktheit (Bejan [15])
3 Die Stanton-Zahl und der Reibungsbeiwert hängen etwa mit der gleichen Potenz von der Strö-mungsgeschwindigkeit ab, wodurch immer die Pumpleistung stärker mit der Strömungsgeschwindig-keit ansteigt als die Wärmeleistung.
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -17-
Für eine Anwendung sind hierbei die Abhängigkeiten der Stanton-Zahl und des ef-
fektiven Reibungsbeiwerts von der Reynolds-Zahl interessant. Man kann schreiben
St = St(Re, Pr) bzw. j = j(Re) (2.40)
und
f = f(Re). (2.41)
Viele Wärmeübertragerkonfigurationen von Hochleistungswärmeübertragern werden
in dem Buch von Kays & London [70] mit Hilfe von Korrelationen der Colburn-
Faktoren und Reibungsbeiwerte in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl dokumen-
tiert.
Eine relativ neue Form von Hochleistungsflächen ist durch das Anbringen von Wir-
belerzeugern auf den Übertragungsflächen gekennzeichnet (Edwards & Alker [34],
Eibeck & Eaton [35], Fiebig & Schulz [51], Gentry & Jacobi [58], Lorenz [83], Tiggel-
beck et al. [133], Turk & Junkhan [136], Weber [141], Yanagihara [142] und Yanagi-
hara & Torii [143]).
Die Wirkung von Wirbelerzeugern im Vergleich zu Louvered4- und Offset-Strip-Fins5
ist anhand von Abb. 2.4 zu erkennen. Andere vergleichende Untersuchungen sind
von Lee [75-78] und Russell et al. [97] veröffentlicht worden. Der Abb. 2.4 liegt das
VG1-Kriterium von Webb [139] zugrunde, das eine Möglichkeit darstellt, mehrere
Flächen miteinander zu vergleichen. Als Referenzfläche ist eine Platte mit Offset-
Strip-Fins gewählt (mit A0 bezeichnet). Die Konfigurationen Offset-Strip-Fin und Lou-
vered-Fin haben einen ähnlichen Verlauf über die Reynolds-Zahl, wobei die Kiemen-
schnittkonfiguration in etwa 18% mehr Wärmeübertragungsfläche bei gleichem
Wärmestrom, gleicher Pumpleistung, gleichem Massenstrom und gleicher Tempe-
raturdifferenz zwischen Kanaleintritt und Wand benötigt.
Die untersuchte Delta-Flügel-Fläche bringt gegenüber der Fläche mit Offset-Strip-
Fins eine Ersparnis von durchschnittlich 35%. Das beidseitig angeordnete Rechteck-
Winglet-Paar bewirkt eine Ersparnis von 50%. Die Bedeutung der Leistungsfähigkeit
der Flächen mit Wirbelerzeugern ist sehr eindrucksvoll, wenn man sich vor Augen
4 Louvered Fins sind Rippen mit eingestanzten Kiemenschnitten zur Wärmeübergangsverbesserung,[70].5 Offset-Strip-Fins sind in einen Kanal senkrecht versetzt eingebaute Querrippen, die in Strömungs-richtung eine wiederkehrende Einlaufströmung bewirken, [70].
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-18-
führt, dass die Offset-Strip-Fin- und Louvered-Fin-Anordnungen bisher zu der Grup-
pe der leistungsfähigsten Wärmeübertragerflächen gehört haben.
Abb. 2.4: Wärmeübertragerflächenbedarf von Konfigurationen mit Louvered-Fins,
Offset-Strip-Fins, Deltaflügeln und beidseitig angeordneten Rechteck-Winglet-Paaren
in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl im Verhältnis zum Flächenbedarf A0 eines
Wärmeübertragers mit Offset-Strip-Fin-Flächenanordnung (Güntermann [62])
Eine Frage ist, ob die von Güntermann [62] erzielte Verbesserung der Leistungsfä-
higkeit ein Resultat optimierter geometrischer Verhältnisse ist, oder ob Wirbelerzeu-
ger allgemein wirksamer als andere Oberflächenmodifikationen sind. In dem Rück-
blick von Jacobi & Shah [66] wird darauf hingewiesen, dass die von Güntermann [62]
gewählten Louvered-Fin und Offset-Strip-Fin Anordnungen von Kays & London [70]
dokumentiert sind und somit keine neuartigen Flächenanordnungen darstellen. Aus
Rechnungen gewonnene Ergebnisse von Müller [88] zeigen, dass die beste von Fie-
big et al. [47] untersuchte Konfiguration durch den Einsatz von Hutzen6 noch über-
troffen werden kann, Abb. 2.5 und 2.6.
6 Hutzen sind eine spezielle Form von Wirbelerzeugern, die durch einen kombinierten Stanz- und Prä-geprozess hergestellt werden.
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -19-
Woher kommt die besondere Wirkung der Wirbelerzeuger, hohe Wärmeübergangs-
koeffizienten bei Laminar- und Transitionalströmungen zu bewirken? Die Frage soll
mit Hilfe einer Aufstellung der Konzepte zur Wärmeübergangserhöhung (Fiebig [40-
44] und Fiebig & Mitra [48]) beantwortet werden. Diese sind
1.) Grenzschichtneubildung (z. B. an versetzten Rippen),
2.) Strömungsdestabilisierung (z. B. im Nachlauf von Abreißkanten) und
3.) Erzeugung geordneter Spiralströmungen, sogenannter Längswirbel (z. B. durch
Deltaflügel oder angestellte Winglets).
Abb. 2.5: Vergleich einer optimierten Hutzenanordnung (Müller [88], S. 147) mit
Wingletkonfigurationen von Güntermann [62] und Hahne [63]
Bei der Grenzschichtneubildung wird die an der Wärmeübertragung beteiligte Wand,
z. B. eine Rippe, mehrfach unterbrochen, um immer wieder eine neue Strömungs-
und Temperaturgrenzschicht entstehen zu lassen. Das Ziel ist, die Grenzschichtdicke
durch kleine Lauflängen möglichst klein zu halten, um große Temperaturgradienten
A/A0
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-20-
an der wärmeübertragenden Wand zu erzielen, die hohe Wärmeübergangskoeffizi-
enten bewirken.
Strömungsdestabilisierung wird z. B. durch den Einbau von Querrippen in Kanälen
schon bei geringen Reynolds-Zahlen bewirkt. Die Fluidpartikel ändern ihre ursprüng-
lich geradlinige Bewegung in oszillierende Bewegungsformen um. Die dadurch auf-
tretenden Quergeschwindigkeitskomponenten führen zu einem instationären konvek-
tiven Austausch von wandnahem mit wandfernem Fluid, der eine Erhöhung der
Wandtemperaturgradienten bewirkt. Diese periodische oder turbulenzähnliche
Durchmischung kann bei Querrippen schon bei 185Re H2 ≈ (Grosse-Gorgemann
[61], S. 141) einsetzen.
Abb. 2.6: Lamelle mit periodisch angeordneten Hutzen nach Müller [88, S. 13] mit
vergrößertem Ausschnitt
Zur Erzeugung von spiralförmigen Strömungsstrukturen, die in Form von Längswir-
beln stromab transportiert werden, werden Plättchen (Wirbelerzeuger), die z. B.
durch Ausstanzen aus der Wandplatte erzeugt werden und an denen sich die Strö-
mung durch die Druckdifferenz zwischen beiden Seiten der Wirbelerzeuger ablöst, in
einem Anstellwinkel zur Hauptströmungsrichtung positioniert. Diese Wirbelerzeuger
induzieren Kräfte senkrecht zur Hauptströmungsrichtung und versetzen die abgelö-
ste Strömung in eine rotierende Bewegung.
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -21-
Wenn man die Bahn eines Fluidpartikels in der Längswirbelströmung beobachtet,
erhält man eine Spirale, die weit stromab erhalten bleibt. So hat Tiggelbeck [132]
noch nach 18,5 Kanalhöhen hinter einem Delta-Winglet-Paar den induzierten
Längswirbel nachgewiesen.
Der Verstärkungsmechanismus für den Wärmeübergang besteht darin, dass wand-
nahe und wandferne Fluide intensiv ausgetauscht werden und dabei die Grenz-
schichtdicke fortgesetzt reduziert wird.
2.4 BEWERTUNG VON WÄRMEÜBERTRAGERN
Ein zentrales Problem der Gestaltung von Hochleistungswärmeübertragungsflächen
ist die angemessene Bewertung der Transferflächen. Man betrachte die Colburn-
Zahlen und Reibungsbeiwerte zweier Flächen A und B in Abb. 2.7 aus Shah [109].
Die Fläche A hat höhere j- und f-Werte als die Wärmeübertragungsfläche B. Welche
der beiden Flächen ist besser? Zur Beantwortung der Frage ist ein Kriterium nötig,
nach dem man die Flächen miteinander vergleichen will.
Wenn der Druckverlust wenig Bedeutung hat und gleiche Strömungsgeschwindig-
keiten betrachtet werden, wird die Fläche A vorzuziehen sein, die bei derselben Flä-
chenabmessung wie B mehr Wärme überträgt als Fläche B. In diesem Fall ist die
Stanton-Zahl ein geeignetes Kriterium. Falls der Druckverlust mitentscheidend ist, ist
es erforderlich, ein Gütekriterium zum Vergleich heranzuziehen, um Druckverlust und
Wärmeübergang abzuwägen. Ferner müsste man eine Optimierung des gesamten
Wärmeübertragers für jede Übertragungsflächenkonfiguration durchführen, möglichst
auch unter Berücksichtigung beider Wärmeübertragungsseiten.
Zur Beurteilung der Güte einer Wärmeübertragungsfläche werden in der Literatur
verschiedene Methoden vorgeschlagen (z. B. Webb [139], Shah [112], Cowell [30],
Soland et al. [117, 118]). Eine Möglichkeit ist das VG1-Kriterium nach Webb [139].
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-22-
Abb. 2.7: Gegenüberstellung der Kennzahlen zweier Hochleistungsflächen (Shah
[109], S. 855)
2.4.1 VG1-KRITERIUM
Das VG1-Kriterium von Webb [139] ist anwendbar, wenn der Wärmedurchgangswi-
derstand durch die Widerstände eines Fluids, meist eines Gases, überwiegend be-
stimmt wird, d. h. wenn näherungsweise gilt: k A = α A. Das Kriterium vergleicht den
Wärmeübertragungsflächenbedarf von verschiedenen Kanalkonfigurationen zur
Übertragung eines gegebenen Wärmestroms bei gegebener Pumpleistung und be-
wertet diejenige Konfiguration als besser, welche die geringere Übertragungsfläche
benötigt. Folgende Prozessgrößen werden für die verglichenen Konfigurationen
gleich denen des Referenzfalls gesetzt ([139], [10]):
1. Wärmestrom Q! , 4. mittlere Temperaturdifferenz mT∆ ,
2. Pumpleistung P! , 5. hydraulischer Durchmesser hd ,
3. Massenstrom M! , 6. Stoffwerte.
Aus dem Ansatz (der Index 0 bezeichnet die gewählte Referenzkonfiguration)
1QQ
0
=!
!(2.42)
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -23-
folgt mit obigen Bedingungen und der Definition der Nusselt-Zahl Nu = α dh/λ für das
Flächenverhältnis
NuNu
AA 0
0
= (2.43)
Setzt man j in Gl. 2.43 ein, erhält man folgende Beziehung:
ReRe
jj
AA 00
0
= (2.44)
Für gleiche Pumpleistung
0PP !! = (2.45)
folgt für das Flächenverhältnis
ff
ReRe
AA 0
3
30
0
= (2.46)
Durch Gleichsetzen der Gl. 2.44 und Gl. 2.46 kann das Verhältnis der Reynolds-
Zahlen für gleiche Pumpleistungen bestimmt werden:
21
0
0
0 fjfj
ReRe
= (2.47)
Setzt man nun Gl. 2.47 in 2.44 ein, so folgt das Flächenverhältnis, nur ausgedrückt
durch den scheinbaren Reibungsbeiwert f und den Colburn-Faktor j:
21
0
23
0
0 ff
jj
AA
= (2.48)
Der Colburn-Faktor j und der scheinbare Reibungsbeiwert f seien z. B. als Potenz-
funktionen der Form1c
1 Rebj = und 2c2 Rebf =
bzw.1,0c
01,00 Rebj = und 2,0c02,00 Rebf = (2.49)
aus Messungen oder Simulationsrechnungen bekannt.
Das Einsetzen der Gln. 2.49 in Gl. 2.47 liefert die Reynolds-Zahl in der betrachteten
Konfiguration als Funktion der Reynolds-Zahl der Referenzkonfiguration Re0
)cc(5,011
)cc(5,010
21
21,0
2,01
21
2,01,0Rebb
bbRe
−−
−−
= (2.50)
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-24-
für die Bedingung gleichen Bedarfs an Pumpleistung. Der Ausdruck für das Flächen-
verhältnis ergibt sich dann zu:
)1c232c
21(
)2c1c(211
)2,0c1,0c(211
2,0c211,0c
23
0
2c1c21c32c
21
21
2
2,02c1c2
1c32c21
23
1
1,0
0
Rebb
bb
AA
−−−
−−+−
+−−
+−+−
−−
= (2.51)
Für Arbeitsflüssigkeiten hoher Dichte ist die aufzuwendende Pumpleistung im Wär-
meübertrager, im Vergleich zum Wärmestrom, relativ gering, so dass sie geringe Be-
deutung hat. Für Gase kann jedoch die mechanische Förderleistung zur Überwin-
dung der Druckverluste von ähnlicher Größenordnung sein wie der übertragene
Wärmestrom und die Förderkosten entsprechend hoch.
2.4.2 Berücksichtigung von Exergieverlusten
In Kapitel 2.3 wird festgestellt, dass der Wärmestrom zwar höchstens proportional
mit der Strömungsgeschwindigkeit ansteigt, jedoch die erforderliche Pumpleistung
mit deren zweiter bis dritter Potenz. Dieser Effekt gewinnt dadurch an Bedeutung,
dass Wärme eine Energieform geringerer Qualität7 als Pumparbeit ist (Clausius [28],
Planck [93], De Groot [33] und Fenn [39]). Die theoretische Arbeitsfähigkeit der
Wärme in einer Umgebung der Temperatur T0 ist auf einen Anteil beschränkt, der als
Exergie der Wärme bezeichnet wird (Rant [95]). Die Exergie, bzw. deren zeitliche
Ableitung, der Exergiefluss E! , kann formelmäßig als
QTT1E 0
Q!!
!
−= (2.52)
in Relation zum Wärmestrom Q! gesetzt werden, wobei T die Temperatur ist, bei der
die Wärme zugeführt wird. Der Ausdruck in der Klammer (rechte Seite in Gl. 2.52) ist
der Carnot-Wirkungsgrad (Carnot [26]). Aus Gl. 2.52 geht hervor, dass eine Um-
wandlung von Wärme in Arbeit bei endlichen Temperaturen T0 und T nur zum Teil
möglich ist. Bei Realprozessen ist die Arbeitsleistung gegenüber Gl. 2.52 meist stark
reduziert.
7 Eine Verknüpfung zwischen Arbeit und Wärme erfolgt über die Entropie, vgl. Baehr [2], Lucas [84],Stephan & Mayinger [122, 123].
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -25-
Bei der Wärmeübertragung geht Exergie dadurch verloren, dass die übertragene
Wärme von einem höheren auf ein niedrigeres Temperaturniveau gebracht wird. Die
Temperaturdifferenz der (mittleren) Temperaturen T1 – T2, wobei die Indizes 1 und 2
hier die warme bzw. die kalte Seite bezeichnen sollen, bewirkt auch eine Erniedri-
gung der Exergie des Prozesses 2. Die Differenz wird dabei als Exergieverlust oder
Verlust der Arbeitsfähigkeit bezeichnet, die sich zu
QTTTTTQ
TT1Q
TT1STE
21
210
2
0
1
0irr0v
!!!!! −=
−−
−== (2.53)
ergibt. Wärmeübertragung in einem Wärmeübertrager ist also ein irreversibler Pro-
zess, der mit einer Abwertung der Wärme einhergeht. Der Exergieverlust muss in der
Bewertung berücksichtigt werden, z. B. durch die Einführung eines Bewertungsfak-
tors.
Die Beschreibung des Exergieverlusts durch Strömungsverlustleistung wird nachfol-
gend erläutert. Dazu werden Bewertungskriterien zur Berücksichtigung der Exergie-
verluste in Wärmeübertragern von Bejan [11-14, 17] und Bejan & Pfister [18] vorge-
stellt. Die Entropieproduktion in einer stationären Kanalströmung mit Wärmeübertra-
gung kann anhand von Abb. 2.8 hergeleitet werden.
Abb. 2.8: Kontrollvolumen zur Bilanzierung der produzierten Entropie in einem Kanal
Der erste Hauptsatz liefert
dhMQd !! = (2.54)
Nach dem zweiten Hauptsatz gilt
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-26-
TTQddsMSd irr ∆+
−=!
!! (2.55)
Dabei bedeutet ∆T die Differenz aus der Temperatur an der Wand und der mittleren
Bulktemperatur der Strömung.
Mit der Gibbs´schen Fundamentalgleichung einfacher Systeme [122]
ρ−=
Tdp
Tdhds (2.56)
folgt
ρ−=
Tdp
TMQdds
!
!(2.57)
bzw.
ρ−
∆+
∆=T
dpM
TT1T
TQdSd2
irr
!!! (2.58)
Häufig gilt ∆T << T, woraus vereinfachend folgt:
ρ−∆=
TdpM
TTQdSd 2irr
!!! (2.59)
Nach einer Integration vom Kanaleintritt bis zum Kanalaustritt ergibt sich mit
( ∫−=∆''p
'p
dpp )
ρ∆+∆=
TpM
TTQS 2irr
!!! (2.60)
Die Entropieproduktion in einem Kanal nach Gl. 2.60 setzt sich aus zwei Anteilen
zusammen, der Entropieproduktion durch Wärmeübergang aufgrund der mittleren
Temperaturdifferenz zwischen Wand und Fluid ∆T
2
2
2T TTA
TTQS ∆α=∆=∆
!! (2.61)
welche von der Wärmestromrichtung, d. h. vom Vorzeichen von ∆T, unabhängig ist
und die Entropieproduktion durch die Reibung in der Strömung, die den irreversiblen
Druckverlust ∆p bewirkt:
ρ∆=∆ T
pMS p!! (2.62)
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -27-
In Gl. 2.62 ist ρ∆= /pMP !! die (isotherme) Förderleistung bei der (mittleren) Tempe-
ratur T. Der durch Dissipation der Förderleistung im Fluid entstehende Wärmestrom
PQ !! =∆ und die Restexergie der Förderleistung T/)TT(PSTQE 0irr0P −=−∆=∆ !!!!!
werden gegenüber Q! bzw. vE! in der Kostenbetrachtung und Kostenoptimierung des
Kap. 5 vernachlässigt.
Die Verknüpfung der thermodynamischen Optimierung, d. h. der Minimierung der
Gesamtentropieproduktion, mit ökonomischen Ansätzen8 ist Gegenstand vieler Ar-
beiten, vgl. Altfeld [1], Das & Sahoo [32], El-Sayed [36, 37], Gaggioli et al. [56], Ko-
lenda et al. [72], Moran [86], Moran & Shapiro [87], Ramananda Rao [94], Sama [98,
99], Sama et al. [100], Sciubba [108], Shao [115], Shuja et al. [116], Söylemez [119],
Stehlik et al. [124], Szargut [126], Szargut et al. [127], Tayal et al. [130], Tsatsaronis
[134, 135].
London & Shah [82] haben eine Methode präsentiert, mit der man die Kosten der
Entropieerzeugung in einem Wärmeübertrager der thermischen Kraftwerkstechnik
berechnen kann. Die Irreversibilitäten durch Fluidreibung, Wärmeübergang, Wärme-
leckagen und Fluidmischung werden dabei berücksichtigt. Allen Irreversibilitäten
werden individuelle Kosten zugeordnet, die zu den Gesamtkosten pro Jahr summiert
werden.
Die Quellen von Irreversibilitäten in Systemen zur Umformung und Übertragung von
Energie, wie beispielsweise in Wärmeübertragern, sind vielfältig. Einige von ihnen
werden in Tabelle 2.3 aufgeführt.
Für die Auslegung von Wärmeübertragern spielen die Irreversibilitäten durch Druck-
verlust und durch Wärmeübertragung eine Rolle, weswegen ausschließlich diese z.
B. von Bejan [13] benutzt werden. Jedoch können die Vernachlässigung weiterer
Irreversibilitäten zu beachtenswerten Unterschieden führen; z. B. werden von London
& Shah [82] der Verlust durch Leckagen und die Mischungsirreversibilitäten zusätz-
lich berücksichtigt. 8 Diese Disziplin wird auch als Thermoökonomie oder Exergoökonomie bezeichnet. In Netzwerkenvon Wärmeübertragern konkurrieren die thermoökonomischen Verfahren mit der Pinch-Point-Methode
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-28-
Die Mischungsirreversibilität spielt beispielsweise eine Rolle bei der Mischung von
ähnlichen Fluiden bei unterschiedlicher Temperatur. So verursacht die Mischung des
Abgases einer Gasturbine mit der Umgebungsluft eine Irreversibilität oder etwa das
Ablassen der Kühlflüssigkeit aus einem Kondensator in den nahegelegenen Fluss.
Tabelle 2.3: Irreversibilitäten in Energieumwandlungssystemen nach London & Shah
[82]
• Wärmeübergang mit einer endlichen Temperaturdifferenz
• Fluidreibung in Strömungen
• Reibung zwischen Festkörpern
• Drosselung von Strömung
• Freie Expansion, z. B. durch Explosionen
• Mischung von unterschiedlichen Fluiden
• Mischung von gleichen Fluiden unterschiedlicher Temperaturen
• Lösen eines Feststoffs in einer Flüssigkeit
• Plastische Deformation eines Festkörpers
• Aufwärmen eines elektrischen Leiters durch seinen elektrischen Widerstand
• Elektromagnetische Hysterese
• Chemische Reaktionen, wie Verbrennungsvorgänge
Leckagen im Wärmeübertrager verursachen Irreversibilitäten durch Vermischung
beider Stoffströme oder Austausch mit der Umgebung. Ferner treten auch Verluste
durch mangelnde Wärmedämmung des Wärmeübertragers gegenüber der Umge-
bung auf. Es entsteht dabei ein Wärmeübergang zwischen zwei unterschiedlichen
thermischen Reservoirs, nämlich dem Wärmeübertrager und der Umgebung.
2.5 ZIELSETZUNG
Die hohe Zahl der Veränderungsmöglichkeiten der Form und Abmessungen der
Wärmeübertragungsflächen, z. B. optimale Länge und Höhe von Wirbelerzeugern,
und optimale Anordnung der Elementarflächen zum kompletten Wärmeübertrager
(Sträter [125]). Die Pinch-Point-Methode ist ein Verfahren zur energetischen Optimierung von Prozes-sen (z. B. Netzwerken von Wärmeübertragern).
