Platten SS 2016 [Kompatibilitätsmodus] · 2016. 8. 12. · • Tabellen nach Stiglat-Wippel...

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Baustatik III – SS 2016

3. Platten

3.1 Scheiben und Platten 3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Platentheorie3.3 Schnittgrößen in Platten3.4 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten

3.4.1 Einfeldplatten3.4.1.1 Einachsig gespannte Platten3.4.1.2 Zweiachsig gespannte Platten

3.4.1.2.1 Drillfreie Platten (MARCUS-Verfahren, Tabellen nach STIGLAT/WIPPEL)

3.4.1.2.2 Drillsteife Platten (CZERNY-Tafeln, Tabellen nach HAHN)3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte (Einzugsflächen-

Verfahren)3.4.2 Durchlaufende Platten (Verfahren nach Pieper/Martens)

Sceiben: Voraussetzungen

Voraussetzungen: Dicke viel kleiner als die Seitenlängen Lasten wirken parallel zur Scheibenebene

Keine Verkrümmung der Scheibenebene!

Platten: Voraussetzungen

Voraussetzungen: Dicke viel kleiner als die Seitenlängen Lasten wirken quer zur Plattenebene

Verkrümmung der Plattenebene!

Scheiben

yxτhAnnahme:

Ebener Spannungszustand (ESZ)

, , 0z xz

σ τ τσ σ τ

Scheiben

Annahme:Alle Spannungskomponenten sind konstant über h=t , da h sehr klein ist!

Spannungen

Scheiben

Scheibenkräfte

Normalkräfte in x-Richtung: Normalkräfte in y-Richtung:

Schubkräfte:

wobei , da

xy xy xy

xy yx xy yx

n hn h

σσσ τ

= ⋅= ⋅

= ⋅ = ⋅

Platten

xσyσ

xyτyxτ

yzτ xzτ

SpannungenPlattenmittelebene

• Normalspannungen: ,x yσ σ

• Schubspannungen: , ,xy yx xz yzτ τ τ τ=

Platten

Schnittgrößen Plattenmittelebene

xymyxm

xqyqxm

• Biegemomente: ,x ym m

• Querkräfte: ,x yq q

• Drillmoment: xy yxm m=

3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie

Die Durchbiegung w der Platte (Verschiebung in z-Richtung) ist unabhängig von z: w = w(x,y), d.h.: alle Punkte P auf der Normalen besitzen die gleiche Durchbiegung w(x,y).

Es gilt die Normalenhypothese:Die Normalen bleiben nach der Deformation weiterhin senkrecht (orthogonal) zur Plattenmittelebene!

Normale

3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie

( ) ( ),, 0Z

w x yw w x y

∂= = =

( )0 Schubverzerrungxz yzγ γ= =

Daher werden die Kirchhoffschen Platten auch als „schubstarre“ Platten bezeichnet.

Die Normalspannung senkrecht zur Plattenmittelebene ist vernachlässigbar, d.h.

0zσ = (Ebener Spannungszustand)

3.3 Schnittgrößen in Platten

xσyσ

xyτyxτ

yzτ xzτ

SpannungenPlattenmittelebene

• Normalspannungen: ,x yσ σ

• Schubspannungen: , ,xy yx xz yzτ τ τ τ=

Schnittgrößen Plattenmittelebene

xymyxm

xqyqxm

• Biegemomente: ,x ym m

• Querkräfte: ,x yq q

• Drillmoment: xy yxm m=

Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungen:

2hz = −

wobei: h

hx x x xxm z dz m mσ

= ⋅ ⋅ =2

wobei: h

hy y y yym z dz m mσ

= ⋅ ⋅ =

• Biegemomente:

• Drillmoment2

hxy xym z dzτ

= ⋅ ⋅ ( )xy yxm m=

• Querkräfte

hx xzq dzτ

= ⋅ (qx = resultierende Kraft von τxz )

hy yzq dzτ

= ⋅ (qy = resultierende Kraft von τyz)

Hauptmomente:

( )1 2, , , Hauptmomentex y xym m m m m

1,2 2 2x y x y

m m m mm m

+ − = ± +

( ) 2tan 2 xy

ϕ =−

Bemerkungen:

Die Hauptmomente und die Hauptrichtungen können auch mit dem Mohrschen Kreis bestimmt werden.

Vorgehensweise zur Konstruktion des Mohrschen Kreises: Siehe Mohrscher Spannungskreis oder Mohrscher Dehnungskreis!

Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast

1xm m=

2ym m=

27,2pl2

21,6xyplm = 2m

1 2 xym m m= − =

auf der -Achsexm xmax. xm

Eckkräfte in der Platte

Bei manchen Auflagerbedibgungen sind Eckkräfte vorhanden, die abhebend sind!

Maßnahmen gegen Abheben:1) durch Auflast in der Ecke,2) durch Verankerung,3) durch biegesteife Verbindung der Ecke mit der Unterstützung oder

benachbarter Platte.

Quelle: Prof. J. Hegger: Vorlesung Massivbau II, RWTH Aachen.

3.4 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten

Bei komplizierten Plattengeometrien und Belastungen sind analytischeLösungen der Plattengleichung meistens aussichtslos. Vielmehr müssenComputerprogramme (z.B. Finite Elemente Methode bzw. FEM) verwendetwerden. Auch Näherungslösungen oder vereinfachte Methoden in Form vonTabellen und Diagrammen können dafür eingesetzt werden.

3.4.1 Einfeldplatten

Einachsig gespannte Platte 2-achsig gespannte Platte

Einachsig gespannte Platten:Lastabtragung nur in einer Richtung

2-achsig gespannte Platten:Lastabtragung in 2 Richtungen

Einfeldplatten

3.4.1.1 Einachsig gespannte Platten

1m1m Streifen

Einachsig gespannte Platten:•Bedingung:•Bei einer einachsig gespannter Platte kann ein 1m-Streifen als Balken betrachtet werden.•Beispiel: konstante Flächenlast

max. 8x

max. 2xpaq =

2 !y xl l>

max. y xm mν≅ ⋅

3.4.1.2 Zweiachsig gespannte Platten

Drillfreie bzw. drillweiche Platten:

Drillsteife Platten:

2-achsig gespannte

Platten

0xym =

0xym ≠

Drillfreie bzw. drillweiche Platten:• Marcus-Verfahren (Streifenkreuz-Verfahren, Streifenmethode,

Lastaufteilungsverfahren).• Tabellen nach Stiglat-Wippel

Drillsteife Platten:• Czerny-Tafeln:

4- und 3-seitige Lagerung, konstante und dreiecksförmige Belastung.• Hahn:

3-seitige Lagerung, Linienlast am freien Rand.• Bruckner:

4- und 3-seitige Lagerung, Punkt- und Linienlasten.• Stiglat und Wippel, Pucher, Bittner:

Sonderfälle.

2-achsig gespannte Platten: Überblick

Literatur:Bittner, E.: Platten und Behälter. Springer-Verlag, Wien/New York, 1965.

Bruckner, H.: Elastische Platten. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1977.

Hahn, J.: Durchlaufträger, Rahmen, Platten und Balken auf elastische Bettung.

Werner-Verlag, Düsseldorf, 1981.

Pucher, A.: Einflußfelder elastischer Platten. 5. Auflage, Springer-Verlag, 1977.

Stiglat, K., Wippel, H.: Massive Platten. In: Beton-Kalender, Teil 2, Ernst & Sohn

Verlag, 2000, Seiten 211-290.

Stiglat, K, Wippel, H.: Platten. Ernst & Sohn Verlag, 3. Auflage, 1993.

Czerny, F.: Tafeln für Rechteckplatten. In: Beton-Kalender, Teil 1, Ernst & Sohn

Verlag, 1999, Seiten 277-330.

2-achsig gespannte Platten: Überblick

3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren

Lastaufteilung:

p p pp k pp k p

1x yk k+ =

und sind von RB abhängig und sie sind tabelliert!x yk k

Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast

max. , max. , 0 8 8

y yx xx y xy

p lp lm m m= = =

4 4 4 4 4

11 , 1 y xx y x

x y x y

l lk k kl l l lε

− = + = = − == + +

Aus der nachfolgenden Tabelle abgelesen:

Bemerkung:Die beiden Lastaufteilungsfaktoren können aus der Bedingung der gleichenDurchbiegung der beiden Streifen in der Plattenmitte (Kompatibilitätsbedingung)bestimmt werden.

Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast

44 55 , 384 384

y yx xx y

p lp lf fEI EI

x yf f=

4 4x x y yp l p l=

x yp p p+ =

Bautabelle Schneider

Drillfreie Platten:

Streifenkreuz-

Verfahren

3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel

Alle 4 Ränder gelenkig gelagert

Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 2000.

Alle 4 Ränder eingespannt

3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel

Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 2000.

