Post on 05-Apr-2015
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 1
Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden.
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Die lineare Algebra erlaubt eine vereinfachte Darstellung komplizierter ökonomischer Probleme, die dann mit der vorhandenen Computertechnik effektiv bearbeitet werden können.
2. Matrizen2.1 Matrizenoperationen2.1.1 Addition und Subtraktion2.1.2 Multiplikation einer Matrix mit einem
Skalar2.1.3 Multiplikation einer Matrix mit einer
Matrix2.2 Eigenschaften von Matrizen2.3 Lineare Abhängigkeit und Rang2.4 Anwendungen
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Ein rechteckiges Schema von m•n geordneten Elementen aik wird Matrix A genannt.
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mnm
n
aa
aa
aaa
1
2221
11211
Das Format oder der Typ einer Matrix A wird durch das geordnete Paar (m, n) angegeben.
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Vektoren sind Matrizen mit nur einer Zeile oder einer Spalte.
Zwei Matrizen A und B sind dann und nur dann gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind und alle entsprechenden Elemente überein stimmen.
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Wenn in einer Matrix A alle Zeilen und alle Spalten miteinander vertauscht werden, erhält man die transponierte oder gestürzte Matrix AT .
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T
43
01
52
405
312
Eine quadratische Matrix A ist vom Format oder vom Typ (n, n) bzw. von der Ordnung n.
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Eine quadratische Matrix A ist symmetrisch, wenn AT = A gilt.
Eine Blockmatrix oder Hypermatrix ist eine Matrix, deren Elemente wiederum Matrizen sind.
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Für die Addition von zwei Matrizen A und B gelten das Kommutativgesetz
A + B = B + A
sowie das AssoziativgesetzA +B +C = (A +B) +C = A +(B +C).
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Man multipliziert eine Matrix A mit einem Skalar k, indem man jedes Element aik mit dem Skalar k multipliziert.
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kA = Ak = (k aik )
Das Skalarprodukt aT b zweier Spaltenvektoren a und b entsteht durch paarweise Multiplikation der Elemente dieser beiden Vektoren und anschließender Addition.
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c = aTb = a1b1 + a2b2 + ... + anbn = a bi ii
n
1
Zwei Matrizen A und B heißen verkettet, wenn die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist.
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Das Produkt C zweier verketteter Matrizen A und B besitzt die Elemente cik , die aus dem Skalarprodukt
der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B
berechnet werden.
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b11 b12 b1k b1p
b21 b22 .C = A B .
.
bn1 ... bnk bnp
a11 a12 a1n c11
a21 a22
ai1 ... ain cik
am1 amn cmp
Für die Matrizenmultiplikation gelten das Distributivgesetz (A + B)C = AC + BC
A(B + C) = AB + AC und das Assoziativgesetz ABC = (AB)C = A(BC) , falls die Zwischensummen und
Produkte existieren.
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In einer Nullmatrix 0 sind alle Elemente null.
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Eine Einheitsmatrix E ist eine Diagonalmatrix mit aii=1 für alle i.
In einer Diagonalmatrix D sind alle Elemente aik = 0 für i ≠ k .
Eine orthogonale Matrix A ergibt bei Multiplikation mit der Transponierten AT die Einheitsmatrix E .
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AT A = A AT = E
Eine Matrix ist regulär, wenn die Determinante det(A) ≠ 0 ist.
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Für eine singuläre Matrix A erhält man die Determinante det(A) = 0 .
Die Matrix A-1 ist inverse Matrix von A , wenn A A-1 = A-1 A = E gilt.
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Jede reguläre Matrix A besitzt eine eindeutig bestimmte inverse Matrix A-1 .
Der Vektor an ist Linearkombination der Vektoren
a1 , a2 , ... , an-1 , wenn
an = l1 a1 + l2 a2 + ... + ln-1 an-1
für gebildet werden kann.
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l Ri
Der Vektor an ist eine konvexe Linearkombination der Vektoren
a1 , a2 , ... , an-1 ,
wenn an = l1 a1 + l2 a2 + ... + ln-1 an-1
für li R mit li ≥ 0 und
gebildet werden kann.
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1
1
1n
iil
Die Vektoren ai mit i = 1, 2, ... , n heißen linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkom- bination der übrigen Vektoren darstellen lässt.
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Es sind höchstens m Vektoren ai der Ordnung m voneinander linear unabhängig.
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Sind n Vektoren gegeben, so beschreibt der Rang r die Anzahl linear unabhängiger Vektoren.
Die Matrix A hat den Rang r , wenn es eine Unterdeterminante der Ordnung r gibt, die ungleich null ist, und alle Unterdeterminanten höherer Ordnung verschwinden.
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• Der Rang r einer Matrix A vom Typ (m, n) ist höchstens gleich der kleineren der beiden Zahlen m oder n.
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Der Rang einer Matrix A ändert sich nicht, wenn
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das k-fache einer Reihe zu einer anderen Reihe addiert wird.
eine Reihe mit einem Faktor k multipliziert wird oder
die Matrix transponiert wird,
zwei Reihen miteinander vertauscht werden,