Schwingungen - TUHH – Startseite · Mechanischer Schwinger mit einem Freiheitsgrad. 07.12.2008...

07.12.2008S.1

Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack

SchwingungenSchwingungenGrundlagen

Stick-Slip undRatterschwingungen

LagekoppelungAufbauschneidenbildung

MaschinendynamikSchwingungen an spanenden WZM

07.12.2008S.2

Weltin

Stick-Slip

07.12.2008S.3

Weltin

Mechanischer Schwinger

07.12.2008S.4

Mechanischer Schwinger mit einem Freiheitsgrad

07.12.2008S.5

d d( ) ( ) ( ) ( )

f fa t b t c f t e t

t t+ + =

BeschleunigungstermBeschleunigungsterm

geschwindigkeitsproportionalergeschwindigkeitsproportionalerReibungstermReibungsterm

positionsproportionalerpositionsproportionalerKrafttermKraftterm

FremderregungFremderregung

Lineare, zeitinvariante Bewegungsgleichung

07.12.2008S.6

0,010,99

t / T0

Sprungantwort des gedämpften harmonischen Schwingers

2 20 0

2 1G s

T s T sϑ=

07.12.2008S.7

Voumard

Periodische Signale II

Periodische Schwingungen entstehen typischerweise im Zusammenhang mit gleich-förmigen Drehbewegungen(Werkzeugmaschinen, Getriebe,

Motoren usw.).

cos 2t

sin 2t

cos 2 sin 2t

jT t t

e jT T

ππ π

Euleridentität

07.12.2008S.8

( ) cos sin2

K k kk

aS t a k t b k tω ω

= + +∑

2( )cos d

a f t k t tT

= ∫0 0

2( )sin d

b f t k t tT

FourierFourier--SummeSumme

Diskretes Fourier-Spektrum I

πω =

T0/2-T0/2 0

f t( )

0( ) ( )f t f t T= +

0 0( ) ( ) ( ) ( )f t f t T f t f t nT= + ⇒ = ±

07.12.2008S.9

Diskretes Fourier-Spektrum II

( ) cos2

K k kk

aS t A k tω ϕ

= + +∑

2 2k k kA a b= +

( )arctan für 0

arctan ,

arctan sonst

= ∠ = +

BetragBetrag

PhasePhase

FourierFourier--SummeSumme

07.12.2008S.10

1 für 02

0 für 0( )

1 für 02

0 für2

− − < <

== < < =

( )sin4, 1,3,5, k

k xa k

kπ= ∈ …

1.200351

S x( )

2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6

Fourier-Summen der Rechteckfunktion I

07.12.2008S.11

1.18829

S x( )

2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6

1.184159

S x( )

2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6

Fourier-Summen der Rechteckfunktion II

07.12.2008S.12

1.17862

S x( )

2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6

1.14142

S x( )

2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6

Fourier-Summen der Rechteckfunktion III

07.12.2008S.13

Die Variable x kann die Zeit, den Ort oder eine beliebigeunabhängige Variable repräsentieren.

Die Funktion f(x) kann eine beliebige Funktion sein, die physikalische Werte repräsentiert(Position, Pose, Kräfte, Momente, Spannung, Strom usw.).

Diese Ansätze können auf Vektor- und Matrixfunktionen mitmehrdimensionalen unabhängigen Variablen erweitert werden(Mechanik, Optik, Quantenphysik usw.).

Verallgemeinerung

07.12.2008S.14

0.40.2

Ortsfrequenzen

H H e f fj

Hx y( ) ( ) , ( , )

arctanIm ( )

Re ( )f f fff= =

RSTUVW

2k pk p t

PhasePhase

BetragBetrag

07.12.2008S.15

FourierFourier--TransformationTransformation

07.12.2008S.16

T0/2-T0/2 0

f t( )

Mit einer gegen unendlich strebende Periode T0 ließen sich die Periodizitätsanforderung eliminieren, so dass aperiodischeSignale erfasst werden können.

Idee des Fourier-Integrals I

0T →∞

07.12.2008S.17

Der in der Klammer stehende Ausdruck wird Bild-, Spektral-funktion oder Fourier-Transformierte genannt.

Die Spektralfunktion kann nur eine Funktion von jω sein, da über t integriert wird und die Integrale uneigentliche Integrale sind.

( ) ( ) ( ) ( ) dj tF j f t j f t e tωω ω∞

−∞

≡ ℑ = ∫

1 1( ) ( ) ( ) ( ) d

2j tf t F j t F e ωω ω ω

∞−

−∞

≡ ℑ = ∫

Fourier-Integral

07.12.2008S.18

1( ) lim ( ) ( )

2f t f t f t

εε ε

→= + + −

( ) ( ) dj tF j f t e tωω∞

−∞

Hintransformation1

( ) ( )2

j tf t F e dωω ωπ

−∞

Rücktransformation

( )F jωSpektrum

Fourier-Transformation

OriginalOriginal--bereichbereich

SpektralSpektral--bereichbereich(kontinuierliches Spektrum)

f t( )

| F j( ) |ω

φ( )ω

Folie 18

wo1 Vorlesungsendewo; 26.05.2008

07.12.2008S.19

102 hertz.1 hertz. si

0 deg.

180 deg.

