Post on 12-Oct-2020
von Prof. Dr.‐Ing. Dirk RabeHochschule Emden/Leer
Differentiation:Differentiation:Tangente einer Funktiong
Definition: Lateinisch „tangens“ – berührenT G d di i Obj k / i G f i Tangente = Gerade, die ein Objekt/einen Graf einer Funktion berührt – also nicht schneidetBeispiele:
Tangente am Kreis: Tangente imPunkt einerFunktion:t
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 126.10.2010
Differentiation: Beispiel Tangentep gt(x) berührt Graph von f(x)im Punkt (0 5;0 53)
f(x)=x3
im Punkt (0,5;0,53)(und schneidet den Grapheni P kt ( ))im Punkt (‐1;‐1))
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 226.10.2010
Bestimmung Tangentengleichungg g g gGerade eindeutig bestimmt durch 2 Punkte auf der Geraden:Geraden:
Punkt1: PP k ?Q?Punkt2: ?Q?
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 326.10.2010
Bestimmung Tangentengleichungg g g gGerade für Sekante eindeutig definiert:
P k PPunkt1: PPunkt2: Q1
Idee Tangente:durch Sekante
hannähern
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 426.10.2010
Bestimmung Tangentengleichungg g g gAnnäherung Tangente durch Sekante:
P k PPunkt1: PWahl Punkt2: Q1d b Qoder besser: Q2
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 526.10.2010
Bestimmung Geradengleichung( ) ( ) ( )xfxx
xyxs +−⋅
ΔΔ
= 00
g g gTransformation von g(x)=x∙(Δy/Δx)• um f(x0) in y‐Richtung und • um x0 in Richtung x‐Achse
( ) ( ) ( )xfxxxyxs +−⋅
ΔΔ
= 00
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )ffff
xfxxxx
xfxf+−⋅
−−
= 0001
01
um x0 in Richtung x Achse( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )ffff
xfxxxx
xfxf+−⋅
−−
= 0001
01
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxx
xfxfxfxxx
xfxf⋅
−−
−+⋅−−
=
Achse-ymitktSchnittpun
001
010
01
01
4444 34444 21=m
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxx
xfxfxfxxx
xfxf⋅
−−
−+⋅−−
=
Achse-ymitktSchnittpun
001
010
01
01
4444 34444 21
( ) xmxfxm ⋅−+⋅=Achse-ymit kt Schnittpun
00
Achseymit kt Schnittpun
4434421( ) xmxfxm ⋅−+⋅=
Achse-ymit kt Schnittpun
00
Achseymit kt Schnittpun
4434421
( ) ( ) ( ) ( )x
xfxxfxx
xfxfxym
bmx
Δ−Δ+
=−
=ΔΔ
=
+=
000131 Δy
( ) ( ) ( ) ( )x
xfxxfxx
xfxfxym
bmx
Δ−Δ+
=−
=ΔΔ
=
+=
000131 xxxx
xxxΔ−Δ
Δ+=0101
321
Δx
Δyxxxxxxx
Δ−ΔΔ+=01
01
321
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 6
x0 x1
26.10.2010
Bestimmung Tangentensteigungg g g g( ) ( )
( ) ( )Achse-ymit kt Schnittpun
00
ff
xmxfxmxt
Δ
⋅−+⋅=4434421
( ) ( )
( ) ( )Achse-ymit kt Schnittpun
00
ff
xmxfxmxt
Δ
⋅−+⋅=4434421
( ) ( )
( ) 3322333
00
0
33
lim
xxxxxxxxxxx
xfxxfmx
−Δ+Δ+Δ+−Δ+Δ
−Δ+=
→Δ
( ) ( )
( ) 3322333
00
0
33
lim
xxxxxxxxxxx
xfxxfmx
−Δ+Δ+Δ+−Δ+Δ
−Δ+=
→Δ
( )
322
0000
0
00
0
limlim3lim3
33limlim
xxxxxm
xxxxxxxx
xxxxm
xx
Δ+
Δ+
ΔΔ
−Δ+Δ+Δ+=
Δ−Δ+
=→Δ→Δ
( )
322
0000
0
00
0
limlim3lim3
33limlim
xxxxxm
xxxxxxxx
xxxxm
xx
Δ+
Δ+
ΔΔ
−Δ+Δ+Δ+=
Δ−Δ+
=→Δ→Δ
20
00000
3
limlim3lim3
xmxx
xx
xmxxx
=Δ
+Δ
+Δ
=→Δ→Δ→Δ
20
00000
3
limlim3lim3
xmxx
xx
xmxxx
=Δ
+Δ
+Δ
=→Δ→Δ→Δ
gilt für jedes x0 (x0∈Df)Tangentensteigung für t(x) an (x0,f(x0)): f(x)=x3 m=3x02
dy/dx soll die Grenzwertbildung des
allgemein: für Potenzfunktion f(x)=c∙xn erhält man m=c∙n∙x0n‐1
Ersetzt man den Bezeichner x0 durch x: m=c∙n∙xn‐1
m bezeichnet man als 1 Ableitung von f(x): f ‘(x) m c n xn‐1
Differenzenquotienten ∆y/∆x mit ∆x 0 symbolisieren
m bezeichnet man als 1. Ableitung von f(x): f (x)=m=c∙n∙xn 1