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -29-
lassen eine bestimmte optimale Lösung kaum finden. Außerdem sind von Fall zu Fall
spezielle Bedingungen wie Druckfestigkeit der Anordnung, Verformbarkeitsgrenzen
und Korrosionsbeständigkeit des Materials sowie verfügbare Herstellungsverfahren
zu beachten. Häufig geht man bei einer Annäherung an die Optimierungsaufgabe
dazu über, nur eine Fluidseite zu betrachten. Dieser Ansatz bietet sich bei sehr klei-
nen Wärmekapazitätsstromverhältnissen an oder bei Gegen- oder Kreuzstrom mit
R ≈ 1 unter Annahme von Symmetrie der Temperaturverteilung.
Der Entropiebegriff taucht beim Entwurf und der Bewertung von Übertragungsflächen
selten auf, obwohl Entropie bei allen irreversiblen Prozessen, so auch bei der Wär-
meübertragung, produziert wird.
Diese Arbeit soll einen Beitrag dazu leisten, den Aufwand für die Herstellung und den
Betrieb eines Hochleistungswärmeübertragers zu quantifizieren und zu minimieren.
Der Aufwand für die Wärmeübertragung soll mit Hilfe von Aufwandsfaktoren oder
Kostenfaktoren für die Erzeugung des Apparates, für die Förderleistung und für den
Exergieverlust der Wärme bewertet werden.
Dabei ist die theoretisch aufzuwendende Förderleistung P! entgegengesetzt gleich
der isothermen Strömungsverlustleistung bei der mittleren Temperatur:
∫−=''p
'p
dpVP !! (2.63)
Die aus der Dissipation der Förderleistung resultierende Wärme hat ihrerseits einen
Exergieanteil
−=
TT1PE 0!! (2.64)
welcher bei höheren Temperaturen T > T0 positiv, bei tiefen Temperaturen negativ
ist. Diese Exergie der dissipierten Strömungsverlustleistung soll in der Kostenbe-
trachtung vernachlässigt werden.
Die in dieser Arbeit entwickelte Methode der Kostenminimierung wird in eine Soft-
ware integriert, die eine thermische Auslegung von Wärmeübertragern vornimmt. Die
Ergebnisse der Kostenbetrachtung werden für mehrere Konfigurationen illustriert.
Neben der Betrachtung der klassischen Spaltströmungen werden die Konfiguratio-
2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-30-
nen aus dem Projekt VEHE berücksichtigt. Lamellenrohranordnungen9 wurden in
früheren Arbeiten des Lehrstuhls für Wärme- und Stoffübertragung mehrfach unter-
sucht, so dass viele Werte von j und f für unterschiedliche geometrische Parameter
zur Verfügung stehen. Erneute Messungen oder Simulationsrechnungen dieses
Wärmeübertragertyps sollen in dieser Dissertation nicht erfolgen.
Ein Wärmeübertrager mit geprägten Wirbelerzeugern soll in Anlehnung an die Er-
gebnisse der Arbeiten von Grosse-Gorgemann [61] und Neumann [90], für rechtecki-
ge Winglets bewertet werden. Auch für diese Konfiguration sollen keine weiteren
Messungen oder Berechnungen von Wärmeübergang und Strömungsverlusten vor-
genommen werden. Durch Flüssigkristallthermografie und numerischen Berechnun-
gen wurden im Rahmen des EU-Projekts VEHE von den Projektpartnern Werte von
Wärmeübergangskoeffizienten und Strömungsverlustbeiwerten (efficient friction fac-
tor) dieser Konfiguration bestimmt.
Als dritter Wärmeübertragertyp soll ein Plattenwärmeübertrager mit dreieckigen Ka-
näle mit speziellen Wirbelerzeugern untersucht werden. Da die dreieckigen Kanal-
strömungen bislang wenig untersucht wurden widmet sich Kapitel 7 den erzielten
Messergebnissen. Die Resultate werden außerdem mit Computersimulationen von
Batta [8] verglichen. Das Vorgehen bei der Ermittlung der Kostenfaktoren für die
Übertragungsflächen soll exemplarisch dargestellt werden. Für alle Wärmeübertra-
gerkonfigurationen sollen die minimalen spezifischen Kosten der Wärmeübertragung
für ein repräsentatives „mittleres“ Element der periodischen Anordnung ermittelt und
miteinander verglichen werden.
Ein Verfahren zur kostenoptimierten Auslegung von Wärmeübertragern mit geome-
trisch periodischen Übertragungsflächenkonfigurationen durch Ermittlung der güns-
tigsten Strömungsgeschwindigkeiten und (soweit wählbar) der günstigsten Tempe-
raturdifferenz sowie der Wärmeübertragerabmessungen soll entwickelt und darge-
stellt werden.
9 vgl. dazu Bastani Jahromi [4, 5], Bastani et al. [6, 7], Mitra et al. [85], Chen [27], Fiebig et al. [45, 46],Valencia [137, 138], Fiebig et al. [52, 53], Fiebig et al. [49, 50], Sanchez [101] und Sanchez et al. [102]
3. Ausgewählte Übertragungsflächen -31-
3. AUSGEWÄHLTE ÜBERTRAGUNGSFLÄCHEN
Mit Hilfe der Kostenbetrachtung werden verschiedene, besonders günstig erschei-
nende Konfigurationen, vornehmlich aus Arbeiten der Forschergruppe „Wirbel und
Wärmeübertragung“, betrachtet und bewertet. Eine Übersicht mit Skizzen der Konfi-
gurationen mit verwendeten Korrelationen für die Stanton-Zahlen und Reibungsbei-
werte ist in Scheidtmann et al. [103, 104] gegeben.
3.1 KONFIGURATIONEN DES VEHE-PROJEKTES
In dem Projekt VEHE wurden drei Konfigurationen in Anlehnung an die o. g. früheren
Untersuchungen von Wärmeübertragern mit Wirbelerzeugern festgelegt und näher
untersucht:
3.1.1 LAMELLENROHRKONFIGURATION
In Abb. 3.1 ist eine Skizze der Lamellenrohrkonfiguration mit Wirbelerzeugern abge-
bildet, die im Projekt betrachtet wurde. Die VEHE-Konfiguration ist an eine Konfigu-
ration angelehnt, die von Bastani [4] untersucht wurde. Die Rohre sind fluchtend an-
geordnet. Die Abmessungen des Elements ohne Wirbelerzeuger wurden ursprüng-
lich von Kays & London [70] untersucht, die Lamellenrohrwärmeübertrager mit ver-
setzter Rohranordnung betrachtet haben. Versetzte Rohranordnungen sind verbrei-
teter als fluchtende Anordnungen, weil sie in der Regel zu höherem Wärmeübergang
führen. Dieses wurde experimentell von Valencia [137] bestätigt. Er hat für die ersten
drei Rohrreihen die mittlere Nusselt-Zahl in Abhängigkeiten der Reynolds-Zahlen
zwischen 600 und 3000 aufgetragen. Er hat eine fluchtende Kreisrohranordnung mit
3. Ausgewählte Übertragungsflächen-32-
der versetzten Anordnung verglichen. Ferner hat er eine versetzte Anordnung mit
flachen Rohren hinzugezogen.
1,0E-03
1,0E-02
1,0E-01
1,0E+00
1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04Re(2H)
j23f 23
a [-] m [-] b [-] n [-]0,4481 0,5000 2,5402 -0,3700
St = a / Pr Rem-1 [-] f = b Ren [-]
Abb. 3.1: Lamellen-Kreisrohr-Konfiguration mit Wirbelerzeugern, Datenblatt
3. Ausgewählte Übertragungsflächen -33-
Demnach liegen die Nusselt-Zahlen am höchsten für die versetzte Kreisrohranord-
nung. Danach kommt die versetzte Flachrohrkonstellation und am schlechtesten
schneidet die Kreisrohranordnung in fluchtender Anordnung ab.
Bei Verwendung von Wirbelerzeugern auf den Rippen ändert sich nach Valencia
[137] die Situation: Die fluchtende Kreisrohranordnung führt zu einem günstigeren
Verhältnis von Wärmeübergang zu Druckverlust als die versetzte.
Fiebig et al. [49, 50] haben den Einfluss eines Deltawinglets auf Wärmeübergang
und Strömungswiderstand einer Rippenrohrkonfiguration untersucht. Für einen
Reynolds-Zahl-Bereich zwischen 2000 und 5000 fanden sie eine optimale Konfigura-
tion der Wirbelerzeuger für die der lokale Wärmeübergang an der Rippe sich um
mehr als 70% erhöht. Ferner erhöhte sich der mittlere Wärmeübergang an der Rippe
um 20% bei gleichzeitiger Verringerung des Druck- und Reibungswiderstandes von
Rohr und Rippe um 7% für ein Flächenverhältnis von Rippe zu Halbflügelpaar von
375.
Während Fiebig et al. [49, 50] ein Rohr mit einer Rippe untersucht hat, hat Bastani [4]
den Einfluss von Wirbelerzeugern in einem kompletten Wärmeübertrager betrachtet.
Dazu wurde der Lamellenrohrwärmeübertrager in einen Einlaufbereich und einen
vollentwickelten Bereich (jeweils hydrodynamisch und thermisch) unterteilt und nu-
merisch simuliert. Die Wirbelerzeuger wurden in Anlehnung an die optimierte Anord-
nung von Fiebig et al. [49, 50] eingebaut.
3.1.2 PLATTENWÄRMEÜBERTRAGERKONFIGURATION MIT GEPRÄGTENWIRBELERZEUGERN
Das Grundelement, aus dem der Kreuzstromplattenwärmeübertrager aufgebaut ist,
ist mit seinen Abmessungen in Abb. 3.2 gezeigt. Es handelt sich um eine Anordnung,
bei der die Wirbelerzeuger etwa die Abmessungen der von Güntermann [62] unter-
suchten ausgestanzten Rechteckwinglets haben (Maßangaben lt. [62]).
3. Ausgewählte Übertragungsflächen-34-
1,0E-03
1,0E-02
1,0E-01
1,0E+00
1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04Re(2H)
j24f 24
b1 [-] c1 [-] b2 [-] c2 [-]0,3220 -0,4489 0,9439 -0,3600
St = b1 Rec1 Pr-2/3 [-] f = b2 Rec2 [-]
Abb. 3.2: Plattenwärmeübertragerkonfiguration mit geprägten Wirbelerzeugern, Da-
tenblatt
3. Ausgewählte Übertragungsflächen -35-
Durch den Prägeprozess können Wirbelerzeuger kostengünstig hergestellt werden.
Für eine Serienfertigung können so preiswerte Prägewerkzeuge entwickelt werden.
Während also die Herstellungskosten erniedrigt werden und die mechanische Stabi-
lität zunimmt, können die Betriebskosten dadurch ansteigen, das die Leistungsfähig-
keit durch das Fehlen scharfer Ablösekanten10 abnimmt. Es war zu erwarten, dass
der Druckverlust etwa der gleiche wie beim Winglet sein sollte, weil u. a. Grosse-
Gorgemann [61] gezeigt hat, dass er im Wesentlichen durch den Formwiderstand
beeinflusst wird und dieser sich geringfügig unterscheidet.
3.1.3 WÄRMEÜBERTRAGER MIT DREIECKIGEN KANÄLEN MIT EINGESTANZ-TEN WIRBELERZEUGERN
Zu dieser neuen Konfiguration (Abb. 3.3) wird in Kapitel 6 ein Datenblatt aus Mes-
sergebnissen und numerischen Ergebnissen erstellt. Die Wahl von dreieckige Kanäle
bildenden Sekundärrippen in Plattenwärmeübertragern ist als Konzept bereits be-
kannt, vgl. Kays & London [70] und Brockmeier et al. [25]. Neu ist das Anbringen von
Wirbelerzeugern auf den Sekundärrippen.
Die Dreiecksrippen bewirken eine Vergrößerung der Wärmeübertragungsfläche. Fer-
ner erfolgt eine Stabilisierung der Konstruktion im Vergleich zum glatten Spalt, so
dass Verformungen der Grundplatten bei Druckdifferenzen zwischen den beiden
Fluidseiten abgefangen werden können.
Durch die ausgestanzten Wirbelerzeuger in den Sekundärrippen wird eine Erhöhung
des Wärmeübergangskoeffizienten ohne die Gefahr der Fluidmischung zwischen
warmer und kalter Seite der Platten möglich. Die Dreiecksrippen wirken dabei primär
als Rippen und „Träger“ der Wirbelerzeuger. Die Wahl der Konfiguration stützt sich
auf Optimierungsberechnungen mittels CFD von Batta [8]. Die Anordnung der Wir-
belerzeuger bewirkt ein großräumiges Durchmischen der Kernströmung. Die An-
stellwinkel der Wirbelerzeuger werden so gewählt, dass das Upwashgebiet auf die
gegenüberliegenden Kanalseiten ohne Wirbelerzeuger gerichtet ist.
10 Vom Verfasser wurde numerisch (FIVO) und experimentell (durch AAM) gezeigt, dass die gewähl-ten geprägten Wirbelerzeuger oberhalb etwa einer Reynolds-Zahl ReH = 800 Längswirbel generieren.
3. Ausgewählte Übertragungsflächen-36-
Periodenlänge p
Strömungsrichtung
Strömungsrichtung
Strömungsrichtung
1,98 H 0,91 H 0,48 H
30°
90°
90°
0,81 H 0,43
H
0,92 H
28°62°
90°
3,375 H
0,1 H
90°
0,125 H
0,1 H1,
15 H
0,57
5 H
1,15 HH
60°
A-A
B-B
A
A
B
B
Abb. 3.3: Skizze des Dreieckskanals mit Wirbelerzeugern
Zur Herstellung eines Prototyps eines Gas-Gas-Wärmeübertragers im Kreuzstrom
mit solchen Dreieckskanälen mit Wirbelerzeugern werden schmale Streifen in der
3. Ausgewählte Übertragungsflächen -37-
Breite einer Kanalseite geschnitten. Aus diesen Streifen werden die Winglets ausge-
stanzt. Im nachfolgenden Fertigungsschritt werden die einzelnen Streifen in einer
Einspannvorrichtung fixiert und mit einem Laser zusammengeschweißt. Dieses Ver-
fahren erwies sich als sehr aufwendig. Eine wirtschaftlichere Fertigungsprozedur
wurde bisher nicht gefunden.
3.2 REFERENZKONFIGURATIONEN
Um einen Maßstab für die Verbesserung des Wärmeübergangs (bei gleichzeitiger
Zunahme des Druckverlustes) zu haben, werden alle Konfigurationen auf den Fall
des ebenen Spaltes mit vollentwickelter Strömung bezogen. Da der ebene Spalt kei-
ne Einbauten besitzt, beträgt sein hydraulischer Durchmesser exakt 2H.
Ob die Strömung laminar oder turbulent ist hängt von der Reynolds-Zahl ab. Experi-
mentelle Ergebnisse aus der Literatur (Bhatti & Shah [23]) zeigen, dass die kritische
Reynolds-Zahl für Spaltströmungen Rec = udh dh/ν je nach Einlaufsituation in den Ka-
nal in einem Bereich von 2600 < Rec < 3400 liegt. Es wird in [23] empfohlen, die kriti-
sche Reynolds-Zahl in Spalten und Kanälen mit rechteckigem Querschnitt und sym-
metrischem scharfkantigem Eintritt mit Rec = 3100 anzunehmen. Die Berechnung der
Stanton Zahl St und des Reibungsbeiwerts f erfolgt für den laminaren Bereich nach
den Beziehungen (Shah & Bhatti [113]):
PrRe54,7St = ,
Re24f = (3.1)
Die Stanton-Zahl im turbulenten Bereich wird nach Blasius berechnet [23]:
RePr)100(Re0214,0St
6,08,0
−
−= , 25,0Re079,0f −= (3.2)
Die Beziehungen zur Berechnung der Stanton-Zahl wurden vereinfacht wie die für
konstante Wandtemperatur angenommen.
4. Experimentelle Untersuchungen-38-
4. EXPERIMENTELLE UNTERSUCHUNGEN
4.1 BESTIMMUNG LOKALER WÄRMEÜBERGANGSKOEFFIZIENTENDURCH MESSUNG DES ANALOGEN STOFFÜBERGANGS
Zur Bestimmung lokaler Wärmeübergangskoeffizienten stehen verschiedene experi-
mentelle Verfahren zur Verfügung, deren Versuchssituation verschiedenen thermi-
schen Randbedingungen entspricht, u. a. stationäre und instationäre Messungen von
lokalen Temperaturen oder der Lage von Isothermen oder Verfahren zur Messung
des lokalen Stoffübergangs und Verwendung der Analogie von Wärme- und Stoff-
transport.
Für die Verwendung der Ergebnisse von Stoffübergangsmessungen ist die Gültigkeit
der Analogie von Wärme- und Stoffübertragung weniger kritisch als die Entspre-
chung/Analogie der (dimensionslosen) Randbedingungen in Experiment und Anwen-
dung, insbesondere in laminaren Strömungen.
Das in dieser Arbeit verwendete physikalisch-chemische Messprinzip basiert auf ei-
ner chemischen Nachweismethode für Ammoniak (Ammoniak-Absorptions-Methode
AAM, vgl. Kottke et al. [73], Kottke et al. [74] und Leiner et al. [80]). Dabei wird Am-
moniak dem Luftstrom zugemischt und an der Plattenoberfläche absorbiert. Durch
eine schnelle, farbgebende Reaktion entsteht eine Färbung, deren Intensität der ab-
sorbierten Ammoniakmenge entspricht und die photometrisch ausgewertet wird. Die
Oberfläche des Messobjekts, z. B. eine Wärmeübertragungsfläche mit Wirbelerzeu-
gern, wird hierfür mit einer saugfähigen Trägerschicht belegt. Als Trägerschicht eig-
nen sich Filterpapier, Membranfolien, Chromatografiefolien oder wasserhaltige Gele.
Das hier als Träger verwendete Filterpapier wird mit einer wässrigen Reaktionslö-
sung von Mangan(II)-Chlorid und Wasserstoffperoxid befeuchtet. Die Zusammenset-
zung der Komponenten ist in Tabelle 4.1 angegeben.
4. Experimentelle Untersuchungen -39-
Tabelle 4.1: Zusammensetzung der Reaktionslösung bei Verwendung von 1 kg des-
tilliertem entionisiertem Wasser
Komponente Lösungsmenge [g/kg]Wasserstoffperoxid (H2O2), 30 Vol% 18,64
Mangan(II)-Chlorid (MnCl2) 50
Durch die Aufnahme der Reaktionslösung dehnt sich das Filterpapier, je nach Pa-
piersorte, aus und schrumpft bei Trocknung. Um die Längenausdehnung bei der
Trocknung einfach zu berücksichtigen, bietet es sich an, eine Papiersorte mit ani-
sotropen Ausdehnungseigenschaften zu verwenden. Das hier benutzte Papier dehnt
sich in einer Richtung stärker aus. Im Lieferzustand hat es eine Abmessung von 600
x 590 mm, wobei es nach der Befeuchtung die quadratische Abmessung von ca. 600
x 600 mm annimmt. Die Kenntnis der Längenausdehnung erlaubt es, das Papier im
Trockenzustand, selbst bei kompliziert aufgebauten Oberflächen, präzise zuzu-
schneiden, so dass die feuchtigkeitsbedingte Ausdehnung berücksichtigt wird.
Der Einsatz von Filterpapier hat den Vorteil, dass gewünschte Flächenausschnitte
auf einer Modellfläche gezielt belegt und nach dem Versuch einfach ausgewertet
werden können. Die Flächenbereiche ohne Belegung sind nicht am Stoffübergang
beteiligt. Übertragen auf ein Wärmeübergangsproblem entsprechen die nicht beleg-
ten Flächen adiabaten Wänden.
Das Messobjekt wird während der Versuchsdurchführung einem Luftstrom ausge-
setzt, dem geringe Mengen Ammoniak in kurzer Zeit zugemischt werden. In homo-
gener Verteilung umspült das Ammoniak-Luft-Gemisch den Messkörper. Wenn das
Gas auf die präparierte Oberfläche trifft, wird es, abhängig vom örtlichen Konzentra-
tionsgradienten des NH3, absorbiert. Dabei wird das NH3 aus dem Gasgemisch ab-
sorbiert und mit einer schnellen Farbumschlagreaktion lokal in der Trägerschicht ge-
bunden.
Die Nachweisreaktion des absorbierten Ammoniak erfolgt nach folgendem Schema:
NH3 + H2O ⇔ NH4OH ⇔ NH4+ + OH-
2NH4OH + MnCl2 ⇒ 2NH4Cl + Mn(OH)2
Mn(OH)2 + H2O2 ⇒ MnO2 + 2H2O (4.1)
4. Experimentelle Untersuchungen-40-
Der entstehende Braunstein (MnO2) ist ein unlösliches Endprodukt der Reaktion. Er
bewirkt die bleibende sichtbare Verfärbung des Filterpapiers.
Die Farbänderung ist ein Maß für die lokal absorbierte Ammoniak-Belegungsdichte.
Die konzentrationsabhängige Verfärbung bzw. der damit verbundene unterschiedli-
che Remissionsgrad wird photometrisch gemessen, und mittels einer Kalibrierung
wird die übertragene Stoffmenge bestimmt.
In den Versuchen wurden jeweils etwa 500 bis 800 ppm NH3 dem Luftstrom beige-
setzt. In Kottke et al. [73] werden 100 ppm angegeben. Die Wahl der geeigneten
Ammoniak-Konzentration lässt sich auf empirische Weise abschätzen. Verwendet
man einerseits eine zu geringe Konzentration, so verläuft die Reaktion auf dem Fil-
terpapier zu schwach und die anschließende fotometrische Auswertung wird durch
geringe Kontrastunterschiede erschwert. Andererseits führt eine zu hohe Konzentra-
tion zur lokalen Sättigung, wodurch die weitere Absorption gehemmt wird. Infolge-
dessen nimmt wiederum der Kontrastunterschied ab.
Die während des Versuchs je Flächeneinheit übertragene und absorbierte Stoffmen-
ge wird als Belegungsdichte b bezeichnet. Sie wird remissionsfotometrisch durch den
Remissionsgrad R gemessen. Der Zusammenhang zwischen der Belegungsdichte
und dem Remissionsgrad wird über eine Eichbeziehung ermittelt.
Für konvektive Stoffübertragung gilt analog der konvektiven Wärmeübertragung der
Newton´sche Ansatz:
)(m AwAAA ρ−ρβ= ∞! (4.2)
mit der Stoffstromdichte Am! , dem Stoffübergangskoeffizienten Aβ und der Partial-
dichtedifferenz des Ammoniak zwischen Luftstrom ρA∞ und Wand ρAw. Wenn Infor-
mationen über den lokalen Stoffübergangskoeffizienten gefragt sind, müssen die
Partialdichten bekannt sein. Man nimmt an, dass das Ammoniak beim Auftreten auf
die Wand sofort in Lösung geht und dort schnell und vollständig chemisch reagiert.
