Post on 18-Sep-2018
Inhalt:
Aufgabe 1-2:
Einfache nachschüssige Zinsen
Aufgabe 3:
Einfache vorschüssige Zinsen
Aufgabe 4-15:
Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Aufgabe 16-21:
Zinseszinsen bei Zinsauszahlung (ohne Investitionsrechnung)
Aufgabe 22-24:
Zinseszinsen bei Zinsauszahlung, speziell Investitionsrechnung
Aufgabe 25-34:
Rentenrechnung: nachschüssig und vorschüssig
Aufgabe 35-47:
Tilgungsrechnung: Ratentilgung und Annuitätentilgung
Aufgabe 48-50:
Abschreibungsrechnung: linear und geometrisch-degressiv
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik ___________________________________________________________________________________
1. Ein Kunde erhält eine Rechnung über 60000 Euro; die Rechnung ist
wahlweise nach 90 Tagen (ohne Skonto) oder nach 30 Tagen (3% Skonto) zahlbar (Jahr = 360 Tage).
a) Wie hoch ist der äquivalente nachschüssige Jahreszinssatz, wenn der Kunde nach 30 Tagen zahlt?
b) Der Kunde vereinbart, dass die Rechnung als erledigt gilt, wenn er bereits nach 20 Tagen genau 58000 Euro bezahlt. – Wie hoch ist der äquivalente nachschüssige Jahreszinssatz?
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Thema: Einfache nachschüssige Zinsen
Berechnung bei unterjähriger Laufzeit („Skonto“)
Lösung:
a) i360
T1KK on
⋅+⋅=
( ) i360
60103,0600006000060000
⋅+⋅⋅−=
i360
60582005820060000 ⋅⋅+=
i360
60582001800 ⋅⋅=
18557,0i =
56,18p =
b) i360
T1KK on
⋅+⋅=
i360
7015800060000
⋅+⋅=
i360
70580005800060000 ⋅⋅+=
i⋅⋅=360
70580002000
17734,0i =
73,17p =
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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2. Ein Kunde erhält eine Rechnung über 90000 Euro; die Rechnung ist
wahlweise nach 90 Tagen (ohne Skonto) oder nach 60 Tagen (1,2% Skonto) zahlbar (Jahr = 360 Tage).
a) Wie hoch ist der äquivalente nachschüssige Jahreszinssatz, wenn der Kunde nach 60 Tagen zahlt?
b) Der Kunde vereinbart, dass die Rechnung als erledigt gilt, wenn er bereits nach 40 Tagen genau 88000 Euro bezahlt. – Wie hoch ist der äquivalente nachschüssige Jahreszinssatz?
c) Welchem Skontosatz würde dieser Jahreszinssatz entsprechen? ___________________________________________________________________________________
Thema: Einfache nachschüssige Zinsen
Lösung:
a) i360
T1KK on
⋅+⋅=
( ) i360
301012,0900009000090000
⋅+⋅⋅−=
i360
30889208892090000 ⋅⋅+=
i360
30889201080 ⋅⋅=
14575,0i =
58,14p =
b) i360
T1KK on
⋅+⋅=
i360
5018800090000
⋅+⋅=
i360
50880008800090000 ⋅⋅+=
i360
50880002000 ⋅⋅=
16364,0i =
36,16p =
c) i360
T1KK on
⋅+⋅=
( ) 16364,0360
501s900009000090000
⋅+⋅⋅−=
s9000090000
16364,0360
501
90000⋅−=
⋅+
s900009000088000 ⋅−=
02222,0s =
22,2s = (s=Skontosatz)
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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3. a)Zwischen zwei Privatleuten wird ein Darlehen mit folgenden
Konditionen vereinbart: Rückzahlungsbetrag 12000 Euro, vorschüssige einfache Zinsen von 5%. – Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag, wenn das Darlehen ein halbes Jahr läuft? - Zusatzfrage: Wie hoch wäre der Auszahlungsbetrag, wenn das
Darlehen ein ganzes Jahr laufen würde? Und wie hoch wäre dann der Effektivzins?
b)Eine Schuld von 35800 Euro wird mit zwei Wechseln getilgt. Der
erste Wechsel ist in 15 Tagen fällig, seine Höhe beträgt 6800 Euro; der zweite Wechsel ist in 151 Tagen fällig. - Wie hoch ist dieser zweite Wechsel, wenn der Diskontsatz jeweils 9% beträgt? (Jahr = 365 Tage) - Zusatzfrage: Wie hoch wäre dieser zweite Wechsel, wenn der
Diskontsatz jeweils 8% betragen würde? ___________________________________________________________________________________
Thema: Einfache vorschüssige Zinsen
Berechnung insbes. bei unterjähriger Laufzeit („Wechsel“)
Lösung: a) K0 = Kn · (1 – n · iV) K0 = 12000 · (1 – 0,5 · 0,05) = 11700 K0 = Kn · (1 – n · iV) = 12000 · (1 – 1 · 0,05) = 11400
ie = K
Z
0
= 11400
600 = 0,05263 ⇒ pe = 5,263
b) KA0 = K
An · (1 – 365
T1 · iV)
KA0 = 6800 · (1 – 365
15 · 0,09)
KA0 = 6800 · 0,996301 = 6774,85
KB0 = 35800 – 6774,85 = 29025,15
KB0 = K
Bn · (1 – 365
T2 · iV) ⇒ KBn = K
B0 : (1 – 365
T2 · iV)
KBn = 29025,15 : (1 – 365
151 · 0,09)
KBn = 29025,15 : 0,962767 = 30147,64
KA0 = K
An · (1 – 365
T1 · iV)
KA0 = 6800 · (1 – 365
15 · 0,08)
KA0 = 6800 · 0,996712 = 6777,64
KB0 = 35800 – 6777,64 = 29022,36
KB0 = K
Bn · (1 – 365
T2 · iV) ⇒ KBn = K
B0 : (1 – 365
T2 · iV)
KBn = 29022,36 : (1 – 365
151 · 0,08)
KBn = 29022,36 : 0,966904 = 30015,76
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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4.a) Ein Vater gibt seinem Sohn einen Kredit für 4 Jahre zu 4%
einfache Zinsen. Wie hoch ist der Rückzahlungsbetrag, wenn der Kredit 25000 Euro ausmacht? - Zusatzfrage: Wie hoch wäre der Rückzahlungsbetrag, wenn der
Kredit nur 15000 Euro ausgemacht hätte? b) Auf ein Sparbuch werden am 30.06.02 8000 Euro eingezahlt; der
Jahreszinssatz ist 2%. Welcher Betrag steht zur Verfügung, wenn das Sparbuch am 01.07.05 aufgelöst wird? (Es wird taggenau gerechnet; der Einzahlungstag ist kein Zinstag, der Auszahlungstag ist hier ausnahmsweise auch kein Zinstag.) - Zusatzfrage: Welcher Betrag würde zur Verfügung stehen, wenn
das Sparbuch erst am 01.07.06 aufgelöst würde? ___________________________________________________________________________________
Thema: Einfache nachsch. Zinsen sowie Zinseszinsen bei Zinsansammlung Berechnung insbes. der gemischten Verzinsung
Lösung:
a)
Kn = K0 ⋅ (1 + n ⋅ i)
Kn = 25000 ⋅ (1 + 4 ⋅ 0,04) = 25000 ⋅ 1,16 Kn = 29000
Kn = 15000 ⋅ (1 + 4 ⋅ 0,04) = 15000 ⋅ 1,16 Kn = 17400
b)
Kn = K0 ⋅ (1 + 365T1 ⋅ i) ⋅ (1 + i)n ⋅ (1 + 365
T2 ⋅ i)
Kn = 8000 ⋅ (1 + 365184
⋅ 0,02) ⋅ (1 + 0,02)2 ⋅ (1 + 365181
⋅ 0,02)
Kn = 8000 ⋅ 1,0101 ⋅ 1,0404 ⋅ 1,0099 Kn = 8490,50
Kn = 8000 ⋅ (1 + 365184
⋅ 0,02) ⋅ (1 + 0,02)3 ⋅ (1 + 365181
⋅ 0,02)
Kn = 8000 ⋅ 1,0101 ⋅ 1,0612 ⋅ 1,0099 Kn = 8660,31
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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5. Eine Bank bietet einen Sparbrief „mit Zinsansammlung“ zu folgenden Konditionen an: 1. Jahr: 2,50 %; 2. Jahr: 3,00 %; 3. Jahr: 4,00 %; 4. Jahr: 4,50 %
a) Berechnen Sie den Effektivzins (Prozent mit drei Nachkommastellen)! - Zusatzfragen: Wie hoch ist
(1) der gesamte Wertzuwachs (Prozent),
(2) der durchschnittliche Wertzuwachs (Prozent)?
(3) Warum ist der durchschnittliche Wertzuwachs (Prozent) grundsätzlich höher als der Effektivzins (Prozent)?
b) Variante: Berechnen Sie – bei einer Kapitalanlage von 20000 Euro – den Effektivzins, wenn am Ende des vierten Jahres noch ein Bonus von 200 Euro hinzukommen würde. - Zusatzfrage: Wie hoch müsste dieser Bonus sein, damit ein
Effektivzins von 4,00 % erreicht wird? ___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Lösung:
a) n q...qqnK
Kq n21
0
n⋅⋅⋅==
03497,14 045,1040,1030,1025,1q =⋅⋅⋅=
497,3pe =
( ) 1001q...qq100K
KKz n21
0
0n⋅−⋅⋅⋅=⋅
−=
( ) 739,141001045,1040,1030,1025,1z =⋅−⋅⋅⋅=
n
zz =
685,34
739,14z ==
Begründung: Der durchschnittliche Wertzuwachs wird auf das (niedrige) Anfangskapital bezogen, während der Effektivzins auf das (höhere) jeweilige Kapital bezogen wird.