Φ f si

102 hertz.100 hertz. si

Betrag und Phase der Fourier-Transformierten

= 0,05T0 = 0,1 Hz

2 20 0

2 1G s

T s T sϑ=

s jω→

07.12.2008S.20

j j ImF( )ω

ReF( )jω

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

6001200

3300f / Hz

Ortskurve der Fourier-Transformierten

07.12.2008S.21

r t 1.0,( )

22 t2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2

R ω 1.0,( )

6 2. π.6 2. π. ω30 20 10 0 10 20 30

1 für( , ) 2

0 sonst

r T t <=

( , ) 2

Rechteck- und Spaltfunktion

07.12.2008S.22

( ) ( ) ( )Y j G j E jω ω ω=

Linearität, Homogenität und Zeitinvarianz ist eine hinreichende und notwendige Bedingung für die

Existenz des Faltungssatzes(Analog multidimensional).

Die Fourier-Transformation überführt die Faltung in ein Produkt der Fourier-Transformierten

(Analog multidimensional).

( ) ( ) ( ) dy t g t eτ τ τ+∞

−∞

= −∫

Faltungssatz und Fourier-Transformation

Beweis, siehe Script

07.12.2008S.23

Rohde und Schwarz

( )( ) für ( ) 0

Y jG j E j

ωω ωω

HTW-Aalen

Messung der Systemfunktion

ElektrodynamischerErreger (Shaker)

07.12.2008S.24

Testsignale zur Messung der Systemfunktion

T := Testsignale

07.12.2008S.25

Typische Sprungfunktionen

07.12.2008S.26

Typische Impulsfunktionen

07.12.2008S.27

SchaublinSchaublin

RatterRatter--SchwingungenSchwingungen

07.12.2008S.28

2- 3464 - 6TUHHPROF.DR.-ING. K.RALL

Stabilität von Bearbeitungsprozessen

Heller

Hervorgerufen durch die Stirnschneiden

Hervorgerufen durch die Umfangsschneiden

Abbild der Fräserschwingungen auf der Werkstückoberfläche

Rattern Rattern

Ratternratterfrei ratterfrei

07.12.2008S.29

Regenerativer Rattereffekt Prozessschema I

07.12.2008S.30

Regenerativer Rattereffekt Prozessschema II

i-ter Messereingriff

(i+1)-ter Messer-eingriff

n := Umdrehungen/minz := Anzahl der Messer

07.12.2008S.31

G jg( )ω+

∆x x = dxdFFSt

Maschinenmodell

+ µTtkcbb-

Schnittprozess

Regenerativer Rattereffekt Blockschaltbild

ÜÜberber--deckungsdeckungs--

faktorfaktor

TotTot--zeitzeit

KienzleKienzleMaterialMaterial--

parameterparameter

SpanSpan--breitebreite

Rohde u.Schwarz

Empirisches Maschinenmodell

KraftKraft--messungmessung

PositionsPositions--messungmessung

07.12.2008S.32

F k b h x c f px xmx= ⋅ ⋅ ∈−

.( ) , , ,l q

TaylorTaylor--Reihe 1. OrdnungReihe 1. Ordnung

stationär stationär

(1 )1.1 1.1 stationär(1 ) ( )

x x x xF k b h k b m h h h−−= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

stationärerAnteil

dynamischerAnteil

cb d, mitF k b h h x∆ ∆ ∆= ⋅ ⋅ =

Kienzle Formeln

kcb := spezifische dynamische Schnittsteifigkeit

07.12.2008S.33

Idee der Oszillator-Bedingung 1

kausales, lineares und zeitinvariantes System

0 1 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )F s F s F s Y s X s= − =

F s2( )

F s1( )Y s( )

Y s0( )

X s( )rf

07.12.2008S.34

Die Frequenz des Funktionsgenerators wird so eingestellt, dass die Gleichung erfüllt ist.0 r( ) ( ) , für 2Y s X s s j fπ= →

0 r( 2 ) 1 0F j f jπ⇒ = +

Welchen Wert hat ?0 r( 2 )F j fπ

Der Schalter wird gedanklich in der Zeit t = 0 umgelegt.Was passiert jetzt bzw. welches Signal stellt sich amAusgang ein?

07.12.2008S.35

F s2( )

F s1( )Y s( )

Y s0( )

X s( )

F s2( )

F s1( )Y s( )

Y s0( )

X s( )

07.12.2008S.36

Das kausale Signal an F1 verändert sich nicht, da das rück-gekoppelte Signal in Betrag und Phase identisch ist.

Infolgedessen wird das Ausgangssignal ebenfalls unverändert sein müssen. Es liegt somit ein Oszillator vor.

Was passiert in der Realität?

07.12.2008S.37

Physikalisch führen bereits geringfügige Änderungen des Systems letztlich zu einer aufbauenden oder abklingenden Schwingung. Es liegt ein labiler Zustand vor.

Die sich aufbauenden Schwingungen werden in ihrer Größe zumeist durch Nichtlinearitäten begrenzt, wenn nicht vorher eine Überlastung bzw. Zerstörung des Systems dem Vorgang ein Ende setzt.

07.12.2008S.38

14.787126

20.279603

ST w0 D, u w0.,( )

10 π.0 u0 5 10 15 20 25 30

SD w0 D, u w0.,( )

10 π.0 u0 5 10 15 20 25 30

Re ( 2 ) 1

Im ( 2 ) 0

Re ( 2 ) 1

Im ( 2 ) 0

ZerstZerstöörungsgefahrrungsgefahroder Begrenzungdurch Sättigungs-

effekte

07.12.2008S.39

Ist die Oszillatorbedingung nicht erfüllt, so treten in der Praxis selten Ratterschwingungen auf. Letztlich kann dieses Kriterium nur eine Aussage darüber treffen, dass eine Ratterschwingung vorliegt.

Will man sicherstellen, dass keine Schwingungen auftreten,so muss man das Nyquist-Kriterium heranziehen.