Daher gilt für die Luft nahe der Wand
ρAw = 0 (4.3)
Der Zeitbezug des bei der Reaktion impulsartig eingedüsten Ammoniak-Luft-
Gemisches wird durch Integration von Gl. 4.2 über die Versuchszeit t eliminiert
4. Experimentelle Untersuchungen -41-
∫∫∫ ∞∞ ρβ=ρβ=t
0AA
t
0AA
t
0A dtdtdtm! (4.4)
Für kleine Partialdichten ρA∞ ist βA unabhängig von der Versuchszeit t und ρA∞, wes-
halb βA vor das Integral gezogen werden kann. Für das Integral der Partialdichte er-
gibt sich dann
L
At
0A V
Mdt!
=ρ∫ ∞ , (4.5)
mit der am Eintritt zugeführten Ammoniakmenge MA und dem konstanten Luftvolu-
menstrom LV! . Der Volumenstrom LV! wird über eine Normblende am hinteren Ende
des Windkanals (Abb. 4.1) gemessen. Da der Volumenstrom von Ammoniak sehr
viel geringer ist als der von Luft, wird er in Gl. 4.5 vernachlässigt.
Für die lokale Belegungsdichte gilt
∫=t
0A dtmb ! (4.6)
womit man den Zusammenhang für den örtlichen Stoffübergangskoeffizienten erhält:
A
LA M
Vb !=β (4.7)
Die lokale Belegungsdichte wird nach einer Kalibrierung aus dem örtlichen Remissi-
onsgrad bestimmt.
Die während der Versuchszeit eingeleitete Ammoniakmenge kann u. a. auf zweierlei
Weise gemessen werden: Die Zudosierung von NH3 erfolgt entweder unter Messung
des Volumenstroms mit Hilfe eines Schwebekörperdurchflussmessers (Rotameter)
mit einem Zeitgeber oder durch Zugabe eines definierten Volumens mittels einer
Kolbeneinspritzanlage direkt in den Ansaugstutzen des Windkanals, wodurch eine
gute Vermischung mit dem angesaugten Luftstrom im Gebläse gewährleistet wird. In
dieser Arbeit wurde das Rotameter-Verfahren verwendet.
Bei Verwendung des Rotameters befindet sich an dessen Austritt ein Drosselventil,
das den Volumenstrom reguliert. Durch eine Schlauchleitung ist das Rotameter mit
einem elektrischen Magnetventil verbunden, das unmittelbar am Ansaugstutzen plat-
ziert ist. Das Ammoniak wird aus einer Hochdruckgasflasche bei etwa 7 bar zur Ver-
4. Experimentelle Untersuchungen-42-
fügung gestellt und in einem an die Gasflasche angeschlossenen Druckminderer auf
ein bar Überdruck gedrosselt. Im Augenblick der Öffnung des Magnetventils steigt
der Ammoniakvolumenstrom steil an und pendelt sich nach kurzer Zeit auf den ein-
gestellten Wert ein. Es werden je Versuch etwa 3 bis 4 mg/s Ammoniak einem Luft-
volumenstrom von etwa 0,01 m3/s beigemischt.
0,155 p
1 2 3 4
5 6 7 8
910
18
12
13
11
12
14
15
16
17
NH3
Abb. 4.1: Schematische Darstellung (Horstmann [64]) des für die AAM eingesetzten
Strömungskanals und der Dosiereinrichtung für die Ammoniakzuführung11
Das Einpendeln des NH3-Volumenstroms auf einen konstanten Wert kann mehrere
Sekunden dauern, wodurch die exakte Messung der eingedüsten Ammoniakmenge
erschwert wird. Zur Abhilfe wird in einem Bypass (13) bereits vor dem Zeitpunkt des
Eindüsens ein konstanter Volumenstrom eingestellt. An das Rotameter schließt sich
ein Verteilerstück an, von dem zwei Leitungen, eine in den Versuchsstand, die ande-
re als Bypass in die Abluft, abgehen. Am Ende jeder Leitung befinden sich bauglei-
che Magnetventile. Während das eine Ventil in dem Ansaugtrichter des Radialgeblä-
11 Der Versuchsstand besteht aus folgenden Komponenten: Radialverdichter (1), Diffusor (2), Vor-kammer (3), Düse (4), Messstrecke (5), Düse (6), Beruhigungsstrecke (7), Normmessblende (8),Druckmessdose (9), Anzeigegerät (10), Steuereinheit (11), Magnetventile (12), Bypassleitung (13),Rotameter (14), Ventil mit Druckminderer (15), Druckbehälterventil (16), Druckflasche (17), Einsprit-zeinrichtung (18).
4. Experimentelle Untersuchungen -43-
ses mündet, führt das Bypassventil zu einem Schlauch, der das Ammoniak aus dem
Gebäudes führt.
Beim Dosierverfahren mittels Kolbeneinspritzung, das hier der Vollständigkeit halber
erwähnt sei, wird die erforderliche Ammoniakmenge in einem Zylinderkolben gemes-
sen und anschließend in den Kanal eingedüst, Thulfaut [131]. Es wird aus der Am-
moniakflasche ein Stahlzylinder mit 5 mm Wandstärke und 50 mm Innendurchmes-
ser bei Umgebungsdruck gefüllt. Am Boden des Zylinders ist eine Bohrung ange-
bracht, durch die Ammoniak zugeleitet wird. In dem Zylinder befindet sich ein Kolben,
der entsprechend der Füllmenge nahezu isobar hochgefahren wird. Durch eine Ein-
rastautomatik wird der Kolben bei Erreichen der gewünschten Füllmenge arretiert.
Das Ausströmen aus dem Zylinder wird dadurch kontrolliert, dass nach Schließen
des Ventils zur Gasflasche das zum Ansaugstutzen führende Ventil geöffnet wird.
Die Dichtung zwischen Kolben und Zylinderwand hat einen wichtigen Einfluss auf die
Messgenauigkeit. Durch den Befüllungs- und Entlehrungsvorgang wird die verwen-
dete Gummidichtung abgerieben, so dass schnell Undichtigkeiten entstehen können,
die zum Entweichen des Zylinderinhalts führen. Daher ist es erforderlich, die Dich-
tungen regelmäßig zu schmieren und nach einigen Versuchen auszuwechseln.
Wenn die Arretierung aufgehoben wird, wird der Kolben durch sein Eigengewicht
nach unten gedrückt, wodurch das Gas aus dem Zylinder entweicht.
Aus den gemessenen lokalen Stoffübergangskoeffizienten werden die lokalen Wär-
meübergangskoeffizienten unter Annahme der Analogie von Wärme- und Stoffüber-
tragung bestimmt. Wärme- und Stoffübergang können in laminaren wie turbulenten
Strömungen näherungsweise durch Potenzgleichungen der gleichen Form darge-
stellt werden; für die Wärmeübertragung ausgedrückt durch die Nusselt-Zahl
Nu = A ReB PrC (4.8)
und analog für den Stoffübergang ausgedrückt durch die Sherwood-Zahl Sh
Sh = A ReB ScC (4.9)
Hierbei sind A bis C theoretisch oder empirisch gefundene Konstanten, welche für
laminare bzw. turbulente Strömungen verschiedene Werte annehmen können. Eine
erweiterte Analogie für Werte der Lewis-Zahl12
12 Für Gasgemische ist Le von der Größenordnung 1.
4. Experimentelle Untersuchungen-44-
1Da
PrScLe
A
≠== (4.10)
liefert folgende Beziehung aus den Gln. 4.8 und 4.9
CC
A
C
LeDa
PrSc
NuSh =
=
= , (4.11)
mit der Temperaturleitfähigkeit a der Luft und dem Diffusionskoeffizienten DA von
Ammoniak in Luft. Dabei ist die Konstante C abhängig von den Randbedingungen
der Geschwindigkeits-Temperatur- bzw. der Geschwindigkeits-Konzentrations-
Felder13. Im laminaren Grenzschichtbereich einer Kanalströmung gilt
1/3 < C < 1/2 (4.12)
wobei der untere Wert für ∞→Pr gilt und der obere Wert für 0Pr → . Bei Innen-
strömungen mit turbulenten Grenzschichten gilt hingegen (Kottke et al. [73])
1/3 < C < 0,8 (4.13)
wobei wiederum die untere Schranke Gültigkeit besitzt für ∞→Pr und die obere
Schranke für 0Pr → . Die Grenzen der Exponenten hängen von dem Wert von Pr
und vom Typ der Strömung ab.
Gl. 4.11 gilt mit ausreichender Genauigkeit, wenn die Lewis-Zahl von der Größen-
ordnung 1 ist. Bei Umgebungsbedingungen ist die Prandtl-Zahl von Luft Pr = 0,72. Im
betrachteten Fall beträgt die Schmidt-Zahl von Luft-Ammoniak bei Umgebungsdruck
(988 mbar) und Umgebungstemperatur (20 °C) Sc = 0,62. Die Lewis-Zahl beträgt
demnach 0,86, d. h. das Verhältnis aus Prandtl- und Schmidt-Zahl ist von der Grö-
ßenordnung 1.
Da mit dem Versuchsstand Messungen in laminaren, wie auch in turbulenten Strö-
mungen durchgeführt werden können, bietet es sich an, den Exponenten
C = 0,5 (4.14)
anzunehmen. Damit gilt mit einem maximalen Fehler < 2% [73]
Nu = 1,07 Sh (4.15)
In Gl. 4.7 sind sowohl die Belegungsdichte als auch der Stoffübergangskoeffizient
zunächst unbekannt. Da bei der Messung des lokalen Stoffübergangskoeffizienten
die Belegungsdichte an der entsprechenden Stelle bestimmt werden muss, wird die-
13 Meistens von der Größenordnung 1/3.
4. Experimentelle Untersuchungen -45-
se zunächst durch eine Eichung mit der gemessenen Verfärbung korreliert. Der zu
findende Zusammenhang lautet daher
Rw = Rw(bw) (4.16)
Hierbei bedeutet Rw der Remissionsgrad an der Wand, wo das Ammoniak in Reakti-
on geht. Der Index soll dabei auf die Ortsabhängigkeit hinweisen. Der Remissions-
grad ist der Grauwert eines beaufschlagten Filterpapiers bezogen auf den Grauwert
des Papiers vor der Messung.
Zur Kalibrierung der Beziehung zwischen Belegungsdichte und Remissionsgrad
(Verfärbung) wird eine Staupunktströmung auf einer Kreisscheibe erzeugt. Einfache
Anordnungen mit geringer Turbulenz können mit hoher Genauigkeit berechnet wer-
den oder die lokale Verteilung der Übertragungskoeffizienten kann auf eine Ge-
schwindigkeitsverteilung zurückgeführt werden, die aus einfachen Druckmessungen
abgeleitet werden kann ([73,74]).
In dieser Arbeit wurde der Stoffübergang im Staupunkt einer normal angeströmten
Kreisscheibe zur Kalibrierung genutzt. Dieser ist in einem größeren Bereich um den
Staupunkt annähernd konstant [74].
Mit abnehmendem Turbulenzgrad und bei geringen Reynolds-Zahlen (Re < 6000)
nähert sich die Frössling-Zahl14 dem konstanten Wert
67,0ReShFr == (4.17)
Man erhält also mit Gln. 4.7 und 4.17 mit der bekannten Relation
Re67,0D
dShA
A =β= , (4.18)
wobei d der Kreisscheibendurchmesser ist, auf den auch die Reynolds-Zahl bezogen
ist
14 Die Reynolds-Zahl ist auf den Durchmesser der Kreisscheibe bezogen. Der rechte Teil von Gl. 4.19ergibt sich daraus, dass die Geschwindigkeit, mit der die Reynolds-Zahl gebildet wird, die Hauptströ-mungsgeschwindigkeit im freien Kanalquerschnitt ist. Deswegen werden bei ihrer Berechnung derVolumenstrom und der Kanalquerschnitt mit einer Breite von B und einer Höhe von H abzüglich derScheibenfläche verwendet.
4. Experimentelle Untersuchungen-46-
π−υ
==
4dHBVd
MDFrVd
MDReFrb2
AAAA
!!
(4.19)
als Arbeitsgleichung bei der Eichung. Man beachte, dass hier Sh und Re auf den
Kreisscheibendurchmesser d als charakteristische Länge bezogen sind.
Die Definition des Stoffübergangskoeffizienten an einer Stelle x nach Gl. 4.7 kann
wahlweise mit der zugeführten Ammoniakmenge MA = MA, ein am Eintritt in die Mess-
strecke erfolgen oder mit der den Strömungsquerschnitt x erreichenden durch Ab-
sorption stromauf verminderten Ammoniakmenge MA, x. Für näherungsweise vollent-
wickelte Strömung ist nur die zweite Definition sinnvoll.
Die lokal verfügbare NH3-Menge ∫ ∞ρ=t
0x,ALx,A dtVM ! in Gl. 4.5 wird unter Berücksich-
tigung der stromauf erfolgten Absorption für jeden Querschnitt x bestimmt. Strömt die
mit Ammoniak versetzte Luft über ein Filterpapierflächenelement, wird lokal Ammo-
niak absorbiert, und die in der Strömung verbleibende Menge wird um den absor-
bierten Anteil reduziert. Dieser Vorgang, der sich bis zum Ende des Filterpapiers
fortsetzt, lässt sich durch einen Algorithmus der Form NH3-Menge(n+1)= NH3-
Menge(n) – (Belegungsdichte x Einheitsfläche) darstellen. Dabei bezeichnet n eine
Zeile von Pixeln des eingescannten Filterpapiers und mit Einheitsfläche ist der Flä-
cheninhalt der Pixelreihe dieser Zeile gemeint. Die Belegungsdichte wird aus einer
Mittelung der Grauwerte einer Zeile aus der Kalibrierkurve bestimmt. Unter Berück-
sichtigung der Analogie von Wärme- und Stoffübertragung entspricht die lokal in der
Strömung verbleibende Ammoniakmenge der örtlichen Bulktemperatur, die sich beim
Überströmen einer isothermen Wand höherer Temperatur im kälteren Fluid einstellt.
Der Unterschied beider Definitionen ist nahe dem Eintritt, für NTU << 1, vernachläs-
sigbar und wächst mit der Lauflänge bzw. mit dem Wert NTU der überstrichenen Flä-
che15.
15 In dieser Arbeit sind alle Kennzahlen, bis auf die Ergebnisse für die längsgemittelten Nusselt-Zahlen, auf die massenstrom-gemittelte Konzentration bzw. Bulktemperatur bezogen.
4. Experimentelle Untersuchungen -47-
[91] führt Stoffübergangsmessungen am ebenen Spalt für laminare Strömungen mit
und ohne Verlustkorrektur durch und vergleicht die mittleren absoluten Abweichun-
gen zu Literaturwerten nach [113]. Als Resultat erhält er für eine Reynolds-Zahl (be-
zogen auf die Spalthöhe) von 1000 eine mittlere Abweichung von 4,9% mit NH3-
Korrektur und eine mittlere Abweichung von 14,7% ohne NH3-Korrektur.
4.2 VERSUCHSKONFIGURATION VEHE-DREIECKSKANAL
In Abb. 4.2 ist ein Foto des Modells der Plattenkonfiguration mit Sekundärrippen und
ausgestanzten Wirbelerzeugern abgebildet. Zu Vergleichszwecken wurde die gleiche
Konfiguration auch ohne ausgestanzte Wirbelerzeuger untersucht16. Der Testkanal
wurde aus 2 mm dickem PVC hergestellt, die Winglets wurden ausgesägt und an
den entsprechenden Stellen geklebt. Die Konfiguration besitzt eine Kanalhöhe von H
= 32 mm. Die übrigen Abmessungen sind auf H bezogen (vgl. Abb. 3.3).
In einem Hochleistungswärmeübertrager ist eine Kanalhöhe von etwa 5 mm realis-
tisch. Die Winglets können durch Ausstanzen und Biegen hergestellt werden. Die
einzelnen Streifen mit den Winglets werden im Anschluss gebogen.
Der gesamte Luftvolumenstrom wird auf 7 dreieckige Kanäle aufgeteilt. Jeder Drei-
eckskanal wiederholt sich viermal periodisch in Strömungsrichtung. Am Kanaleintritt
liegt ein sich entwickelndes pfropfenförmiges Strömungsprofil vor. Periodische Strö-
mungen wurden direkt nicht gemessen, jedoch hat sich die eintretende Strömung
periodisch entwickelt und sich nach zwei bis drei Perioden bzw. Wirbelerzeugern
nicht mehr nennenswert geändert.
Während der Messungen war jeweils eine Seite der Modelloberfläche mit Filterpapier
und Reaktionslösung belegt, wobei auf den anderen Seiten keine Reaktion zustande
kam. Die analoge thermische Randbedingung heißt also auf einer Seite Tw = kons-
tant, auf den beiden anderen Seiten adiabate Wand.
16 hier nicht abgebildet
4. Experimentelle Untersuchungen-48-
Abb. 4.2: Foto der untersuchten Konfiguration. Der Pfeil im oberen Rand des Bildes
zeigt die Strömungsrichtung an. Die Diskette und der anliegende Maßstab vermitteln
einen Eindruck der Größenverhältnisse
5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung -49-
5. KOSTEN DER WÄRMEÜBERTRAGUNG UND OPTIMIE-RUNG
Die Kosten der Wärmeübertragung17 setzen sich zusammen aus (einmaligen) Inve-
stitionskosten für den Wärmeübertrager und seine Aufstellung sowie für notwendige
Gebläse oder Pumpen und ihre Installation und aus (wiederkehrenden) Betriebs-
kosten für die erforderliche Förderleistung und evtl. für Wartung und Reinigung. Inve-
stitionskosten werden in dieser Betrachtung auf die erwartete Betriebszeit innerhalb
der Lebens- oder der Abschreibungsdauer verteilt.
Zu den Kosten der Wärmeübertragung gehört auch die Entwertung der Wärme durch
Temperaturdifferenzen (Exergieverluste), welche sich wesentlich auf den Pri-
märenergiebedarf einer Anlage auswirken. In vielen Fällen, vor allem bei der Ersatz-
beschaffung von Wärmeübertragern, ist jedoch die zulässige mittlere Temperaturdif-
ferenz ∆Tm bzw. die minimale ∆Tmin durch Prozessdaten des Anwenders/Bestellers
vorgegeben.
5.1 KOSTENZUORDNUNG ZU BAU- UND BETRIEBSGRÖSSEN
Die Kosten der Wärmeübertragung sind normalerweise aus der Sicht des Wärme-
übertrageranwenders zu betrachten. Eine kostenoptimierte Auslegung ist jedoch
meist nur durch den Hersteller möglich. Um den Bezug zu den wesentlichen Ausle-
gungsgrößen, der Wärmeleistung Q! , der Übertragungsfläche A, der Förderleistung
P! und der mittleren Temperaturdifferenz ∆Tm, zu gewinnen, werden die Kosten im
Folgenden nach ihrer Abhängigkeit von diesen Größen in übertragungsflächenab-
17 Wirtschaftliche Aspekte der Auslegung von Wärmeübertragern werden von Kern [71] diskutiert.Bergmann & Schmidt [21] erläutern die kostenwirtschaftliche Optimierung von Wärmeübertragern zurregenerativen Speisewasservorwärmung und Cornelissen & Hirs [29] betrachten Lebenszyklusanaly-sen von Wärmeübertragersystemen.
5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung-50-
hängige Kosten KA, förderleistungsabhängige Kosten KP und Kosten durch Exergie-
verluste der Wärme K∆T unterschieden:
TPA KKKK ∆++= (5.1)
Die übertragungsflächenabhängigen Kosten KA sind vor allem die Kosten für den
Wärmeübertrager, die sich zusammensetzen aus den Kosten der Übertragungsflä-
chen, des Gehäuses und der Montage sowie dem Unternehmergewinn des Herstel-
lers; hierzu können weiter die Kosten der Aufstellung des Wärmeübertragers und die
über die Lebensdauer oder Abschreibungszeit aufzuwendenden Wartungskosten
gerechnet werden.
Die förderleistungsabhängigen Kosten KP sind die Kosten der (elektrischen) Antriebs-
energie sowie Investitionskosten für Motoren, Gebläse und Installation.
Die Kosten K∆T der Exergieverluste der Wärme resultieren aus der abnehmenden
Verwertbarkeit der Wärme mit abnehmender Temperatur und sind stark abhängig
von der Form der Wärmebereitstellung (Verbrennung oder elektrische Heizung) so-
wie von den Möglichkeiten der Abfuhr oder Nutzung der Abwärme beim Anwender.
Vom Anwender bzw. Besteller wird deshalb die Mindesttemperaturdifferenz ∆Tmin
und damit die mittlere Temperaturdifferenz ∆Tm häufig vorgegeben. Ihre Optimierung
wird daher hier nicht weiter betrachtet.
Jede der drei hier unterschiedenen Kostenanteile der Gl. 5.1, rechte Seite, enthält
Anteile von Investitions- und von Betriebskosten, jedoch überwiegt, insbesondere für
große Einheiten, der Investitionskostenanteil in KA bzw. der Betriebskostenanteil in
KP und in K∆T.
Die Kosten nach Gl. 5.1 werden zweckmäßigerweise als spezifische Kosten der
Wärmeübertragung auf den übertragenen Wärmestrom bezogen:
m2m
0TPA T
TTk
QPk
QAk
QK
QK ∆++== ∆!
!
!!
!
!
(5.2)
Die durch Gl. 5.2 eingeführten Kostenfaktoren Ak! , kP und k∆T hängen ihrerseits von
den absoluten Werten der Auslegungsgrößen A, P! und ∆Tm ab, jedoch wird diese
Abhängigkeit umso schwächer, je größer die Einheiten sind. Der Kostenfaktor Ak! ist
5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung -51-
auf die effektive Betriebszeit während der geforderten Abschreibungsdauer oder der
angenommenen Lebensdauer des Wärmeübertragers bezogen.
Zur Bestimmung der (spezifischen) Kosten der Wärmeübertragung werden geeignete
Werte der Kostenfaktoren Ak! , kP und k∆T ermittelt. Die Kosten sind für die optimierte
Auslegung eines Wärmeübertragers zu minimieren. Eine Eigenheit der Notation von
Gl. 5.2 ist der Bezug der zeitbezogenen Kosten auf die übertragene Wärmeleistung.
Die Investitionskosten werden auf die erwartete effektive Betriebszeit bezogen. Für
große Einheiten in wiederkehrender Bauweise können die Faktoren Ak! und kP in er-
ster Näherung als unabhängig von den Größen A bzw. P! angesehen werden.
Die minimalen und damit auch die mittleren Temperaturdifferenzen werden i. Allg.
vom Auftraggeber vorgegeben, so dass eine Kostenminimierung im Hinblick auf die
Exergieverluste der Wärme, bzw. auf ∆Tm, sich erübrigt. Die Optimierung von ∆Tm
wird deshalb hier nicht weiter betrachtet (siehe oben); jedoch ist die hier vorgestellte
Betrachtungsweise ohne weiteres auch bei Abhängigkeit der Faktoren Ak! und kP von
A bzw. P! und auf die Optimierung von ∆Tm anwendbar.
Kosten durch Mischung oder Leckagen sowie die durch Dissipation der Förderleis-
tung erzeugte Wärme und deren Exergiegehalt werden hier vernachlässigt.