b) nK
Zq...qqn
K
Kq
0n21
0
n+⋅⋅⋅== (Z=Bonus)
03722,1420000
200045,1040,1030,1025,1q =+⋅⋅⋅=
722,3pe =
nK
Zq...qqn
K
Kq
0n21
0
n+⋅⋅⋅==
420000
Z045,1040,1030,1025,104,1 +⋅⋅⋅=
20000
Z14739,116986,1 +=
( ) 40,4492000014739,116986,1Z =⋅−=
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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6. a)Simon Sparfuchs kauft einen zweijährigen Finanzierungsschatz zum Kurswert von 466,70 Euro. Der Nominalwert beträgt 500 Euro. – Wie lautet der genaue Wert für:
(1) Verkaufszinssatz (Prozent) ................ Lösung: 3,330
(2) Rendite (Prozent) ......................... Lösung: 3,506
(3) durchschnittlicher Wertzuwachs (Prozent)... Lösung: 3,568
b)Er kauft außerdem einen einjährigen Finanzierungsschatz zum
Kurswert von 481,90 Euro. Der Nominalwert beträgt 500 Euro. – Wie lautet der genaue Wert für:
(1) Verkaufszinssatz (Prozent) ................ Lösung: 3,620
(2) Rendite (Prozent) ......................... Lösung: 3,756
(3) durchschnittlicher Wertzuwachs (Prozent)... Lösung: 3,756
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Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Berechnung diverser Kennziffern
Lösung (siehe oben) und Nebenrechnungen (siehe unten):
a) (1) ( )in1KK Vn0 ⋅−⋅= 00,1000
30,33i V =→
(2) n
0
n
eK
Kq = 1
70,466
00,500i 2e −=→
(3) n
K
KK
z 0
0n −
= 40,933
30,33z =→
b) (1) ( )in1KK Vn0 ⋅−⋅= 00,500
10,18i V =→
(2) n
0
n
eK
Kq = 1
90,481
00,500i 1e −=→
(3) n
K
KK
z 0
0n −
= 90,481
10,18z =→
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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7. a)Die einjährigen Finanzierungsschätze haben einen Nominalwert von
500 Euro und wurden im Januar 2008 für 481,70 Euro verkauft. Wie hoch ist der genaue Wert für:
(1) Verkaufszinssatz (Prozent) ................ Lösung: 3,660
(2) durchschnittlicher Wertzuwachs (Prozent)... Lösung: 3,799
(3) Rendite (Prozent) ......................... Lösung: 3,799
b)Die zweijährigen Finanzierungsschätze haben einen Nominalwert von
500 Euro und wurden im Januar 2008 für 465,40 Euro verkauft. Wie hoch ist der genaue Wert für:
(1) Verkaufszinssatz (Prozent) ................ Lösung: 3,460
(2) durchschnittlicher Wertzuwachs (Prozent)... Lösung: 3,717
(3) Rendite (Prozent) ......................... Lösung: 3,651
c)Wenn bei den zweijährigen Finanzierungsschätzen der Verkaufs-
zinssatz, der durchschnittliche Wertzuwachs und die Rendite gegenübergestellt wird: Warum ist hierbei stets ...
der Verkaufszinssatz (Prozent) am kleinsten? – Antwort: weil das (hohe) Endkapital als Berechnungsbasis dient
der durchschnittliche Wertzuwachs (Prozent) am größten?- Antwort: weil das (niedrige) Anfangskapital als Berechnungsbasis dient
die Rendite (Prozent) „mittelgroß“? – Antwort: weil ein mittelgroßer Kapitalstand der Berechnungsbasis
entspricht d)Welcher weitere finanzmathematische Fachausdruck ist möglich
für....
Verkaufszinssatz (Prozent)? Antwort: vorschüssiger einfacher Zinssatz
durchschnittlicher Wertzuwachs (Prozent)? Antwort: nachschüssiger einfacher Zinssatz
Rendite (Prozent)? Antwort: Effektivverzinsung
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Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Berechnungen und Verständnisfragen zu diversen Zins-Kennziffern
Lösung: (siehe oben in Kursiv- und Fettdruck)
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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8. Ein Kapital von 17800 Euro wird am 1. Januar 2006 bis zum 1. Januar
2011 angelegt. - Wie hoch ist das Endkapital, wenn vereinbart wird:
a) jährliche Verzinsung (Jahreszinssatz = 4 Prozent)
b) vierteljährliche Verzinsung (Vierteljahreszinssatz = 1 Prozent)
c) Welches Anfangskapital hätte bei Frage b) ausgereicht, um zu demselben Endkapital wie in Frage a) zu kommen?
d) Welches Anfangskapital wäre bei Frage a) nötig gewesen, um zu demselben Endkapital wie in Frage b) zu kommen?
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Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Berechnung insbes. bei unterjähriger Zinsperiode
Lösung:
a) ( ) i1KK n
0n +⋅=
( ) 04,0117800K 5
n +⋅=
42,21656K n =
b) ( )m
i1KK
nm
0n +⋅=⋅
4
04,0117800K
54
n
+⋅=
⋅
38,21719K n =
c) ( )m
i1KK
nm
0n +⋅=⋅
( )4
04,01K42,21656
54
0 +⋅=⋅
40,17748K 0 =
d) ( ) i1KK n
0n +⋅=
( )04,01K38,217195
0 +⋅=
75,17851K 0 =
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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9. Ein Kapital von 27800 Euro wird am 1. Januar 2006 bis zum 1. Januar
2012 angelegt. - Wie hoch ist das Endkapital, wenn vereinbart wird:
a) jährliche Verzinsung (Jahreszinssatz = 5 Prozent)
b) vierteljährliche Verzinsung (Vierteljahreszinssatz = 1,25 Prozent)
c) Welches Anfangskapital hätte bei Frage b) ausgereicht, um zu demselben Endkapital wie in Frage a) zu kommen?
d) Welches Anfangskapital wäre bei Frage a) nötig gewesen, um zu demselben Endkapital wie in Frage b) zu kommen?
e) Definieren Sie kurz: Unterjährige Verzinsung.
f) Definieren Sie kurz: Stetige Verzinsung.
g) Schreiben Sie die Formel für die stetige Verzinsung als Grenzwert der unterjährigen Verzinsung!
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Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Berechnungen und Verständnisfragen zur unterjähr. Zinsperiode
Lösung:
a) ( ) i1KK n
0n +⋅=
( ) 05,0127800K 6
n +⋅=
66,37254K n =
b) ( )m
i1KK
nm
0n +⋅=⋅
4
05,0127800K
64
n
+⋅=
⋅
36,37456K n =
c) ( )m
i1KK
nm
0n +⋅=⋅
( )4
05,01K66,37254
64
0 +⋅=⋅
30,27650K 0 =
d) ( ) i1KK n
0n +⋅=
( )05,01K36,374566
0 +⋅=
51,27950K 0 =
e) Unterjährige Verzinsung: Zinsperioden sind kleiner als 1 Jahr f) Stetige Verzinsung: Zinsperioden sind „unendlich klein“
g) ( )m
i1K limK
nm
0m
n +⋅=⋅
∞→
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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10.Ein Kapital wächst gemäß einer bestimmten Verzinsungsmethode in 5 Jahren von 7000 Euro auf 9000 Euro. – Bestimmen Sie jeweils den zugrunde liegenden Jahres- bzw. Quartalszinssatz (Prozent, drei Nachkommastellen), wenn folgende Verzinsungsmethode gilt:
a) Jährliche Zinsperiode Lösung:
„normale“ Verzinsung............. Jahreszinssatz = 5,155
einfache Verzinsung.............. Jahreszinssatz = 5,714
vorschüssige Verzinsung.......... Jahreszinssatz = 4,444
b) Vierteljährliche Zinsperiode Lösung:
„normale“ Verzinsung............. Quartalszinssatz = 1,265
einfache Verzinsung.............. Quartalszinssatz = 1,429
vorschüssige Verzinsung.......... Quartalszinssatz = 1,111
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Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Lösung (siehe oben) und Nebenrechnungen (siehe unten):
a) qKKn
0n ⋅= → 9000 = 7000 · q5
5 7000
9000q = = 1,051547 → p = 5,155
)in1(KK 0n ⋅+⋅= → 9000 = 7000 · (1 + 5 · i)
5:17000
9000i
−= = 0,057143 → p = 5,714
)in1(KK Vn0 ⋅−⋅= → 7000 = 9000 · (1 - 5 · iV)
5:9000
70001iV
−= = 0,044444 → pV= 4,444
b) qKKnm
R0n⋅⋅= → 9000 = 7000 · q 54
R
⋅
54R
7000
9000q ⋅= = 1,012645002 → pR= 1,265
)inm1(KK R0n ⋅⋅+⋅= → 9000 = 7000 · (1 + 4 · 5 · iR)
( )54:17000
9000iR ⋅
−= = 0,014286 → pR = 1,429
)inm1(KK VRn0 ⋅⋅−⋅= → 7000 = 9000 · (1 – 4 · 5 · iVR)
( )54:9000
70001iVR ⋅
−= = 0,011111 → pVR = 1,111
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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11.Zacharias Zinsfuß hat ein Guthaben, das aufgrund einer bestimmten Verzinsungsmethode in 6 Jahren von 9000 Euro auf 12000 Euro angewachsen ist. – Wie hoch ist der betreffende Jahres- bzw. Quartalszinssatz (Prozent, drei Nachkommastellen), wenn folgende Verzinsungsmethode gegolten hat:
a) Jährliche Zinsperiode Lösung:
„normale“ Verzinsung............. Jahreszinssatz = 4,912
einfache Verzinsung.............. Jahreszinssatz = 5,555
vorschüssige Verzinsung.......... Jahreszinssatz = 4,167
b) Vierteljährliche Zinsperiode Lösung:
„normale“ Verzinsung............. Quartalszinssatz = 1,206
einfache Verzinsung.............. Quartalszinssatz = 1,389
vorschüssige Verzinsung.......... Quartalszinssatz = 1,042
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Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Lösung (siehe oben) und Nebenrechnungen (siehe unten):
a) qKKn
0n ⋅= → 12000 = 9000 · q6
6 9000
12000q = = 1,04911506 → p = 4,912
)in1(KK 0n ⋅+⋅= → 12000 = 9000 · (1 + 6 · i)
6:19000
12000i
−= = 0,0555555 → p = 5,555
)in1(KK Vn0 ⋅−⋅= → 9000 = 12000 · (1 - 6 · iV)
6:12000
90001iV
−= = 0,041667 → pV= 4,167
b) qKKnm
R0n⋅⋅= → 12000 = 9000 · q 64
R
⋅
64R
9000
12000q ⋅= = 1,012059 → pR= 1,206
)inm1(KK R0n ⋅⋅+⋅= → 12000 = 9000 · (1 + 4 · 6 · iR)
( )64:19000
12000iR ⋅
−= = 0,013888 → pR = 1,389
)inm1(KK VRn0 ⋅⋅−⋅= → 9000 = 12000 · (1 – 4 · 6 · iVR)
( )64:12000
90001iVR ⋅
−= = 0,010417 → pVR = 1,042
