Sportwissenschaftliche Sportwissenschaftliche ForschungsmethodenForschungsmethoden

SS 2008SS 2008

4. Statistischer Test4. Statistischer Test

StatistikStatistik ProgrammProgramm

Deskriptive Statistik Lokationsmaße Streuungsmaße

Verteilungen Normalverteilung Z-Transformation

Statistischer Test Theorie: Drei Schritte Praxis: Ausreißertest

Deskriptive StatistikLokationsmaße

StatistikStatistik Lokationsmaße Lokationsmaße

1. Modalwerthäufigster Wert einer Stichprobe/GG

StatistikStatistik Lokationsmaße Lokationsmaße

2. Arithmetisches Mittel (Mittelwert)

n

iixn

x1

1

StatistikStatistik Lokationsmaße Lokationsmaße

3. MedianWert, der Verteilung in zwei gleich große Hälften teilt Stichprobengröße ungerade:

2 3 4 6 7 8 9 Stichprobengröße gerade:

2 3 4 5 6 7 8 9 : Median = 5,5 Vorteile gegenüber „Mittelwert“:

• bei asymmetrischen Verteilungen• bei Ausreißern, Extremwerten• „Mediansplit“

Deskriptive StatistikStreuungsmaße

StatistikStatistik StreuungsmaßeStreuungsmaße

Spannweite: Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert der Stichprobe

xmax-xmin

StatistikStatistik StreuungsmaßeStreuungsmaße

Varianz:Mittlere quadratische Abweichung der Stichprobenwerte vom Mittelwert

2

1

2 )(1

1xx

ns

n

ii

StatistikStatistik StreuungsmaßeStreuungsmaße

Standardabweichung (Streuung):Wurzel aus der Varianz

2/1

2

1

2 )(1

1

xxn

ssn

ii

StatistikStatistik StreuungsmaßeStreuungsmaße

Variationskoeffizient:Prozentualer Anteil der Streuung am Mittelwert

x

sV 100

Verteilungen

StatistikStatistik

Tore in der 2. Bundesliga des FC Augsburg (2007/08)

0

1

2

3

4

5

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34SpielNr.

Tore

Diskrete VerteilungenDiskrete Verteilungen

StatistikStatistik

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5

Tore

Verteilungsfunktion: Tore von Augsburg

Spiele

Diskrete VerteilungDiskrete Verteilung

StatistikStatistik

100m-Bestleistung von Studenten

0

2

4

6

8

10

11 11,4 11,8 12,2 12,6 13 13,4 13,8 14,2 14,6 15

100m-Zeit [sec.]

abs. H

äufigk

eit

„„Stetige“ VerteilungenStetige“ Verteilungen

StatistikStatistik Überblick VerteilungenÜberblick Verteilungen

empirischmathematisc

h

diskretTore von Augsburg

Poisson-Verteilung

kontinuierlich

100m-Leistungen

Normal-Verteilung

Normalverteilung

StatistikStatistik

2

2

2

)(

22

1

x

exf

Dichtefunktion

Verteilungsfunktion (Wahrscheinlichkeit)

dxeaxFa x

2

2

2

)(

22

1

NormalverteilungNormalverteilung

StatistikStatistik VerteilungstabelleVerteilungstabelle

StatistikStatistik

• Theoretisch:

Viele empirische Merkmale sind normalverteilt

• Praktisch:

Viele Testleistungen im Sport sind normalverteilt

• Pragmatisch:

Für viele statistische Verfahren ist

Normalverteilung Anwendungsvoraussetzung

Bedeutung der NormalverteilungBedeutung der Normalverteilung

StatistikStatistik Empirische und mathematische Empirische und mathematische VerteilungVerteilung

11 12 13 14 15

T100

0

2

4

6

8

10

12

Häu

fig

keit

Mean = 13,3833Std. Dev. = 0,87838N = 72

Histogramm

StatistikStatistik StandardnormalverteilungStandardnormalverteilung

Microsoft Excel-Arbeitsblatt

StatistikStatistik Tore von Augsburg und Poisson-Tore von Augsburg und Poisson-VerteilungVerteilung

,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00

VAR00002

0,00

3,00

6,00

9,00

12,00

15,00

Mit

telw

ert

VAR00003

Theo

Z-Transformation

StatistikStatistik

Klaus ist ein sehr guter Schwimmer. Frank

dagegen ein sehr guter

Mittelstreckenläufer. Wer ist nun der

bessere Sportler?

Wir möchten also verschiedene

Persönlichkeitsmerkmale (z.B. Schwimm-

und Laufleistungen) miteinander

vergleichen.

Die Antwort gibt uns ein (relativierender)

Vergleich an einer Stichprobe.