5.1.1 KOSTENOPTIMIERUNG FÜR EINSEITIGE BETRACHTUNG (TW = KONST.)
Eine einseitige Betrachtung bietet sich an, wenn die Temperatur des anderen Fluids
konstant und zugleich der Wärmeübergangswiderstand vernachlässigbar ist, wie bei
Verdampfung und Kondensation. Dann gilt T2 = Tw = konst.
Die wesentlichen kostenbestimmenden Größen, die erforderliche Übertragungsfläche
A und die Förderleistung P! , hängen von der Strömungsgeschwindigkeit bzw. von der
Reynolds-Zahl und von den mit ihr verbundenen Wärmeübergangskoeffizienten oder
von der Stanton-Zahl ab. Die (auf den übertragenen Wärmestrom bezogene) Über-
tragungsfläche lässt sich mit Hilfe der Kenngrößen Reynolds- und Stanton-Zahl der
5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung-52-
Strömung und des Wärmeübergangs für einen Strömungsweg folgendermaßen be-
schreiben:
StRecTd
T1
QA
pm
h
m η∆=
∆α=
!(5.3)
Dabei ist ∆Tm die mittlere Temperaturdifferenz zwischen Strömung und Wand einer
betrachteten Fluidseite:
wm TTT −=∆ (5.4)
Die Übertragungsfläche und die hierfür aufzuwendenden Kosten nehmen mit stei-
gender Strömungsgeschwindigkeit bzw. Reynolds-Zahl und mit steigender mittlerer
Temperaturdifferenz ab; damit ist eine Verkleinerung des erforderlichen Bauvolu-
mens des Wärmeübertragers verknüpft18.
Die erforderliche Übertragungsfläche und das Bauvolumen wachsen oder fallen auch
mit dem hydraulischen Durchmesser. In der Praxis ist der hydraulische Durchmesser
oft herstellerspezifisch, z. B. durch vorhandene Werkzeuge, festgelegt, wenn nicht,
ist er durch den Fertigungsaufwand und durch Verschmutzungsrisiko nach unten be-
grenzt. Hydraulische Durchmesser von z. T. unter einem Millimeter sind, wie schon
erwähnt, in industriellen Anwendungen, z. B. im Automobilbau, Stand der Technik.
Für die erforderliche spezifische Pumpleistung ergibt sich folgender Ausdruck;
StTc2fu
StRef
Tcd2QP
mp
22
mp2h
2
∆=
∆ν=
!
!(5.5)
eine Steigerung der Reynolds-Zahl bzw. der Strömungsgeschwindigkeit u bewirkt
eine etwa quadratische Steigerung der spezifischen Pumpleistung während zugleich
die erforderliche Übertragungsfläche nur weniger als reziprok zu der Reynolds-Zahl
oder u reduziert wird. Der Reibungsbeiwert f und die Stanton-Zahl St sinken mit stei-
gender Reynolds-Zahl, jedoch kompensiert sich ihr Einfluss in Gl. 5.5 weitgehend.
18 Dies ist zum Verständnis wichtig, weil ideale Wärmeübertrager, entgegen der intuitiven Vorstellung,nicht eine unendlich große sondern gar keine Wärmeübertragungsfläche besitzen (Schlünder [105],Stephan [121]).
5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung -53-
Gl. 5.5 gilt unter der Annahme P! <<Q! , d. h. die Wärmeerzeugung durch Dissipation
der Pumpleistung wird vernachlässigt. Wenn diese Vernachlässigung nicht gilt, wird
der zu übertragende Wärmestrom Q! durch dissipierte Pumpleistung bei einem Heiz-
prozess gemindert, bei Kühlprozessen jedoch erhöht.
Die Kennzahlen St und f in Gln. 5.3 und 5.5 sind Funktionen der Reynolds-Zahl und
der geometrischen Konfiguration des Strömungsweges.
Die bezogenen Exergieverluste infolge der Temperaturdifferenz (T1 –T2) der Wärme-
übertragung betragen:
QTS
T1
T1T
QE 0
irr12
0v
!!
!
!=
−=
21
m0 TT
TT ∆= (5.6)
Dabei ist die Entropieerzeugung durch Widerstände der Wärmeübertragung
21
221
21
21irr TT
)TT(AkTTTTQS −=−= !! (5.7)
naturgemäß immer positiv, wie die quadratische Abhängigkeit von (T1 – T2) in Gl. 5.7,
rechte Seite, verdeutlicht. Für die mittlere Temperaturdifferenz gilt dabei
m21m TTT −=∆ (5.8)
Die Reynolds-Zahl, der Reibungsbeiwert und die Stanton-Zahl haben in der Darstel-
lung der Gln. 5.6 und 5.7 keinen Einfluss auf den spezifischen Exergieverlust der
Wärme, sondern lediglich die mittlere Temperaturdifferenz ∆Tm. Bei Betrachtung nur
einer Seite des Wärmeübertragers ist ∆Tm die (mittlere) Temperaturdifferenz zwi-
schen der mittleren Bulktemperatur des Fluids und der mittleren Wandtemperatur.
Die Temperaturniveaus sind für die Entwertung der Wärme von besonderer Wichtig-
keit. Zwei Einflüsse können dabei unterschieden werden: Zum einen der Einfluss der
mittleren Temperatur 21m TTT = aus Fluid- und Wandtemperatur und zum anderen
die Referenztemperatur des gedachten Wärmereservoirs (Umgebung) T0. Der Ein-
fluss des Nenners (T1 T2) in Gl. 5.7 bewirkt bei hohen Temperaturen einen geringe-
ren spezifischen Exergieverlust als bei niedrigen. Deshalb werden z. B. bei einem
Dampferhitzer auf hohem Temperaturniveau viel größere Temperaturdifferenzen ∆Tm
zugelassen, als bei einem Wärmeübertrager der Kältetechnik, z. B. zur Luftzerlegung
5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung-54-
(Baehr [2]). Dieser Sachverhalt ist von hoher praktischer Bedeutung, weil die not-
wendige Wärmeübertragungsfläche nach Gl. 5.3 umgekehrt proportional zur mittle-
ren Temperaturdifferenz ist:
mT1QA
∆α=
!(5.9)
Mit der Definition des Wärmekapazitätsstromverhältnisses
2
11 W
WR!
!= ; iii )T/h(MW ∂∂= !! , i = 1, 2 (5.10)
bedeutet der Fall R1 = 0 eine isotherme Enthalpieänderung. Dies tritt bei Verdamp-
fung oder Kondensation ( ∞→∂∂ T/h ) definitionsgemäß auf der Seite „2“ des Appa-
rats in Verbindung mit hohen Wärmeübergangskoeffizienten auf. Dann ist nähe-
rungsweise die Wandtemperatur Tw = T2 = konst.:
∆Tm = Tb – Tw (5.11)
Dabei ist Tb (entspricht T1) die über den Massenstrom gemittelte Bulktemperatur und
Tw (entspricht T2) die Wandtemperatur. Die Stanton-Zahl und der Reibungsbeiwert
können bei der Randbedingung Tw = konst. aus Experimenten oder CFD auf be-
kannte Weise bestimmt werden.
Damit erhält man für die spezifischen Kosten der Wärmeübertragung:
m2m
0T
2
mp2h
2
Ppm
hA T
TTk
StRef
Tcd2k
StRecTdk
QK ∆+
∆ν+
η∆= ∆!
!
!(5.12)
Nach Gl. 5.12 fallen die flächenbezogenen Kosten (1. Term rechte Seite) der Über-
tragungsfläche mit steigender Reynolds-Zahl für typische Abhängigkeiten der Stan-
ton-Zahl und des Reibungsbeiwerts von der Reynolds-Zahl, während die Kosten der
Förderleistung (2. Term rechte Seite) etwa quadratisch steigen und die Exergie-
verluste der Wärme (3. Term rechte Seite) bei konstantem ∆Tm unabhängig von der
Reynolds-Zahl sind.
Eine Minimierung der spezifischen Kosten erfolgt, indem man die partiellen Ableitun-
gen von (K/Q) nach den freien Variablen der Wärmeübertragerauslegung, Re (oder
u) und ∆Tm, gleich Null setzt:
5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung -55-
( ) 0Re
QK =∂
∂ (5.13)
( ) 0TQKm
=∆∂
∂ (5.14)
Die Bedingungen in den Gln. 5.13 und 5.14 liefern Werte der Reynolds-Zahl bzw.
des ∆Tm für das Kostenminimum. Prinzipiell ist auch eine Optimierung nach dh
( )( ) 0d
QKh
=∂
∂ (5.15)
möglich. Jedoch ist die Mindestgröße des hydraulischen Durchmessers dh, wie oben
ausgeführt, technisch begrenzt und sein Einfluss ist primär dadurch reduziert, dass
er zugleich ein Faktor in der Definition der Reynolds-Zahl in den Gln. 5.3 und 5.5 ist.
Eine weitere Schwierigkeit der Optimierung von dh ist, dass von dh i. Allg. auch der
Kostenfaktor Ak! abhängt.
5.1.2 KOSTENOPTIMIERUNG FÜR BETRACHTUNG DES BEIDSEITIGENWÄRMEÜBERGANGS
Die Betrachtung beider wärmeübertragenden Fluidströme führt zur folgenden Erwei-
terung der Gl. 5.2 für die spezifischen Kosten der Wärmeübertragung:
m2m
0T
2
1ii
piAi T
TTkP
Qk
QAk
QK
QK ∆++== ∆
=∑ !
!!!
!
!, i = 1, 2, (5.16)
wobei i das Fluid (1 oder 2) bezeichnet, das die wärmeübertragende Oberfläche der
entsprechenden Seite benetzt. Das Verhältnis der Übertragungsflächen beider Sei-
ten ist für gekrümmte oder berippte Oberflächen A2/A1 ≠ 1.
Die Pumpleistung für eine Fluidseite ist definiert als:
i3h
33
i
3i d2
AfReAfu2
P
νρ=
ρ=! , i = 1, 2 (5.17)
5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung-56-
Eine Energiebilanz19 liefert für den Wärmeübergang zwischen beiden Fluiden
2m221m11'2
''22
''1
'11m TATA:)TT(W)TT(WTAkQ ∆α=∆α=−=−=∆= !!! (5.18)
wobei mit der Bestimmungsgleichung für (k A) unter Vernachlässigung des Wider-
standes der übertragenden Wand gilt:
2211 A1
A1
kA1
α+
α= (5.19)
( )ih
pipi d
StRecStuc
η=ρ=α , i = 1, 2 (5.20)
Die Stanton-Zahl und der Reibungsbeiwert werden für verschiedene Konfigurationen
in der vereinfachten Form von Potenzgleichungen einer Datenbank entnommen:
( ) ( ) i3/2
ibe
i PrjPrReaSt 1 −− == (5.21)
( ) ie
i2ReCf −= (5.22)
Verallgemeinert ergibt sich für die spezifischen Kosten (s. Anhang A):
K/Q = f(Re1, Re2, ∆Tm, Flächenkonfiguration und Stoffwerte).
Eine Kostenoptimierung erfolgt dann durch die Bedingungen20:
0Re
)Q/K(1
=∂
∂ (5.23)
0Re
)Q/K(2
=∂
∂ (5.24)
0T
)Q/K(m
=∆∂
∂ (5.25)
Das Gleichungssystem (5.23) bis (5.25) kann beispielsweise nach dem Newton-
Verfahren iterativ gelöst werden, wobei die Werte von Re1 und Re2 sich unabhängig
von ∆Tm ergeben und zweckmäßigerweise zuerst bestimmt werden.
19 Das ∆Tm kann man, bei Vernachlässigung des Wandwiderstands, in den Widerstand beiderFluidseiten ∆Tm1 = │T1 - Tw1│ und ∆Tm2 = │T2 - Tw2│ aufteilen, so dass ∆Tm = ∆Tm1 + ∆Tm2 gilt.20 Hinreichende Bedingung ist, dass die zweiten Ableitungen größer als Null sind.
5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung -57-
5.2 FLÄCHENBEZOGENE KOSTEN
Ein wichtiger Kostenanteil sind die flächenabhängigen Kosten, vorrangig die Materi-
al- und Herstellungskosten eines Wärmeübertragers. Die erforderliche Wärmeüber-
tragungsfläche bestimmt das Volumen des Apparats. Je höher der Aufwand zur Mo-
difikation der Übertragungsfläche ist, um Wirbelerzeuger, z. B. durch Stanz- und
Prägeprozesse, herzustellen, desto höher sind auch die flächenabhängigen Kosten.
Bei der Aufschlüsselung der Investitionskosten werden unterschiedliche Ansätze
vorgeschlagen. Gregorig [59] schlägt einen Potenzansatz der Form
K = c Aε (5.26)
bei der Berechnung eines Wärmeübertragers in Abhängigkeit der Wärmeübertra-
gungsfläche vor. Dabei schwankt der Exponent ε in Gl. 5.26 nach Gregorig [59] zwi-
schen 0,55 und 0,75 und hängt von der Art und vom Material der Übertragungsfläche
ab; der Faktor c ist von der Art der Konstruktion, vom Werkstoff und vom Druck ab-
hängig, d. h. der flächenbezogene Kostenfaktor steigt mit aufwendigerer Konstrukti-
on, höherwertigerem Werkstoff und steigendem Druck.
Leiner [79] hat eine Aufteilung der Apparatekosten in volumenproportionale und flä-
chenproportionale Kosten nach dem Zusammenhang
K = kV Vapp + kA A (5.27)
vorgeschlagen. In dieser Arbeit sind die Apparatekosten nur auf die Übertragungsflä-
che A einer Seite, z. B. A = A1, bezogen, da für einen festen Wert dh auch das Volu-
men der Übertragungsfläche proportional ist.
Wenn man die Investitionskosten als Kostenströme über die bewertete Betriebszeit
verteilen will, um durch den Zeitbezug eine Abwägung gegenüber den Betriebskos-
ten zu ermöglichen, kann man diese auf die Betriebs- oder Nutzungsdauer des
Wärmeübertragers beziehen:
tA kK A=! (5.28)
Abschreibung und Kapitalzinsen über die zu berücksichtigende Gesamtbetriebszeit
müssen in K! berücksichtigt sein.
5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung-58-
Nachfolgend sei die Berechnung des Kostenfaktors Ak! erläutert. Dieser fasst für die
Produktion und Herstellung des Wärmeübertragers wichtigen, auf die Gesamtbe-
triebsdauer bezogenen, Kosten zusammen.
Bei Vorgabe eines konstanten hydraulischen Durchmessers (auf beiden Fluidseiten)
ist das Volumen des Wärmeübertragergehäuses V ∼ A, die Längenabmessungen bei
gleicher Bauform betragen L ∼ V1/3 ∼ A1/3 und die erforderliche Wandstärke in erster
Näherung s ∼ L ∼ A1/3. Der Materialbedarf des Gehäuses bzw. die Masse ist
MGehäuse ~ L2 ∼ A, d. h. mindestens für große Einheiten ist auch der Aufwand für das
Gehäuse näherungsweise proportional zu A und kann in die flächenabhängigen Kos-
ten einbezogen werden.
Ferner gehen Abschreibungs- und Kapitalströme mit in die Berechnung ein. Der Kos-
tenfaktor lässt sich berechnen aus:
ε+++=
A
A321A t
)zt1()kkk(k! (5.29)
In Tabelle 5.1 sind als Beispiel Materialkosten k1 für einige Wärmeübertragungsflä-
chen aufgelistet. Dazu sind Preisangebote für drei verschiedene Materialien einge-
holt worden (Einzelheiten s. Scheidtmann et al. [104]), die jeweils eine Gruppe der
meistverwendeten Wärmeübertragermaterialien repräsentieren. Für Lamellen-Rohr-
Wärmeübertrager wurden die Materialkosten für die Lamellenbleche k1,1 und die
Rohre k1,2 addiert (k1 = k1,1 + k1,2).
Für alle Wärmeübertrager sind die Stanz- und/oder Prägekosten k2 zur Herstellung
der für die Strömungsmanipulation benötigten Wirbelerzeuger für die Werkstoffe
Kupfer und Aluminium mit k2 = 4 €/m2 angesetzt worden. Die höheren Kosten der
Edelstahlverarbeitung werden mit k2 = 8 €/m2 angenommen, weil dieses Material teu-
rere Werkzeuge bei geringeren Standzeiten erfordert als Kupfer oder Aluminium.
Die Montage- und Gehäusekosten k3 (ebenfalls auf die Übertragungsfläche bezo-
gen) für Kupfer- und Aluminiummaterialien werden mit k3 = 4 €/m2 in die Berechnung
des Kostenfaktors Ak! einbezogen. Die Gehäusekosten für Edelstahl werden mit ei-
nem höheren Wert k3 = 8 €/m2 veranschlagt.
5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung -59-
Ferner werden die Zinsen z mit 15 % im Jahr angesetzt und die Amortisations- bzw.
Abschreibungszeit tA mit 4 Jahren angenommen. Der Nutzungsfaktor ε, der den
durchschnittlichen Zeitanteil der Nutzung ausdrückt, findet mit 25 Prozent (6 Stun-
den/Tag) Berücksichtigung.
Tabelle 5.1: Kostenfaktoren k1 für die Wärmeübertragermaterialien Kupfer, Alumini-
um und VA-Stahl
Material Dicke [mm] k1 [€/m2]Kupfer halbhart, unlegiert 0,4 17,84Aluminium AlMg3 0,5 7,04VA-Stahl X5CrNi1810 0,5 18,41
5.3 FÖRDERLEISTUNGSABHÄNGIGE KOSTEN
Zur konvektiven Wärmeübertragung ist die Pumpleistung P! erforderlich. Die
Pumpleistung gleicht den Druckabfall im Apparat aus. Der Aufwand für Pumpleistung
ist ein maßgeblicher Teil der Betriebskosten:
∑=
∆=2
1iim,i pVP !! (5.30)
Für einen Wärmeübertrager, der mit niedrigviskosen Flüssigkeiten, z. B. Wasser, be-
trieben wird, ist die erforderliche Pumpleistung i. Allg. gering im Verhältnis zur Wär-
meübertragungsleistung. Daraus folgt, dass die Pumpleistung bei Flüssigkeiten nur
ein schwaches Kriterium für die Festlegung der Wärmeübertragungsfläche ist21. Hin-
gegen ist die Pumpleistung ein erhebliches Auswahlkriterium bei Gasen. Hier ist der
Aufwand mechanischer Energie zum Überwinden der Druckverluste wegen der gro-
ßen Volumenströme gegenüber der übertragenen Wärme nicht mehr vernachlässig-
bar.
Die Kosten der Förderleistung beinhalten überwiegend die Stromkosten der Gebläse
oder Pumpen, die als Betriebskosten eingehen. Dazu kommen die Abschreibung und
die elektrischen Verluste der Elektromotoren.
21 Korrosive oder toxischen Stoffe wie z. B. in Becker et al. [9]) werden nicht betrachtet.
5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung-60-
Diese Geräte verursachen sowohl Anschaffungs- als auch Betriebskosten, z. B. für
Wartung. Üblicherweise machen letztere einen sehr geringen Anteil der förderlei-
stungsabhängigen Kosten aus und werden daher nur pauschal berücksichtigt. Der
Kostenfaktor wird exemplarisch mit kP = 0,184 €/kWh = 5,11⋅10-8 €/J angenommen.
6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern -61-
6. KOSTENOPTIMIERTER ENTWURF VON WÄRMEÜBER-TRAGERN
6.1 ENTWURFSKONZEPT
Für die Auslegung eines Wärmeübertragers sind i. Allg. die Art der wärmeübertra-
genden Fluide, ihre Eintrittstemperaturen (und im Zweifelsfall ihre Aggregatzustände)
sowie mindestens einer ihrer Massenströme vorgegeben. Darüber hinaus ist entwe-
der der übertragene Wärmestrom oder die Austrittstemperatur des bekannten Mas-
senstroms oder der Wärmeübertragerwirkungsgrad vorgegeben. Bei der Auslegung
von Wärmeübertragern in neuen Anlagen kann an die Stelle der Vorgabe des Wär-
meübertragerwirkungsgrades die Wahl der mittleren Temperaturdifferenz aufgrund
einer Kostenminimierung erfolgen.
Ein vom Konstrukteur zu lösendes Problem besteht darin, die günstigsten Strö-
mungsgeschwindigkeiten in den beiden Wegen des Wärmeübertragers zu bestim-
men. Folgende drei Konzepte können alternativ für eine gewählte Grundkonfiguration
zur Anwendung kommen (Abb. 6.1):
1.) Iteratives Nachrechnen eines Wärmeübertragers durch wiederholt angepasste
Wahl der Frontflächen. Damit liegen die Strömungsgeschwindigkeiten fest, womit
man die Wärmeübergangskoeffizienten berechnen kann. Mit den gefundenen
(k A) erhält man ein neues NTU. Mit den vorgegebenen Kapazitätsstromverhält-
nissen und der Stromführung bekommt man den Wirkungsgrad, wodurch die
neuen Austrittstemperaturen festliegen, die zur Berechnung der Wärmeleistung
notwendig sind. Schließlich wird die berechnete Wärmemenge mit der geforder-
ten verglichen. Bei einer Abweichung von Q! werden die Frontflächen entspre-
chend angepasst und die obige Prozedur wiederholt.
6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern-62-
2.) Vorgabe der maximalen Druckverluste. Dieser Ansatz ist besonders wichtig in
Fällen, in denen die Druckverluste eine Vorgabe des Auftraggebers darstellen. In
diesem Fall werden beide Strömungsgeschwindigkeiten so gewählt, dass die ma-
ximalen Druckverluste nicht überschritten werden. Damit liegen die Frontflächen
fest. Aus den Wärmeübergangskoeffizienten lässt sich ein mittlerer Wärmedurch-
gangskoeffizient k berechnen. Falls die Flächen sehr unterschiedlich sind, wie z.
B. für die Lamellenrohrkonfiguration mit großem Flächenanteil der Rippen, spie-
len diese in der Bestimmungsgleichung für k eine Rolle. Dieses ist jedoch nicht
kritisch, weil für ein Element die Flächenverhältnisse bekannt sind. Schließlich er-
hält man auch hier die gesamte Wärmeübertragungsfläche A.
3.) Bestimmung von optimierten Strömungsgeschwindigkeiten. Dieses Konzept wird
in der vorliegenden Arbeit gewählt und vertieft. Dabei werden die Geschwindig-
keiten für ein repräsentatives mittleres Element bestimmt. Eine eingehende Be-
handlung der Grundlagen des Themas und die Herleitung der Kostengleichung
erfolgt in Kapitel 5. Mit den Geschwindigkeiten sind wie unter 2) die Frontflächen
und Wärmeübergangskoeffizienten bekannt, womit der mittlere Wärmedurch-
gangskoeffizient und die Übertragungsfläche des Apparats festgelegt sind. Eine
Beschreibung des Verfahrens in englisch, wie sie im Abschlussbericht des VEHE-
Projekts enthalten ist, erfolgt in Anhang B.