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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12.a)Die „Partnerbank“ bietet Sparbriefe an: Nennwert = 3000 Euro; Jahreszinsen = 105 Euro, diese werden anteilig halbjährlich zu-geschlagen. – Zu berechnen ist (Prozent, drei Nachkommastellen):
(1) nomineller Zinssatz Lösung:
(2) relativer Zinssatz Lösung:
(3) effektiver Zinssatz Lösung:
(4) Zusatzfrage zum effektiven Zinssatz:
Wie hoch ist hierzu der konforme Zinssatz? Lösung:
b) Die “Konkurrenzbank“ bietet andere Sparbriefe an: Effektiver Zinssatz = 3,6 %, die Zinsen werden anteilig dritteljährlich zu- geschlagen. – Zu berechnen ist (Prozent, drei Nachkommastellen): (1) konformer Zinssatz Lösung:
(2) nomineller Zinssatz Lösung:
(3) Jahreszinsen (Nennwert = 4000 Euro) Lösung:
(4) Zusatzfrage zum nominellen Zinssatz:
Wie hoch ist hierzu der relative Zinssatz? Lösung:
c) Es ist allgemein zu definieren: (1) nomineller Zinssatz (2) relativer Zinssatz (3) effektiver Zinssatz (4) konformer Zinssatz
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Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Lösung:
a) (1) K
ZiN = = 3000
105 = 035,0 → 500,3
(2) m
ii NR = =
2035,0 = 0175,0 → 750,1
(3) ( )i1q R
m
e+= = ( )0175,0+1
2
= 03531,1 → 531,3
(4) meK
qq = = 2 03531,1 = 0175,1 → 750,1
b) (1) meK
qq = = 3 036,1 = 01186,1 → 186,1
(2) mii KN ⋅= = 301186,0 ⋅ = 03558,0 → 558,3
(3) KiZ N ⋅= = 400003558,0 ⋅ → 32,142
(4) m
ii NR = =
303558,0 = 01186,0 → 186,1
c) (1) Nomineller Zinssatz = Jahreszinssatz, der sich aus dem Verhältnis zwischen jährlichem Zinsbetrag und Nennwert ergibt
(2) Relativer Zinssatz = Unterjähriger Zinssatz, der dem nominellen (bzw. effektiven) Jahreszinssatz gemäß dem Zeitanteil proportional ist
(3) Effektiver Zinssatz = Jahreszinssatz, der das Anwachsen eines gegebenen Anfangskapitals bis zu einem gegebenen Endkapital nach dem Zinseszinsprinzip darstellt und dabei neben dem nominellen Zinssatz auch alle anderen zinsrelevanten Faktoren einbezieht
(4) Konformer Zinssatz = Unterjähriger Zinssatz, der dem effektiven (bzw. nominellen) Jahreszinssatz gemäß dem Zinseszinsprinzip äquivalent ist
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
___________________________________________________________________________________
13.a)Alfons Altreich kauft einen Sparbrief zu folgenden Konditionen: Nennwert = 2000 Euro, Jahreszinsen = 80 Euro, vierteljährlicher anteiliger Zinszuschlag. – Wie hoch ist (Prozent, drei Nachkomma-stellen):
(1) nomineller Zinssatz Lösung:
(2) relativer Zinssatz Lösung:
(3) effektiver Zinssatz Lösung:
(4) Zusatzfrage zum effektiven Zinssatz:
Wie hoch ist hierzu der konforme Zinssatz? Lösung: b) Norbert Neureich kauft einen anderen Sparbrief: Effektivzinssatz
= 3,9 %, zweimonatlicher anteiliger Zinszuschlag. – Wie hoch ist (Prozent, drei Nachkommastellen):
(1) konformer Zinssatz Lösung:
(2) nomineller Zinssatz Lösung:
(3) Jahreszinsen (Nennwert = 5000 Euro) Lösung:
(4) Zusatzfrage zum nominellen Zinssatz:
Wie hoch ist hierzu der relative Zinssatz? Lösung: c) Es ist allgemein zu definieren:
(1) nomineller Zinssatz (2) relativer Zinssatz (3) effektiver Zinssatz (4) konformer Zinssatz
___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Lösung:
a) (1) K
ZiN = = 2000
80 = 04,0 → 000,4
(2) m
ii NR = =
404,0 = 01,0 → 000,1
(3) ( )i1q R
m
e+= = ( )01,01
4
+ = 04060,1 → 060,4
(4) meK
qq = = 4 04060,1 = 01,1 → 000,1
b) (1) meK
qq = = 6 039,1 = 00640,1 → 640,0
(2) mii KN ⋅= = 600640,0 ⋅ = 03838,0 → 838,3
(3) KiZ N ⋅= = 500003838,0 ⋅ → 90,191
(4) m
ii NR = =
603838,0 = 00640,0 → 640,0
c) (1) Nomineller Zinssatz = Jahreszinssatz, der sich aus dem Verhältnis zwischen jährlichem Zinsbetrag und Nennwert ergibt
(2) Relativer Zinssatz = Unterjähriger Zinssatz, der dem nominellen (bzw. effektiven) Zinssatz gemäß dem Zeitanteil proportional ist
(3) Effektiver Zinssatz = Jahreszinssatz, der das Anwachsen eines gegebenen Anfangskapitals bis zu einem gegebenen Endkapital nach dem Zinseszinsprinzip darstellt und dabei neben dem nominellen Zinssatz auch alle anderen zinsrelevanten Faktoren einbezieht
(4) Konformer Zinssatz = Unterjähriger Zinssatz, der dem effektiven (bzw. nominellen) Zinssatz gemäß dem Zinseszinsprinzip äquivalent ist
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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14.Wolfgang Wucherpfennig kauft ein Wertpapier „mit Zinsansammlung“
für 505 Euro. Das Wertpapier hat einen Nominalwert von 500 Euro, eine Nominalverzinsung von 4,6 %, eine Laufzeit von 8 Jahren und einen Rücknahmepreis von 495 Euro. - Berechnen Sie (in Prozent mit 3 Nachkommastellen):
a) Wie hoch ist die Effektivverzinsung? b) Wie hoch wäre die Effektivverzinsung im Falle eines anteiligen
halbjährlichen Zinszuschlags? ___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Effektivverzinsung bei Emissions- und Tilgungskursen
Lösung: a)
nE
KTqKq 0
n0 −+⋅
=
8505
500495046,1500q
8 −+⋅=
04379,18 40893,1q ==
379,4pe =
b)
nE
KTqKq 0
nm
R0 −+⋅=
⋅
8505
500495023,1500q
82 −+⋅=
⋅
04432,18 41469,1q ==
432,4pe =
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
___________________________________________________________________________________
15.Ein Wertpapier „mit Zinsansammlung“ hat eine Nominalverzinsung von
4,4 %, einen Emissionskurs von 101 und eine Laufzeit von 10 Jahren. Berechnen Sie (in Prozent mit 3 Nachkommastellen):
a) Wie hoch ist die Effektivverzinsung bei einem Tilgungskurs von 101? b) Wie hoch ist die Effektivverzinsung, wenn der Tilgungskurs 99
beträgt? c) Wie hoch wäre bei Frage b) die Effektivverzinsung, wenn hier
anteiliger vierteljährlicher Zinszuschlag gelten würde? ___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Effektivverzinsung bei Emissions- und Tilgungskursen
Lösung: a)
nE
KTqKq
0n
0 −+⋅=
10101
100101044,1100q
10 −+⋅=
04364,110 53284,1q ==
364,4pe =
b)
nE
KTqKq
0n
0 −+⋅=
10101
10099044,1100q
10 −+⋅=
04228,110 51304,1q ==
228,4pe =
c)
nE
KTqKq
0nm
R0 −+⋅=
⋅
10101
10099011,1100q
104 −+⋅=
⋅
04302,110 52374,1q ==
302,4pe =
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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16.Gerhard Gernereich kauft bei seiner Bank zwei Obligationen zu
folgenden Konditionen: Nennwert = 100, Verzinsung 3 %, jährliche Zinsauszahlung, Emissionskurs 101 %, Tilgung nach 3 Jahren zum Kurs 102 %, jederzeit Rückgabemöglichkeit zum Nennwert.
a) Eine der beiden Obligationen gibt er nach 2 Jahren zurück. Berechnen Sie die Rendite! (Prozent, drei Nachkommastellen!)
b) Die andere Obligation behält er bis zum Tilgungszeitpunkt. Bestätigen Sie, dass die Rendite zwischen 3,28 % und 3,29 % liegt! (Nachvollziehbare Rechnung!)
- Zusatzfrage: Liegt die genaue Rendite näher bei 3,28 % oder bei 3,29 %? Begründung!
___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen bei Zinsauszahlung
Berechnungen und Verständnisfragen zur Effektivverzinsung
Lösung:
a) q
T
q
iK...
q
iK
q
iKE0
nn
o
2
oo +⋅
++⋅
+⋅
+−=
q
100
q
03,0100
q
03,01001010
22+
⋅+
⋅+−=
103q3q10102
+⋅+⋅−=
0 101
103q
101
3q
2=−⋅−
( ) 101
103
202
3
202
3q
2
+±=
3 02481,1q =
481,2pe=
109951,0q −= ⇒ definiert nicht 5110,199pe
⇒−=
b) q
T
q
iK...
q
iK
q
iKE0
nn
o
2
oo +⋅
++⋅
+⋅
+−=
q
102
q
03,0100
q
03,0100
q
03,01001010
332+
⋅+
⋅+
⋅+−=
105q3q3q101023
+⋅+⋅+⋅−=
1050328,130328,130328,11010 23 +⋅+⋅+⋅−≅
030484,00 +<
1050329,130329,130329,1101023
+⋅+⋅+⋅−≅
000920,00 −>
Die genaue Rendite liegt näher bei 3,29 %, weil die Probe mit 3,29 zu einer besseren Übereinstimmung führt als mit 3,28.
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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17.Eine Bank bietet zweijährige und dreijährige Sparbriefe an (Wert = 2000 Euro; jährliche Zinsauszahlung). a) Der zweijährige Sparbrief bringt im ersten Jahr 70 Euro Zinsen, im zweiten Jahr 80 Euro Zinsen. - Wie hoch ist die Effektiv- verzinsung? (Prozent, drei Nachkommastellen!) b) Der dreijährige Sparbrief bringt im ersten Jahr 70 Euro Zinsen, im zweiten Jahr 80 Euro Zinsen und im dritten Jahr 90 Euro Zinsen. – Es ist zu bestätigen, dass die Effektivverzinsung zwischen 3,98 % und 3,99 % liegt. (Nachvollziehbare Rechnung!) - Zusatzfrage: Liegt die genaue Effektivverzinsung näher bei 3,98 % oder bei 3,99 %? Begründung!
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Thema: Zinseszinsen bei Zinsauszahlung
Berechnungen und Verständsnisfragen zur Effektivverzinsung
Lösung:
a) q
T
q
iK...
q
iK
q
iKE0
nn
n0
2
2010 +⋅
++⋅
+⋅
+−=
q
2000
q
80
q
7020000
22+++−=
2080q70q200002
+⋅+⋅−=
0 2000
2080q
2000
70q
2=−⋅−
( ) 2000
2080
2000
35
2000
35q
2
+±=
037454,1q =
745,3pe=
002454,1q −= ⇒ definiert nicht 2454,200pe
⇒−=
b) q
T
q
iK...
q
iK
q
iKE0
nn
n0
2
2010 +⋅
++⋅
+⋅
+−=
q
2000
q
90
q
80
q
7020000
332++++−=
2090q80q70q2000023
+⋅+⋅+⋅−=
20900398,1800398,1700398,12000023
+⋅+⋅+⋅−≅
436554,00 +≅
20900399,1800399,1700399,12000023
+⋅+⋅+⋅−≅
189661,00 −≅
Die genaue Effektivverzinsung liegt näher bei 3,99 %, weil die Probe mit 3,99 zu einer besseren Übereinstimmung führt als mit 3,98.
