Vom Ganzen zum Fraktal

Thomas Westermann

6. Lange Nacht der Mathematik

Hochschule Karlsruhe, 7.5.2010

Vom unendlich Kleinen

Was ergibt ?0 Was ergibt ?0 0 Was ergibt ?0 Was ergibt ?0 1

Von Eisblumen …

… und anderen Formen

BlitzBlutgefäße der Niere

Blumenkohl

Ganze Zahlen

1, 2, 3; viele

1, 2, 3, 4, ... , 9, 10, 11, ... usw.

Prinzip der natürlichen Zahlen:

1. Sie beginnen bei 1.

2. Zu jeder Zahl gibt es einen Nachfolger.

N = {1, 2, 3, 4, ...} natürliche Zahlen

Es gibt viele natürliche Zahlen

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} ganze Zahlen

Problem: Was bleibt einem noch übrig, wenn man von seiner Hälfte ein Drittel abgeben muss?

Gebrochene Zahlen

Lösung: 3

1

6

2

6

13

6

1

2

1

2

1

3

1

2

1

TV-Quiz: Was erhält man, wenn man 50 durch einhalb teilt?a) 25 b) 50c) 75 d) 100

BW-Antwort: 1001

100

1

250

2

1:50

Q = {p/q: p Z und q N} gebrochenrationale Zahlen

Noch mehr Zahlen?

Pythagoras

a2 + b2 = c2

a

c

b

d 2 = 12 + 12 = 2

1

d1

2d

Beispiel:

p2 = 2 q2 p2 ist gerade p ist gerade p = 2 m

4 m2 = 2 q2 q2 = 2 m q ist gerade

NEIN!

Wenn keine gebrochenrationalen Zahlen, was dann??

Was sind dies für Zahlen?

Gebrochenrational? mit p und q teilerfremd?q

p2

Zahlenfolgen

(an) n N = a1, a2, a3, a4, ..., an, ...

1.) Explizites Bildungsgesetz:

n 1 2 3 ... 10 100 1000

an 0 1.5 0.666 ... 1.1 1.01 1.001

CAS

na n

n

1)1(1

2.) Rekursives Bildungsgesetz

)2

(2

11

nnn a

aa 10 a

konvergente Folgen: an a: besitzen Grenzwert a

divergente Folgen: besitzen keinen Grenzwert

Reelle Zahlen

Reelle Zahlen = {gebrochenrationale Zahlen und

Grenzwerte aller konvergenten Zahlenfolgen}

1)2

(2

12 01lim

aund

aaamita

nnnn

n

n

n ne )

11(lim

raunda

rramitannn

nnn

623

23 1121

1lim

Berechnung von

Berechnung von

2221 )

2( n

n

sxs

yrx

222 )2

( nsry

2 21 1 2 ( ( ) )

2n

n

ss r und s r r r

Von kantiger Form zu glatter Struktur

0 ?

0

11 13 2n

n nu s

Eigenschaften:- Anzahl der Linien geht gegen Unendlich

- Länge der Einzellinien geht gegen Null- Umfang bleibt endlich! - Fläche bleibt begrenzt!

Kreis: Von kantig zu rund

:= u2

3.105828540

:= u3

3.132628608

:= u4

3.139350198

:= u5

3.141031980

:= u6

3.141452697

:= u7

3.141558894

:= u8

3.141589401

:= u9

3.141598791

:= u10

3.141561240

:= u11

3.141260829

:= u1

3.000000000

0

Von kantig zu kantiger

CAS

Kochsche Schneeflocke

Kochsche Schneeflocke

Anzahl der Seiten

Seitenlänge Umfang Fläche

3 a 3a

n = 1 3 4

n = 2 3 4 4

n 3 4n

An-1 +3 4n-1

A0 + A0

1

3

n

a

1 1( )

3 3a

1

3a

13 4

3a

24

33

a

43

3

n

a

23

2a

A0 +32

3

2 3

a

A1 +3 42

3

2 9

a

2

3 1

2 3

n

a

3

5

Zusammenfassung:

0

0

Kochsche Schneeflocke

Eigenschaften:- Anzahl der Linien geht gegen Unendlich- Umfang geht gegen Unendlich- Fläche bleibt begrenzt!

Geometrische Eigenschaften

- Gebilde entsteht durch eine Iteration (Rekursion)

- Besitzt bei beliebiger Vergrößerung immer noch Feinstruktur

- Selbstähnlich

- Bei unendlichem Umfang doch beschränkter Flächeninhalt

Objekte, welche die obigen Eigenschaften besitzen

bezeichnet man als Fraktale (lat. fractus = gebrochen).

Sierpinski-Dreieck

Was unterscheidet die Kochsche Scheeflocke vom Sierpinski-Dreieck?

Fraktale Dimension

Umfang pro Dreieck:

Gesamtumfang:

Fläche pro Dreieck:

Gesamtfläche:

n

nnn

n aaU2

33

2

133

04

13

4

1 2

n

n

n aa

04

33

4

1

4

13

4

13 22

n

nnn

n aaA

02

13

n

n

n au

0 0

0

Fraktale Dimension

ds/N 1 s/log

Nlogd

1Allgemein: N: Anzahl der Teile

s: Skalierungsfaktor

Skalierungsfaktor s=1/3Anzahl der selbstähnlichen Teile N=3

1

31

13

/N

Skalierungsfaktor s=1/3Anzahl der selbstähnlichen Teile N=9

2

31

19

/N

Skalierungsfaktor s=1/2Anzahl der selbstähnlichen Teile N=8

3

21

18

/N

Berechnung der fraktalen Dimension

Skalierungsfaktor s=1/2Anzahl der selbstähnlichen Teile N=3

58412

3.

log

logd

Skalierungsfaktor s=1/3Anzahl der selbstähnlichen Teile N=2

630903

2.

log

logd

26213

4.

log

logd

Skalierungsfaktor s=1/3Anzahl der selbstähnlichen Teile N=4

Mandelbrot-Menge

Iterationsvorschrift

z n 1zn

2 c

Man startet immer mit z0=0. Die Konvergenz der Iteration hängt nur vom Parameter c ab.

Die Mandelbrot-Menge besteht aus der Menge von c-Werten, bei denen die Iterationswerte nach einer bestimmten Anzahl von Durchgängen (z.B. 100) einen vorgegebenen Betrag (z.B. 2) noch nicht überschritten haben.

Die fraktale Beschreibung liefert uns ein Modell, um Formen, Muster und Erscheinungen in unserer realen Welt adäquat

mathematisch zu beschreiben.

Mit etwas Phantasie und Intuition findet man so Zugang zu virtuellen Welten, imaginären Größen und komplexen

Zusammenhängen, die ohne die Fraktale nichtmöglich wären …

… und man findet auf diesem Weg nicht nur gebrochene Zahlen,

sondern sogar gebrochene Dimensionen!!

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!!

Und noch eine schöne Nacht!!

Ende