ProblemchenProblemchen

StatistikStatistik

Transformationsvorschrift:

X, s aus Stichprobe,

dann ist z Standard-Normalverteilt

Z = 100 + 10zi ist normalverteilt mit

Mittelwert 100, Streuung 10

s

xxz ii

_

Z - TransformationZ - Transformation

StatistikStatistik

L, sL

800m: 800m: 1:59,21:59,2

55

2,12,111

s , sS

100m: 100m: 1:13,51:13,5

55

1,551,55

??

!!

VergleichVergleich

Der statistische Test

Was Sie immer schon über Signifikanz wissen wollten, aber nie zu fragen wagten!

StatistikStatistik

Forschungshypothese Sport wirkt gesundheitsfördernd

Statistischer Test t-Test für abhängige

Stichproben

Operationalisierte Hypothese6 wöchiges Ausdauertraining bei

Stichprobe von 50jährigen senkt den Ruhepuls

Statistische Hypothese Mittelwert Ruhepuls nachher

kleiner als Mittelwert Ruhepuls vorher

Prüfung

Einbettung in ForschungsgangEinbettung in Forschungsgang

StatistikStatistik HypothesenartenHypothesenarten

Forschungshypothese Thema des Projekts, Forschungsfrage

Operationalisierte Hypothese Genaue Spezifikation der Untersuchung

Statistische Hypothese Welche Aussage möchte ich prüfen ?

Statistischer Test Konkrete statistische Berechnungen

Der statistische Test

Die Schritte

StatistikStatistik

Drei Schritte zur Signifikanz

1. Formulierung der Nullhypothese

2. Prüfstatistik berechnen

3. Entscheidung treffen

Statistischer Test - TheorieStatistischer Test - Theorie

1. Schritt

StatistikStatistik 1. Schritt1. Schritt

Formulierung der Nullhypothese1. Fall: Statistische Prüfung:

Die Nullhypothese behauptet das Gegenteil von dem, was ich beweisen möchte Wenn ich Unterschiede beweisen möchte, behauptet die Nullhypothese die Gleichheit!

2. Fall: Prüfung von Anwendungsvoraussetzungen:Die Nullhypothese behauptet die Geltung der Anwendungsvoraussetzung

StatistikStatistik Beispiel Ausreißertest: 1. SchrittBeispiel Ausreißertest: 1. Schritt

Weitsprungleistungen 6. Klasse: Mittelwert 3,50m Streuung 0,50m Maximum 5,50m

Ist das ein Ausreißer?Kann die Ergebnisse erheblich

verfälschen, insbesondere bei kleinen Stichproben

StatistikStatistik

StichprobexxH minmax0 :

Ausreißertest - NullhypotheseAusreißertest - Nullhypothese

Die Leistung von 5,50m gehört zur Stichprobe!

2. Fall: Anwendungsvoraussetzung liegt vor!

2. Schritt

StatistikStatistik 2. Schritt2. Schritt

Berechnen einer Prüfstatistik: Aus den Daten der Stichprobe Testspezifische Rechenvorschrift Größe, von der man weiß, dass sie

einer mathematischen Verteilung unterliegt

StatistikStatistik

s

xxz

_

maxmaxˆ

Ausreißertest - PrüfstatistikAusreißertest - Prüfstatistik

maxz ist standardnormalverteilt !

maxz = (5,50 – 3,50 ) / 0,50 = 4,00

3. Schritt

StatistikStatistik 3. Schritt3. Schritt

EntscheidungsregelH0 wird dann abgelehnt, wenn Prüfstatistik einen Schwellenwert überschreitet

Dieser Schwellenwert entspricht einer Irrtumswahrscheinlichkeit

= 5% signifikant, = 1% hoch signifikant

StatistikStatistik

Lehne Ho ab, wenn:

zz ˆ

Ausreissertest - EntscheidungsregelAusreissertest - Entscheidungsregel

StatistikStatistik

1,63 0,94341,64 0,94871,65 0,9512...2,32 0,98232,33 0,99022,34 0,9987...

Woher Schwellenwert ? Woher Schwellenwert ?

StatistikStatistik 3. Schritt Ausreißertest3. Schritt Ausreißertest

= 4,0 > 1,645 = z 5%

> 2,33 = z 1%

Entscheidung: H0 ablehnen, d.h. auf dem 1% - Niveau

der Irrtumswahrscheinlichkeit ist 5,50 ein Ausreißer!

maxz

StatistikStatistik Bedeutung EntscheidungBedeutung Entscheidung

2 mögliche Entscheidungen:1. H0 beibehalten,

d.h. es liegen nicht genügend Hinweise in den Daten vor, um H0 abzulehnen, heißt nicht H0 ist wahr

2. H0 ablehnen,d.h. mit einer (kleinen) Irrtumswahrscheinlichkeit ist H0 falsch

StatistikStatistik Illustration EntscheidungsregelIllustration Entscheidungsregel

H0 beibehalten

H0 ablehnen „signifikant“

H0 ablehnen

„hoch signifikant“

z%5

645,1

z %1

33,2

z