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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18.Heinrich Hundertmark hat eine Obligation „mit Zinsauszahlung“
gekauft (Kaufpreis = 9500 Euro) und nach 2 Jahren wieder verkauft (Verkaufspreis = 9700 Euro). Der Nominalwert war 10000 Euro, die Nominalverzinsung war 3 %.
a) Berechnen Sie die Effektivverzinsung!
b) Berechnen Sie die Effektivverzinsung näherungsweise nach der Bankenformel!
c) Warum führt die Bankenformel nur zu einem Näherungswert? (Zwei Gründe!)
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Thema: Zinseszinsen bei Zinsauszahlung
Berechnungen und Verständnisfragen zur Effektivverzinsung Lösung:
a) q
T
q
iK...
q
iK
q
iKE0
nn
0
2
00 +⋅
++⋅
+⋅
+−=
q
9700
q
03,010000
q
03,01000095000
22+
⋅+
⋅+−=
10000q300q950002
+⋅+⋅−=
095
100q
95
3q
2=−⋅−
( ) 95
100
190
3
190
3q
2
+±=
04189,1q =
189,4pe=
010310,1q −= ⇒ definiert nicht 031,201pe
⇒−=
b) n
ET100
E
ppe
−+⋅=
2
9597100
95
3pe
−+⋅=
158,4pe=
c) Der Tilgungsgewinn wird nicht nach dem Zinseszinsprinzip umgerechnet (sondern nach dem Prinzip der einfachen Verzinsung). Der Tilgungsgewinn wird nicht auf den Emissionskurs bezogen (sondern auf den Nominalkurs).
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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19.Eine Bank gibt eine Obligation „mit Zinsauszahlung“ heraus zu
folgenden Konditionen: Ausgabekurs = 96, Nominalverzinsung = 3 %, Laufzeit = 2 Jahre, Rücknahmekurs = 98.
a) Berechnen Sie die Effektivverzinsung! b) Berechnen Sie die Effektivverzinsung näherungsweise nach der
Bankenformel! c) Warum führt die Bankenformel nur zu einem Näherungswert? (Zwei
Gründe!) d) Wenn die Laufzeit nur 1 Jahr betragen hätte: Welche
Effektivverzinsung (1) hätte sich nach der genauen Formel ergeben? (2) hätte sich nach der Bankenformel ergeben?
___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen bei Zinsauszahlung
Lösung:
a) q
T
q
iK...
q
iK
q
iKE0
nn
0
2
00+
⋅++
⋅+
⋅+−=
q
98
q
03,0100
q
03,0100960
22+
⋅+
⋅+−=
096
101q
96
3q
2=−⋅−
( ) 96
101
192
3
192
3q
2
+±=
04146,1q =
146,4pe
=
02101,1q −= ⇒ definiert nicht 021,201pe
⇒−=
b) n
ET100
E
ppe
−+⋅= ⇒
2
9698100
96
3pe
−+⋅=
125,4pe
=
c) Der Tilgungsgewinn wird nicht nach dem Zinseszinsprinzip umgerechnet (sondern nach dem Prinzip der einfachen Verzinsung). Der Tilgungsgewinn wird nicht auf den Emissionskurs bezogen (sondern auf den Nominalkurs).
d)(1) q
T
q
iK...
q
iK
q
iKE0
nn
0
2
00+
⋅++
⋅+
⋅+−=
q
98
q
03,0100960 +
⋅+−= ⇒ 05208,1q =
208,5pe
=
(2) n
ET100
E
ppe
−+⋅= ⇒
1
9698100
96
3pe
−+⋅=
125,5pe
=
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
___________________________________________________________________________________
20.Ein Sparbrief wird zu folgenden Konditionen ausgegeben:
Nennbetrag = 4000 Euro; Zinssatz = 2,1 Prozent; Emissionskurs = 99,5 Prozent; Tilgungskurs = 100,5 Prozent; Laufzeit = 2 Jahre.
a) Wenn es sich um einen Sparbrief „mit Zinsansammlung“ handelt: Wie
hoch ist die Effektivverzinsung? (Prozent mit 3 Nachkommastellen!) b) Wenn es sich dagegen um einen Sparbrief „mit Zinsauszahlung“
handelt: Wie hoch ist dann die Effektivverzinsung? (Prozent mit 3 Nachkommastellen!)
___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung bzw. bei Zinsauszahlung
Effektivverzinsung bei Emissions- und Tilgungskursen
Lösung:
a)
nE
KTqKq 0
n
0 −+⋅=
23980
40004020021,14000q
2−+⋅
=
02601,123980
764,4189q ==
601,2pe=
b) q
T
q
iK...
q
iK
q
iKE0
nn
o
2
oo +⋅
++⋅
+⋅
+−=
q
4020
q
021,04000
q
021,0400039800
22+
⋅+
⋅+−=
4104q84q398002
+⋅+⋅−=
0 3980
4104q
3980
84q
2=−⋅−
( ) 3980
4104
3980
42
3980
42q
2
+±=
02607,1q =
607,2pe=
⇒−= 00496,1q definiert nicht 496,200pe
⇒−=
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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21.Anton Anleger kauft einen Sparbrief zu folgenden Konditionen:
Nennbetrag = 2000 Euro; Zinssatz = 2,2 Prozent; Emissionskurs = 99,4 Prozent; Tilgungskurs = 100,6 Prozent; Laufzeit = 2 Jahre.
a) Wenn es sich um einen Sparbrief „mit Zinsauszahlung“ handelt: Wie
hoch ist die Effektivverzinsung? (Prozent mit 3 Nachkommastellen!) b) Wenn es sich dagegen um einen Sparbrief „mit Zinsansammlung“
handelt: Wie hoch ist dann die Effektivverzinsung? (Prozent mit 3 Nachkommastellen!)
___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen bei Zinsauszahlung bzw. bei Zinsansammlung
Effektivverzinsung bei Emissions- und Tilgungskursen
Lösung:
a) q
T
q
iK...
q
iK
q
iKE0
nn
o
2
oo +⋅
++⋅
+⋅
+−=
q
2012
q
022,02000
q
022,0200019880
22+
⋅+
⋅+−=
2056q44q198802
+⋅+⋅−=
0 1988
2056q
1988
44q
2=−⋅−
( ) 1988
2056
1988
22
1988
22q
2
+±=
02809,1q =
809,2pe=
⇒−= 00595,1q definiert nicht 595,200pe
⇒−=
b)
nE
KTqKq 0
n
0 −+⋅=
21988
20002012022,12000q
2−+⋅
=
02802,121988
968,2100q ==
802,2pe=
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
___________________________________________________________________________________
22.In einer Firma wird für 80000 Euro eine neue Maschine mit einer
Nutzungsdauer von 4 Jahren angeschafft. Die von der Maschine verursachten Auszahlungen betragen im ersten Jahr 20000 Euro, im zweiten Jahr 15000 Euro, im dritten Jahr 10000 Euro und im vierten Jahr 20000 Euro. Die entsprechenden Einzahlungen sind im ersten Jahr 30000 Euro, im zweiten Jahr 40000 Euro, im dritten Jahr 50000 Euro und im vierten Jahr 40000 Euro. Der Restwert beträgt 5000 Euro.
a) Falls ein Kalkulationszinssatz von 9 % gilt: Wie hoch ist der
Vermögensendwert? b) Falls ein Kalkulationszinssatz von 7 % gilt: Wie hoch ist der
Vermögensendwert? ___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen, speziell Investitionsrechnung
Berechnung des Vermögensendwertes
Lösung:
a) q
R
q
AE
q
AE
q
AEAC n
n
n
nn
2
221100 +
−++
−+
−+−= ⋯
( ) ( ) ( ) RAEqAEqAEqAC nnn2n
221n
11n
0n +−++⋅−+⋅−+⋅−= −−⋯
( ) ( ) 09,1150004000009,1200003000009,180000C234
n ⋅−+⋅−+⋅−=
( ) ( ) 5000200004000009,11000050000 +−+⋅−+
2500009,14000009,12500009,11000009,180000C234
n +⋅+⋅+⋅+⋅−=
74,1673Cn −=
b) q
R
q
AE
q
AE
q
AEAC n
n
n
nn
2
221100 +
−++
−+
−+−= ⋯
( ) ( ) ( ) RAEqAEqAEqAC nnn2n
221n
11n
0n +−++⋅−+⋅−+⋅−= −−⋯
( ) ( ) 07,1150004000007,1200003000007,180000C234
n ⋅−+⋅−+⋅−=
( ) ( ) 5000200004000007,11000050000 +−+⋅−+
2500007,14000007,12500007,11000007,180000C234
n +⋅+⋅+⋅+⋅−=
25,3809Cn +=
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
___________________________________________________________________________________
23.Der Unternehmer Gerhard Geldmacher kauft für 90000 Euro eine
Maschine, die eine Nutzungsdauer von 4 Jahren hat. Im ersten Jahr werden für die Maschine Auszahlungen von 25000 Euro und Einzahlungen von 30000 Euro veranschlagt, im zweiten Jahr sind es entsprechend 20000 Euro und 45000 Euro, im dritten Jahr sind es 15000 Euro und 60000 Euro, im vierten Jahr sind es 25000 Euro und 50000 Euro; der Restwert beträgt 10000 Euro.
a) Es wird ein Kalkulationszinssatz von 6 % angenommen. – Wie hoch ist
der Vermögensendwert? b) Es wird ein Kalkulationszinssatz von 8 % angenommen. - Wie hoch ist
der Vermögensendwert? ___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen, speziell Investitionsrechnung
Berechnung des Vermögensendwertes
Lösung:
a) q
R
q
AE
q
AE
q
AEAC n
n
n
nn
2
221100 +
−++
−+
−+−= ⋯
( ) ( ) ( ) RAEqAEqAEqAC nnn2n
221n
11n
0n +−++⋅−+⋅−+⋅−= −−⋯
( ) ( ) 06,1200004500006,1250003000006,190000C234
n ⋅−+⋅−+⋅−=
( ) ( ) 10000250005000006,11500060000 +−+⋅−+
3500006,14500006,12500006,1500006,190000C234
n +⋅+⋅+⋅+⋅−=
15,3122Cn +=
b) q
R
q
AE
q
AE
q
AEAC n
n
n
nn
2
221100 +
−++
−+
−+−= ⋯
( ) ( ) ( ) RAEqAEqAEqAC nnn2n
221n
11n
0n +−++⋅−+⋅−+⋅−= −−⋯
( ) ( ) 08,1200004500008,1250003000008,190000C234
n ⋅−+⋅−+⋅−=
( ) ( ) 10000250005000008,11500060000 +−+⋅−+
3500008,14500008,12500008,1500008,190000C234
n +⋅+⋅+⋅+⋅−=
45,3385Cn −=
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
___________________________________________________________________________________
24.Ein Investitionsobjekt wird für 48200 Euro angeschafft. In den ersten beiden Nutzungsjahren sind Einzahlungen in Höhe von 48000 bzw. 56000 Euro zu erwarten und Auszahlungen in Höhe von 23000 bzw. 26000 Euro.
a) Wie hoch ist der interne Zinsfuß? b) Für das dritte Nutzungsjahr werden Einzahlungen von 50000 und
Auszahlungen von 40000 Euro veranschlagt. (1) Wie hoch ist dann insgesamt der Kapitalwert (Zinssatz = 6%)? (2) Wie hoch ist insgesamt der interne Zinsfuß? (Hinweis: Eine
explizite Ausrechnung ist nicht erforderlich. Es genügt die implizite Darstellung des Ergebnisses und die verbale Schilderung des abschließenden Rechengangs.)