07.12.2008S.40

Stabilitätskarte

absolut stabilerDrehzahlbereich

in-stabil

stabil

Stabili-tätsrand

Leistungsgrenze

frk = 1k =2

übliche Drehoperationen k > 5übliche Fräsoperationen k < 5

k =4k =5

Drehzahl • Schneidenzahl ; n z / min-1

07.12.2008S.41

60 / min 10 (1)

Re ( )1arctan

Im ( )

z G jk

ωπ ω

⋅=− ⋅ ≥ ∠ ±

arctan( / ) für 0arctan

arctan( / ) für 0

a b ba

a b bb π≥ ∠ = + <

0,1, ,k ∈ ∞…

cr g r

cb g r

1für Re ( ) 0 (2)

2 Re ( )b G j

k G jω

ω=− <

Stabilitätsanalyse

07.12.2008S.42

1.1. WWäähle hle k = 0,1,2,3,5,...

2.2. Bestimme, unter der Bedingung eines negativen Bestimme, unter der Bedingung eines negativen Realteils der Realteils der ÜÜbertragungsfunktion, fbertragungsfunktion, füür verschiedene r verschiedene Frequenzen Frequenzen fr den Realden Real-- und Imaginund Imaginäärteil der rteil der ÜÜbertragungsfunktion bertragungsfunktion Gg(.) aus der Ortskurve.aus der Ortskurve.

3.3. Berechne die normierte Drehzahl Berechne die normierte Drehzahl üüber die Gleichung ber die Gleichung (1). Dabei sind nur positive L. Dabei sind nur positive Löösungen von sungen von n sinnvoll, sinnvoll, weil eine negative Lweil eine negative Löösung eine Drehrichtungssung eine Drehrichtungs--äänderungnderung beschreibt, die bei einem Zerspanungsbeschreibt, die bei einem Zerspanungs--prozessprozess nicht sinnvoll ist.nicht sinnvoll ist.

Vorgehensweise I

07.12.2008S.43

4.4. Berechne die kritische Grenzspanbreite Berechne die kritische Grenzspanbreite bcr(fr) üüber ber (2)..

5.5. Zeichne den Graphen der ZuordnungZeichne den Graphen der Zuordnung

der in der in k und und fr parametrisierten Kurve, die dann die parametrisierten Kurve, die dann die StabilitStabilitäätskarte darstellt.tskarte darstellt.

r cr( , )z n f k b→

Vorgehensweise II

07.12.2008S.44

stabil

cb g r

10 (3)

2 Min Re ( 2 )b b

k G j fπ< < = −

Grundsätzlich stabiler Bereich

absolut stabilerDrehzahlbereich

in-stabil

stabil

Stabili-tätsrand

Leistungsgrenze

frk = 1k =2

übliche Drehoperationen k > 5übliche Fräsoperationen k < 5

k =4k =5

Drehzahl • Schneidenzahl ; n z / min-1

07.12.2008S.45

Im ( )G jg ω

Re ( )G jg ω

(µm/N)

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

6001200

3300f / Hz

07.12.2008S.46

stabil 2

Min Re ( 2 44 ) 0,03µm/N

19,26 mm

2 1800 N/mm ( 0,03µm/N)

G j Hz

π = −

⇒ < = − =⋅ ⋅ −

07.12.2008S.47

Die drehzahlDie drehzahl-- und schneidenzahlabhund schneidenzahlabhäängige Totzeit ngige Totzeit Tt

ist fist füür den Regenerativeffekt charakteristisch. Die r den Regenerativeffekt charakteristisch. Die Totzeit ist die Zeit, die zwischen dem Aufschneiden Totzeit ist die Zeit, die zwischen dem Aufschneiden

einer Oberfleiner Oberfläächenwelle und dem erneuten chenwelle und dem erneuten Einschneiden in diese Welle vergeht.Einschneiden in diese Welle vergeht.

07.12.2008S.48

Schnitt (i)

Schnitt (i+1)

Überdeckungµ

Überdeckungsfaktor

Der Der ÜÜberdeckungsfaktor gibt den Grad der berdeckungsfaktor gibt den Grad der ÜÜberdeckung zweier aufeinander folgender berdeckung zweier aufeinander folgender

Schnitte an.Schnitte an.

07.12.2008S.49

Im ( )G jg ω

Re ( )G jg ω

(µm/N)

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

6001200

3300f / Hz

Gerichteter Frequenzgang I

Ist dies die Ortskurve einerWerkzeugmaschine?

Wenn nicht,warum nicht?

07.12.2008S.50

Re ( )G j0 ω

Im ( )G j0 ω

6001200

27003000

3300f / Hz

( m/N)µ

( m/N)µ 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Gerichteter Frequenzgang II

endlicheSystem-steifigkeit

Eigen-resonanzen

ImGg(jω)

ReGg(jω)

07.12.2008S.51

Wesentlich für den regenerativen Rattereffekt sind die stochastischen Schwankungen der Schnittkräfte, die relativ breitbandig den Prozess anregen und somit Modulationen

auf der Werkstückoberfläche hinterlassen. Diese Modulationen sind aufgrund der Eigenresonanzen der

Werkzeugmaschine besonders für diese Resonanzfrequenzen ausgeprägt, so dass beim

wiederholten Einschneiden in die Oberflächenwelle eine dynamische Anregung mit gerade diesen

Resonanzfrequenzen erfolgt, weshalb auch im unterkritischen Betrieb wellige Strukturen auf den

Werkstückoberflächen entstehen können.

Ratterschwingungen I

07.12.2008S.52

An der Stabilitätsgrenze liegt ein schwach gedämpftes System vor, so dass die breitbandigen stochastischen

Schnittkraftschwankungen das System zu schwach gedämpften Schwingungen anregen.

