Stochastische Attribut-Wert-Grammatiken

Universität Potsdam – Institut für Linguistik

Hauptseminar Stochastische Lernalgorithmen

Gerhard Jäger – Referent: Rainer Ludwig

Überblick

• Stochastische kontextfreie Grammatiken– Empirical Relative Frequency

• Übergang von (S)CFG zu (S)AVG

• Stochastische AVG– Random Fields– Improved Iterative Scaling

Stochastische CFG

1. S A A 1 = 1/22. S B 2 = 1/23. A a 3 = 2/34. A b 4 = 1/35. B a a 5 = 1/26. B b b 6 = 1/2

1

3 3

9

2

3

2

3

2

2

1)( 3311 xq

S

A A

a a

x =

• Bestimmung der Werte der Gewichte i

• Diese sollen das Trainingskorpus bestmöglich reflektieren

Parameterabschätzung

• D. h.: Die Distribution q(x), die durch die i bestimmt wird, soll der Distribution im Trainingskorpus möglichst nahe kommen

(x)p~

Empirische Distribution in einem Korpus

S

A A

a a

S

A A

b b

S

B

a a

S

B

b b

x1 x2 x3 x4

c = 4x 2x 3x 3x

p~ 4/12 2/12 3/12 3/12

2/9 1/18 1/4 1/4q1 =

Kullback-Leibler-Divergenz

• Maß für die Unähnlichkeit zwischen Distributionen (≙ relative Entropie)

x xq

xpxpqpD

)(

)(~ln)(~)||~(

Empirical Relative Frequency (ERF)

• Jede Regel i der Grammatik bekommt eine Häufigkeitsfunktion fi(x) zugewiesen

• p[f]: Erwartungswert von f unter Wahrscheinlichkeitsverteilung p, d. h.

x

xfxpfp )()(

i werden so gewählt, dass sie proportional zu sind ifp~

Empirical Relative Frequency (ERF)

• ERF ermittelt die besten Gewichte für eine gegebene CFG bei einer gegebenen empirischen Distribution

S -> AA S ->B A -> a A -> b B -> aa B -> bbp pf1 pf2 pf3 pf4 pf5 pf6

x1 1/3 1/3 0 2/3 0 0 0x2 1/6 1/6 0 0 1/3 0 0x3 1/4 0 1/4 0 0 1/4 0x4 1/4 0 1/4 0 0 0 1/4

p[f] = 1/2 1/2 2/3 1/3 1/4 1/4beta = 1/2 1/2 2/3 1/3 1/2 1/2

Empirische Distribution in einem Korpus

S

A A

a a

S

A A

b b

S

B

a a

S

B

b b

x1 x2 x3 x4

c = 4x 2x 3x 3x

p~ 4/12 2/12 3/12 3/12

2/9 1/18 1/4 1/4q1 =

197)(

4

11

iixq

1. S 1:A 2:A <1 1> = <2 1>2. S 1:B3. A 1:a4. A 1:b5. B 1:a6. B 1:b

Attribut-Wert-Grammatiken und DAGs

S

a

1

AA

1 2

1

Attribut-Wert-Grammatiken und DAGs

S

A A

a

S

A A

b

S

B

a

S

B

b

x1 x2 x3 x4

S 1:A 2:A <1 1> = <2 1> S 1:BA 1:a A 1:bB 1:a B 1:b

1. S 1:A 2:A <1 1> = <2 1> 1 = 1/22. S 1:B 2 = 1/23. A 1:a 3 = 2/34. A 1:b 4 = 1/35. B 1:a 5 = 1/26. B 1:b 6 = 1/2

Stochastische AVG

S

a

1

AA

1 2

1

1

3 3

9

2

3

2

3

2

2

1)( 3312 x

n

i

xfi

ix1

)()( Allgemein:

Empirische Distribution in einem Korpus

S

A A

a

S

A A

b

S

B

a

S

B

b

x1 x2 x3 x4

c = 4x 2x 3x 3x

p~ 4/12 2/12 3/12 3/12

2/9 1/18 1/4 1/42 = Σ = 7/9

2/7 1/14 9/28 9/28q2 = Σ = 1

1. S 1:A 2:A <1 1> = <2 1>

2. S 1:B

3. A 1:a

4. A 1:b

5. B 1:a

6. B 1:b

Alternative Regelgewichte

226223

1

2263

2

212

3

211

4

21

5

21

6

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den neuen Gewichten

S

A A

a

S

A A

b

S

B

a

S

B

b

x1 x2 x3 x4

c = 4x 2x 3x 3x

p~ 4/12 2/12 3/12 3/12

1/3 1/6 1/4 1/4q =

=7

23 14

23 28

239 28

239 23

3

• Wahrscheinlichkeitsverteilung über Konfigurationen (hier DAGs)