Leibniznotation: Alternative Schreibweise für f ‘(x): Analysis – Prnof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 726.10.2010
( ) ( )dxdy
dxxdfxf =='
Bestimmung Tangentengleichungg g g gBeispielaufgabe: f(x)=x3
G h T l i h i P k ( ) fü Gesucht: Tangentengleichung im Punkt (x0; x03) für x0=0,5
435,033 22
0 =⋅== xm4
( ) ( )41
43
21
43
21
43 3
AchseymitktSchnittpun
00 −=⋅−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=⋅−+⋅= xxxmxfxmxt
4434421Achse-ymit kt Schnittpun
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 826.10.2010
Zusammenfassung: 1.Ableitungg gGeometrische Deutung: Steigung der Geraden, die die Funktion f(x) an der Stelle (x ;f(x )) berührtFunktion f(x) an der Stelle (x0;f(x0)) berührtBestimmung der Steigung durch Grenzwertbestimmung:
( ) ( )ffd Δ( ) ( ) ( ) ( )x
xfxxfmxfdxdxf
x Δ−Δ+
===→Δ 0
lim'
Wenn Grenzwert an der Stelle x0 nicht definiert ist, so ist die 1. Ableitung dort nicht definiert g
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 926.10.2010
Beispiel: f(x)=|x|, gesucht f‘(0)p ( ) | | g ( )( ) ( )lim)0('
0 xxfxxfmxf
x
⎧Δ
−Δ+===
→Δ
( )
( ) ( )00
xxfxxfxfürxxfürx
xf
Δ−−Δ+⎩⎨⎧
≥<−
=
( ) ( )
( ) ( ) 1limlim
1limlim00
xxfxxfxx
xxfxxf
xx
=ΔΔ
=Δ
−Δ+
−=ΔΔ
=ΔΔ+
→Δ→Δ
+
−−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) definiertnicht limlimlim000
00
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xx
xxx
xx
Δ−Δ+
⇒Δ
−Δ+≠
Δ−Δ+
ΔΔ
→Δ→Δ→Δ
→Δ→Δ
+−
−+
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 1026.10.2010
Rechenregeln DifferentiationgAdditions‐ undSubtraktionsregel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ff ''' ±±Subtraktionsregel:
Konstantenregel:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxuxfxvxuxf ''' ±=⇒±=
( ) ( ) ( ) ( )xucxfxucxf '' ⋅=⇒⋅=
Produktregel:
( ) ( ) ( ) ( )ff
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxuxvxuxfxvxuxf ''' ⋅+⋅=⇒⋅=
Quotientenregel: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )2'''
xvxvxuxvxuxf
xvxuxf ⋅−⋅
=⇒=
Kettenregel: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xgxgfxfxgfxf ''' ⋅=⇒=
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 1126.10.2010
Herleitung Differentiationsregelng gAnwendung DifferenzenquotientAddi i d S b k i lAdditions‐ und Subtraktionsregel:( ) ( ) ( )xvxuxf ±=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )x
xvxuxxvxxuxfx
lim'0 Δ
±−Δ+±Δ+=
→Δ
Konstantenregel:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxux
xvxxvx
xuxxuxfxx
''limlim'00
±=Δ
−Δ+±
Δ−Δ+
=→Δ→Δ
Konstantenregel:( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )xucxf
Δ+Δ+⋅=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xucx
xuxxucx
xucxxucxfxx
'limlim'00
⋅=Δ
−Δ+⋅=
Δ⋅−Δ+⋅
=→Δ→Δ
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 12
Herleitung Produktregelg gAnwendung Differenzenquotient:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxxuxvxxuxvxuxxvxxuxf
xvxuxf
lim' ⋅Δ+−⋅Δ++
⋅−Δ+⋅Δ+⋅=( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxxuxvxxuxvxuxxvxxuxf
xvxuxf
lim' ⋅Δ+−⋅Δ++
⋅−Δ+⋅Δ+⋅=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
xxxf
xlim'
0
0 Δ+
Δ=
=
→Δ44444 344444 21
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
xxxf
xlim'
0
0 Δ+
Δ=
=
→Δ44444 344444 21
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )x
xuxxuxvx
xvxxvxxuxfx
lim'0
ΔΔΔ
−Δ++
Δ−Δ+
Δ+=→Δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )x
xuxxuxvx
xvxxvxxuxfx
lim'0
ΔΔΔ
−Δ++
Δ−Δ+
Δ+=→Δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )xuxxuxvxxvx