Die hier entwickelte Aufwands- oder Kostenoptimierung beruht auf der Minimierung
der spezifischen Kosten K/Q für ein repräsentatives Element einer ausgewählten
geometrisch periodischen Wärmeübertragerkonfiguration. Die Kostenoptimierung
liefert günstigste Werte der mittleren Reynolds-Zahlen bzw. Strömungsgeschwindig-
keiten beider Fluide und der mittleren Temperaturdifferenz ∆Tm, soweit letztere nicht
vorgegeben ist. Mit diesen drei Größen werden die Frontquerschnitte Af1 und Af2 der
beiden Fluidströme und die Wärmeübertragungsfläche A für den zu übertragenden
Wärmestrom festgelegt. Aus den Verhältnissen dieser drei Flächen des Apparats zu
den entsprechenden Teilflächen eines periodischen Elements werden die Anzahlen n
= nx ny nz der Elemente in den drei kartesischen Richtungen bestimmt.
6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern -63-
Abb. 6.1: Konzepte zur Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeiten der beiden
Seiten eines Wärmeübertragers
6.2 DISKRETISIERUNG UND ZAHL DER ELEMENTE
Eine Software wurde entwickelt, mit der Wärmeübertrager mit Wirbelerzeugern aus-
gelegt werden können22. Die Software beruht auf der interaktiven Wahl einer Über-
tragungsflächenkonfiguration, der Kostenoptimierung der Parameter Re1, Re2 und
evtl. ∆Tm für eine repräsentative „mittlere“ Zelle und der Berechnung der notwendi-
gen Zahl der Zellen in den drei kartesischen Richtungen. In Abb. 6.2 und 6.3 sind die
Flussdiagramme zweier Programme zur optimierten Auslegung von Wärmeübertra-
22 Grundsätze zur Auslegung eines Wärmeübertragers sind u. a. in Bell [20] beschrieben, vgl. auchKap. 2.
2,1f2,12,1
2,1 AuM
=ρ
!
bekannt unbekannt
Fall 1)
)Iteration(Qmgeforderte
mitVergleichQT
PNTU)kA(.bzwku)ragersWärmeübert
einesnNachrechne(vorgebenA,gegebenQ,M,M
''2,1
2,12,1
2,12,1
2,1,f
21
!
!
!!!
→→
→→→→
α→→
Fall 2)
AkAu)ragersWärmeüberteines
Auslegung(vorgebenp.max,gegebenQ,M,M
2,12,1f
2,1
2,1
21
→→α→
→→∆
!!!
Fall 3)
AkAragersWärmeüberteinesAuslegung(
vorgebenumierteskostenopti
2,12,1f
2,1
→→α→→)
6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern-64-
gern abgebildet23. Das Diagramm 6.2 ist für periodische Strömungen konzipiert.
Hierbei wird ein charakteristisches „mittleres“ Element einer gewählten Konfiguration
kostenoptimiert, das in drei Raumrichtungen aneinander gereiht, den gesamten
Wärmeübertrager bildet, Abb. 6.4. Dabei liegt die Annahme zugrunde, dass die
Strömungsform, die durch das Element zustande kommt, unabhängig von der Lage
im Wärmeübertrager, gleich bleibt.
Im Gegensatz dazu berücksichtigt das Programmkonzept in Abb. 6.3 eine Untertei-
lung der Strömungsform: Das erste Element stellt den Einlaufbereich dar, während
vom zweiten Element an vollentwickelte bzw. periodische Strömung angenommen
wird. Diese Aufteilung hat einen unmittelbaren Einfluss auf den mittleren Wärme-
übergangskoeffizienten jeder Seite. Dieser ist nämlich im Vergleich zu Abb. 6.2 im
Einlaufbereich höher, wodurch sich die insgesamt benötigte Wärmeübertragungsflä-
che verkleinert.
Nachfolgend sollen die wesentlichen Programmschritte der Flussdiagramme erläutert
werden. In Abb. 6.2 erfolgt zunächst eine Eingabe der Auslegungsdaten, wie Art der
Fluide, wobei beispielsweise auf der Rippenseite Luft Verwendung findet und in den
Rohren Dampf bei praktisch konstanter Temperatur kondensiert24. Alternativ kann in
den Rohren ein Medium strömen, dessen Temperatur sich beim Durchlauf auch än-
dert25. In diesem Fall spielt die Stromführung eine Rolle, die in einem späteren Schritt
gewählt wird. Ferner werden die Massenströme und Eintrittstemperaturen beider
Wärmeübertragungsseiten, sowie die Wärmeleistung eingegeben. Das Programm
kann für die Auslegung sehr verschiedener Bauarten von Rekuperatoren Verwen-
dung finden. Speziell hierfür steht eine Datenbank ausgewählter Konfigurationen mit
Wirbelerzeugern zur Verfügung (Scheidtmann et al. [103, 104]).
Die Idee ist, dass ein Grundelement einer periodisch gestalteten Wärmeübertra-
gungsfläche vollständig in den drei Raumrichtungen in geeigneter Anzahl aneinander
gereiht wird, so dass es die Gesamtabmessungen des Apparats ergibt26.
23 Eine Auslegungssoftware, allerdings ohne Kostenoptimierungsmodul, wurde von Janati [67, 68]entwickelt.24 latente Wärmeübertragung mit konstanter Wandtemperatur25 z. B. Wasser oder Öl26 Diese beinhalten nicht die Abmessungen der Zuflüsse und Armaturen.
6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern -65-
Abb. 6.2: Flussdiagramm der VE
AEintrit
Datenbank:“Übertragungsflächen”
Berechnung koste
Berechnung
EinBerec
Berechnung koste
Berechnun
Eingabe Auslegungsdaten:rt der Fluide, Massenströme,
tstemperaturen, Wärmeleistung Q!
Auswahl Oberflächenkonfiguration (z. B. VEHE),Einlesen der Geometriedaten, Kostenfaktoren
und der Funktionen St(Re, Pr), f(Re)
HE-So
Datenbank:“Stoffeigen-schaften”
noptimierter Strömungsgeschwindigkeiten v2 und Af2
e
Re, St, f, Wärmeübergangskoeffizientenα1, α2 für beide Seiten
lesen von Stoffeigenschaften,hnung Wirkungsgrad, NTU, (k A)
noptimierter Strömungsgeschwindigkeiten v1 und Af1
g k, Wärmeübertragungsfläche A := A1,gesamte Zellenanzahl n
)
nz
Datenausgab
Anzahl nx der Zellen in Strömungsrichtung 1 (Integer
nx = int(nx) + 1ny = int(ny) +1
= int(n / (nx ny)) +1
Wahl der Stromführung
Abmessung Lx x Ly x Lz ,Druckverluste ∆p1, ∆p2
ftware (periodische Strömung)
Ende
6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern-66-
AEintrit
Auswahl OEinlesen
undDatenbank:
“Übertragungsflächen”
Berechnung kosteno
Anpassung Strö-mungsgeschwindigkeit
zezxe,yex,y
2,12,1 LnLn
Vv
!=
EinBerec
Berechnung kosteno
j
gesamt
n neu,x −
n
ny, neu = int(ny) + 1
NT
j
n
Abb. 6.3: Flussdiagramm der VEH
Eingabe Auslegungsdaten:rt der Fluide, Massenströme,
tstemperaturen, Wärmeleistung Q!
berflächenkonfiguration (z. B. VEHE), der Geometriedaten, Kostenfaktoren der Funktionen St(Re, Pr), f(Re)
ptimierter Strömungsgeschwindigkeiten v
Berechnung Integer-Zahl derZellen ny
2,11zezxe,yex,y2,1 V01.0vLnLnV !! ≥−
e
lesen von Stoffeigenschaften,hnung Wirkungsgrad, NTU, (k A)
ptimierter Strömungsgeschwindigkeiten v
n
Berechnung (k A)Zelle, me Zellenanzahl n = (k A) / (k A)Zelle, m
1
?5.0nx ≥j
nx, neu
evtl
Startwerte:nx = 1ny = 2
(fix odervariabel)
Ende
?5.0nn xneu,y ≥−
E-Software (Einlaufströmung)
Datenbank:“Stoffeigen-schaften”
2 und Af2
1 und Af1
= int(nx) + 1
. interaktiverZugang
z
Datenausgab
Berechnung Re, St, f, Wärmeübergangskoeffizientenα1, α2 für beide Seiten
Anzahl nx, neu in Strömungsrichtung
Wahl der Stromführung
Berechnung korrigiertesU, Wirkungsgrad, ∆p1, ∆p2
nz = int(nz) + 1
Abmessung Lx x Ly x L6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern -67-
Abb. 6.4: Aufbau eines kompakten Wärmeübertragers aus aneinandergereihten re-
präsentativen Elementen
6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern-68-
Grundsätzlich werden die Konfigurationen durch die Längen in Längs-, Breiten- und
Höhenrichtung (Lex, Ley, und Lez, vgl. Abb. 6.4), die hydraulischen Durchmessern auf
beiden Fluidseiten dh1 und dh2 und die Wärmeübertragungsflächen eines repräsenta-
tiven Elements Ae1 und Ae2 beschrieben. Die Wärmeübertragungsleistung der Flä-
chen wird in Form von Stanton-Zahlen und der Strömungsverlust durch Reibungs-
beiwerte ausgedrückt. Dies erfolgt durch Einlesen der entsprechenden Funktionen
oder ihrer Konstanten aus der o. g. Datenbank, die durch Aufnahme weiterer Flä-
chenkonfigurationen erweitert werden kann.
Nachdem die Stoffeigenschaften eingelesen und die Stromführung festgelegt wurde,
erfolgt eine Berechnung der Übertragungskennzahl NTU. Da diese eine Funktion des
Wirkungsgrades, des Kapazitätsstromverhältnisses und der Stromführung ist, lässt
sie sich hiermit bestimmen. Eine Vereinfachung ergibt sich bei konstanter Tempera-
tur einer Fluidseite, denn dabei gilt Stromführungsunabhängigkeit. Aus dem be-
kannten NTU folgt das Produkt aus Wärmedurchgangskoeffizient und Wärmeüber-
tragungsfläche (k A). Im Fall Tw = konst ist k ≈ α. Kann man nun das k oder α be-
stimmen, ist das Auslegungsproblem eines Wärmeübertragers prinzipiell gelöst, weil
damit auch die insgesamt erforderliche Wärmeübertragungsfläche A festgelegt ist.
Vor dem Berechnungsgang sind Startwerte der mittleren Geschwindigkeiten in den
Strömungskanälen zu wählen. Diese können anschließend durch Kostenminimierung
optimiert werden. Eine spätere Korrektur der kostenoptimierten Geschwindigkeiten,
um den Bedingungen der Auslegung zu genügen (bei ganzzahliger Zahl der Ele-
mente in jeder Richtung), ist dann häufig verhältnismäßig unkritisch, wenn die Ände-
rungen gering ausfallen, weil die Kosten sich in der Umgebung des Minimums nur
wenig mit den Geschwindigkeiten ändern.
Mit den schließlich berechneten Geschwindigkeiten beider Fluidströme können die
Frontflächen gemäß
2,12,1
2,1f u
MA
ρ=
!(6.1)
für beide Fluidseiten berechnet werden. Die Seiten 1 und 2 werden anhand Abb. 6.5
definiert.
6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern -69-
Für die gefundenen Reynolds-Zahlen ergeben sich die Werte der Stanton-Zahl und
des Reibungsbeiwerts. Das Programm erlaubt eine Differenzierung der Kennzahlen
in Strömungsrichtung: Statt der Annahme eines mittleren Werts von Wärmeüber-
gangskoeffizient und Druckverlust für alle Geometrieelemente wird zwischen der
Einlaufzelle (Index 0) und den folgenden Zellen mit vollausgebildeter Strömung (In-
dex ∞ ) unterschieden. Somit werden erhöhte Übertragungskoeffizienten im Eintritts-
bereich berücksichtigt, die einen in Strömungsrichtung kürzeren Wärmeübertrager
auslegen lassen als bei der Annahme einer durchgehenden vollentwickelten Strö-
mung, mit dem die geforderte Wärme übertragen wird.
Um den Wärmedurchgangskoeffizienten zu berechnen, bedarf es einer Mittelung der
Wärmeübergangskoeffizienten auf beiden Strömungsseiten. Diese erfolgt über die
Anzahl der Zellen. Als Startwerte werden z. B. in x Richtung eine Zelle angenommen
und in y Richtung zwei. In der dritten Achse ergibt sich die Zellenanzahl im Laufe der
Rechnung. Daraus berechnet sich dann der mittlere Wärmeübergangskoeffizient bei-
spielsweise in x Richtung zu
x
x0m n
)1n( −α+α=α ∞ (6.2)
und der Wärmedurchgangskoeffizient bezogen auf die Fläche A1 zu1
m,22
1
m,101
1AA1k
−
∞
α
+α
= (6.3)
Dabei wird der Wärmewiderstand der Wand vernachlässigt. Nun lässt sich die Wär-
meübertragungsfläche A1 berechnen:
1
111 k
WNTUA!
= (6.4)
Die gesamte Zellenanzahl ergibt sich durch Division der Gesamtfläche durch die Flä-
che eines Elements auf der Seite 1. Somit ist auch die Zellenanzahl in der noch feh-
lenden z Richtung bekannt.
Anschließend erfolgt die Berechnung einer neuen Zellenzahl mit der Formel
zyeneu,x nnA
An = (6.5)
Mit einer Abfrage werden die alte und neue Zellenzahl in x Richtung miteinander ver-
glichen. Ist der Abstand größer als eine Schranke, wird nx,neu aufgerundet. Es erfolgt
6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern-70-
ein Rücksprung an die Stelle der Berechnung der Wärmeübergangskoeffizienten und
die nachfolgenden Rechnungen werden in einer Schleife so oft durchlaufen, bis das
Kriterium erfüllt ist.
Abb. 6.5: Definition der Seiten und Richtungen für den Lamellenrohr- und Plattentyp
(Dreieckskanal mit eingeschlossen)
Danach werden ganze Zahlen für ny und nz gewählt, womit sich auch die Abmessun-
gen des Wärmeübertragers Lx x Ly x Lz durch Multiplikation mit den Abmessungen
eines Elements ergeben. An dieser Stelle bietet das Programm einen interaktiven
Zugang bei der Wahl der Zellenanzahl an, um entweder bestimmte Einschränkungen
bezüglich der Form der Abmessungen, wie beispielsweise der Einhaltung einer mög-
6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern -71-
lichst quadratischen Grundform, zu erlauben oder den Berechnungsvorgang zu be-
schleunigen, wenn die endgültigen Abmessungen abzusehen sind.
In der letzten Abfrage wird der Volumenstrom (bei inkompressibler Rechnung der
Massenstrom), der sich mit der gewählten Zellenzahl in der Ebene der Frontfläche
berechnen lässt, mit dem vorgegebenem Volumenstrom verglichen. Bei einer Abwei-
chung, die größer ist, als eine gegebene Schranke, erfolgt mit einer korrigierten Ge-
schwindigkeit ein Schleifenumlauf an die Stelle der Berechnung der Frontflächen, bis
die Volumenströme sich aneinander in ausreichendem Maße nähern.
Die Datenausgabe umfasst die Anzahl der Zellen n = nx ny nz, die Abmessungen des
Wärmeübertragers, die Übertragungsfläche A und die Druckverluste auf beiden
Fluidseiten.
7. Ergebnisse-72-
7. ERGEBNISSE
Im ersten Teil des Kapitels werden einige Messergebnisse zu einer Dreieckskonfigu-
ration mit und ohne Wirbelerzeuger präsentiert. Im Anschluss wird unter Verwendung
dieser und anderer Konfigurationen die kostenoptimierte Auslegung von Wärme-
übertragern demonstriert. Eine Diskussion der Ergebnisse der Kostenoptimierung
schließt das Kapitel ab.
7.1 MESSUNGEN ZUM WÄRMEÜBERGANG IM DREIECKSKANALMIT UND OHNE WIRBELERZEUGER
Der Wärmeübergang wird mit Hilfe der Ammoniak-Absorptions-Methode an den drei
Wänden des Dreieckskanals mit Wirbelerzeugern untersucht. Als Referenzmessung
erfolgt auch eine Untersuchung an einem Dreieckskanals mit gleichen Abmessun-
gen, jedoch ohne Wirbelerzeuger (Abb. 7.1).
Abb. 7.1: Schnittbild zur Bezeichnung der Seiten eines Dreieckskanals ohne (links)
und mit (rechts) Wirbelerzeuger
Dabei wird nur eine Wandfläche des gleichseitigen Dreieckskanals ohne Wirbeler-
zeuger untersucht (in Abb. 7.1, links mit I gekennzeichnet). Aufgrund der Symmetrie
der Anordnung und unter Vernachlässigung von Volumenkräften, wie dem Erd-
schwerefeld, ist der Wärme- und Stoffübergang an den drei Wandflächen gleich.
Durch den Einbau von Wirbelerzeugern geht die Symmetrie verloren: Die Seite II a
kennzeichnet die Wärmeübertragerplatten, zwischen denen die Dreiecksrippe einge-
baut wird; diese enthält keine Wirbelerzeuger. Der Schenkel II b ist eine Seite mit
7. Ergebnisse -73-
Wirbelerzeugern und mit II c ist deren Rückseite bezeichnet, die zwar Ausstanzun-
gen hat, aber keine Wirbelerzeuger im betrachteten Dreieckskanal aufweist.
Die gekennzeichneten Flächen werden dabei in mehreren Versuchen einzeln mit
Filterpapier belegt, so dass nur auf diesen Flächen ein Stoffübergang erfolgt. Die
Reynolds-Zahl variiert zwischen Re = 941,3 und Re = 2642,9.
7.1.1 REFERENZKANAL OHNE WIRBELERZEUGER
Zunächst wird der glatte Referenz-Dreieckskanal (nach Abb. 7.1, links) untersucht,
um einen späteren Vergleich mit dem Dreieckskanal mit Wirbelerzeugern zu erlau-
ben und den Einfluss der Wirbelerzeuger auf den Wärmeübergang zu erkennen.
Der Verlauf der quergemittelten Nusselt-Zahl in dem dreieckigen Kanal mit einseiti-
ger Wärmezufuhr soll im Folgenden mit dem ebenen Spalt mit gleichem dh verglichen
werden, Abb. 7.2. Nach Shah & Bhatti [113] berechnen sich die lokalen Nusselt-
Zahlen beim ebenen glatten Spalt mit einer isothermen und einer adiabaten Wand
wie folgt:
[ ][ ]27,017,0
7,017,02,1
x̂Pr0909,012,0x̂Pr0455,0x̂0606,086,4Nu
−
−−
+
−+= (7.1)
mit
PrRe2H/xx̂ = (7.2)
Anhand Abb. 7.2 wird deutlich, dass für die gleiche Reynolds-Zahl bezogen auf dh
der Verlauf der Nusselt-Zahl im ebenen Spalt höher liegt als im Dreieckskanal. Die
Verläufe nähern sich asymptotisch den Nusselt-Zahlen der thermisch voll ausgebil-
deten, laminaren Strömung. Für den ebenen Spalt mit einseitiger Wärmezufuhr be-
trägt dieser Wert Nu = 4,86. Beim ebenen Spalt ist zu erkennen, dass die Strömung
bei einem Abstand von x/H = 11 noch nicht voll entwickelt ist.
7. Ergebnisse-74-
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12
x/H
Nu
Dreieckskanal
ebener Spalt
Abb. 7.2: Verläufe der Nusselt-Zahlen, bezogen auf den entsprechenden
hydraulischen Durchmesser, des ebenen Spalts mit einer isothermen und einer
adiabaten Wand und des dreieckigen Kanals mit zwei adiabaten und einer
isothermen Wand (Re = 931,9)
In Abb. 7.3 sind quergemittelte gemessene Nusselt-Zahlen im glatten Dreieckskanal
ohne Wirbelerzeuger über der Lauflänge aufgetragen. Man erkennt, dass mit zu-
nehmender Reynolds-Zahl das Niveau der Nusselt-Verläufe erwartungsgemäß an-
steigt. Interessant ist, festzustellen, dass jeder der vier Kurven sich offenbar einem
anderen konstanten Wert nähert. Im Fall der laminaren Strömung müsste dieser
Wert unabhängig von der Reynolds-Zahl gleich sein27. Es ist unklar, ob mit größerer
Lauflänge die Kurven auf einen gemeinsamen Wert der Nusselt-Zahl konvergieren.
Offensichtlich handelt es sich um instabile oder schon turbulente Strömungen. Durch
die Kurven wurden mit Hilfe eines Potenzansatzes entsprechende Regressionskur-
ven gelegt. Diese sind ebenfalls in Abb. 7.3 angegeben.
Eine farbcodierte Auftragung der Nusselt-Zahl erfolgt in Abb. 7.4. Die untere Skala
ordnet den Farben eine Nusselt-Zahl zu. Die Reynolds-Zahlen werden wie in Abb.
7.3 variiert, wobei der obere Balken die Verteilung für Re = 931,9 darstellt.
27 Aber abhängig von der Zahl der wärmeübertragenden Wände.
7. Ergebnisse -75-
Nu = 6,2493(x/H)-0,3724
Nu = 5,2848(x/H)-0,3699
Nu = 3,2391(x/H)-0,3436
Nu = 8,2869(x/H)-0,3591
0
5
10
15
20
0 5 10 15
x/H
Nu Re=931,9
Re=1318,0
Re=1614,2
Re=1977,0
Abb. 7.3: In Querrichtung gemittelte Nusselt-Zahlen des glatten Dreieckskanals in
Abhängigkeit von der auf die Kanalhöhe H bezogenen Lauflänge für verschiedene
Reynolds-Zahlen
30 3 0,310
Nu d
H
Red
H
x/H; Strömungsrichtung
Abb. 7.4: Lokale Verteilung der Nusselt-Zahlen für verschiedene in Abb. 7.3 unter-
suchte Reynolds-Zahlen. Der linke vertikale Pfeil deutet an, dass die Reynolds-Zahl
vom oberen (Re = Redh = 931,9) zum unteren Streifen (Re = Redh = 1977,0) zunimmt.
Der rechte vertikale Pfeil symbolisiert die y/H-Richtung für jeden der vier Streifen
(von unten nach oben)
7. Ergebnisse-76-
Man erkennt mit zunehmender Reynolds-Zahl den Einfluss vergrößerter Nusselt-
Zahlen am Kanaleintritt (rot). Der Bereich mit niedriger Nusselt-Zahl ist grün gefärbt.
Der starke Abfall der Kurven in Abb. 7.3 lässt sich deutlich antizipieren. In Querrich-
tung liegt stets ein asymmetrischer Verlauf vor, welcher auf eine schiefe, asymmetri-
sche Strömung hinweist.
Die Verteilung der längsgemittelten Nusselt-Zahlen ist in Abb. 7.5 dargestellt. Die
Reynolds-Zahl variiert zwischen Re = 931,9 und 2690,3. Auffällig ist die nahezu kon-
stante Verteilung der Nusselt-Zahlen. Der Bereich an den Ecken des Dreiecksquer-
schnitts wurde aus messtechnischen Gründen nicht ausgewertet. An diesen Stellen
ist davon auszugehen, dass der konvektive Wärmeübergang abnimmt, weil die
Strömungsgeschwindigkeit reduziert wird.