Sind die Rattermarken zu groß, so führt eine Entfernung hin in den Stabilitätsbereich zu einer stärkeren Dämpfung des

Systems und damit zu schwächeren Rattermarken.

Dies kann je nach Betriebspunkt entweder durch eine Drehzahlvariation oder Verringerung der Spanbreite bewirkt

werden.

Ratterschwingungen II

07.12.2008S.53

HerleitungHerleitung

07.12.2008S.54

( ) 1 0

1 a) exponentiell abklingende Schwingung

Re ( ) 1 ) stabile Schwingung

1 ) exponentiell aufbauende Schwingung

Im ( ) 0 (4)

<⇒ = =>

SchwingungsSchwingungs-- oder Oszillatorbedingungoder Oszillatorbedingung(kein Stabilit(kein Stabilitäätskriterium)tskriterium)

Oszillator

07.12.2008S.55

r0 cb g( ) ( ) 1sT

s jG s b k G s e

ωµ −

== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

r tr t r tcos( ) sin( )j Te T j Tω ω ω− = −

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 rcb r t r t

0 r cb g r g r r t r t

0 r cb g r r t g r r t

0 r cb

( )cos( ) 1 sin( )

( ) Re ( ) Im ( ) cos( ) 1 sin( )

Re ( ) Re ( ) cos( ) 1 Im ( ) sin( )

Im ( ) Re

G jb k T j T

G j b k G j j G j T j T

a jb c jd ac bd j ad bc

G j b k G j T G j T

G j b k

ω ω ωω

ω ω ω ω ω

= ⋅ ⋅ − −

⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ − −

+ ⋅ + = − + +

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅

= ⋅ ⋅ − ( )( )g r t g r r t( ) sin( ) Im ( ) cos( ) 1rG j T G j Tω ω ω ω⋅ + ⋅ −

FFüür r µ = 1

Schwingungsanalyse 1

07.12.2008S.56

Existiert eine harmonische Schwingung der Frequenz fr nach Fall a) bis c), so verschwindet der Imaginärteil der Übertragungsfunktion der offenen Regelschleife, so dass man die notwendige Bedingung

g r r t g r r t

g r r t

r tg r

Im ( ) cos( ) 1 Re ( ) sin( )

Im ( ) sin( )

cos( ) 1Re ( )

G j T G j T

ω ω ω ω

ω ωωω

⋅ − = ⋅

⇒ =−

erhält.

07.12.2008S.57

tan /cos

sinα α

1b g = −

g rr t

Re ( )tan arctan ( ) arctan ( )

2 Im ( )

Re ( )arctan , 0,1,2,

2 Im ( )

G jTx x

G jTk k

ωωω

ωω πω

⋅ = − ∠ − = − ∠

⋅ ± ⋅ = − ∠ ∈

07.12.2008S.58

Die Totzeit beschreibt die Zeitspanne zwischen dem Aufschneiden einer Oberflächenwelle und dem erneuten einschneiden in diese Welle:

1 1 1, mit

60 / minnn

T f nz f s

= ⋅ = ⋅

60 / min0

Re ( )1arctan

Im ( )

z G jk

ωπ ω

= − ⋅ ≥ ⋅ ∠ ±

07.12.2008S.59

Die Gleichung gibt für die Frequenz fr eine Reihe von diskreten Maschinendrehzahlen an, bei denen die Maschine mit der Frequenz fr rattert, sofern das Realteilkriterium nicht

erfüllt ist. Hierbei kommen nur positive Lösungen der Drehzahl in betracht, weil eine Drehrichtungsänderung bei

einem spanbildenden Prozess physikalisch keinen Sinn hat.

07.12.2008S.60

Das Realteilkriterium der Schwingbedingung lehrt, dass in der Praxis „Stabilität“ vorliegt, wenn

0 rRe ( ) 1G jω <

Aus dem Imaginärteilkriterium erhält man:

r tg r g r

sin( )Im ( ) Re ( )

cos( ) 1

TG j G j

ωω ωω

= ⋅−

07.12.2008S.61

( ) ( ) ( )

0 r cb g r r t g r r t

cb g r r t g rt

cb g r r tr t

Re ( ) Re ( ) cos( ) 1 Im ( ) sin( )

sin ( )Re ( ) cos( ) 1 Re ( )

cos( ) 1

sin ( )Re ( ) cos( ) 1

cos( ) 1

G j k b G j T G j T

Tk b G j T G j

Tk b G j T

ω ω ω ω ω

ωω ω ωω

ωω ωω

= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅ − + −

2 2 2 2

sin cos (cos 1) sin cos sin coscos 1 1 1

cos 1 cos 1 cos 1

trigonometrischer Phytagoras: cos sin 1

1 cos1 2

x x x x x x xx

− + + −+ − = − = −− − −

+ =−

⇒ = − = −−

07.12.2008S.62

0 r cb g rRe ( ) 2 Re ( ) 1G j k b G jω ω= − ⋅ ⋅ ⋅ <⇒

Der freie Parameter ist hierbei die Spanbreite b

für 0

a ba b

k a k b k

∈> ⇒ <

⇒ ⋅ > ⋅ >⇒ ⋅ < ⋅ <

cb g r

1für Re ( ) 0

2 Re ( )

1für Re ( ) 0

2 Re ( )

b k G jk G j

> − ⋅ >⋅ ⋅

< − ⋅ <⋅ ⋅

07.12.2008S.63

Die Spanungsbreite b muss aus physikalischen Gründen einen positiven Wert ergeben und die gerichtete dynamische

Schnittsteifigkeit kcb des Prozesses ist stets positiv.