Annahme: 0ν =

3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln

gelenkig

eingespannt

3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn

3-seitig gelenkig gelagert

Quelle: Bautabelle Schneider

3-seitig eingespannt

Bemerkungen:•Bei einigen Tabellen wird vereinfachend ν =0 angenommen (z. B. Czerny-Tafeln, Bittner). Dies ist zulässig im Stahlbetonbau, mit der Ausnahme von Fahrbahnplatten.•Falls die Querkontraktionszahl ν zu berücksichtigen ist, dann erfolgt die folgende Umrechnung:

( ) ( 0) ( 0)

( ) (1 ) ( 0)

( ) ( 0)( ) ( 0)

( 0)( ) ( 0) (1 )

m m mm m mm mq qq q

ν ν ν νν ν ν νν ν ν

ν νν ν

νν ν ν

= = + =

= − =

= == =

∂ == = + −

∂∂ =

= = + −∂

Drillsteife Platten

3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte

Die Auflager- und Eckkräfte können mit der Methode der Einzugsflächenäherungsweise bestimmt werden.

Bestimmung der

Auflager- und

Eckkräfte:

Methode der

Einzugsfläche

3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte

yBeispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte

unter konstanter Flächenlast

/ 1,5y xl l =

0,07313,7

0,02835,7

0,02934,7

0,06116,3

x xm x

xxye x

plm pl

m m plplm pl

plm pl

0,1287,8

0,0520

0,0519,9

x xm x

plm pl

m m plplm pl

plm pl

0,1048

0,0468

x xxm x

x xm x

y yym x

y ym x

p lm pl

m m plp l

m m plm

Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte

Czerny-Tafel:Stiglat/Wippel:

Marcus:

Momente Czerny(drillsteif)

Stiglat/Wippel(drillweich)

Marcus(drillweich)

maxymymm

20,073 xpl20,073 xpl

20,028 xpl20,029 xpl20,061 xpl

20,128 xpl

20,05 xpl20,05 xpl

20,104 xpl

20,104 xpl20,046 xpl20,046 xpl

Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte

Bemerkungen: Die maximalen Feldmomente bei der drillsteifen Platte sind kleiner als bei der

drillweichen Platte! Grund: Die 4 Ecken der drillsteifen Platte tragen die Last mit!

Überblick:

Belastungsumordnungsverfahren (BU-Verfahren)• Dieses Verfahren wird auch als „Schachbrettverfahren“ bezeichnet.• Dabei werden die Verkehrslast (veränderliche Last) „schachbrettartig“ so

umgeordnet, dass es jeweils zu max. Feldmomenten und max. Stützmomenten (in Betrag) führt.

• Voraussetzung: min. l / max. l ≥0,75.

Verfahren nach Pieper/Martens• Voraussetzungen: q ≤ 2g, q ≤ 2(g+q)/3 (g: Eigenlast, q: Verkehrslast).• Verfahren beruht auf BU-Verfahren.• Verfahren liefert im Allgemeinen größere Feldmomente als BU-Verfahren

(auf der sicheren Seite).• Rechenaufwand wesentlich geringer als BU-Verfahren.

3.4.2 Durchlaufende Platten

Wände

3.4.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren

Schachbrettartige Anordnung der Verkehrslast q

Für max. Feldmoment Für max. Stützmoment (Betrag)

Eigenlast : g

Verkehrslast : q

Eigenlast : g

Verkehrslast : / 2q

Verkehrslast : / 2q±

Anordnung der Verkehrslast q

/2g q+

Ersatzsystem für max. Feldmoment

Innenfeld

/ 2q±

Innenfeld

1.) Belastung aller Felder durch g+q/2 2.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/2

Bestimmung von max. Feldmoment

In y-Richtung genauso!

gelenkigeingespannt/2g q+ / 2q

/2g q+

Ersatzsystem für max. Stützmoment

Innenfeld

1.) Belastung aller Felder durch g+q/2 2.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/2

Bestimmung von max. Stützmoment (in Betrag)

In x-Richtung wie beim max. Feldmoment!

/ 2q±

eingespannt

gelenkig

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Quelle: Bautabelle Schneider

3.4.2 Durchlaufende Platten: Verfahren nach Pieper/Martens

Durchlaufende Platten:

Verfahren nach

Pieper/Martens

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Quelle: Bautabelle Schneider

Durchlaufende

Platten:

Verfahren nach

Pieper/Martens

Wände 4

Beispiel

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