___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen, speziell Investitionsrechnung
Lösung:
a)q
R
q
AE...
q
AE
q
AEA0
n
n
n
nn
2
22110 +
−++
−+
−+−=
q
0
q
2600056000
q
2300048000482000
22+
−+
−+−=
q
30000
q
25000482000
2++=
0622407,0q518672,0q2 =−⋅−
622407,0259336,0259336,0q 2 +±=
089795,1q =
9795,8pe =
definiert nicht 1123,157p 571123,0q e ⇒−=⇒−=
b)(1) q
R
q
AE...
q
AE
q
AEAC n
n
n
nn
2
221100 +
−++
−+
−+−=
06,1
0
06,1
4000050000
06,1
2600056000
06,1
230004800048200
3320 +−
+−
+−
+−=C
06,1
10000
06,1
30000
06,1
2500048200C 320 +++−=
99,10480C0 =
(2) q
R
q
AE...
q
AE
q
AEA0
n
n
n
nn
2
22110 +
−++
−+
−+−=
q
0
q
4000050000
q
2600056000
q
2300048000482000
332+
−+
−+
−+−=
q
10000
q
30000
q
25000482000
32+++−=
0207469,0q622407,0q518672,0q 23 =−⋅−⋅−
3 2 207469,0q622407,0q518672,0q +⋅+⋅=
Durch ein Approximationsverfahren lassen sich drei Diskontierungsfaktoren q bestimmen. Der (einzige) zulässige Diskontierungsfaktor wird dann in den Zinssatz p umgerechnet.
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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25.a)Ein Junggeselle beschließt am Ende des Jahres 2003, 3000 Euro ab
sofort jeweils zum Jahresende auf ein Sparbuch einzuzahlen. Welcher Betrag steht ihm am 01.01.09 zur Verfügung, wenn ihm 3% Jahreszinsen gewährt werden? - Zusatzfrage: Wie hoch wäre dann der entsprechende Barwert?
b) Ein Berufsanfänger möchte zu seiner Pensionierung (60. Geburts-tag) über eine „stille Reserve“ von 200000 Euro verfügen. Wieviel muss er zu Beginn eines jeden Lebensjahres vom 25. Geburtstag an sparen, wenn ihm das Kreditinstitut 5% Zinsen gewährleistet? - Zusatzfrage: Wieviel müsste er sparen, wenn die Pensionierung
erst mit dem 65. Geburtstag beginnen würde? ___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung, nachschüssig und vorschüssig
Berechnung von Rentenendwert, Rentenbarwert, Rentenrate
Lösung: a)
Rn = r ⋅ 1q
1qn
−
− (mit n=6)
Rn = 3000 ⋅ 103,1
103,16
−
− = 3000 ⋅
03,0
103,16 −
Rn = 19405,23
R0 = q
Rn
n (mit n=5)
R0 = 03,1
23,194055
= 1593,1
23,19405
R0 = 16739,12
b)
Rn = r ⋅ q ⋅ 1q
1qn
−
− ⇒ r =
( )1qq
1qR nn
−⋅
−⋅
r = ( )105,105,1
105,1200000
35 −⋅
−⋅
r = ( )105,105,1
05,0200000
35 −⋅⋅
r = 2108,90
r = ( )105,105,1
105,1200000
40 −⋅
−⋅
r = ( )105,105,1
05,0200000
40 −⋅⋅
r = 1576,79
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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26.Für eine Lebensversicherung gelten folgende Konditionen:
Laufzeit = 12 Jahre, veranschlagte Nettoverzinsung = 3,5 %, erwartete Auszahlungssumme = 60000 Euro.
a) Die Einzahlungen werden durch vorschüssige und regelmäßige Jahresbeiträge geleistet. – Wie hoch ist dieser Jahresbeitrag?
b) Die Einzahlung wird zu Laufzeitbeginn durch einen Einmalbeitrag geleistet. – Wie hoch ist dieser Einmalbeitrag?
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Thema: Rentenrechnung, nachschüssig
Berechnung von Rentenrate und Rentenbarwert
Lösung:
a) 1-q
1-qqr´R
n
n ⋅⋅= ⇒ 1-q
1-q
q
´Rr
n
n ⋅=
1-035,1
1-,0351
035,1
60000r
12⋅= =
)1-035,1(035,1
210012
⋅
08,3970=r
b) q
´R´R n
n0 =
035,1
60000´R 120 =
00,39707´R 0 =
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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27.Ein Bauträger, der ein Grundstück erwerben will, erhält drei
Angebote. Welches Angebot ist für ihn am günstigsten, wenn ein Kalkulationszinssatz von 5 Prozent angenommen wird? (Nachvollziehbare Rechnung!)
a) Erstes Angebot: Regelmäßige Zahlung von 20000 Euro, 19 Jahre lang
jeweils zum Jahresende, Zahlungsbeginn im ersten Jahr. b) Zweites Angebot: Regelmäßige Zahlung von 40000 Euro, 12 Jahre lang
jeweils zum Jahresanfang, Zahlungsbeginn im neunten Jahr. c) Drittes Angebot: Einmalige Zahlung von 140000 Euro nach einem Jahr
und von 120000 Euro nach zwei weiteren Jahren. ___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung, nachschüssig und vorschüssig
Berechnung von Barwerten
Lösung:
a)
Rn = r ⋅ 1q
1qn
−
−
Rn = 20000 ⋅ 105,1
105,119
−
− = 610780,08
R0 = q
Rn
n (mit n=19)
R0 = 05,1
08,61078019
= 241706,42
b)
Rn = r ⋅ q ⋅ 1q
1qn
−
−
Rn = 40000 ⋅ 1,05 ⋅ 31,668519105,1
105,112
=−
−
R0 = q
Rm
n (mit n=12, m=20)
R0 = 05,1
31,66851920
= 251957,90
c)
q
1K
q
1KKKK m
Bmn
An
B0
A00 ⋅+⋅=+= (mit n=1, m=3)
05,1
1120000
05,1
1140000K 30 ⋅+⋅=
85,23699351,10366033,133333K0 =+= (am günstigsten)
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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28.Witwe Bolte will ihr Häuschen verkaufen. Drei Interessenten melden
sich. Welcher Interessent macht für sie das günstigste Angebot, wenn der Kalkulationszinssatz 4 Prozent beträgt? (Nachvollziehbare Rechnung!)
a) Erster Interessent: Regelmäßige Zahlung von 30000 Euro, 11 Jahre
lang jeweils zum Jahresende, Zahlungsbeginn im ersten Jahr. b) Zweiter Interessent: Regelmäßige Zahlung von 50000 Euro, 9 Jahre
lang jeweils zum Jahresanfang, Zahlungsbeginn im zehnten Jahr. c) Dritter Interessent: Einmalige Zahlung von 140000 Euro nach zwei
Jahren und von 150000 Euro nach einem weiteren Jahr. ___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung, nachschüssig und vorschüssig
Berechnung von Barwerten
Lösung:
a)
Rn = r ⋅ 1q
1qn
−
−
Rn = 30000 ⋅ 104,1
104,111
−
− = 404590,54
R0 = q
Rn
n
R0 = 04,1
54,40459011
= 262814,30
b)
Rn = r ⋅ q ⋅ 1q
1qn
−
−
Rn = 50000 ⋅ 1,04 ⋅ 36,550305104,1
104,19
=−
−
R0 = q
Rm
n (mit n=9, m=18)
R0 = 04,1
36,55030518
= 271646,20 (am günstigsten)
c)
q
1K
q
1KKKK m
Bmn
An
B0
A00 ⋅+⋅=+= (mit n=2, m=3)
04,1
1150000
04,1
1140000K 320 ⋅+⋅=
32,26278745,13334987,129437K0 =+=
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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29.Ein Sparvertrag wird regelmäßig seit dem 31.12.2001 mit einer
jährlich-nachschüssigen Zahlung von 2000 Euro bedient; der Zinssatz ist 4 %. – An welchem Datum ist das Sparziel von 50000 Euro erreicht? (Rechnung erforderlich!)
___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung, nachschüssig
Berechnung der Laufzeit und des entsprechenden Kalenderdatums
Lösung:
1q
1qrR
n
n−
−⋅= ⇒ ( ) 11q
r
Rq
nn+−⋅= ⇒
( )
q lg
11qr
Rlg
n
n
+−⋅
=
( )
1,04 lg
1104,12000
50000lg
+−⋅
=n
1,04 lg
2lgn =
673,17n =
⇒ 2018.12.31
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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30.a)Volker Vorsorge schließt einen Ratensparvertrag für 20 Jahre ab (Zinssatz = 3,5 %). Er verpflichtet sich zu regelmäßigen Zahlungen in Höhe von 1000 Euro, zusätzlich leistet er bei Vertragsabschluss eine Sonderzahlung von 5000 Euro. (1) Wie hoch ist der gesamte Endbetrag, wenn die regelmäßigen Zahlungen nachschüssig geleistet werden? (2) Wie hoch wäre der gesamte Endbetrag bei vorschüssigen Zahlungen?
b)Friedrich Sparfreund will ein Kapital von 100000 Euro aufbauen und deshalb regelmäßig jährlich-nachschüssig, erstmals am 31.12.2006, einen bestimmten Sparbeitrag zahlen (Zinsen = 4,5 %). (1) Wenn die Zahlung letztmals am 31.12.2020 erfolgen soll: Wie hoch müsste der Sparbeitrag sein? (2) Es kann aber nur ein halb so hoher Sparbeitrag aufgebracht werden: An welchem Datum müsste dann letztmals die Zahlung erfolgen? (Rechnung erforderlich!)