Infolgedessen gilt es nur die Ungleichung für einen negativen Realteil der Ortskurve Gg(.) zu untersuchen, da die

Ungleichung für positive Werte des Realteils der Ortskurve als untere Schranke einen negativen Zahlenwert angibt und damit jede physikalisch mögliche positive Spanbreite die

Stabilitätsbedingung erfüllt.

07.12.2008S.64

Für einen stabilen Zerspanungsprozess muss also gelten, dass die Spanbreite der Ungleichung

cb g r

10 für Re ( ) 0

2 Re ( )b G j

k G jω

ω≤ < − <

⋅ ⋅

genügt.

07.12.2008S.65

Ist die Stabilität im gesamten Drehzahlbereich gefordert, so muss die stets positive Spanbreite die Bedingung

cr g r

cb g r

Min 1/ 1/ Max1Min für Re ( ) 0

2 Re ( ) Min Max

x xb G j

k G j x xω

= < − < ⋅ ⋅ − = −

cr g r

cb g r

10 für Re ( ) 0

2 Min Re ( )b G j

k G jω

ω≤ < − <

⋅ ⋅

erfüllen.

07.12.2008S.66

SchaublinSchaublin

StickStick--SlipSlip

07.12.2008S.67

Modell Stick-Slip

SchaublinSchaublin

07.12.2008S.68

HaftreibungFestkörperreibung

Mischreibung Flüssigkeitsreibung

Gleitführungen von Dreh-und Fräsmaschinen

hydrodynamische Radial- undAxiallager, Gleitführung von Hobelmaschinen und Pressen-stößeln

Gleitgeschwindigkeit v

Übertragungsgeschwindigkeit vüca. 10mmin

Stribeck - Kurve

07.12.2008S.69

I wirklicher Verlauf

II linearisierter Verlauf

III Sprungverlauf

IV konstanter Verlauf

Reibungmodelle

µ v( )rel

Modelle der Stribeck - Kurve

07.12.2008S.70

Gleitgeschwindigkeit

2 charakteristische Abschnitteder Stribeck-Kurve

Abschnittweise linearisierte Stribeck - Kurve

fallende Ffallende F--VV--CharakteristikCharakteristik

steigendesteigendeFF--VV--CharakteristikCharakteristik

07.12.2008S.71

( ) 0m q m g q c qµ− + =## #

0 0 relfür 0vµ µ µ− ≤ ≤ =

0rel rel

sign( ) für 01

vv v v

µ µµ µα

−= + ≠ +

I. nichtlinearer Verlauf

II. linearisierter Verlauf( )0 rel relsign( ) für 0v v vµ µ α µ= − ≠

III. Sprungverlauf

rel relsign( ) für 0v v vµ µ= ≠

IV. konstanter Verlauf

0 rel relsign( ) für 0v vµ µ= ≠

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

Bewegungsgleichung und Dämpfungsmodelle

I wirklicher Verlauf

II linearisierter Verlauf

III Sprungverlauf

IV konstanter Verlauf

Reibungmodelle

µ v( )rel

07.12.2008S.72

Berechnung der DGL. fBerechnung der DGL. füür Verlauf IV r Verlauf IV (µ = const.)

0 vµ µ= 0 für 0relm q c q m g vµ+ = > →gleiten##

0 für 0relc q m g vµ< = haften

0 für 0relm q c q m g vµ+ = − < ←gleiten##

mΩ = 0

1 2: ( ) cos sin für 0a rel

m gq q t A t A t v

µΩ Ω= + + >

01 2: ( ) cos sin für 0c rel

m gq q t A t A t v

µΩ Ω= + − <

Bewegungsverhalten bei konstanter Reibung 1

07.12.2008S.73

Zum Zeitpunkt Zum Zeitpunkt t = 0 soll die Relativgeschwindigkeit null soll die Relativgeschwindigkeit null (vrel = 0) und die Federkraft gerade so ground die Federkraft gerade so großß sein, wie die sein, wie die Reibkraft Reibkraft (Masse beginnt zu gleiten)..

Aus diesen Anfangsbedingungen ergeben sich die Aus diesen Anfangsbedingungen ergeben sich die Parameter Parameter A1 und und A2..

Federkraft = ReibungskraftFederkraft = Reibungskraft 0 1(0) 0q c m g Aµ⇒ = ± ⇒ =

q v AΩ

= ⇒ =#

07.12.2008S.74

Zum Zeitpunkt Zum Zeitpunkt t = 0 gilt somit die Bewegungsgleichung:gilt somit die Bewegungsgleichung:

0( ) sinm gv

q t tc

µΩΩ

07.12.2008S.75

Phasendiagramm eines Reibschwingers mit konstanter Reibung

07.12.2008S.76

Phasendiagramm eines Reibschwingers mit linearisiertem Reibungsverlauf

07.12.2008S.77

Vorschubgeschwindigkeit

Reibkraft

Federkraft

Führung

( ) cos für 0( )

( )cos für 0

cq t v tmg

µ µ Ω µ

− − >− ⋅ = − + <

Stick-Slip

SchaublinSchaublin

07.12.2008S.78

SchaublinSchaublin

Schlittenbewegung

Stick-Slip

haften

gleiten

Soll-Ist-Bewegung

Vorschubgeschwindigkeit

Reibkraft

Federkraft

Führung

07.12.2008S.79

Der Schlitten wird mit der Geschwindigkeit v angetrieben. Zunächst wird er in Ruhe bleiben, bis die Federkraft c q die Reibkraft µ0 m g überschreitet. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schlitten beginnen, sich in positive q(t)-Richtung zu bewegen. Diese Bewegung kann durch folgende DGL beschrieben werden:

( ) 0m q R c v t q+ − − =## mit c := FederzahlR := Reibkraft

Stick-Slip-Bewegung 1

07.12.2008S.80

Anfangsbedingungen für t = 0 (Federkraft = Reibkraft); :0q =#

( ) 00( )

tc v t q t m gµ

=− =

(0) 0q =#

Bewegungsgleichung bis :2tΩ π=

( )0rel( ) cos sin für 0v v

m g m gvq t v t t t v

µ µ µΩ ΩΩ

−= + − − >

07.12.2008S.81

Nachdem sich der Schlitten nach obiger DGL begonnen hat zu bewegen, dreht sich seine Bewegungsrichtung nach π/2um und die Reibkraft wirkt in entgegengesetzter Richtung.