0
1
2
3
4
5
6
7
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
y/H
Nu
Re=931,9Re=1318,0Re=2250,9Re=2608,4Re=2690,3
Abb. 7.5: Längsgemittelte Nusselt-Zahlen des glatten Dreieckskanals für einseitigen
Stoffübergang. Die Position y/H der Abszisse kann Abb. 7.4 entnommen werden
7.1.2 DREIECKSKANAL MIT WIRBELERZEUGER
In diesem Abschnitt werden die Verläufe der Nusselt-Zahl dargestellt, die sich bei der
Überströmung der Flächen II a bis II c nach Abb. 7.6 aus dem Stoffübergang ablei-
ten.
7. Ergebnisse -77-
Abb. 7.6: Querschnitt durch ein periodisches Element der Versuchsanordnung (Kon-
figuration mit Wirbelerzeugern)
In jedem Messvorgang wurde jeweils nur eine von 3 Kanalwänden mit Filterpapier
belegt, so dass nur an der entsprechenden Seite ein Stoffübergang nachgewiesen
wird. Ausgenommen hiervon ist eine eventuelle, störende Adsorption des NH3 an den
unbelegten Seiten, die einer Messaufnahme nicht zugänglich ist. Es konnte aber in
verschieden Arbeiten gezeigt werden [107, 10], dass das an dem feuchten Filterpa-
pier absorbierte NH3 den physikalischen Sachverhalt quantitativ richtig wiedergibt.
Die Oberflächen der Wirbelerzeuger wurden wegen des unverhältnismäßig großen
Aufwands für die feine Struktur nicht belegt. Die Wirbelerzeuger bilden nur ca. 6%
der inneren Kanaloberfläche.
7.1.2.1 FLÄCHE II a OHNE WIRBELERZEUGER
Die Verteilung der quergemittelten Nusselt-Zahlen über der Reynolds-Zahl ist in Abb.
7.7 (oben) dargestellt. Der im Bereich 5,1H/x0 ≤≤ auftretenden Abfall der Nusselt-
Zahl ist charakteristisch für eine Anlaufströmung. Im Bereich 2x/H1,6 ≤≤ wird der
abfallende Verlauf der Nusselt-Zahlen durch einen erneuten Anstieg unterbrochen.
Für diesen ist die Platzierung des ersten Wirbelerzeugerpaares verantwortlich28, die
eine lokale Wärmeübergangserhöhung bewirkt. Der Bereich x/H = 2 bis x/H = 2,68 ist
die projizierte Position des ersten Winglets und zugleich das Gebiet mit dem höch-
sten Wärmeübergang.
28 in Abb. 7.8 durch drei horizontale Balken angedeutet
7. Ergebnisse-78-
Weitere Gebiete mit hohem Wärmeübergang29 treten in den Bereichen
6,1x/H5,3 ≤≤ und 9,5x/H8,7 ≤≤ auf, d. h. wo auch die Wirbelerzeuger sich befin-
den.
Der weiter alternierende Verlauf der Nusselt-Zahlen bis zu der Lauflänge von x/H =
11,1 spiegelt sich in der Falschfarbendarstellung wieder. Im Bereich zwischen den
Wirbelerzeugern verschiebt sich der durch Längswirbel erzeugte Streifen erhöhten
Wärmeübergangs immer zur Mitte der Seite. Mit höherer Reynolds-Zahl wird der
Streifen dicker und deckt mehr und mehr den Randbereich ab. Lediglich ein dünner
grüner Bereich mit niedrigerem Wärmeübergang erstreckt sich fast durchgehend
stromabwärts von x/H ≈ 2, der besonders gut in den Farbdarstellungen für Re =
1886,1 und 2277,7 zu erkennen ist.
In Abb. 7.8 wird der Kontrast zwischen lokal starkem und schwachem Wärmeüber-
gang anhand der Verläufe der längsgemittelten Nusselt-Zahlen verdeutlicht. Kenn-
zeichnend für die dargestellten Kurven sind zwei Extremwerte, die für alle unter-
suchten Reynolds-Zahlen in den gleichen Intervallen (0,13 < y/H < 0,25 und 0,4 < y/H
< 0,6) auftreten.
Für niedrige Reynolds-Zahlen, Re = 941,3 und Re = 1215,3, sind das absolute Mini-
mum und Maximum noch relativ schwach ausgeprägt. Die Differenz zwischen klein-
stem und größtem Wert der Nusselt-Zahl bei Re = 941,3 beträgt 1,4. Mit steigenden
Reynolds-Zahlen bilden sich die Maxima stärker aus.
Die Differenz zwischen den beiden Extremwerten ist für Re = 2412,7 mit ∆Nu = 5 ca.
3,6-fach größer als bei der niedrigsten Reynolds-Zahl Re = 941,3. Damit nehmen die
Krümmungsradien der Kurven in Abb. 7.8 ab, wie durch eine „scharfen“ Abgrenzung
der Bereiche hohen und niedrigen Wärmeübergangs in der Falschfarbendarstellung
(Abb. 7.7) deutlich wird. Aus dieser Beobachtung lässt sich schließen, dass eine un-
symmetrische Wärmeübergangserhöhung durch den Einfluss der Längswirbel be-
wirkt wird.
29 vgl. Falschfarbendarstellung
7. Ergebnisse -79-
0
5
10
15
0 2 4 6 8 10 12
x/H
NuRe=941,3Re=1215,3Re=1629,9Re=1886,1Re=2277,7
30 3 0,310
Nu d
HRe
dH
x/H; Strömungsrichtung
y/H
Abb. 7.7: Über der dimensionslosen Lauflänge aufgetragene quergemittelte Nusselt-
Zahlen der Fläche II a (oben) und deren lokale Verteilungen (unten)
Position derprojiziertenWinglets
7. Ergebnisse-80-
0
5
10
15
0 0,2 0,4 0,6 0,8
Nu Re=941,3Re=1215,3Re=1629,9Re=1886,1Re=2277,7Re=2412,7
Abb. 7.8: Längsgemittelte Nusselt-Zahl auf der Fläche II a. Die Orie
Abszisse kann Abb. 7.7 entnommen werden
7.1.2.2 FLÄCHE II b MIT WIRBELERZEUGERN
Abb. 7.9 oben dokumentiert den Verlauf der quergemittelten Nu
Überströmung der in Abb. 7.6 gekennzeichneten Fläche II b für d
Reynolds-Zahlen. Grundlage für die Auswertung bildet das aus vie
mengefügte Filterpapier. Am oberen Falschfarbenbild sind schwar
zur Andeutung der Positionen der Winglets angebracht. Mit dieser A
sich, nach dem Einlaufbereich, drei Perioden auswerten.
Zwischen x/H = 0 und x/H = 2 fallen alle Kurven in Abb. 7.9 expon
Nusselt-Zahlen ab. Ablösungserscheinungen an der Anlaufkante kö
Re = 941,3 nachgewiesen werden. Das Auftreffen des Fluids auf di
einem starken Anstieg des Wärmeübergangskoeffizienten verbund
Darstellung zeigt Gebiete hohen Wärmeübergangs an den spitz zula
Seiten der Winglets. Durch die Verzögerung des Fluids während d
der Wirbelerzeuger-Flächen kommt es an diesen zu einem Druckan
1
y/H
ntierung y/H der
sselt-Zahlen bei
rei verschiedene
r Teilen zusam-
ze Markierungen
nordnung lassen
entiell von hohen
nnen lediglich für
e Winglets ist mit
en. Die farbliche
ufenden inneren
er Überströmung
stieg. Dieser be-
7. Ergebnisse -81-
wirkt eine Ablösung der Grenzschicht. Die sich bildende Strömungsstruktur ist auch
bei der Umströmung von Rohren zu beobachten (Hufeisenwirbel). Auf der Saugseite
der Winglets befinden sich die Aussparungen. Sie bewirken aufgrund einer Druck-
differenz einen Fluidaustausch zwischen je zwei benachbarten Kanälen.
Charakteristisch für diese Konfiguration sind die lokalen Maxima, die an den Stellen
x/H = 3,3, x/H = 6,4 und x/H = 9,4 auftauchen. Ihre Werte sind über die gemessenen
drei Perioden nahezu gleich, wodurch gezeigt wird, dass eine Periodizität des Wär-
meübergangs ab der ersten Wingletreihe vorliegt. Beispielsweise hat die Kurve für
die Reynolds-Zahl Re = 1629,9 an den genannten Stellen der Abszisse die Nusselt-
Zahlen Nu = 12,9, Nu = 13,3 und Nu = 12,9. Vor den durch die Wirbelerzeuger verur-
sachten Maxima liegt jeweils ein lokales Minimum. Diese Minimalwerte sind beson-
ders stark für Re = 1629,9 und 2412,7 ausgeprägt, während für Re = 941,3 erst in
der dritten Periode ein lokales Minimum vor dem Maximum deutlich sichtbar ist. Die
Maxima liegen hinter den Wirbelerzeugern, wo die Fläche nicht durch Aussparungen
reduziert ist.
Eine Darstellung der längsgemittelten Nusselt-Zahlen ist in Abb. 7.10 wiedergege-
ben. Die Verteilung der Messwerte ähnelt der von Abb. 7.8. Die Extremwerte, zwei
Maxima an den Rändern und ein inneres Minimum, werden mit steigenden
Reynolds-Zahlen ausgeprägter.
Die Wirbelerzeuger verursachen eine unsymmetrische Verteilung der Nusselt-Zahl
bezogen auf die Mittelachse y/H = 0,5. Der Abstand der Flügel verjüngt sich in Strö-
mungsrichtung und induziert Längswirbel mit gegensinnigem Drall, die Fluid von den
Rändern zum mittleren Bereich des Kanals transportieren. Die thermische Grenz-
schicht in Randnähe wird dadurch zerstört und der Wärmeübergang erhöht.
7.1.2.3 FLÄCHE II c MIT AUSSPARUNGEN
Die vierte untersuchte Oberfläche ist durch dreieckige Aussparungen gekennzeich-
net. Wie oben erwähnt, sind die Winglets im Experiment aus der Oberfläche gefräst
worden und an deren Rückseite befestigt. Der Einfluss der induzierten Längswirbel
7. Ergebnisse-82-
ist auch auf dieser Seite erkennbar. Der charakteristische Verlauf der quergemittelten
Nusselt-Zahl für verschiedene Reynolds-Zahlen ist in Abb. 7.11 dargestellt.
0
5
10
15
20
0 5 10
Nu
Re=941,3Re=1629,9Re=2412,7
30 3 0,310
Nu d
H
Red
H
x/H; Strömungsrichtung
Abb. 7.9: Über der dimensionslosen Lauflänge aufgetragene q
Zahlen der Fläche II b (oben) und deren lokale Verteilungen (un
15
x/H
y/H
uergemittelte Nusselt-
ten)
7. Ergebnisse -83-
0
5
10
15
0 0,2 0,4 0,6
NuRe=941,3Re=1331,3Re=1629,9Re=1886,1Re=2277,7Re=2412,7
Abb. 7.10: Längsgemittelte Nusselt-Zahlen der Fläch
Abszisse kann Abb. 7.9 entnommen werden
Die schwarzen Markierungen deuten die Positionen
fläche befestigten Winglets an.
In der Abbildung treten im Bereich der Aussparun
gangskoeffizienten auf. Die Steigerung der Nusselt-Z
Zahl ähnelt annähernd einer vertikalen Verschiebun
selt-Zahl, wobei die Peaks stärker akzentuiert werde
sind die Übergänge zu den Maxima teilweise weich
Fläche lokal weniger massiv gestört wird. Die Nuss
auch etwas geringer als an Fläche II b.
Die längsgemittelten Nusselt-Zahlen (Abb. 7.12) zei
Randbereichen zu beiden Seiten der Aussparungen.
Re = 941,3 ein flaches Minimum.
Bei Betrachtung von Abb. 7.11 erkennt man, dass d
teilung der Bereiche der Nusselt-Zahlen über der F
0,8 1
y/H
e II b. Die Orientierung y/H der
der auf der Rückseite der Ober-
gen die höchsten Wärmeüber-
ahl mit Erhöhung der Reynolds-
g einer Kurve niedrigerer Nus-
n. Im Gegensatz zur Fläche II b
er, da die Strömung an dieser
elt-Zahlen sind im Durchschnitt
gen zwei lokale Maxima in den
Zwischen ihnen existiert für
ie in Abb. 7.7 erkennbare Zwei-
läche II c weniger stark ausge-
7. Ergebnisse-84-
prägt ist. Bei höheren Reynolds-Zahlen ist zu beobachten, dass das Minimum bei x/H
= 0,46 durch in ein weiteres (Neben-) Maximum geteilt wird. Dieser charakteristische
Verlauf ist im Vergleich zu Abb. 7.8 und 7.10 neu.
0
5
10
15
20
25
0 5 10
Nu Re=941,3Re=1331,3Re=1886,1Re=2412,7
Nu d
H
40 10 3 0,3
Red
H
x/H; Strömungsrichtung
Abb. 7.11: Über der dimensionslosen Lauflänge aufgetragene q
selt-Zahlen auf der Oberfläche II c (oben) und deren lokale Verteil
15
x/H
y/H
uergemittelte Nus-
ungen (unten)
7. Ergebnisse -85-
0
5
10
15
20
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
y/H
Nu Re=941,3Re=1331,3Re=1886,1Re=2108,8Re=2277,7Re=2412,7
Abb. 7.12: Längsgemittelte Nusselt-Zahlen der Fläche II c. Die Orientierung y/H der
Abszisse kann Abb. 7.11 entnommen werden
Diese Konfiguration profitiert hauptsächlich von dem Einfluss der durch die Wirbeler-
zeuger der Oberfläche II b hervorgerufenen Wirbel. Die Aussparungen führen zu ei-
ner erhöhten Vermischung des durch sie hindurch transportierten Fluids. An den
Rändern der Öffnungen bilden sich Gebiete erhöhten Wärmeübergangs, die im
Durchschnitt eine Erhöhung des Wärmeübergangs im mittleren Bereich nach sich
ziehen.
Die Ergebnisse für den Dreieckskanal mit Wirbelerzeuger werden in Abb. 7.13 mit
denen für den glatten Dreieckskanal exemplarisch für Re = 2277,7 gegenüberge-
stellt. Im Bereich 1,6x/H0 ≤< ist der Kurvenverlauf durch einen annähernd gleichen
stetigen Abfall gekennzeichnet. Für x/H > 1,6 verzeichnet der Dreieckskanal mit Wir-
belerzeugern auf allen Flächen wesentlich höhere Nu-Werte als der glatte Kanal.
Bemerkenswert ist der lokale Abfall der quergemittelten Nusselt-Zahl auf der Seite II
b bei x/H = 2 sogar unter das Niveau des glatten Dreieckskanals. Anhand Abb. 7.9
kann man erkennen, dass das verhältnismäßig starke Absinken unabhängig von den
untersuchten Reynolds-Zahlen an dieser Stelle vorhanden ist.
7. Ergebnisse-86-
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15
x/H
NuIII aII bII c
Abb. 7.13: Vergleich der quergemittelten Nusselt-Zahlen aller Oberflächenformen für
Re = 2277,7
Ein derartiger Abfall des Wärmeübergangs kurz vor den Wirbelerzeugern unterhalb
des Niveaus der gleichen Konfiguration ohne Wirbelerzeuger wird ebenfalls bei Un-
tersuchungen eines glatten Spalts mit auf einer Seite periodisch paarweise angeord-
neten Deltawinglets von [107] berichtet. Für x/H zwischen 2 und 4 verzeichnen die
Seiten des Dreieckskanals mit Wirbelerzeugern lokale Maxima. Dabei ist das jeweili-
ge Maximum der Seite mit Ausstanzungen jedoch ohne Wirbelerzeuger (II c) am
höchsten gefolgt von der Seite mit Wirbelerzeuger (II b) und derjenigen ohne Wirbe-
lerzeuger und Ausstanzungen (II a). Auffällig ist die Verschiebung stromabwärts des
Maximums auf der Seite II b im Vergleich zu den beiden anderen Seiten, deren Ma-
xima in etwa übereinander liegen. Zwischen x/H = 4 und 7 befinden sich nach einem
Abfall die zweiten lokalen Wärmeübergangsmaxima. Wiederum ist das Absinken
kurz vor dem Maximum der Kurve II b auffällig. Dieses unterschreitet jedoch diesmal
nicht die Kurve I. Das Niveau der Maxima entspricht in etwa den eine Reihe zuvor
ermittelten Werten. Ein ähnliches Verhalten wie in der vorigen Reihe kann auch nach
dem dritten Wirbelerzeuger-Paar festgehalten werden.
7. Ergebnisse -87-
7.1.3 BERÜCKSICHTIGUNG DER STROMAUF ABSORBIERTENNH3-MENGE UND FLÄCHENGEMITTELTE KENNZAHLEN
Der Einfluss der NH3-Massenkorrektur soll im Folgenden anhand der Auftragung der
flächengemittelten Nusselt-Zahlen für die betrachteten Konfigurationen in Abhängig-
keit von der Reynolds-Zahl demonstriert werden. Abb. 7.14 bis 7.17 illustrieren den
Zusammenhang zwischen der Nusselt-Zahl und der Reynolds-Zahl.
Die Änderung der NH3-Menge mit x/H bei der Stoffübertragung entspricht der Ände-
rung der Bulktemperatur durch Wärmeübertragung. Ferner sind die relativen Abwei-
chungen zwischen den Nusselt-Zahlen mit und ohne Bulkkorrekturen in Abhängigkeit
von der Reynolds-Zahl angegeben. Man kann zum einen festhalten, dass die mittle-
ren Nusselt-Zahlen mit der Reynolds-Zahl ansteigen. Sie sind für die Seite I am nied-
rigsten und für die Seite II c am höchsten.
0
5
10
15
20
25
30
900 1400 19
Nu
I mit Bulkkorrektur
I ohne Bulkkorrektur
Abb. 7.14: Flächengemittelte Nusselt-Zahl i
die Seite I. Die relativen Abweichungen zw
Bulkkorrektur werden in dem kleinen Diagra
7
00 2400 2900
Re
n Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl für
ischen den Nusselt-Zahlen mit und ohne
mm dargestellt
0
1
2
3
4
5
6
900 1400 1900 2400 2900
Re
rel. Abw. (I) [%]
7. Ergebnisse-88-
Die berechneten Nusselt-Zahlen bezogen auf lokale Bulktemperatur sind höher als
diejenigen ohne Korrektur. Der Grund hierfür ist, wie beschrieben, die Abnahme der
mittleren Partialdichte des Ammoniaks entlang des Untersuchungsbereichs durch die
Reaktion des NH3 auf dem Filterpapier. Infolgedessen wird die Differenz zwischen
der Partialdichte an der Wand30 und derjenigen im Fluid stromabwärts geringer, wo-
hingegen sie bei Bezug auf die Partialdichte am Kanaleintritt unverändert bleibt. So-
mit ist die Nusselt-Zahl mit Bulkkorrektur für x > 0 immer größer als ohne diese.
Für den Dreieckskanal ohne Wirbelerzeuger sind die relativen Abweichungen nahezu
unabhängig von der Reynolds-Zahl: Sie bewegen sich um 2%. Betrachtet man die
Seiten des Dreieckskanals mit Wirbelerzeuger stellt man eine Abnahme der relativen
Abweichungen mit der Reynolds-Zahl fest. Diese Tendenz wird auch von Novak [91]
aus Messungen des ebenen Spalts erhalten. Zusammenfassend werden in Abb. 7.18
die mittleren Nusselt-Zahlen der einzelnen Flächen, die mit Bulkkorrektur ermittelt
wurden, in einem Diagramm aufgeführt.
0
5
10
15
20
25
30
900 1400
Nu
II a mit Bulkkorrektur
II a ohne Bulkkorrektur
Abb. 7.15: Flächengemittelte Nusselt-Zah
die Seite II a. Die relativen Abweichunge
ne Bulkkorrektur werden in dem kleinen D
30 in unserem Fall null
7rel. Abw. (II a)
1900 2400 2900
Re
l in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl für
n zwischen den Nusselt-Zahlen mit und oh-
iagramm dargestellt
0
1
2
3
4
5
6
900 1400 1900 2400 2900
Re
[%]
7. Ergebnisse -89-
0
5
10
15
20
25
30
900 1400
Nu
II b mit Bulkkorrektur
II b ohne Bulkkorrektur
Abb. 7.16: Flächengemittelte Nusselt-Zah
die Seite II b. Die relativen Abweichunge
ne Bulkkorrektur werden in dem kleinen D
0
5
10
15
20
25
30
900 1400
Nu
II c mit Bulkkorrektur
II c ohne Bulkkorrektur
Abb. 7.17: Flächengemittelte Nusselt-Zah
die Seite II c. Die relativen Abweichunge
ne Bulkkorrektur werden in dem kleinen D
7rel. Abw. (II b)
1900 2400 2900
Re
l in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl für
n zwischen den Nusselt-Zahlen mit und oh-
iagramm dargestellt
0
1
2
3
4
5
6
900 1400 1900 2400 2900
Re
[%]
7rel. Abw. (II c)
1900 2400 2900
Re
l in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl für
n zwischen den Nusselt-Zahlen mit und oh-
iagramm dargestellt
0
1
2
3
4
5
6
900 1400 1900 2400 2900
Re
[%]
7. Ergebnisse-90-
Eine arithmetische Mittelung der Nusselt-Zahlen über den gesamten untersuchten
Bereich der Reynolds-Zahlen führt zu den folgenden Werten: Nu(I) = 4,2,
Nu(II a) = 7,8, Nu(II b) = 9,5, Nu(II c) = 10,4.
Als Zusatzinformation wurden aus den Datenpunkten jeder Seite Gleichungen von
Geraden angegeben. Üblicherweise werden Nusselt-Reynolds-Korrelationen in Form
von Potenzansätzen ermittelt. Beispielsweise gilt für eine turbulente Rohrströmung
mit einer hydraulisch glatten Oberfläche Nu ∼ Re0,8 für Re ≥ 10000.
In unseren Experimenten erstreckt sich die Bandbreite der Strömungsform von la-
minar bis turbulent31, weswegen hier solch ein mathematischer Zusammenhang nicht
gesichert ist. Daher haben wir der Einfachheit halber lineare Regressionen durchge-
führt. Man kann festhalten, dass die mittleren Nusselt-Zahlen der Fläche II c am
stärksten mit der Reynolds-Zahl ansteigen.
Nu = 0,0022 Re + 0,4114
Nu = 0,0027 Re + 2,8457
Nu = 0,0038 Re + 2,4492
Nu = 0,0043 Re + 2,5005
0
5
10
15
900 1400 1900 2400 2900
Re
NuFläche IFläche II aFläche II bFläche II c
Abb. 7.18: Zusammenfassende Auftragung der flächengemittelten Nusselt-Zahlen in
Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl von allen vier untersuchten Seiten. Die Glei-
chungen ergeben sich aus einer linearen Regression der Datenpunkte
31 vgl. Erläuterungen zu Abb. 7.4
7. Ergebnisse -91-
St = -1E-07 Re + 0,0036
St = -1E-06 Re + 0,0085
St = -1E-06 Re + 0,0096
St = -1E-06 Re + 0,0099
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
900 1400 1900 2400 2900
Re
StFläche IFläche II aFläche II bFläche II c
Abb. 7.19: Darstellung der mittleren Stanton-Zahl in Abhängigkeit von der Reynolds-
Zahl für die untersuchten Konfigurationen mit den entsprechenden Regressionsgera-
den (Pr = 0,7)
Weiterhin wurden die Nusselt-Zahlen in Stanton-Zahlen für Pr = 0,7 wieder mit den
entsprechenden Regressionsgeraden transformiert (Abb. 7.19).