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Thema: Rentenrechnung
Lösung:
a)(1) 1q
1qrqKRK
nn
0nn−
−⋅+⋅=+
1035,1
1035,11000035,15000RK
2020
nn−
−⋅+⋅=+
682,28279944,9948RK nn +=+ 63,38228=
(2) 1q
1qqrqKR´K
nn
0nn−
−⋅⋅+⋅=+
1035,1
1035,1035,11000035,15000R´K
2020
nn−
−⋅⋅+⋅=+
471,29269944,9948R´K nn +=+ 41,39218=
b)(1) 1q
1qrR
n
n−
−⋅= ⇒
1q
1qRr
nn
−
−⋅=
1045,1
1045,1100000r
15−
−⋅=
38,4811r =
(2) 1q
1qrR
n
n−
−⋅= ⇒ ( ) 11q
r
Rq
nn+−⋅= ⇒
( )
q lg
11qr
Rlg
n
n
+−⋅
=
( )
1,045 lg
11045,169,2405
100000lg
n
+−⋅
=
1,045 lg
870565,2lgn = 957,23=
⇒ 2029.12.31
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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31.Sascha Sparfreund, der auf seinem Konto ein Startguthaben von
100000 Euro hat, will nach einem Sparplan am Ende eines jeden Jahres noch 10000 Euro zuzahlen. Der Zinssatz beträgt 4,4 %.
a) Wann beträgt der Kontostand rechnerisch 400000 Euro?
(Formelmäßige Berechnung mit 3 Nachkommastellen!) b) Wie hoch ist der Kontostand zu Beginn des in Frage a) berechneten
Jahres? c) Welchen Wert hat das Konto tatsächlich an dem in Frage a)
berechneten Termin? ___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung, nachschüssig
Berechnungen aufgrund der „Sparkassenformel“
Lösung:
a) 1q
1qrqKRK
nn
0nn−
−⋅+⋅=+
1044,1
1044,110000044,1100000400000
nn
−
−⋅+⋅=
10000044,110000044,0044,1100000044,0400000 nn −⋅+⋅⋅=⋅
044,11440027600 n⋅=
916667,1044,1 n =
1090,15044,1lg
916667,1lgn ==
b) 1q
1qrqKRK
nn
0nn−
−⋅+⋅=+
1044,1
1044,110000044,1100000RK
1515
1515−
−⋅+⋅=+
72,39706186,20629286,190768RK 1515 =+=+
c) ( )in1KK 0n ⋅+⋅=
( ) 03,398966044,01090,0172,397061 =⋅+⋅=K n
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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32.Von einem Geldvermögen, das 200000 Euro ausmacht und zu 4,5 % Zinsen angelegt ist, werden nach einem Auszahlungsplan jährlich nachschüssig 15000 Euro entnommen.
a) Wann hat das Geldvermögen rechnerisch den Wert Null? (Formelmäßige Berechnung mit 3 Nachkommastellen!) b) Wie hoch ist das Geldvermögen zu Beginn des letzten Jahres? c) Welchen Wert hat das Geldvermögen tatsächlich an dem in Frage a)
berechneten Termin? d) Der (scheinbare) Widerspruch, der sich zwischen den Antworten zu a)
und zu c) ergibt, ist darzustellen und aufzuklären. (Genaue Antwort!)
e) Wenn das Geldvermögen am 1. Januar 2007 angelegt worden wäre: (1) Welchem genauen Kalenderdatum entspricht der in Frage b) berechnete Termin? (2) Welcher Entnahmebetrag steht tatsächlich am 31. Dezember des letzten Jahres zur Verfügung? (3) Welchem genauen Kalenderdatum entspricht der in Frage a) berechnete Termin? (Taggenaue Rechnung!)
___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung
Lösung:
a) 1q
1qrqKRK
nn
0nn−
−⋅−⋅=−
1045,1
1045,115000045,12000000
nn
−
−⋅−⋅=
15000045,115000045,0045,12000000 nn +⋅−⋅⋅=
15000045,160000 n +⋅−=
5,2045,1 n =
8168,20045,1lg
5,2lgn ==
b) 1q
1qrqKRK
nn
0nn−
−⋅−⋅=−
1045,1
1045,115000045,1200000RK
2020
2020−
−⋅−⋅=−
47,1177134,47057181,482342RK 2020 =−=−
c) ( )in1KK 0n ⋅+⋅=
( ) 14,12204045,08168,0147,11771Kn =⋅+⋅=
d) Bei der Antwort zu a) ist am berechneten Stichtag das Geldvermögen gleich Null, weil die Rentenrate anteilig dem Jahresablauf zugerechnet wird. Dagegen ist bei der Antwort zu c) am Stichtag das Geldvermögen größer als Null, weil die Rentenrate erst dem Jahresende zugerechnet wird.
e)(1) 2007 + 20 = 2027 → 1. Januar 2027
(2) qKKn
0n ⋅= → 19,12301045,147,11771K1
n =⋅=
(3) JnT J:Tn ⋅=→= 132,2983658168,0 =⋅=
132,25303131303130312831132,298 +++++++++=
26. Oktober 2027
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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33.Die jährliche nachschüssige Erbpacht für ein Grundstück beträgt
6000 Euro; der Zinssatz lautet 4%.
Welchen Wert hat das Grundstück bei Vertragsabschluss, a) wenn die Laufzeit 49 Jahre beträgt, b) wenn die Laufzeit unbegrenzt ist, c) und wie wären beide Fragen bei Vorschüssigkeit zu beantworten?
___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung, nachschüssig und vorschüssig
Berechnungen insbes. zur ewigen Rente
Lösung: a)
Rn = r ⋅ 1q
1qn
−
−
Rn = 6000 ⋅ 104,1
104,1 49
−
− = 6000 ⋅
04,0
833349,5
Rn = 41,875002
R0 = q
Rn
n
R0 = 04,1
41,87500249
R0 = 128048,83
b)
1q
r
1q
1qr
q
1limR
n
nn
*0
−=
−
−⋅⋅=
∞→
104,1
6000R*0
−=
150000R*0 =
c)
qR1q
1qqrR n
n
n ⋅=−
−⋅⋅=
51,91000204,141,875002Rn =⋅=
qRq
RR 0n
n0 ⋅==
78,13317004,183,128048R0 =⋅=
qR1q
qrR *
0*
0 ⋅=−
⋅=
15600004,1150000R *0 =⋅=
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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34.Siegfried Sorglos schließt eine Lebensversicherung ab. Die Laufzeit
beträgt 12 Jahre, die Beiträge sind vorschüssig zu zahlen, die Verzinsung wird mit 3 % veranschlagt, die Auszahlungssumme soll 50000 Euro betragen. – Angenommen, es handelt sich hierbei um eine Lebensversicherung ...
a) mit regelmäßiger jährlicher Beitragszahlung: Wie hoch ist dann der Jahresbeitrag?
b) mit Einmalbeitrag (Zahlung zu Laufzeitbeginn): Wie hoch ist dann der Einmalbeitrag?
c) mit abgekürzter jährlicher Beitragszahlung (Zahlung 5 Jahre, danach 7 Jahre Beitragsfreiheit): Wie hoch ist dann der Jahresbeitrag?
d) mit regelmäßiger monatlicher Beitragszahlung und monatlichem anteiligen Zinszuschlag: Wie hoch ist dann der Monatsbeitrag?
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Thema: Rentenrechnung
Lösung:
a) 1-q
1-qqr´R
n
n ⋅⋅= ⇒ 1-q
1-q
q
´Rr
n
n⋅=
1-03,1
1-,031
03,1
50000r
12⋅= =
)1-03,1(03,1
150012
⋅
49,3420=r
b) qKK n
0n ⋅= ⇒ q
´R´R n
n0 =
03,1
50000´R 120 =
99,35068´R 0 =
c) q1-q
1-qqr´R
mn
n ⋅⋅⋅= ⇒ 1-q
1-q
´Rr
nm
n⋅
⋅= (m = beitragsfreie Jahre)
1-03,1
1-,031
03,103,1
50000r
57⋅
⋅=
)1-03,1(03,1
1500r
58⋅
=
44,7434=r
d) 1-q
1-qqr´R
R
mn
RRmn ⋅⋅= ⇒
1-q
1-q
q
´Rr
mn
R
R
R
mn ⋅= (m = Monate)
1-1,0025
1-1,0025
0025,1
50000r
1212•⋅=
17,288=r
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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35.Otto Oberfleiß hat eine Gehaltserhöhung bekommen, die 4000 Euro im
Jahr ausmacht. Er will nun entweder einen fünfzehnjährigen Ratensparvertrag abschließen oder einen fünfzehnjährigen Kredit aufnehmen, wobei jeweils ein Zinssatz von 4,25 % gilt:
a) Falls er einen Ratensparvertrag abschließt und den Erhöhungsbetrag
für die jährlichen Einzahlungen verwendet: (1) Wie hoch ist die Auszahlungssumme bei nachschüssigen Einzahlungen? (2) Wie hoch wäre die Auszahlungssumme bei vorschüssigen Einzahlungen?
b) Falls er einen Kredit aufnimmt und den Erhöhungsbetrag für die konstanten Tilgungsraten verwendet: (1) Wie hoch ist der Kredit bei nachschüssigen Tilgungsraten? (2) Wie hoch wäre der Kredit (netto) bei vorschüssigen
Tilgungsraten? ___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung und Tilgungsrechnung
Berechnungen zum Rentenendwert und zur Anfangsschuld
Lösung:
a)(1) Rn = r ⋅ 1q
1qn
−
−
Rn = 4000 ⋅ 10425,1
10425,115
−
− = 81598,64
(2) R n′ = r ⋅ q ⋅ 1q
1qn
−
−
R n′ = 4000 ⋅ 1,0425 ⋅ 10425,1
10425,115
−
− = 85066,58
b)(1) T = n
S0 → TnS0 ⋅=
60000400015S0 =⋅=
(2) T = n
S0 → TnS0 ⋅=
60000400015S0 =⋅=
56000400060000TS0 =−=−
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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36.Ein Angestellter kann mit einer Gehaltserhöhung rechnen, die 3000
Euro im Jahr ausmacht. a) Falls er einen zwanzigjährigen Kredit aufnimmt (Zinssatz = 4,5
Prozent) und die Gehaltserhöhung für die konstanten Tilgungsraten verwendet: (1) Wie hoch ist der Kredit bei nachschüssigen Tilgungsraten? (2) Wie hoch wäre der Kredit (netto) bei vorschüssigen Tilgungs-
raten? b) Falls er stattdessen einen zwanzigjährigen Ratensparvertrag
abschließt (Zinssatz = 4,5 Prozent) und die Gehaltserhöhung für die jährlichen Einzahlungen verwendet: (1) Wie hoch ist die Auszahlungssumme bei nachschüssigen Einzahlungen? (2) Wie hoch wäre die Auszahlungssumme bei vorschüssigen Einzahlungen?
c) Wie hoch ist bei den Teilfragen zu b) jeweils der Rentenbarwert? ___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung und Tilgungsrechnung
Berechnungen zur Anfangsschuld und zum Rentenendwert
Lösung:
a)(1) T = n
S0 → TnS0 ⋅=
60000300020S0 =⋅=
(2) T = n
S0 → TnS0 ⋅=
60000300020S0 =⋅=
57000300060000TS0 =−=−
b)(1) Rn = r ⋅ 1q
1qn
−
−
Rn = 3000 ⋅ 1045,1
1045,1 20
−
− = 94114,27
(2) R n′ = r ⋅ q ⋅ 1q
1qn
−
−
R n′ = 3000 ⋅ 1,045 ⋅ 1045,1
1045,1 20
−
− = 98349,41
c) R0 = q
Rn
n =
045,1
27,9411420
= 39023,81
R 0′ = q
Rn
n′ =
045,1
41,9834920
= 40779,88
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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37.a)Theodor Tausendgeld hat 10 Jahre lang, jeweils nachschüssig, 1200
Euro auf ein Konto gezahlt (Zinssatz = 5 %). (1) Wie hoch ist das Endkapital?