Eine neue DGL mit neuen Anfangsbedingungen (Endwerte aus der vorherigen DGL) beschreibt für einen weiteren Abschnitt die Bewegung.

Ist dem System soviel Energie infolge der Reibung entzogen, dass die Reibkraft größer als die Federkraft wird, so bleibt der Schlitten stehen. Die Federkraft baut sich von neuem auf, bis sie so groß wird, dass der Schlitten wieder "losreißt".

Er führt damit nichtlineare Bewegungen um die Vorschub-gerade v t aus.

07.12.2008S.82

1.1. Reibwertdifferenz µ0 - µv möglichst klein halten.

2.2. Haftreibung und Gleitreibung durch geeignete Mittel (Schmiermittel, Beschichtung der Führungen) verringern.

3.3. Masse m möglichst klein halten

4.4. Steifigkeit c der Elemente des Vorschubantriebesmöglichst groß gestalten.

Einflussgrößen Stick-Slip I

07.12.2008S.83

HaftreibungFestkörperreibung

Mischreibung Flüssigkeitsreibung

Gleitführungen von Dreh-und Fräsmaschinen

hydrodynamische Radial- undAxiallager, Gleitführung von Hobelmaschinen und Pressen-stößeln

Gleitgeschwindigkeit v

Übertragungsgeschwindigkeit vüca. 10mmin

Relativgeschwindigkeit so wählen,dass v > vü ist.

Einflussgrößen Stick-Slip II

07.12.2008S.84

Allgemeiner Ansatz mit abschnittsweise linearisierter Allgemeiner Ansatz mit abschnittsweise linearisierter ReibungsfunktionReibungsfunktion

( ) 0vz zm q m g q c c qµµ− + + =## # 1[ , [i it t′ ′−

Endwerte des Zustandes i-1 sind zugleich Anfangs-werte des Folgezustandes i. Eine Zustandsänderung ergibt sich immer dann, wenn man den Definitionsbereich der abschnittsweise erklärten Geradengleichungen verläßt. Infolgedessen sind die Zeitpunkte aus den Lösungen für beginnend mit dem 0-ten Zustand (Einschaltzustand des Systems) zu berechnen.

( )iq t ′

1[ , [v z zD v v−≡vz zv cµµ +

1,2,.....it i′ ∈( )q t ′ 1[ , [i it t′ ′

Abschnittsweise linearisierte Reibungsfunktion 1

07.12.2008S.85

1( ) 0 für [0, [vz z i im q m g q c c q t t tµµ ′ ′−− + + = ∈ −## #

Im Laplace-Raum ergibt sich unter Anwendung des Differentiationssatzes die Gleichung:

2 ( ) (0 ) (0 ) ( ) (0 ) ( ) ivi

mgcm s Q s s q q m g s Q s q cQ s

sµµ− − −− − − − + =#

(0 ) ( )

′− −

Bewegungsgleichung

07.12.2008S.86

1( ) (0 ) (0 ) (0 )

g cmQ s s q q g q

m gmc ss s

µ µ µ− − −

⇒ = + + −

KoeffizientenvergleichKoeffizientenvergleich

2 viT gϑ µ=0

ÜÜbertragungsfunktionbertragungsfunktion

G sm gm

s sc c

µ=+ +

2 20 0

2 1T s T sϑ=

normierte Form

07.12.2008S.87

ZeitbereichZeitbereich

1,2 01 2

( ) , 1p t p tg t e e pp p

ω ω ϑ ϑ= − = − ± −−

FFüür diese Gleichung lassen sich fr diese Gleichung lassen sich füünf Fnf Fäälle unterscheiden.lle unterscheiden.

2 viT gϑ µ=Die fallende F-V-Charakteristik führt zu einer

negativen Dämpfung bzw. Verstärkung, weshalb diese Systeme verstärkt zu Schwingungen neigen.

07.12.2008S.88

• ungedämpfte Schwingung

0 00 ( ) sin( )g t tϑ ω ω= ⇒ =

• abklingende Schwingung

0 2002

0 1 ( ) sin( 1 )1

tg t e tω ϑωϑ ω ϑϑ

−< < ⇒ = −−

• aufbauende Schwingung

0 2002

1 0 ( ) sin( 1 )1

− < < ⇒ = −−

• aperiodischer Grenzfall (ab- und aufbauendes Verhalten)

0201 ( ) tg t t e ω ϑϑ ω −= ⇒ =

• e-funktionelles Verhalten (ab- und aufbauendes Verhalten)

1,2 01 2

1 ( ) , 1p t p tg t e e pp p

ωϑ ω ϑ ϑ> ⇒ = − = − ± −−

07.12.2008S.89

0 00 ( ) sin( )g t tϑ ω ω= ⇒ =

Ungedämpfte Schwingung

S w0 u w0.,( )