7.1.4 VERGLEICH MIT NUMERISCHEN ERGEBNISSEN
Batta [8] berichtet mit numerischen Berechnungen gewonnene Ergebnisse bezüglich
des Verhaltens des Wärmeübergangs und des Druckverlusts eines periodischen
Elements des Dreieckskanals mit Wirbelerzeugern. Jedoch sind in [8] alle drei
Wandseiten mit konstanter Wandtemperatur belegt, so dass eine größere Wärmelei-
stung übertragen wird.
In der Arbeit wird direkt der Wärmeübergang untersucht. Dementsprechend entfallen
Fehler durch Analogiebetrachtungen. Die Ergebnisse für die gemittelten Nusselt-
Zahlen sind in Tabelle 7.1 absolut und in Relation zum Wert der vollentwickelten la-
minaren glatten Dreiecksströmung (Nu0 = 2,47) zusammengefasst.
7. Ergebnisse-92-
In dem betrachteten Bereich der Reynolds-Zahlen ist eine Wärmeübergangssteige-
rung von 70%, 133% und 189% bezüglich der vollentwickelten Strömung des glatten
Dreieckskanals ohne Wirbelerzeuger ermittelt worden. Abb. 7.20 stellt die numerisch
berechneten Nusselt-Zahlen den gemessenen gegenüber.
Bei einer Reynolds-Zahl von 100 (laminar) ist die Steigerung des Wärmeübergangs
durch Wirbelerzeuger etwa 1,6:1. Betrachtet man jedoch die höhere Reynolds-Zahl
von 900 beläuft sich die Steigerung des Wärmeübergangs auf ca. 2,5:1. Vermutlich
wir die Strömung durch den Einsatz der Wirbelerzeuger turbulent. Die Stanton-Zahl
für den Wärmeübergang mit Wirbelerzeugern klingt mit steigender Reynolds-Zahl ab
(ca. 2,0:1 bei einer Reynolds-Zahl von 2700).
Tabelle 7.1: Mit numerischen Untersuchungen gewonnene mittlere Nusselt-Zahlen
eines periodischen Elements des gleichen Dreieckskanals mit und ohne Wirbeler-
zeugern, wobei für alle drei Seiten Tw = konst. gilt [8]
ohne Winglet mit Winglets
Redh 100 100 200 400
Num, dh 2,47 4,202 5,755 7,128
Nu / Nu0 1 1,7 2,33 2,89
Hierzu wurden für jede Reynolds-Zahl eine arithmetische Mittelung der Nusselt-
Zahlen der einzelnen Flächen durchgeführt. Im Bereich 900Re400 << liegen keine
Ergebnisse vor. Eine Extrapolation der numerischen Werte über diesen Bereich er-
scheint nicht sinnvoll, da der Unterschied zu [8] durch die Betrachtung von zwei Sei-
ten als adiabate Wände bemerkenswert ist. Ferner ist zu bedenken, dass die aus
AAM gewonnenen mittleren Nusselt-Zahlen im Vergleich zur thermisch vollentwik-
kelten Strömung, wie er von [8] betrachtet wurde, durch das Einfließen des Einlauf-
bereichs in die Mittelwertbildung angehoben werden.
Aus den erhaltenen Ergebnissen wird, wie für die Lamellenrohrkonfiguration mit Wir-
belerzeugern und die geprägte Platte ein Datenblatt erstellt. Einfache Potenzkorrela-
tionen sind in Tabelle 7.2 angegeben.
7. Ergebnisse -93-
Abb. 7.20: Über alle Seiten des Dreiecks gemittelte Stanton-Zahlen in Abhängigkeit
von der Reynolds-Zahl – Vergleich AAM mit numerischen Berechnungen [8]
Tabelle 7.2: St- und f-Korrelationen des Dreieckskanals mit Wirbelerzeugern
b1 [-] c1 [-] b2 [-] c2 [-]0,0420 -0,2658 4,8025 -0,6441
f = b2 Rec2 [-]St = b1 Rec1 Pr-2/3 [-]
7.2 ERGEBNISSE DER KOSTENOPTIMIERUNG
7.2.1 KOSTENOPTIMIERTER BETRIEB (EINSEITIGE BETRACHTUNG)
In den Abb. 7.21 und 7.22 werden die betrachteten Konfiguration gegenübergestellt.
Neben dem oben erläuterten VG1-Kriterium erfolgt ein Flächenvergleich (A/Ao)Kmin.
Die flächenbezogenen Apparatekosten einer verbesserten, z. B. durch Wirbelerzeu-
ger modifizierten, Konfiguration wird mit dem eines ebenen Spalts (als Referenz) ins
Verhältnis gesetzt. Dieser Quotient wird für den optimalen Betriebspunkt erstellt, in
dem die Kosten für den Wärmeübergang minimal werden (ReK,min):
0,001
0,01
0,1
100 1000 10000Re
St
gemessen, ohne Wirbelerzeuger
gemessen, mit Wirbelerzeuger
numerisch, ohne Wirbelerzeuger
numerisch, mit Wirbelerzeuger
7. Ergebnisse-94-
hminKminKpm
minK,0minK,0pmh
minK,0
minK
dStRecTStRecTd
)Q/A()Q/A(
η∆η∆
=!
!(7.3)
Unter der Annahme konstanter Wärmeströme Q! folgt daraus für gleiche ∆Tm:
minKminK
minK,0minK,0
minK0 StReStRe
AA =
(7.4)
Die Ergebnisse sind in Tabelle 7.3 verzeichnet und werden in Abb. 7.21 graphisch
dargestellt. Die Referenzfläche A0 ist die des glatten Kanals bei gleicher Wärme-
übertragungsleistung ( 00 AA α=α ) für die kostengünstigste Reynolds-Zahl.
Weiterhin wird ein Kostenvergleich (K/K0)Kmin durchgeführt. Der Vergleich der Ge-
samtkosten modifizierter Flächen mit denen des Referenzkanals erfolgt analog zur
Berechnung von (A/A0)Kmin. Der Unterschied besteht darin, dass neben den Appara-
tekosten auch die Betriebskosten berücksichtigt werden. Für gleiche Wärmeströme
Q! kann das Verhältnis von Kosten zu Wärmeübertragungsfläche im optimalen Be-
triebspunkt berechnet werden:
minK,0
2minK,0minK,0
mp2h
2
PminK,0minK,0pm
h0,A
minK
2minKminK
mp2h
2
PminKminKpm
hA
minK0
StRef
Tcd2k
StRecTdk
StRef
Tcd2k
StRecTdk
KK
∆ν+
η∆
∆ν+
η∆=
!
!
!
!(7.5)
Die berechneten Werte sind in Tabelle 7.3 verzeichnet. In Abb. 7.22 sind sie gra-
phisch dargestellt.
Tabelle 7.3: Ergebnisse der Verhältnisse (A/A0)Kmin, (A/A0)VG1 und (K/K0)Kmin
Autor / Jahr Konfig. (A/A0)Kmin (A/A0)VG1 (K/K0)Kmin
2.1.1.1 Wärmeübertrager mit Hutzen-WirbelerzeugernBehle (1996) H_1DR 0,61 0,47 0,60Behle (1996) H_2DR 0,55 0,41 0,57Müller (1998) HPV_1DR 0,33 0,28 0,34Müller (1998) HAV_1DR 0,27 0,22 0,302.1.1.2 Wärmeübertrager mit Winglet-WirbelerzeugernBrockmeier (1987) DFWE 0,78 0,84 0,74Brockmeier (1987) DWWEP 0,70 0,75 0,70
7. Ergebnisse -95-
Embossed (1998) QWE 0,71 0,76 0,71Grosse-Gorgemann LWE - - -Grosse-Gorgemann FSB 0,49 0,48 0,50Güntermann (1992) QR 0,41 0,38 0,41Lorenz (1996) DWP 0,91 1,22 1,03Tiggelbeck (1990) DWP_DR 0,71 0,78 0,74Tiggelbeck (1990) PLFI (ver.) 0,90 1,05 0,92Weber (1995) FGBG45 0,68 0,72 0,60Weber (1995) FGBG90 0,58 0,68 0,702.1.1.3 Lamellen-Rohr-Wärmeübertrager mit Winglet-WirbelerzeugernBastani (1998) TUFI_E 0,95 1,19 1,97Bastani (1998) TUFI_PV 1,60 2,02 3,15Chen (1997) 1DWP 0,83 0,97 1,30Chen (1997) 4DWP 0,48 0,52 0,74VEHE1 (1998) TUFI 0,77 0,67 1,052.1.1.4 Dreieckkanal-Wärmeübertrager mit Winglet-WirbelerzeugernVEHE2 (1998) TRICHA 0,95 1,34 1,10
7.2.2 KOSTENOPTIMIERTER BETRIEB (BEIDSEITIGE BETRACHTUNG)
Betrachtet man die Abhängigkeit der minimierten Kosten von den Reynolds-Zahlen
beider Seiten, so erhält man Abb. 7.23 und 7.24 für spezifischen Kosten als Funktion
von Re1 und Re2. Die Kosten hängen von der Reynolds-Zahl auf der Luftseite im
Vergleich zur Reynolds-Zahl der Wasserseite sehr viel stärker ab (Abb. 7.24). Diese
Vorgehensweise der Kostenminimierung kann auf extreme Unterschiede der drei
Kanallängen des Wärmeübertragers führen und damit auf unhandliche Bauformen
und auf Anschlussquerschnitte mit ungünstig hohem Verhältnis von Umfang zu
Querschnittsfläche (teure Kanäle und Anschlussstücke), vgl. Abb. 7.25.
Gegebenenfalls lassen sich ungünstige Verhältnisse der Abmessungen (Schritt 1,
Abb. 7.25) des kostenoptimierten Wärmeübertragers dadurch korrigieren, dass der
Wärmeübertrager zu einer kompakteren Form gefaltet wird (Schritt 2, Abb. 7.25), d.
h. indem der Wärmeübertrager in geeigneter Form in mehrere Teile geschnitten wird
und diese dann in anderer Form wieder zusammengesetzt werden. Dabei werden
weder die Frontflächen noch die Wärmeübertragungsflächen verändert. Durch die
kompaktere Form kommt es jedoch zu zusätzlichen Strömungsverlusten in den
7. Ergebnisse-96-
Rohrkrümmern. Unter Umständen lässt sich die so erzeugte neue Stromführung
durch eine wärmetechnisch günstigere ersetzen, z. B. im Fall der Abb. 7.25, Schritt
3, der zunächst angenommene Kreuzstrom durch einen Kreuzgegenstrom mit meh-
reren Durchgängen. In diesem Fall ist u. U. auch die Optimierung mit dem entspre-
chend der Stromführung korrigierten Wert von ∆Tm zu wiederholen.
7. Ergebnisse-72-
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0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
2,60
2,80
3,00
3,20
Beh
le: H
_1D
R
Beh
le: H
_2D
R
Mül
ler:
HP
V_1
DR
Mül
ler:
HA
V_1
DR
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WE
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ver.)
Gro
sse-
G.:
LWE
Gün
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ann:
FS
B
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nz: Q
R
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Tigg
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WP
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GB
G45
Web
er: F
GB
G90
Bas
tani
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FI_E
Bas
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: TU
FI_P
V
Che
n: 1
DW
P
Che
n: 4
DW
P
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HE
1: T
UFI
VE
HE
2: T
RIC
HA
Autor / Konfiguration
Fläc
henv
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ltnis
A /
A0
(A/A0) für Kmin
�����VG1
violett:Dreieckkanal-WÜ mit Winglet-WE
gelb:Lamellen-Rohr-WÜ
mit WE
grün:WÜ mit Winglet-WE
rot:WÜ mit Hutzen-WE
Referenz: K0 für hydrodynamisch vollentwickelte ebene Spaltströmung, kostenoptimiert
Abb. 7.21: Flächenbedarf für verschiedene Konfigurationen mit Wirbelerzeugern bezogen auf den Flächenbedarf für den ebenen
Spalt (kostenoptimiert), Scheidtmann et al. [104]
7. Ergebnisse -97-
7. Ergebnisse -73-
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Autor / Konfiguration
Kost
enve
rhäl
tnis
K /
K0
rot:WÜ mit Hutzen-WE
gelb:Lamellen-Rohr-WÜ
mit WE
grün:WÜ mit Winglet-WE
Referenz: K0 für hydrodynamisch vollentwickelte ebene Spaltströmung, kostenoptimiert
Abb. 7.22: Minimale Kosten der Wärmeübertragung für verschiedene Konfigurationen mit Wirbelerzeugern bezogen auf minimale
Kosten der ebenen Spaltströmung, Scheidtmann et al. [104]
-98- 7. Ergebnisse
7. Ergebnisse -99-
6042
078
011
4015
0018
6022
2025
8029
40
60900
17402580
0,000000003
3,6E-09
4,2E-09
4,8E-09
5,4E-09
0,000000006
5,4E-09-6E-09
4,8E-09-5,4E-09
4,2E-09-4,8E-09
3,6E-09-4,2E-09
3E-09-3,6E-09
Re1Re2
C/Q
Abb. 7.23: Spezifische Kosten in Abhängigkeit von den Reynolds-Zahlen beider
Fluide für Luft-Luft-Wärmeübertrager
1614
1291
2
2421
0
3550
8
4680
6
5810
3
6940
1
8069
9
74
1186
2298
3410
0,00E+00
6,00E-10
1,20E-09
1,80E-09
2,40E-09
3,00E-09
3,60E-09
4,20E-09
4,80E-09
C/Q
Re2 (Water)
Re1 (Air)
4,2E-09-4,8E-09
3,6E-09-4,2E-09
3E-09-3,6E-09
2,4E-09-3E-09
1,8E-09-2,4E-09
1,2E-09-1,8E-09
6E-10-1,2E-09
0-6E-10
Abb. 7.24: Spezifische Kosten in Abhängigkeit von den Reynolds-Zahlen beider
Fluide für Wasser-Luft-Wärmeübertrager
7. Ergebnisse-100-
Abb. 7.25: Illustration des Faltens eines Wärmeübertragers im Fall des Lamellen-
rohrtyps
7.3 DISKUSSION DER ERGEBNISSE DER KOSTENOPTIMIERUNG
Die kostenoptimierte Auslegung eines Hochleistungswärmeübertragers durch Mini-
mierung der spezifischen Kosten der Wärmeübertragung führt auf folgende Ergeb-
nisse:
Die günstigsten Flächenverhältnisse im Verhältnis zum Flächenbedarf des ebenen
Spalts ohne Modifikationen werden durch den Einbau von Wirbelerzeugern in Form
von Hutzen in die Strömungskanäle der Wärmeübertrager erreicht. Hier kann der
Bedarf an Wärmeübertragungsfläche um ca. 70 bis 80% reduziert werden (Konfigu-
ration Müller [88]: HPV_1DR und HAV_1DR).
Im Vergleich von Lamellen-Rohr- mit Platten-Wärmeübertrager-Konfigurationen
macht sich bemerkbar, dass in ersteren die Außenströmung durch die querange-
strömten Rohre massiv gestört wird (hohe Formwiderstände), wodurch der Druck-
verlust deutlich erhöht wird. Durch die zusätzlichen Materialkosten der Rohre sind die
7. Ergebnisse -101-
Kostenfaktoren Ak! für Lamellen-Rohr-Wärmeübertrager deutlich höher als bei Plat-
tenwärmeübertragungsflächen oder bei durchbrochenen Lamellen mit Hutzen. Da
der ebene (glatte) Spalt als allgemeine Referenzkonfiguration gewählt wurde, ist vor-
herzusehen, dass ein Vergleich von Lamellen-Rohr-Wärmeübertragern mit glatten
Kanälen relativ hohe Werte A/A0 ergibt (Bastani Jahromi [4]: TUFI_E und TUFI_PV).
Hier erreicht die Lamellen-Ovalrohr-Wärmeübertrager-Konfiguration von Chen [27]
(4DWP) die besten Werte wegen des sehr geringen Formwiderstands der dünnen
Ovalrohre im Vergleich zu dem Kreisrohrquerschnitt.
Für die Konfiguration mit Dreieckskanal gilt ähnliches wie für die Lamellen-Rohr-
Wärmeübertrager. Diese Konfiguration ist teurer als der ebene Spalt. Hierzu tragen
der relativ schlechte Wärmeübergang in den spitzwinkligen Ecken der dreieckigen
Kanäle und relativ langen Wärmeleitungswege in den Rippen bei.
Die Unterschiede der Flächenbedarfswerte verschiedener Konfigurationen vom
höchsten zum niedrigsten Wert sind nach VG1 (gleiche Strömungsverlustleistung)
größer als bei der Kostenoptimierung. Eine Erklärung dafür ist, dass die Kostenopti-
mierung für sehr wirksame Wärmeübertragungsflächen geringere Geschwindigkeiten
und infolgedessen eine geringere Flächenverkleinerung bewirkt, wobei auch die Er-
höhung der Förderleistung reduziert wird. Da beim VG1-Kriterium das Verhältnis
0P/P !! stets 1 ist, ist die Geschwindigkeit durch f(Re) festgelegt.
Einen höheren Flächenbedarf als ebene Spalte mit Wirbelerzeugern zeigen im Ver-
gleich nach dem VG1-Kriterium die Lamellen-Kreisrohr-Konfigurationen von Bastani
Jahromi [4], die breiten Kanäle mit Querrippen von Lorenz [24] und die Dreieckska-
nalkonfiguration VEHE2. Diese Konfigurationen sind durch besonders hohe Formwi-
derstände gekennzeichnet.
Die beiden periodisch angeordneten Hutzen-Konfigurationen von Müller [88] und die
fluchtend, symmetrisch und beidseitig in den Strömungskanal eingebrachten
Wingletkonfigurationen von Güntermann [62] liefern die niedrigsten Werte des Flä-
chenbedarfs nach VG1-Kriterium.
7. Ergebnisse-102-
Auch für die Kostenoptimierung im Vergleich zum ebenen Spalt (K/K0)Kmin haben die
Hutzen-Konfigurationen von Müller [88] die günstigsten Werte, gefolgt von den Kon-
figurationen von Güntermann [62]. Allerdings sind die Hutzen-Wirbelerzeuger von
Müller wegen der Perforation der Übertragungsflächen nicht für Platten-
Wärmeübertrager sondern z. B. für Lamellenrohrwärmeübertrager oder Regene-
ratoren geeignet.
Relativ teuer sind die Lamellen-Kreisrohr-Konfigurationen mit Wirbelerzeugern vonBastani Jahromi [4], verursacht durch das Zusammentreffen von großem Über-
tragungsflächenbedarf aufgrund geringerer Geschwindigkeiten (wegen hohen Form-
widerstands) und hohe Kostenfaktoren. Sie sind aber für den Einsatz in Gas-
Flüssigkeits-Wärmeübertragern und bei hohen Druckunterschieden ∆p besonders
geeignet und jedenfalls günstiger als Lamellen-Kreisrohr-Konfigurationen ohne Wir-
belerzeuger.
Bei der beidseitigen Kostenoptimierung können die asymmetrischen Abmessungen
durch Falten der Anordnung geändert werden.
8. Zusammenfassung -103-
8. ZUSAMMENFASSUNG
In Hochleistungswärmeübertragern werden Übertragungsflächen hoher Flächen-
dichte mit speziellen Einbauten oder Strukturen zur Steigerung der Wärmeüber-
gangskoeffizienten verwendet. Von der DFG-Forschergruppe „Wirbel und Wärme-
übertragung“ (unter Leitung von Prof. Dr.-Ing. M. Fiebig) wurde über viele Jahre die
Anwendung von wirbelerzeugenden Flügeln oder Winglets untersucht. Durch solche
Wirbelerzeuger kann der Wärmeübergang beträchtlich erhöht werden, jedoch steigen
auch die damit verbundenen Druckverluste i. Allg. überproportional.
Ein anwendungsgerechter Lösungsansatz zur Bewertung von Hochleistungsflächen
ist die Betrachtung der minimalen spezifischen Kosten der Wärmeübertragung. In
dieser Arbeit werden verschiedene Wärmeübergangsflächen mit Wirbelerzeugern im
Hinblick auf ihre spezifischen Kosten der Wärmeübertragung verglichen. Betrachtet
werden dabei drei Kostenbeiträge, welche durch Kostenfaktoren gewichtet werden:
die erforderliche Übertragungsfläche, der Bedarf an Förderleistung und die Abwer-
tung der Wärme durch Entropieerzeugung. Der kostengünstigste Betrieb wird ermit-
telt, indem die Ableitungen der spezifischen Kosten der Wärmeübertragung nach den
Strömungsgeschwindigkeiten beider Seiten und nach der mittleren Temperaturdiffe-
renz ∆Tm zu Null gesetzt werden. Die Ermittlung der Kostenfaktoren ist naturgemäß
nur unter Vereinfachungen und für einen bestimmten Zeitraum möglich.
Verschiedene Übertragungsflächen mit Wirbelerzeugern, deren Wärmeübergangs-
verhalten und Druckverluste bekannt sind, wurden für Betrieb mit jeweils minimierten
Kosten untersucht bzw. miteinander verglichen. Für die Beurteilung der Flächenkon-
figurationen ist als gemeinsamer Referenzfall die hydrodynamisch voll entwickelte
ebene Spaltströmung mit der kostengünstigsten Reynolds-Zahl gewählt worden. Nä-
her untersucht wurden vor allem drei Konfigurationen, die im Rahmen des EU-
Projekts „Vortex Enhanced Heat Exchangers (VEHE)“ für industrielle Anwendungen
ausgewählt wurden.
8. Zusammenfassung-104-
Für jeden Flächentyp ergeben sich bestimmte Strömungsgeschwindigkeiten beider
Fluide, welche minimale Kosten der Übertragungsfläche und der Pumpleistung er-
lauben, und, soweit nicht fest vorgegeben, eine kostengünstigste mittlere Tempera-
turdifferenz. Die Untersuchung zeigt, dass die minimierten spezifischen Kosten der
Wärmeübertragung eine ähnliche Rangordnung der betrachteten Flächen liefern, wie
das VG1-Kriterium nach Webb [139], und dass es möglich ist, die minimalen spezifi-
schen Kosten der Wärmeübertragung gegenüber konventionellen Platten- oder
Rohrbündelwärmeübertragern auf weniger als die Hälfte zu senken.