(2) Um wieviel wächst der Wert der Rente im letzten Jahr? b)Aufgrund eines Computerfehlers erhält er bei Vertragsablauf nicht
das Endkapital, sondern eine Mitteilung, dass der Betrag für ihn als Schuld ausgewiesen würde, welche er nun in weiteren 10 Jahren in gleichen Raten abzutragen hätte (Zinssatz = 6 %): Wie hoch wäre dann die Annuität im letzten Jahr?
___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung und Tilgungsrechnung
Berechnungen zum Rentenendwert und zur Annuität
Lösung: a)(1)
1q
1qrR
n
n−
−⋅=
105,1
105,11200R
10
10−
−⋅=
47,15093R10 =
(2)
1q
1qr
1q
1qrRR
1nn
1nn−
−⋅−
−
−⋅=−
−
−
105,1
105,11200
105,1
105,11200RR
910
910−
−⋅−
−
−⋅=−
88,1323147,15093RR 910 −=−
59,1861RR 910 =−
b)
( )[ ]i1tn1n
SA
0t ⋅+−+⋅=
( )[ ]06,011010110
47,15093A10 ⋅+−+⋅=
06,110
47,15093A10 ⋅=
91,1599A10 =
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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38.a)Auf einen Sparvertrag sind 12 Jahre lang, jeweils nachschüssig,
1000 Euro eingezahlt worden (Zinssatz = 4 %). (1) Wie hoch ist das Endkapital? (2) Um wieviel wächst der Wert der Rente im letzten Jahr? b)Wenn bei Vertragsablauf irrtümlich nicht das Endkapital
ausgezahlt wird, sondern dieser Betrag als Schuld deklariert würde, die nach weiteren 12 Jahren in gleichen Raten abzutragen wäre (Zinssatz = 5 %): Wie hoch wäre dann die Annuität im letzten Jahr?
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Thema: Rentenrechnung und Tilgungsrechnung
Berechnungen zum Rentenendwert und zur Annuität
Lösung: a)(1)
1q
1qrR
n
n−
−⋅=
104,1
104,11000R
12
12−
−⋅=
81,15025R12 =
(2)
1q
1qr
1q
1qrRR
1nn
1nn−
−⋅−
−
−⋅=−
−
−
104,1
104,11000
104,1
104,11000RR
1112
1112−
−⋅−
−
−⋅=−
35,1348681,15025RR 1112 −=−
46,1539RR 1112 =−
b)
( )[ ]i1tn1n
SA
0t ⋅+−+⋅=
( )[ ]05,011212112
81,15025A12 ⋅+−+⋅=
05,112
81,15025A12 ⋅=
76,1314A12 =
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39.Eine Hypothek von 50000 Euro soll in 25 Jahren in gleichbleibenden
Annuitäten getilgt werden, der Zinssatz ist 6 Prozent. – Der Tilgungsplan ist für die nachstehenden drei Jahre auszufüllen: Jahr Anfangs-
schuld Zinsen Tilgung Annuität Rest-
schuld 1
13
25
___________________________________________________________________________________
Thema: Tilgungsrechnung (Annuitätentilgung)
Berechnung des Tilgungsplans
Lösung: Jahr Anfangs-
schuld Zinsen Tilgung Annuität Rest-
schuld 1
50000,00
3000,00
911,34
3911,34
49088,66
13
34625,82
2077,55
1833,79
3911,34
32792,03
25
3689,94
221,40
3689,94
3911,34
0,00
1q
qqSS n
tn
0t−
−⋅=
( )1q
1qqqSZ n
1tn
0t−
−⋅−⋅=
−
1q
1qqST n
1t
0t−
−⋅⋅=
−
1q
1qqSA n
n
0−
−⋅⋅=
25 ;13 ;1t
25n
06,1q
50000S0
=
=
=
=
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40.Eine Hypothek von 100000 Euro soll in 25 Jahren in gleichbleibenden
Annuitäten getilgt werden, der Zinssatz ist 5,5 Prozent. – Der Tilgungsplan ist für die nachstehenden drei Jahre auszufüllen: Jahr Anfangs-
schuld Zinsen Tilgung Annuität Rest-
schuld 1
13
25
___________________________________________________________________________________
Thema: Tilgungsrechnung (Annuitätentilgung)
Berechnung des Tilgungsplans
Lösung:
Jahr Anfangs-
schuld Zinsen Tilgung Annuität Rest-
schuld 1
100000,00
5500,00
1954,94
7454,94
98045,06
13
67967,23
3738,20
3716,74
7454,94
64250,49
25
7066,29
388,65
7066,29
7454,94
0,00
1q
qqSS n
tn
0t−
−⋅=
( )1q
1qqqSZ n
1tn
0t−
−⋅−⋅=
−
1q
1qqST n
1t
0t−
−⋅⋅=
−
1q
1qqSA n
n
0−
−⋅⋅=
25 ;13 ;1t
25n
055,1q
100000S0
=
=
=
=
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41.Die Hilfsorganisation „Pomosch-Wostok“, die soziale Projekte in der
Ukraine unterstützt, bekommt ein Darlehen von 800000 Euro. Die Rückzahlung soll in gleich bleibenden Annuitäten innerhalb von 15 Jahren erfolgen; der Zinssatz beträgt 3,5 %. Wie hoch ist im 8. Jahr:
a) Anfangsschuld b) Zinsen c) Annuität
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Thema: Tilgungsrechnung (Annuitätentilgung)
Berechnung von Anfangsschuld, Zinsen, Annuität
Lösung: a)
1q
qqSS n
1tn
01t−
−⋅=
−
−
1035,1
035,1035,1800000S 15
1815
7−
−⋅=
−
33,477465=
b)
( )1q
1qqqSZ n
1tn0t
−
−⋅−⋅= −
( )1035,1
1035,1035,1035,1800000Z 15
18158
−
−⋅−⋅= − 29,16711 =
c)
1q
1qqSA
n
n0
−
−⋅⋅=
1035,1
1035,1035,1800000A
15
15
−
−⋅⋅= 06,69460 =
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42.Eine Entwicklungsgesellschaft erhält einen Kredit über 900000 Euro
zu einem Zinssatz von 4 Prozent und mit einer Laufzeit von 20 Jahren. Die Zahlungsverpflichtung des Kreditnehmers, die sich aus Zinsen und Tilgung zusammensetzt, soll in jedem Jahr gleichhoch sein. – Wie hoch ist im 12. Jahr:
a) Tilgung b) Annuität c) Restschuld
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Thema: Tilgungsrechnung (Annuitätentilgung)
Berechnung von Tilgung, Annuität, Restschuld
Lösung: a)
1q
1qqST n
1t0t
−
−⋅⋅= −
104,1
104,104,1900000T 20
11212
−
−⋅⋅= − 81,46527=
b)
1q
1qqSA
n
n0
−
−⋅⋅=
104,1
104,104,1900000A
20
20
−
−⋅⋅= 58,66223=
c)
1q
qqSS n
tn
0t−
−⋅=
104,1
04,104,1900000S 20
1220
12−
−⋅= 44,445866=
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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43.Stefan Schuldenmacher leistet für einen Kredit von 90000 Euro
mehrere Jahre lang Zinsen und Tilgung; die Zinsen des ersten Jahres betragen 4500 Euro, die Tilgung des ersten Jahres beträgt 5000 Euro.
a) Wie hoch ist im Falle von Ratentilgung:
(1) Tilgungsdauer Lösung:
(2) Anfangsschuld im 10.Jahr Lösung:
(3) Zinsen im 10.Jahr Lösung:
b) Wie hoch wäre im Falle von Annuitätentilgung:
Tilgungsdauer Lösung: ___________________________________________________________________________________
Thema: Tilgungsrechnung (Ratentilgung und Annuitätentilgung)
Lösung:
a) (1) T
Sn 0= =
5000
90000 = 18
(2) )-1(SS n
1t01t
−− ⋅= = )-1(90000
18
110−⋅ = 45000
(3) i)-1(SZ n
1-t
0t ⋅⋅= = 05,0)-1(9000018
1-10⋅⋅ = 2250
b) 1-q
1-qqSA
n
n
0 ⋅⋅=
1-05,1
1-05,105,1900009500
n
n⋅⋅=
1-05,1
05,1
05,090000
9500n
n
=⋅
( ) 05,1105,19
19 nn=−⋅
05,19
19-05,1
9
19 nn=⋅
9
1905,1
9
10 n=⋅
9,1=05,1n
05,1 lg
9,1 lg=n
155,13=n
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44.Für einen Kredit (180000 Euro) sind mehrere Jahre lang Zinsen und
Tilgung zu leisten; die Zinsen des ersten Jahres betragen 9000 Euro, die Tilgung des ersten Jahres beträgt 10000 Euro.