10 π.0 u0 5 10 15 20 25 30

t / T0

h(t) /ω00ϑ =

07.12.2008S.90

Abklingende Schwingung

0 2002

0 1 ( ) sin( 1 )1

−< < ⇒ = −−

SD w0 D, u w0.,( )

10 π.0 u0 5 10 15 20 25 30

h(t) /ω0

t / T0

0,05ϑ =

07.12.2008S.91

0 2002

1 0 ( ) sin( 1 )1

− < < ⇒ = −−

Aufbauende Schwingung

3.816355

4.466506

ST w0 D, u w0.,( )

10 π.0 u0 5 10 15 20 25 30

t / T0

0,05ϑ = −h(t) /ω0

07.12.2008S.92

Aperiodischer Grenzfall

0.367879

SAG w0 1.0, u w0.,( )

2 π.0 u0 1 2 3 4 5 6

t / T0

1ϑ =h(t) /ω02

0201 ( ) tg t t e ω ϑϑ ω −= ⇒ =

07.12.2008S.93

e-funktionelles Verhalten

1,2 01 2

1 ( ) , 1p t p tg t e e pp p

ωϑ ω ϑ ϑ> ⇒ = − = − ± −−

0.274933

SE w0 1.5, u w0.,( )

2 π.0 u0 1 2 3 4 5 6

t / T0

1,5ϑ =h(t) /ω02

07.12.2008S.94

Lagekoppelung

07.12.2008S.95

Lagekoppelung I

ElliptischeElliptischeBewegungBewegung

07.12.2008S.96

Lagekoppelung II

07.12.2008S.97

G jg( )ω+

∆x x = dxdFFSt

Maschinenmodell

+ µTtkcbb-

Schnittprozess

Lagekoppelung Blockschaltbild

ÜÜberber--deckungsdeckungs--

faktorfaktor

TotTot--zeitzeit

KienzleKienzleMaterialMaterial--

parameterparameter

SpanSpan--breitebreite

Empirisches Maschinenmodell

µ = 0

07.12.2008S.98

Eigenfrequenzen in den Bewegungsfreiheitsgraden liegennahe beieinander, so dass Koppelungen möglich sind.

Selbsterregte Schwingungen.

Es existieren maximal 6 Bewegungsfreiheitsgrade.3 der Translation und 3 der Rotation, die durch Kraft- bzw.Momentenkomponenten angeregt werden.

Lagekoppelung III

Es können die Analysen und Stabilitätskriterien des regenerativen Rattereffekts herangezogen werden(µ = 0 Tt = 0).

07.12.2008S.99

Aufbauschneidenbildung

Durch „Materialaufbackungen“ an der Span- oder Freifläche ändert sich die Schneidgeometrie hin zu kleinen Schneidwinkeln. Dies hat eine sinkende Schneidkraft mir entsprechender negativer Dämpfung zur Folge.

Dies kann zu einem Schwingungsaufbau führen(siehe vorher).

Bei den heute vorliegenden relativ hohen Schnitt-geschwindigkeiten üblicherweise nicht relevant.

07.12.2008S.100

MaschinendynamikMaschinendynamik

SchaublinSchaublin

07.12.2008S.101

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2

3 3 2 2 3 2 2 3 3

0 0 0 0

m z d d z c c z F

m z d d d d z c c c c z F

m z d d z c c z F

− − + − + − + − + − = − −

## ### ### #

Gekoppelte Massen mit einem Freiheitsgrad I

Maschinen-fundament

Maschinen-gestell

Werkzeug-Werkstück

07.12.2008S.102

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2

3 3 2 2 3 2 2 3 3

0 0 0 0

m z d d z c c z F

m z d d d d z c c c c z F

m z d d z c c z F

− − + − + − + − + − = − −

## ### ### #

1Existenz von −+ + =M y D y K y f M## #

1 1 1− − −⇒ + + =y M D y M K y M f## #

Zustandsmodell I

07.12.2008S.103

1 1 1− − −= − − +y M D y M K y M f## #

Neue ZustNeue Zustäände nde y# ⇒ = + zz A z f#

1 1 1− − −

= + − −

y 0 E y 0

y M K M D y M f

Die Dimension der Systemmatrix A ist von der Ordnung 2f x 2f. Hierbei definiert f die Freiheitsgrade des Systems. Die Matrix ist im Allgemeinen weder symmetrisch noch hat sie eine Bandstruktur.

Zustandsmodell II

07.12.2008S.104

Integration des Zustandsmodells I

d t= + z

zA z f

d d dt t⇒ = + zz A z f

d d dt t t

t t= +∫ ∫ ∫z

z A z f

0( ) d dt t

t t t= + +∫ ∫ zz A z f z

07.12.2008S.105

Numerische Integration des Zustandsmodells I

TaylorTaylor--Reihenentwicklung:Reihenentwicklung:

( )1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )i i i i i i i i it t t t t t t t t− − − − − −= + + − +zz z A z f R

Anfangsbedingung:Anfangsbedingung: 0 0( )t ≡z z

( )1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i it t t t t t t− − − − −= + + −zz z A z f

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( , )i i i i i i it t t t t t t− − − −= + − +z z z R#

07.12.2008S.106

Dabei sind die Zeitdifferenzen so zu wählen, dass die Restglieder hinreichend klein ausfallen. Eine Verbesserung dieser numerischen Integration lässt sich mit den Runge-Kutta-Verfahren verwirklichen. Hierbei wird das Zeitintervall in mehrere Intervalle zerlegt, um eine verbessertePrädiktion des Folgezustands zu erwirken. Für weitere Einzelheiten zu den Runge-Kutta-Verfahren und der Schrittweitensteuerung der numerischen Integration sei auf die einschlägige Literatur verwiesen.