• Gewicht einer Konfiguration ist das Produkt der Gewichte bestimmter Merkmale dieser Konfiguration

Random Fields

i

xfi

ix )()(

• Wahrscheinlichkeit einer Konfiguration ergibt sich aus der Normalisierung des Gewichts

Merkmale in Random Fields

• Merkmale können lokale Bäume (Regelanwendungen) sein, müssen aber nicht

• Keine Beschränkung für die Summe der Gewichte von Regeln mit gleicher LHS (vorher: =1)

Ein Beispiel für Merkmale

S

A A

a

S

A A

b

S

B

a

S

B

b

f1 = 2 0 0 0

2 1 3/2 3/2 =

0 0 1 1f2 =

1/3 1/6 1/4 1/4q =

3/22

Merkmale:

=

A

aB1

2

p~q

• Es müssen nicht mehr nur die Werte der Gewichte i bestimmt werden, sondern auch die Merkmale fi ausgewählt werden

• Ziel weiterhin: Minimierung der Kullback-Leibler-Divergenz

Parameterabschätzung

)||~( qpD

• Lösung: Improved Iterative Scaling

Improved Iterative Scaling (IIS)

1. Beginne mit dem Nullfeld, i. e. ohne Merkmale

2. Merkmalsauswahl. Wähle das beste Merkmal und füge es dem Feld hinzu.

3. Anpassen der Gewichte. Passe für alle Merkmale die Gewichte an.

4. Iteriere, bis das Feld nicht mehr besser wird.

Das Nullfeld

S

A A

a

S

A A

b

S

B

a

S

B

b

1 1 1 1 =

1/4 1/4 1/4 1/4q =

03,0)||~( qpD

p~ 1/3 1/6 1/4 1/4

Bestandteile eines Modells

1. Eine AVG G

2. Eine Menge von Initialgewichten θ für die Regeln in G Initialdistribution p0

3. Eine Menge von Merkmalen f1,..., fn mit Gewichten β1,..., βn

Felddistribution q

i

xfi

ixpZ

xq )(0 )(

1)(

Merkmalsauswahl

• Merkmale sind in unserem Beispiel Sub-DAGs• Diese werden aus atomaren Merkmalen (=

einzelnen DAG-Knoten) zusammengebaut• In Schritt 2 von IIS werden alle möglichen neuen

Merkmale mit ihrem jeweils besten Gewicht betrachtet

• Es wird dasjenige Merkmal ausgewählt, das die größte Reduktion der KLD bringt

Merkmalsauswahl – BeispielS

A A

a

S

A A

b

S

B

a

S

B

b

p~ 1/3 1/6 1/4 1/47/5 1 7/5 1a =

7/24 5/24 7/24 5/24qa =

1 1 1 1B =

1/4 1/4 1/4 1/4qB =

D = 0,01aq

p~lnp~ 0,04 0,05– 0,04– 0,04

D = 0,03Bq

p~lnp~ 0,10 00– 0,07

Auswahl des Gewichts für ein gewähltes Merkmal

• Das neue Gewicht β soll so gewählt werden, dass der Erwartungswert von f dem empirischen entspricht, also fpfq ~

• Wenn L(G) sehr groß (unendlich) ist, lässt sich die Gleichung nicht ohne weiteres lösen Random Sampling

Anpassen der Gewichte

• Nach dem Hinzufügen eines neuen Merkmals mit einem bestimmten Gewicht ist es i. a. nötig, die Gewichte (β1,..., βn) aller Merkmale anzupassen (Schritt 3 von IIS)

• D. h. gesucht sind Faktoren (δ1,...,δn), um die neuen Gewichte (δ1β1,...,δnβn) zu ermitteln

Anpassen der Gewichte

• Auch hier soll gelten:

j

xfjj

jxpZ

xq )(0neu )(

1)(

ii fpfq ~neu

• Für qneu gilt:

j

xfj

jxqZ

)(alt )(

1

Annäherung: j

xfi

jxqxq )(altneu )()(

)(#alt )( xf

ixq

Anpassen der Gewichte

• Annäherungsformel für die Faktoren δi:

iif

i fpfq ~#alt

• Iterieren, um die besten Gewichte zu erhalten

• Auch hier muss eventuell auf Sampling zurückgegriffen werden