Seminar über Algorithmen

Sokoban ist PSPACE-vollständig

Inhalt

Einführung in Sokoban Vorstellen des Sokoban-Problems Das Sokoban-Problem ist PSPACE-

vollständig, via– Sokoban-Problem liegt in PSPACE– Sokoban-Problem ist PSPACE-schwer

Sokoban

Das Spielfeld besteht aus: Pusher

Sokoban

Das Spielfeld besteht aus: Pusher Kisten

Sokoban

Das Spielfeld besteht aus: Pusher Kisten Kistenzielfeldern

Sokoban

Das Spielfeld besteht aus: Pusher Kisten Kistenzielfeldern Feldern

Sokoban

Das Spielfeld besteht aus: Pusher Kisten Kistenzielfeldern Feldern Wänden

Mögliche Pusher-Bewegungen

Mögliche Pusher-Bewegungen

Nach oben

Mögliche Pusher-Bewegungen

Nach oben Nach unten

Mögliche Pusher-Bewegungen

Nach oben Nach unten Nach links

Mögliche Pusher-Bewegungen

Nach oben Nach unten Nach links Nach rechts

Pushen

Genau eine Kiste kann in Bewegungs-richtung verschoben werden

Pushen

Genau eine Kiste kann in Bewegungs-richtung verschoben werden

Das neue Feld der Kiste muß frei sein

Ziel des Spiels

Jede Kiste muß auf ein Kistenzielfeld gebracht werden

Ziel des Spiels

Jede Kiste muß auf ein Kistenzielfeld gebracht werden

Sokoban-Problem

Ist eine Konfiguration lösbar? Ja, da eine Folge von Pusher-Bewegungen

existiert, die zu einer Lösung führt. Nein, da ein Argument für die Unlösbarkeit

existiert.

Beispielargument für einen unlösbaren Fall

Die Kiste kann nicht mehr bewegt werden und steht auf keinem Zielfeld

Beispielargument für einen unlösbaren Fall

Die Kiste kann bewegt werden, aber nicht mehr auf ein Zielfeld

Beispielargument für einen unlösbaren Fall

Beide Kiste können nicht mehr bewegt werden. Die linke ist auf keinem Zielfeld

Sokoban liegt in NSPACE(n)

Nicht-deterministische Turing-Maschine rät Zug um Zug

Es gibt keine Lösung falls nach Schritten keine Lösung gefunden ist

Benötigt linearen Platzbedarf für die Konfiguration

k

nkn *)(

Sokoban liegt in PSPACE

Savitch´s theorem:

Daraus folgt:

Also: Sokoban liegt in PSPACE

))(())((

:gilt )(mit :Funktion jedeFür 2 nfSPACEnfNSPACE

nnfNNf

PSPACEnSPACEnNSPACE )()( 2

Sokoban ist PSPACE-schwer

Reduktion vom Entscheidungsproblem für Turing-Maschinen mit linear beschränktem Band

Reduktion

Turing-Maschine mit Wort → Sokoban Rätsel

Turing-Maschine akzeptiert Wort

Sokoban-Rätsel ist lösbar

Einbahnstraße

Einbahnstraße

Der Weg von A nach B

Einbahnstraße

Der Weg von A nach B Das Bauteil ist

wieder im Ausgangszustand

Kiste ist auf Zielfeld

Einbahnstraße

Felder, an denen die Kiste nie stehen darf

Kiste ist im Bauteil gefangen und keine andere kommt zum Zielfeld

Einbahnstraße

Kein Weg führt von B nach A in einer Lösung

Einbahnstraße

Kein Weg führt von B nach A in einer Lösung

Einbahnstraße

Kein Weg führt von B nach A in einer Lösung

Heimkehrer

Heimkehrer

Felder, an denen keine Kisten stehen dürfen– Rosa ist durch die

jeweils andere Kiste blockiert

Keine Kiste kann hinein bzw. heraus

Heimkehrer

Die Blockierung des rosanen Feldes ist durch die Verschiebung aufgehoben

Heimkehrer

Pusher am Ziel B Kisten sind nicht

auf Zielfeldern

Heimkehrer

Heimkehrer

Das Bauteil ist wieder im Ausgangszustand

Kisten befinden sich auf den Zielfeldern

Durchlauf-Zurücksetzer

Durchlauf-Zurücksetzer

Zugang zum Mittelteil über– Eingang A ist

blockiert

Durchlauf-Zurücksetzer

Zugang zum Mittelteil über– Eingang A ist

blockiert– B ist Ausgang

Durchlauf-Zurücksetzer

Zugang über Heimkehrer

Durchlauf-Zurücksetzer

Verlassen über B nicht möglich– Heimkehrer

enthält offene Kisten

– Alle Zugänge zum Mittelteil blockiert

Durchlauf-Zurücksetzer

Öffnen der Blockierung

von A

Durchlauf-Zurücksetzer

Verlassen des Mittelteils nur durch R

Durchlauf-Zurücksetzer

Eingang A nicht mehr blockiert

Durchlauf-Zurücksetzer

Durchlauf-Zurücksetzer

Durchlauf-Zurücksetzer

Jede Kiste ist auf Zielfeld

Das Bauteil ist wieder im Ausgangs-zustand

Überführung

Pfade existieren nur von:

– A zu A´ bzw. A´ zu A– B zu B´ bzw. B´ zu B

Alle Kisten sind initial und nach Durchlauf auf Zielfeldern

Kreuzung

Verbindung von Pfaden

Zelleinheit

Repräsentiert eine Zelle des Turing-Maschinen-Bands

Beinhaltet das Steuerwerk der Turing-Maschine

Endlicher Automat

Heimkehrer beim Bandsymbol

Heimkehrer

Nur der Rückweg des gelesen Buchstabens ist offen

Simulation

Simulation

Probleme:

1. Die Turing-Maschine akzeptiert bevor alle Zelleinheiten gelesen sind.

2. Die Turing-Maschine liest jeden Buchstaben, akzeptiert aber nicht.

Simulation

Die entscheidende Kiste

Reduktionskosten

Konstruktion einer Zelleinheit– pro Bandbuchstabe und Zustand werden konstant viele

Bauteile (ohne Überführungen) benötigt– Es gibt maximal Überführungen

Die Zelleinheit läßt sich in Zeit konstruieren

n Kopien werden modifziert und verbunden, in O(n) Zeit

Reduktion ist polynomiell

))*(( 2zbO

)( 2nO

Quellen

Joseph C. Culberson: Sokoban is PSPACE-complete

Dorit Dor und Uri Zwick: Sokoban and other motion planning problems

Sokoban für Windows http://sourceforge.net/projects/sokobanyasc/

Sokoban Seite der University of Alberta http://www.cs.ualberta.ca/~games/Sokoban/

Exponentielle Lösung