1i it t −−1( , )i it t −R

Numerische Integration des Zustandsmodells II

07.12.2008S.107

Zeitinvariante Systeme/Matrizen

und verschwindende Anfangsbedingungen

+ + =M y D y K y f## #

2 ( ) ( ) ( ) ( )s s s s s s⇒ + + =M Y D Y K Y F

( )( )

s s⇒ =

YM D K

Laplace-Transformierte des Zustandsmodells

Eigenwerte bzw.Pole charakterisierendas dynamischeVerhalten des Systems

07.12.2008S.108

SchwingungenSchwingungenanan

spanendenspanendenWZMWZM

07.12.2008S.109

07.12.2008S.110

2- 3415 - 6IFW, Tönshoff

dynamischesVerhaltender WZM

Schwingung

selbsterregte Schwingung

fremderregte SchwingungSchwingung

Störungen

Anregungen dynamischesVerhaltender WZM

Zerspanungs-prozeß

Schwingungen an Werkzeugmaschinen

07.12.2008S.111

07.12.2008S.112

2 - 0141 - 4

treibend

Eingriffstörung an belasteten Zahnrädern

07.12.2008S.113

dW/2 cosα

Drehzahl und Geschwindigkeit am Schrägkugellager

07.12.2008S.114

W A K Av v Rω= −

( )A A W cosv f T dπ α= +

I AK 2

( )I I W cosv f T dπ α= +

cos cos1 1

f fv T

T d T d

α απ

= − + −

Umfanggeschwindigkeitdes Wälzkörpers

Lage des Berührungspunktam Außenring

Umfanggeschwindigkeitim Berührungspunkt

Käfiggeschwindigkeit

erhält man

Allgemeines Rillenkugellager I (Außen- und Innenring drehen sich)

07.12.2008S.115

cos cos1 1

T d T d

α α = − + −

f fTv d

απ −= −

f fTf d

απ −= −

W W Wf d fπ=

Damit erhält man die Käfigdrehfrequenz:

Man erhält ferner:

Mit erhält man weiter:

Allgemeines Rillenkugellager II (Außen- und Innenring drehen sich)

07.12.2008S.116

df f z

f fd d

= − −

: Drehfrequenz Spindel

: Zahl der Wälzkörper

A : Aussenring

I : Innenring

W : Walzkörper

K : Käfig

======

Außenring

Innenring

Wälzkörper

Rillenkugellager mit feststehendem Außenring (Spezialfall)

07.12.2008S.117

07.12.2008S.118

07.12.2008S.119

07.12.2008S.120

07.12.2008S.121

2- 0146 - 6

diskret wirkendbreitbandig wirkend

- Squeeze - Film Dämpfer

- Lanchester Dämpfer

- Impakt - Dämpfer

- Tilger

- Hilfsmassedämpfer

- dämpfende Stoffe

- belegtes Blech

- Schichtblech und Reibleiste

- Verbundbleche

- Vielschichtblech

Absorber

Einteilung passiver Absorber

07.12.2008S.122

2 - 0147 - 6

KD KKK

d dc c

Impakt-Dämpfer

LanchesterDämpfer

Tilger Hilfsmasse-dämpfer

M M M M

Einteilung von Dämpfern

07.12.2008S.123

2 - 0148 - 4

Frässpindel

Stützarm

Gummielement

Hilfsmasse

0100 120 140 160 180 200S

Frequenz Hz

ohne Hilfsmasse

mit Hilfsmasse

Hilfsmassendämpfer am Stützarm einer Waagerecht-Konsolfräsmashine

07.12.2008S.124

07.12.2008S.125

07.12.2008S.126

07.12.2008S.127

2 - 0152 - 4

0 30 60 90 120 150 180 210 240 m/min 300

räfte

Schnittgeschwindigkeit v

Schnittkraft Fs

Vorschubkraft Fv

Werkstoff : Ck 45 NSchneidstoff : HM P 10Spannungsquerschnitt :a x s = 2 x 0,25 mm2

Schneidkeilgeometrie (im Grad)

Schnittkraftkomponenten als Funktion der Schnittgeschwindigkeit

07.12.2008S.128

2 - 0153 - 0

Rattern durch fallende Schnittkraftcharakteristik

TUHHPROF.DR.-ING. K.RALL

Schnittgeschwindigkeit v

07.12.2008S.129

2 - 0154 - 0

Kraftverlauf bei fallender Schnittcharakteristik

TUHHPROF.DR.-ING. K.RALL

- xoberer

Umkehrpunkt

0 + xunterer

Umkehrpunkt

07.12.2008S.130

07.12.2008S.131

2 - 0161 - 4

Schwingungen hören auf

Maschine im Leerlauf fahren

Zerspannungsversuch durchführen

- Frequenz der Schwingungen bestimmen- Messereingriffsfrequenz bzw. Frequenz der Schnittunter- brechung bestimmen

Drehzahl ändern

-- frequenz ändert sich nicht oder nur gering- fügig bei Drehzahl- wechsel

( )f f fz

f f = z

selbsterregteSchwingungen

Maschine schwingt weiter

starke Schwingungen in der Maschine

Durch Maschinenteile verursachte Schwing-

ungen (Unwuchten usw.)

Durch äußere Kräfteverursachte Schwing-

ungen (über Fundament)

Fremderregung durchMessereingriff bzw.

unterbrochenen Schnitt

Maschine abschalten

Bestimmung der Schwingungsursache

07.12.2008S.132

07.12.2008S.133

Schwingungen - TUHH – Startseite · Mechanischer Schwinger mit einem Freiheitsgrad. 07.12.2008...

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