xuxxuxvx
xvxxvxxuxfxxx
limlimlim'000
Δ+Δ+Δ
−Δ+⋅+
Δ−Δ+
⋅Δ+=→Δ→Δ→Δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )xuxxuxvxxvx
xuxxuxvx
xvxxvxxuxfxxx
limlimlim'000
Δ+Δ+Δ
−Δ+⋅+
Δ−Δ+
⋅Δ+=→Δ→Δ→Δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxvxvxuxfx
xuxxuxvx
xvxxvxuxfxx
'''
limlim'00
⋅+⋅=Δ
−Δ+⋅+
Δ−Δ+
⋅=→Δ→Δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxvxvxuxfx
xuxxuxvx
xvxxvxuxfxx
'''
limlim'00
⋅+⋅=Δ
−Δ+⋅+
Δ−Δ+
⋅=→Δ→Δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxvxvxuxf ⋅+⋅=( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxvxvxuxf ⋅+⋅=
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 13
3 Erklärungen zur Kettenregelg g( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xgxgfxfxgfxf ''' ⋅=⇒=
Frage:Warum kann man nicht einfach die innere Funktion ( ( ))(durch g(x)) substituieren, dann nach g ableiten und zurück substitutieren?d d foder anders gefragt:
Warum muss man noch mit der Ableitung der inneren F kti ( ( )) lti li i di Abl it Funktion (g(x)) multiplizieren, um die Ableitung von f(g(x)) zu erhalten?
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 14
3 Erklärungen zur Kettenregelg gBeispiel:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xggfggfxgxxgxxf
1122
12
1'2'22 ======
1. Erklärung:( ) ( ) ( )
xxxggfxf
212
221''' =⋅=⋅=⇒
gf(x) kann auch algebraisch umgeformt werden
( ) ( )ff 112'22
E klä Abl it l i d L ib i t ti
( ) ( )xx
xfxxxf21
212'22 =⋅=⇒⋅==
2. Erklärung: Ableitungsregel in der Leibniznotation
( ) ( )ddg
ddf
dxdfxf ⋅=='
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 15
dxdgdx
3 Erklärungen zur Kettenregelg gBeispiel: E klä hi h
( ) xxf 2=
3. Erklärung: graphisch
/2
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 16
3 Erklärungen zur Kettenregelg g3. Erklärung: graphisch
∆y=1/2
∆x=1∆g=2∆g=2
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 17
xg2 4 6 8
BeispielpLeiten Sie mit der Ketten‐ und Produktregel die Quotientenregel her:Quotientenregel her:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1xvxuxuxf ⋅== −( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1xvxuxuxf ⋅== −( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )2
21 '':lKettenrege xvxvxvxvdxv
f
−=⋅−= −−
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )2
21 '':lKettenrege xvxvxvxvdxv
f
−=⋅−= −−( )( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 11
2
'':elProduktreg
g
xvdxuxvxuxf
xvdx
⋅+⋅= −−
( )( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 11
2
'':elProduktreg
g
xvdxuxvxuxf
xvdx
⋅+⋅= −−( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )2222
'''''''
:elProduktreg
xvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxuxf
xvdx
xuxvxuxf
⋅−⋅=
⋅−
⋅=⋅−=
+( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )2222
'''''''
:elProduktreg
xvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxuxf
xvdx
xuxvxuxf
⋅−⋅=
⋅−
⋅=⋅−=
+
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2222 xvxvxvxvxv
f ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2222 xvxvxvxvxv
f
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 1826.10.2010
Ableitung von bekannten Funktionengc,d: KonstantenHi i H l i i F b
f(x) f ‘ (x)
Hinweise zur Herleitung in grauer Farbe
f(x) f ‘ (x)f(x) f (x)
xc c∙xc‐1
sin(x) cos(x)
f(x) f (x)
xc c∙xc‐1
sin(x) cos(x)
cos(x) ‐sin(x)
tan(x) =sin(x)/cos(x) 1/cos2 (x) ( =(sin2(x)+cos2(x))/cos2(x) )
cos(x) ‐sin(x)
