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Verschiedene stochastischeProzesse
Ann-Kathrin Ruger | 27. Mai 2013 | Institut fur Stochastik
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Inhalt
I Stochastische ProzesseI Grenzuberschreitende Wahrscheinlichkeiten
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Wiener-Prozess (Brownsche Bewegung)
DefinitionEin zeitstetiger Prozess W heißt Wiener-Prozess ⇔
1. W (0) = 02. W besitzt unabhangige Zuwachse3. W (t)−W (s) ∼ N (0, t − s)4. Die Trajektorien sind fast sicher stetig.
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Eigenschaften des Wiener-Prozesses
I Die Pfade des Wiener-Prozesses sind fast sicheran keiner Stelle differenzierbar
I P
(supt≥0
Xt =∞
)= P
(inft≥0
Xt = −∞
)= 1
I Der Wiener-Prozess ist ein Levy- undein Gauß-Prozess
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Levy-Prozesse
DefinitionEin stochastischer Prozess (Xt)t≥0 ist ein Levy-Prozess,falls er stationare und unabhangige Zuwachse hat.
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Gauß-Prozesse
DefinitionEin stochastischer Prozess (Xt)t∈T ist ein Gauß-Prozess,falls fur alle t1, ..., tn ∈ T , n ∈ N gilt:(Xt1 , ...,Xtn) ist n-dimensional normalverteilt.
Speziell: Ein Gauß-Prozess heißt zentriert, falls derErwartungswert konstant 0 ist.
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
−1.
0−
0.5
0.0
0.5
Verschiedene Pfade eines Wiener Prozesses
Zeit
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Invarianzeigenschaften des Wiener-ProzessesSei {Wt , t ≥ 0} ein Wiener-Prozess. Dann gilt
I Symmetrie: W (1)t = −Wt
I Verschiebung des Nullpunktes: W (2)t = Wt+t0 −Wt0
I Skaliereung: W (3)t =
√cW t
c, fur ein c > 0
I Spiegelung: W (4)t = tW 1
t{W (1)
t
}t≥0−{
W (4)t
}t≥0
sind ebenfalls Wiener-Prozesse.
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Brownsche Brucke
DefinitionEin Gauß-Prozess U heißt Brownsche Brucke, falls
1. E(U(t)) = 0 ∀t ∈ [0,1]2. Cov(U(s),U(t)) = min{s, t} − st ∀s, t ∈ [0,1]
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Eigenschaften der Brownschen Brucke
I Es existiert eine Version der Brownschen Bruckemit fast sicher stetigen Pfaden.
I Die Brownsche Brucke ist in keinem Punktdifferenzierbar.
I Die Brownsche Brucke ist ein Gauß-Prozess,jedoch kein Levy-Prozess.
I Anfangs- und Endwert sind gleich.I P(Ut ≤ c) = P(Wt ≤ c|WT = 0)
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
−0.
8−
0.6
−0.
4−
0.2
0.0
0.2
0.4
Verschiedene Pfade einer Brownschen Brücke
Zeit
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Uhlenbeck-Prozess
DefinitionEin Gauß-Prozess X heißt Uhlenbeck-Prozess, falls
1. E(X (t)) = 0 ∀t ∈ [0,1]2. Cov(X (s),X (t)) = exp(−|t − s|) ∀s, t ∈ [0,1]
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Eigenschaften des Uhlenbeck-Prozesses
I Var(X (t)) = 1I Der Uhlenbeck-Prozess ist ein Gauß-Prozess
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
−0.
4−
0.2
0.0
0.2
0.4
Verschiedene Pfade eines Uhlenbeck−Prozesses
Zeit
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Grenzuberschreitende Wahrscheinlichkeitendes Wiener-Prozesses und der Brownschen Brucke
Sei W ein Wiener-Prozess und Tb = inf{t ≥ 0 : Wt = b}.Dann gilt:
P (Tb < t) = 2P(N(0, t) > b)
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Grenzuberschreitende Wahrscheinlichkeitendes Wiener-Prozesses und der Brownschen Brucke
Sei W ein Wiener-Prozess. Dann gilt:
P
(sup
0≤s≤tWs > b
)= 2P(N(0, t) > b)
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Grenzuberschreitende Wahrscheinlichkeitendes Wiener-Prozesses und der Brownschen Brucke
Sei U eine Brownsche Brucke. Dann gilt:
P(||U|| > b) = P
(sup
0≤t≤1(1− t)W (t/(1− t)) > b
)
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Literatur
I. Karatzas and S. E. Shveve, Brownian motion and stochastic calculus.Springer, 2nd ed., 1991.
G. R. Shorak and J. A. Wellner, Empirical processes with applications to statistics.Wiley, 1986.
Prof. Dr. E. Spodarev, Stochastik II, Vorlesungsskript.Universitat Ulm, 2010.
G. Leobacher and F. Pillichshammer, “Einiges uber die Brown’sche Bewegung.”http://www.finanz.jku.at/uploads/tx_mypubl/exbb.pdf.
J. Richter, “Statistik, R, Fotografie und Sonstiges.”http://berlani.de/2012/04/r-statistik/r/wiener-prozess/.
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miau
Fragen??
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Danke fur Ihre Aufmerksamkeit