a) Wie hoch ist im Falle von Ratentilgung:
(1) Tilgungsdauer Lösung:
(2) Anfangsschuld im 9.Jahr Lösung:
(3) Zinsen im 9.Jahr Lösung:
b) Wie hoch wäre im Falle von Annuitätentilgung:
Tilgungsdauer Lösung: ___________________________________________________________________________________
Thema: Tilgungsrechnung (Ratentilgung und Annuitätentilgung)
Lösung:
a) (1) T
Sn 0= =
10000
180000 = 18
(2) )-1(SS n
1t01t
−− ⋅= = )-1(180000
18
19−⋅ = 100000
(3) i)-1(SZ n
1-t0t ⋅⋅= = 05,0)-1(180000
18
1-9⋅⋅ = 5000
b) 1-q
1-qqSA
n
n
0 ⋅⋅=
1-05,1
1-05,105,118000019000
n
n⋅⋅=
1-05,1
05,1
05,0180000
19000n
n
=⋅
( ) 05,11-05,19
19 nn=⋅
05,19
19-05,1
9
19 nn=⋅
9
1905,1
9
10 n=⋅
9,1=05,1n
05,1 lg
9,1 lg=n
155,13=n
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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45.a)Heinrich Häuslebauer tilgt seine Hypothek (120000 Euro) 20 Jahre
lang mit konstanten Raten (4,75 % Zinsen). – Wie hoch ist im 12. Jahr: (1) Anfangsschuld (2) Zinsen (3) Tilgung (4) Annuität (5) Restschuld
b)Egon Eigentümer tilgt seine Hypothek (100000 Euro) jährlich mit 7 % der Anfangsschuld (4 % Zinsen). - Am Ende des vorletzten Laufzeitjahres wird die Hypothek vorzeitig abgewickelt. (1) Um das wievielte Jahr handelt es sich; und wie hoch ist hier: (2) Anfangsschuld (3) Zinsen (4) Tilgung (5) Annuität (6) Restschuld
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Thema: Tilgungsrechnung (Ratentilgung)
Berechnungen insbes. bei nicht-ganzzahliger Tilgungsdauer
Lösung:
a)(1)
−−⋅=
n
1t1SS 01-t =
−−⋅
20
1121120000 = 54000
(2) in
1t1SZ 0t ⋅
−−⋅= = 0475,0
20
1121120000 ⋅
−−⋅ = 2565
(3) n
ST
0= = 20
120000 = 6000
(4) [ ]i)1tn(1n
SA
0t ⋅+−+⋅= = ( )[ ]0475,0112201
20
120000⋅+−+⋅ = 8565
(5)
−⋅=
n
t1SS 0t =
−⋅
20
121120000 = 48000
b)(1) T
Sn 0= =
7000
100000 = 3,14 ⇒ 14t =
(2) ( ) T1tSS 01-t ⋅−−= = ( ) 7000114100000 ⋅−− = 9000
(3) iSZ 1-tt ⋅= = 04,09000 ⋅ = 360
(4) S*T 1-t= = 9000
(5) *TZ*A t += = 9000360 + = 9360
(6) *TSS*1-tt −= = 90009000 − = 0
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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46.Eine Hypothek von 150000 Euro soll in gleichbleibenden Raten
getilgt werden. a) Die Tilgung erfolgt 15 Jahre lang; der Zinssatz beträgt 5,5 %. Wie hoch ist im 7. Jahr: (1) Anfangsschuld (2) Zinsen (3) Tilgung (4) Annuität (5) Restschuld b) Die Tilgung erfolgt jeweils mit 8 % der Anfangsschuld; der Zinssatz beträgt 4,5 %. - Am Ende des vorletzten Laufzeitjahres wird die Hypothek vorzeitig abgewickelt. (1) Um das wievielte Jahr handelt es sich; und wie hoch ist hier: (2) Anfangsschuld (3) Zinsen (4) Tilgung (5) Annuität (6) Restschuld
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Thema: Tilgungsrechnung (Ratentilgung)
Berechnung insbes. bei nicht-ganzzahliger Tilgungsdauer
Lösung:
a) (1)
−−⋅=
n
1t1SS 01-t =
−−⋅
15
171150000 = 90000
(2) in
1t1SZ 0t ⋅
−−⋅= = 055,0
15
171150000 ⋅
−−⋅ = 4950
(3) n
ST
0= = 15
150000 = 10000
(4) [ ]i)1tn(1n
SA
0t ⋅+−+⋅= = ( )[ ]055,017151
15
150000⋅+−+⋅ = 14950
(5)
−⋅=
n
t1SS 0t =
−⋅
15
71150000 = 80000
b) (1) T
Sn 0= =
12000
150000 = 5,12 ⇒ 12t =
(2) ( ) T1tSS 01-t ⋅−−= = ( ) 12000112150000 ⋅−− = 18000
(3) iSZ 1-tt ⋅= = 045,018000 ⋅ = 810
(4) S*T 1-t= = 18000
(5) *TZ*A t += = 18000810 + = 18810
(6) *TSS*1-tt −= = 1800018000 − = 0
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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47.a) Eine Hypothek über 150000 Euro wird jährlich mit 10000 Euro getilgt (Zinssatz = 10,5%). –Wie hoch ist am Ende des 13. Jahres die Restschuld? - Zusatzfrage: Wie hoch ist im 1. Jahr der Zinsbetrag sowie die
Annuität? b) Ein Entwicklungsland erhält am 01.01.2003 einen Kredit über
20 Mio. Euro zu 3,5% Zinsen. Der Kredit soll durch Annuitäten-tilgung in 30 Jahren zurückgezahlt werden. – Wie hoch ist die Restschuld am 01.01.2009? - Zusatzfrage: Am 01.01. welchen Jahres ist die Restschuld nur
noch knapp halb so groß wie der Anfangskredit? ___________________________________________________________________________________
Thema: Tilgungsrechnung (Annuitätentilgung)
Lösung:
a) tS =
−⋅
n
t1S0
S13 =
−⋅15
131150000 = 20000
1Z = S0 · i = 150000 · 0,105 = 15750
1A = T + Z1 = 10000 + 15750 = 25750
b) tS =
−
−⋅
1q
qqS
n
tn
0
6S =
−
−⋅
10351
0351035120000000
30
630
,
,,
6S =
−
−⋅
18067942
2292551806794220000000
,
,,
6S = 17462296,60
tS =
−
−⋅
1q
qqS
n
tn
0
qt = ( )1qS
Sq n
0
tn −⋅
−
1,035t = ( )1035120000000
100000000351 3030 −⋅
− ,,
1,035t = 2,806794 – 0,5 · 1,806794
1,035t = 1,903397
t = 035,1lg
903397,1lg
t = 014940,0
279529,0
t = 18,710 < 19
t ⇒ 2022
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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48.Der Fabrikant Werner Wertschöpfer kauft eine Maschine und schreibt
diese binnen 4 Jahren auf 40,96 Prozent ihres Anfangswertes ab. a) Wie lautet im Falle linearer Abschreibung der jährliche prozentuale
Abschreibungsbetrag? (Rechnung!) b) Wie lautet dann die entsprechende Abfolge der Buchwerte? c) In welchem Jahr wird die Maschine vollständig abgeschrieben sein?
(Antwortsatz!) ___________________________________________________________________________________
Thema: Abschreibungsrechnung (lineare Abschreibung)
Abschreibungsbetrag, Buchwerte und Abschreibungsdauer
Lösung:
a) AnBB 0n ⋅−= → n
BBA n0 −
=
1476,04
4096,01A =
−=
A = 14,76 (Prozent)
b) B0 = 1 → 100 (Prozent)
A1BB 01 −= = 1 - 1·0,1476 → 85,24 (Prozent)
A2BB 02 −= = 1 - 2·0,1476 → 70,48 (Prozent)
A3BB 03 −= = 1 - 3·0,1476 → 55,72 (Prozent)
A4BB 04 −= = 1 - 4·0,1476 → 40,96 (Prozent)
c) 775,60,1476
1n AnB0 0 ==→⋅−=
im 7. Jahr
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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49.Eine Maschine, die einen Anschaffungswert von 50000 Euro hat, wird
in 4 Jahren auf 6480 Euro abgeschrieben. a) Wie lautet im Falle geometrisch-degressiver Abschreibung der
jährliche prozentuale Abschreibungssatz? (Rechnung!) b) Wie lautet dann die entsprechende Abfolge der Buchwerte? c) In welchem Jahr wird die Maschine vollständig abgeschrieben sein?
(Antwortsatz!) ___________________________________________________________________________________
Thema: Abschreibungsrechnung (geometrisch-degressive Abschreibung)
Abschreibungssatz, Buchwerte und Abschreibungsdauer
Lösung:
a) qBBn
0n ⋅= → n
0
n
B
Bq =
6,050000
6480q 4 ==
p = 40 (Abschreibungssatz) b) B0 = 50000
qBB 01 ⋅= = 50000·0,6 = 30000
qBB2
02 ⋅= = 50000·0,62 = 18000
qBB3
03 ⋅= = 50000·0,63 = 10800
qBB4
04 ⋅= = 50000·0,64 = 6480
c) 0,6 lg
0 lgn qB0 n
0 =→⋅=
im Jahr „unendlich“
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
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50.a)Eine Maschine, die Anfang 2001 für 62500 Euro gekauft worden war,
hatte Anfang 2005 einen Buchwert von 25600 Euro. (1) Wie hoch war – im Falle linearer Abschreibung – der jährliche
Abschreibungsbetrag (Euro)? (2) Wie hoch war – im Falle geometrisch-degressiver Abschreibung
– der jährliche Abschreibungssatz (Prozent)?
b)Zwei Maschinen wurden zum gleichen Zeitpunkt und zum gleichen Anschaffungspreis gekauft. Die erste Maschine wird jährlich um 1845 Euro linear abgeschrieben; die zweite Maschine wird jährlich um 20 Prozent geometrisch-degressiv abgeschrieben. Nach vier Jahren haben beide Maschinen denselben Buchwert. (1) Wie hoch war der Anschaffungspreis? (2) Wie hoch ist der Buchwert nach vier Jahren?
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Thema: Abschreibungsrechnung (linear und geometrisch-degressiv)
Berechnung von diversen Kenngrößen
Lösung:
a)(1) AnBB 0n ⋅−=
25600 = 62500 – 4 ⋅ A
4
2560062500A
−=
A = 9225
(2) qBBn
0n ⋅=
25600 = 62500 ⋅ q4
8,0462500
25600q ==
p = 20 (Abschreibungssatz)
b)(1) qBAnBn
00 ⋅=⋅−
8,0B18454B4
00 ⋅=⋅−
4096,0B7380B 00 ⋅=−
4096,01
7380B0
−=
12500B0 =
(2) AnBB 0n ⋅−=
1845412500B4 ⋅−=
5120B4 =
Die Bearbeitungszeit für die voranstehenden Aufgaben
ist im Durchschnitt mit 15 Minuten zu veranschlagen.
Im einzelnen sind es – je nach Anzahl und Umfang der
Teilfragen – zwischen 10 und 20 Minuten. * Dieses Aufgabenskript resultiert aus Klausuren zur Finanzmathematik aus den zurückliegenden Jahren.