Die spezifischen Kosten der Wärmeübertragung in einer gewählten Konfiguration,
aufgetragen über dem Feld der Reynolds-Zahlen beider Fluide, zeigen eine schüs-
selförmige Verteilung der spezifischen Kosten mit einem Kostenminimum. Die Ab-
hängigkeit der Kosten von der Reynolds-Zahl der Gasseite ist wesentlich stärker als
von der Reynolds-Zahl der Flüssigkeitsseite eines Gas-Flüssigkeit-Wärmeübertra-
gers.
Die kostenoptimierte Auslegung kann zu einem Wärmeübertrager mit extremen Un-
terschieden der drei Längenabmessungen führen. Dann besteht die Möglichkeit des
„Faltens“ des Wärmeübertragers evtl. mit der Möglichkeit einer verbesserten Strom-
führung (Kreuzstrom mit mehreren Durchgängen). Zusätzlicher Druckverlust kann
dabei durch den Einbau von Rohrkrümmern entstehen.
9. Quellenhinweise -105-
9. QUELLENHINWEISE
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10. ANHANG
10. Anhang -A 1-
A. KOSTENOPTIMIERUNG FÜR BEIDSEITIGE BETRACH-TUNG
Die Gleichung für die spezifische Kosten kann auf folgende Art formuliert werden,
vgl. auch Schneeloch [106]:
m20
T
2
1ii
m
P
m
iAi T
TTkP
TAkk
TAkAk
QK ∆+
∆+
∆= ∆
=∑ !!
!
!, i=1, 2 (A1)
und
m20
T
2
1ii
2111m
P
2111m
iAi T
TTkP
A1
A1
Tk
A1
A1
TAk
QK ∆+
α
+α∆
+
α
+α∆
= ∆=∑ !!
!
!(A2)
m20
T
32h
2232
322
31h
1131
311
22222p
2h
11111p
1h
m
P
2
i
2222p
2h
1
i
1111p
1h
mAi
TTTk
d2AfRe
d2AfRe
AStRecd
AStRecd
Tk
AA
StRecd
AA
StRecd
T1k
QK
∆+
νρ+νρ
η
+η∆
+
η
+
η∆
=
∆
!!
!
(A3)
Daraus ergibt sich
m20
T
2ee2b
222p22h
222e3
21e
11
23
2h
2322
b1111p
1h
1e2
e31
2
1b2222p
2h31h
13112ee
1b111p
21h
121
m
P
1e2
2
ib2222p
2h1e1
1
ib1111p
1h
mAi
TTTk
RePracd2
CReReAA
d2C
Pracd
ReReAA
Pracd
d2CRe
Pracd2C
Tk
ReAA
PracdRe
AA
Pracd
T1k
QK
2212
2
2211
1
1221
2
2111
1
12
2
11
1
∆+
ν+
νρ⋅η
+
η
νρ+
ν
∆+
η
+
η∆
⋅=
∆
+−−−
−−+−
−−!!
!
(A4)
Wenn man zur Vereinfachung folgende Variablen einführt
η
=1
ib1111p
1h1 A
APrac
dX1
(A5)
η
=2
ib2222p
2h2 A
APrac
dX2
(A6)
10. Anhang-A 2-
1b111p
21h
121
3 Pracd2CX ν= (A7)
η
νρ=2
1b2222p
2h31h
1311
4 AA
Pracd
d2CX
2(A8)
νρη
=1
23
2h
2322
b1111p
1h5 A
Ad2
CPrac
dX1
(A9)
2b222p
22h
222
6 Pracd2CX ν= (A10)
erhält man
( )
( )
m20
T
2ee26
e32
1e15
1e2
e314
2ee13
m
P
1e22
1e11
mAi
TTTk
ReXReReXReReXReXT
k
ReXReXT1k
QK
2212221112212111
1211
∆+
+++∆
+
+∆
=
∆
+−−−−−+−
−−!!
!
(A11)
Eine Kostenoptimierung wird durch zu Null Setzen der ersten partiellen Ableitungen
von Gl. A11 nach Re1, Re2 and ∆Tm durchgeführt:
( )( )
( ) ( ) ( )( )221112212111
11
e32
2e1115
1e2
e21214
1ee121113
m
P
2e1111
mAi
1
ReRe1eXReRee3XRe2eeXT
k
Re1eXT1k0
Re)Q/K(
−−−−+−
−
−+−++−∆
+
−∆
==∂
∂ !
(A12)
( )( )
( ) ( ) ( )
+−+−+−
∆
+
−∆
==∂
∂
+−−−−−
−
1ee222126
e2222
1e15
2e212
e31
2
14
m
P
2e2122
mAi
2
221222111221
12
Re2eeXRee3ReXRe1eReAAX
Tk
Re1eXT1k0
Re)Q/K( !
(A13)
( )
( )
20
T
2ee26
e32
1e15
1e2
e314
2ee132
m
P
1e22
1e112
mAi
m
TTk
ReXReReXReReXReXT
k
ReXReXT1k0
T)Q/K(
2212221112212111
1211
∆
+−−−−−+−
−−
+
+++∆
−
+∆
⋅−==∆∂
∂ !
(A14)
10. Anhang -A 3-
Das nichtlineare Gleichungssystem A12 bis A14 kann beispielsweise nach dem
Newton-Verfahren gelöst werden. Die optimalen Werte von Re1 und Re2 sind unab-
hängig von ∆Tm. Nach Berechnung der optimalen Re1 und Re2 kann ∆Tm direkt ge-
wonnen werden. Mit Hilfe des optimalen ∆Tm kann man prüfen, ob der aus der Auf-
gabenstellung bekannte Wert laut dem Optimierungskriterium günstig gewählt ist.
10. Anhang-A 4-
B. ENGINEERING SOFTWARE FOR OPTIMIZED DESIGN OFVORTEX ENHANCED HEAT EXCHANGERS
1. CONCEPT OF SOFTWARE
A software for prediction and design of industrial VEHE’s is developed. Flow charts ofthe VEHE design software are given in Figs. 1a and b. Fig. 1a is applicable in case ofperiodic flow, while Fig. 1b annotates the procedure for developing flow conditions.
The types and mass flow rates of both heat exchanging fluids, the inlet temperatures,and the required heat load of the apparatus are the input data for the operating con-ditions.
The configuration of the heat transfer surface is chosen from a data bank establishedfor this purpose. The data bank includes smooth surfaces as circular tubes and flatplates and enhanced surfaces, in particular:
- plates bearing winglet type vortex generators for heat transfer augmentation,
- fin-and-tube configurations without and with vortex generators,
- corrugated plates, and in particular
- three vortex enhanced configurations selected within the present project.
Most of the enhanced surface configurations, except the three ones selected in thisproject, have been investigated at the RUB. Transfer features of these surfaces aregiven as Colburn factor and (apparent) friction factor respectively, both being func-tions of the Reynolds number.
A data bank of available information from numerical and experimental studies of heattransfer and pressure drop in VEHE’s and other heat exchanger configurations isgenerated. Figs. 2 to 4 show the data sheets of the transfer surfaces which are in-vestigated in particular in this project (tube-fin, embossed and secondary fin VEHE).
The data sheet of each configuration includes
- a schematic of the configuration,
- the curves of Colburn and friction factors versus the Reynolds number and
- the parameters of the correlations yield by a curve fit.
The flow arrangement is to be chosen to be compatible with the selected surface.
Fluid properties are given interactively by the user or are taken from another databank.
10. Anhang -A 5-
Fig. 1a: Flow chart of VEHE software
type oinlet te
select Vread geo
fundata bank:
“transfer surfaces”
comput
compute Re
comp
comput
computeto
n
p
Input design data:f fluids, mass flow rates,mperatures, heat load Q!
– pe
EHE surface configuration,metric data, cost factors andctions St(Re, Pr), f(Re)
data bank:“fluid pro-perties”
e cost optimized v2 and AF2
, St, f, heat transfer coefficientsα1, α2 for both sides
read fluid properties,ute efficiency, NTU, (k A)
e cost optimized v1 and AF1
k, heat transfer area A := A1,tal number of cells n
)
z
re 2
print data
number nx of cells in flow direction 1 (integer
nx = int(nx) + 1ny = int(ny) +1
= int(n / (nx ny)) +1
select flow arrangement
size Lx x Ly x Lz ,ssure drop ∆p1, ∆p
riodic flow
end
10. Anhang-A 6-
Fig. 1b: Flow chart of VEHE software (i
type inlet te
select Vread geo
fundata bank:
“transfer surfaces”
comput
com
fit flow velocity
zezxe,yex,y
2,12,1 LnLn
Vv
!=
compute Re
comput
comput
y
ctotal numbe
nn xnew,x −
n
ny, new = int(ny) + 1y
n
Input design data:of fluids, mass flow rates,mperatures, heat load Q!
nlet fl
EHE surface configuration,metric data, cost factors andctions St(Re, Pr), f(Re)
data bank:“fluid pro-perties”
e cost optimized v2 and AF2
pute integer numbers ofcells ny
2,11zezxe,yex,y2,1 V01.0vLnLnV !! ≥−
a
, St, f, heat transfer coefficientsfor both sides
read fluid properties,e effectiveness, NTU, (k A)
e cost optimized v1 and AF1
n
ompute (k A)cell, meanr of cells n = (k A) / (k A)cell, mean
?5.0≥
ynx, new = int(nx) + 1
eventually inter-active access
default:nx = 1ny = 2
set fixed orvariable
end
?5.0nn xnew,y ≥−
z
print dat
number nx, new of cells in flow direction 1
select flow arrangement, ∆Tm
calculate corrected NTU,effectiveness, ∆p1, ∆p2
nz = int(nz) + 1
ow)
size Lx x Ly x L
10. Anhang -A 7-
1,0E-03
1,0E-02
1,0E-01
1,0E+00
1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04Re(2H)
j23f 23
a [-] m [-] b [-] n [-]0,4481 0,5000 2,5402 -0,3700
St = a / Pr Rem-1 [-] f = b Ren [-]
Fig. 2: Data sheet for tube fin VEHE
10. Anhang-A 8-
1,0E-03
1,0E-02
1,0E-01
1,0E+00
1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04Re(2H)
j24f 24
b1 [-] c1 [-] b2 [-] c2 [-]0,3220 -0,4489 0,9439 -0,3600
St = b1 Rec1 Pr-2/3 [-] f = b2 Rec2 [-]
Fig. 3: Data sheet for embossed plate VEHE
10. Anhang -A 9-
1,0E-03
1,0E-02
1,0E-01
1,0E+00
1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04Re(dh)
f25j 25
b1 [-] c1 [-] b2 [-] c2 [-]0,0420 -0,2658 4,8025 -0,6441
f = b2 Rec2 [-]St = b1 Rec1 Pr-2/3 [-]
Fig. 4: Data sheet for secondary fin VEHE
10. Anhang-A 10-
The heat exchanger efficiency, the NTU and the required overall heat transfer per-formance (k A) are computed from the design data, taking account for the chosenflow arrangement and for the fluid properties.
Depending on the set of given data of operating conditions and on the flow arrange-ment the mean temperature difference is fixed by these data or obtained by cost op-timization.
In the next step cost optimized flow velocities are estimated. An approach for heatexchanger optimization with constant wall temperature is
m21
0TPA T
TTTc
QPc
QAc
QC ∆++= ∆!
!
!!
!
!(B1)
where Ac! , cP and c∆T are cost factors for the particular costs, depending on thetransfer surface A, the pumping power P! and the heat degradation lE! (exergylosses), respectively. They are obtained from market and producer information.
Consideration of both fluid flows yields the following notation of the equation of spe-cific costs:
( ) m21
0T21
piAi T
TTTcPP
Qc
QAc
QC ∆+++= ∆
!!!!
!!
!, with i = 1, 2 (B2)
where the pumping power for each of both fluids is defined as
Afv2
P 3ρ=! (B3)
An energy balance yields
2m221m11'2
''22
''1
'11m TATA:)TT(W)TT(WTAkQ ∆α=∆α=−=−=∆= !!! (B4)
with the following definitions
2211 A1
A1
Ak1
α+
α= (B5)
Stvcp ρ=α
ν= hdvRe
ρν=η
The Stanton number and friction factor are tabulated for each configuration in a databank in the following scheme (data sheet):
10. Anhang -A 11-
3/2be PrjPrReaSt 1 −− == (B6)
2eReCf −= (B7)
The specific cost (B2) can be formed as
m21
0T21
m
P
m
iAi T
TTTc)PP(
TAkc
TAkAc
QC ∆++
∆+
∆= ∆
!!!!
!(B8)
and
m21
0T21
2111m
P
2111m
iAi T
TTTc)PP(
A1
A1
Tc
A1
A1
TAc
QC ∆++
α
+α∆
+
α
+α∆
= ∆!!!
!
!(B9)
m21
0T
32h
2232
322
31h
1131
311
22222p
2h
11111p
1h
m
P
2
i
2222p
2h
1
i
1111p
1h
mAi
TTT
Tc
d2AfRe
d2AfRe
AStRecd
AStRecd
Tc
AA
StRecd
AA
StRecd
T1c
QC
∆+
νρ+νρ
η
+η∆
+
η
+
η∆
=
∆
!!
!
(B10)Inserting the correlations (B5) to (B7) yields
m21
0T
2ee2b
222p22h
222e3
21e
11
23
2h
2322
b1111p
1h
1e2
e31
2
1b2222p
2h31h
13112ee
1b111p
21h
121
m
P
1e2
2
ib2222p
2h1e1
1
ib1111p
1h
mAi
TTT
Tc
RePracd2
CReReAA
d2C
Pracd
ReReAA
Pracd
d2CRe
Pracd2C
Tc
ReAA
PracdRe
AA
Pracd
T1c
QC
2212
2
2211
1
1221
2
2111
1
12
2
11
1
∆+
ν+
νρη
+η
νρ+
ν
∆+
η+
η∆=
∆
+−−−
−−+−
−−!!
!
(B11)By introducing the following variables for simplification
1
ib1111p
1h1 A
APrac
dX1η
= (B12)
2
ib2222p
2h2 A
APrac
dX2η
= (B13)
1b111p
21h
121
3 Pracd2CX ν= (B14)
10. Anhang-A 12-
2
1b2222p
2h31h
1311
4 AA
Pracd
d2CX
2ηνρ= (B15)
1
23
2h
2322
b1111p
1h5 A
Ad2
CPrac
dX1
νρη
= (B16)
2b222p
22h
222
6 Pracd2CX ν= (B17)
one gets
( )
( )
m21
0T
2ee26
e32
1e15
1e2
e314
2ee13
m
P
1e22
1e11
mAi
TTT
Tc
ReXReReXReReXReXTc
ReXReXT1c
QC
2212221112212111
1211
∆+
+++∆
+
+∆
=
∆
+−−−−−+−
−−!!
!
(B18)The cost optima are obtained by setting the first partial derivatives of equation (B18)versus Re1, Re2 and ∆Tm to zero:
( )( )
( ) ( ) ( )( )221112212111
11
e32
2e1115
1e2
e21214
1ee121113
m
P
2e1111
mAi
1
ReRe1eXReRee3XRe2eeXTc
Re1eXT1c0
Re)Q/C(
−−−−+−
−
−+−++−∆
+
−∆
==∂
∂ !
(B19)
( )( )
( ) ( ) ( )
+−+−+−
∆+
−∆
==∂
∂
+−−−−−
−
1ee222126
e2222
1e15
2e212
e31
2
14
m
P
2e2122
mAi
2
221222111221
12
Re2eeXRee3ReXRe1eReAAX
Tc
Re1eXT1c0
Re)Q/C( !
(B20)
( )
( )
21
0T
2ee26
e32
1e15
1e2
e314
2ee132
m
P
1e22
1e112
mAi
m
TTTc
ReXReReXReReXReXTc
ReXReXT1c0
T)Q/C(
2212221112212111
1211
∆
+−−−−−+−
−−
+
+++∆
−
+∆
−==∆∂
∂ !
(B21)
The system of non linear equations (B19) to (B21) can be solved by using Newtonprocedure. The optimum values of Re1 and Re2 are independent of ∆Tm. After gettingthe optimum values of Re1 and Re2 the ∆Tm can be computed from equation (B21).The optimum ∆Tm is an indication whether the inlet and outlet temperatures areproperly chosen.
10. Anhang -A 13-
The specific costs for air-air and liquid-air heat exchangers are shown in figures 2and 3, respectively. It is important to note the stronger dependence of costs from theReynolds number at the air side as compared to the water side, see Fig. 3.
From the optimized Reynolds numbers and ∆Tm both front areas and the completeheat transfer surface are calculated. The combination of these three informationyields immediately the dimensions of a cross flow heat exchanger.
For tube fin VEHE unacceptable dimensions can be yielded as result of the optimiz-ing procedure. In this case `folding` of the VEHE may be required, Fig. 7. Additionalpumping power losses due to installation of 180° elbow tubes are estimated below15%.
Cell averaged values of heat transfer coefficients in the first and in the following peri-odic element in flow direction are computed. For a flow path including n cells, theheat transfer coefficient is averaged according to
n)1n(1 ∞α−+α=α (B22)
where α1 is the mean heat transfer coefficient of the first cell and α∞ the mean valueof the periodic element. From both single side heat transfer coefficients mean overallheat transfer coefficient k and the total required heat transfer area A are calculatedproviding a first estimation of the total number n of cells.
The total number of cells is then fitted iteratively to be a product of three integers n =nx ny nz, where the factors describe the linear number of cells in x, y and z direction,respectively. The number of cells being fixed in three directions yields the overall di-mensions of the heat exchanger. The flow velocities are also iteratively fitted to fulfilthe design data for the actual number of cells.
6042
078
011
4015
0018
6022
2025
8029
40
60900
17402580
0,000000003
3,6E-09
4,2E-09
4,8E-09
5,4E-09
0,000000006
5,4E-09-6E-09
4,8E-09-5,4E-09
4,2E-09-4,8E-09
3,6E-09-4,2E-09
3E-09-3,6E-09
Re1Re2
C/Q
Fig. 5: Specific costs plotted versus the Reynolds numbers of both flows for air-airheat exchanger
10. Anhang-A 14-
1614
1291
2
2421
0
3550
8
4680
6
5810
3
6940
1
8069
9
74
1186
2298
3410
0,00E+00
6,00E-10
1,20E-09
1,80E-09
2,40E-09
3,00E-09
3,60E-09
4,20E-09
4,80E-09
C/Q
Re2 (Water)
Re1 (Air)
4,2E-09-4,8E-09
3,6E-09-4,2E-09
3E-09-3,6E-09
2,4E-09-3E-09
1,8E-09-2,4E-09
1,2E-09-1,8E-09
6E-10-1,2E-09
0-6E-10
Fig. 6: Specific costs plotted versus the Reynolds numbers of both flows for water-airheat exchanger
Fig. 7: Schematic of folding in case of tube fin VEHE
10. Anhang -A 15-
2. EXAMPLE FOR COST SAVING DUE TO USE OF VORTEX GENERATORS
The cost saving effect of vortex generators is shown in the following for a tube finconfiguration. The correlations for heat transfer and friction factor may be taken fromthe data bank in the form
j0 = 0.07433 Re-0.3135 f0 = 0.3648 Re-0.1848
j = 0.07852 Re-0.2626 f = 0.51160 Re-0.1792
where the index 0 refers to a reference tube-fin heat exchanger without vortex gen-erators. In table 1 the Reynolds numbers and mean temperature differences for op-timal operation of both heat exchangers is summarised.
Table 1: Optimum operation point of tube-fin exchangers with and without vortexgenerators
Without VG’s With VG’s DifferenceReair 7216.14 6447.56 10.7%Rewater 43019.92 48406.95 12.5%�Tm 57.19 47.32 17.3%C/Q 2.992299x10-9 2.475802x10-9 17.5%
The net benefit of the VG’s for this type of vortex enhanced heat exchanger is 17.5%reduction of the net costs as compared to the reference heat exchanger withoutVG’s.
The distribution of each cost part relative to the total costs is given in table 2.
Table 2: Shares of costs for of area, pumping power and mean temperature differ-ence in the overall costs
overall costs area costs costs of pump-ing power
costs of tem-perature deg-radation
without VG’s 2.992299x10-9 1.127713x10-9
(37.69%)0.368436x10-9
(12.31%)1.496149x10-9
(50.00%)with VG’s 2.475802x10-9 0.911948x10-9
(36.83%)0.325953x10-9
(13.17%)1.237901x10-9
(50.00%)
It is remarkable that half of the costs are due to temperature degradation for bothtypes of heat exchangers. The second important shares of costs are those for area, i.e. the production costs, which are reduced by using VG’s.
10. Anhang-A 16-
Nomenclature
Symbol physical quantity
A heat transfer surfacea coefficient in eq. (B6)b coefficient in eq. (B6)C coefficient in eq. (B7)C cost of heat transfer
Ac! , cP, c∆T cost factors of transfer surface, pumping power and exergy lossescp specific heat capacity∆Tm mean temperature difference between both fluidsdh hydraulic diameter of flow channel
lE! rate of exergy loss by temperature differencee1, e2 coefficients in eqs. (B6) and (B7)f friction factorint integer valuej Colburn factork mean heat transfer coefficient through transfer surfaceL length of a heat exchanger element (Le) in flow directionLx, Ly, Lz size of heat exchanger in x, y and z directionsM! mass flow rateNTU number of transfer unitsn number of cellsP! pumping power∆p pressure lossQ! heat loadRe Reynolds numberPr Prandtl numberSt Stanton numberT temperatureV! volume flowVfluid fluid volume of a heat exchangerv velocity
pcMW !! = capacity flowx1 to x6 variables
i, j, k number of cells in x, y and z directionsx, y, z cartesian co-ordinatesα heat transfer coefficient at fluid wallη dynamic viscosityν kinematic viscosity
Superscripts´ inlet´´ outlet.
rate per unit time (in Ac! ; C! ; Q! and M! )
10. Anhang -A 17-
Subscripts1, 2 fluid of lower / higher heat capacity rate0 environment∞ periodic cellF frontal (area)fluid fluid 1 or 2i irreversibilityw solid wallx, y, z cartesian co-ordinates, s. Fig. 1
LEBENSLAUF
Persönliche Daten:Name: Ender Tandogan
Geburtsdatum: 30.09.1972
Geburtsort: Istanbul / Türkei
Schulausbildung:08/1979 - 07/1983 Baedeker Grundschule in Witten
08/1983 - 06/1992 Städt. Albert-Martmöller-Gymnasium
in Witten
Abschluss: Allgemeine Hochschulreife
Hochschulausbildung:10/1992 - 07/1997 Maschinenbaustudium an der
Ruhr-Universität Bochum
Vertiefungsrichtung: Energietechnik –
Anlagen- und Umwelttechnik
Abschluss: Diplom-Ingenieur
Studienbegleitende Tätigkeit:05/1995 - 06/1997 Studentische Hilfskraft am Lehrstuhl
für Wärme- und Stoffübertragung,
Ruhr-Universität Bochum
Berufstätigkeit:02/1998 - 02/2001 Wissenschaftlicher Mitarbeiter am
Lehrstuhl für Verfahrenstechnische
Transportprozesse,
Ruhr-Universität Bochum
seit 03/2001 Assistent im Zentralbereich
Energie/Technische Betriebswirtschaft
der Thyssen Krupp Stahl AG
in Duisburg