tan(x) =sin(x)/cos(x) 1/cos2 (x) ( =(sin2(x)+cos2(x))/cos2(x) )
ex (e=Eulersche Zahl=2,7182818…) ex
cx (c=ed => d=ln(c) => cx=ex∙ln(c)) ln(c)∙cx ( f ‘(x)=ln(c)∙ex∙ln(c) =ln(c)∙cx )
ln(x) 1/x
ex (e=Eulersche Zahl=2,7182818…) ex
cx (c=ed => d=ln(c) => cx=ex∙ln(c)) ln(c)∙cx ( f ‘(x)=ln(c)∙ex∙ln(c) =ln(c)∙cx )
ln(x) 1/xln(x) 1/x
logc(x) 1/(x∙ln(c)) ( logc(x)=ln(x)/ln(c) )
ln(x) 1/x
logc(x) 1/(x∙ln(c)) ( logc(x)=ln(x)/ln(c) )
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 1926.10.2010
Aufgaben Differentiationsregeln( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxexf xx sinlnlog6ln6 +⋅+⋅+−=
g g( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxexf xx sinlnlog6ln6 +⋅+⋅+−=( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxx
exexf
xxxxexfx
xx cos1ln7ln
log066ln)('
sinlnlog6ln6
7
7
+++⋅
+⋅++⋅=
+⋅+⋅+−=( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxx
exexf
xxxxexfx
xx cos1ln7ln
log066ln)('
sinlnlog6ln6
7
7
+++⋅
+⋅++⋅=
+⋅+⋅+−=
( )x 7ln
( ) ( ) ( ) ( )5,2227
2 sin1lnlog6ln6 xx
xxexxg xxx +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⋅+−= ⋅( ) ( ) ( ) ( )5,222
72 sin1lnlog6ln6 x
xxxexxg xxx +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⋅+−= ⋅
( )x 7ln
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,22
72
5,2127
2
sinlnlog26ln6
sinlnlog26ln65,1
5,1
xxxxexxg
xxxxexxgxx
xx
+⋅−⋅+−=
+⋅+⋅+−= −( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,22
72
5,2127
2
sinlnlog26ln6
sinlnlog26ln65,1
5,1
xxxxexxg
xxxxexxgxx
xx
+⋅−⋅+−=
+⋅+⋅+−= −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,25,1
72
7
cos5,2ln27ln
2log36666ln2)('
g5,1
5,1
xxxxxx
exexx
xg
gx
xx ⋅⋅+−−⋅
+⋅+−⋅⋅=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,25,1
72
7
cos5,2ln27ln
2log36666ln2)('
g5,1
5,1
xxxxxx
exexx
xg
gx
xx ⋅⋅+−−⋅
+⋅+−⋅⋅= ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,25,1
5,15,2
5,2
cos52'''5,2'
sin
dudhhhxxuxxu
xxh
⎬⎫⋅==
=
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 2026.10.2010
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,5,
5,2cos5,2'''
coscos'sinxx
dxduxuuhxh
xuuhuuh⋅⋅=⋅=⋅=
⎭⎬
===
Anwendungen Differentialrechnungg gHier 3 Anwendungen:
R l d L‘H i lRegel de L‘HospitalKurvendiskussionExtremwertaufgabenLineare Approximation
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 2126.10.2010
Regel de L‘Hospitalg pgesucht: Fäll
( ) ( )( )xnxzxf
cxcx →→= limlim
2 Fälle:1. ( ) ( ) 0limlim ==
→→xnxz
cxcx
2.In beiden Fällen Grenzwertbestimmung problematisch
( ) ( ) ∞==→→
xnxzcxcx
limlim
Regel de L‘Hospital anwendbar:
( ) ( ) ( )xzxzf 'lilili
Hinweis 1: Regel de L‘Hospital ggf mehrfach anwenden
( ) ( )( )
( )( )xnxn
xfcxcxcx '
limlimlim→→→
==
Hinweis 1: Regel de LHospital ggf. mehrfach anwendenHinweis 2: Regel de L‘Hospital gilt NUR für obige 2 Fälle!
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 2226.10.2010
Beispiele Regel De L‘Hospitalp g p( ) ( )lim :gesuchtsin
0=
→xf
xxxf
x
0limsinlim00
==→→
xxx
xx
sin xd sin xd
2
( ) 11
coslimsin
limlim000
===→→→
x
xdxd
xdxxf
xxx( ) 1
1coslim
sinlimlim
000===
→→→
x
xdxd
xdxxf
xxx
( ) ( )
0limsinlim
lim :gesuchtsin
22
02
2
=→
xgx
xxgx
dxdx
( ) cos2sin 22
xxxdd
( ) cos2sin 22
xxxdd
0limsinlim00
==→→
xxxx
( ) 1coslim2cos2limlimlim 2
00200====
→→→→x
xxx
xdxd
dxxgxxxx
( ) 1coslim2cos2limlimlim 2
00200====
→→→→x
xxx
xdxd
dxxgxxxx
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 2326.10.2010
Beispiele Regel De L‘Hospitalp g p( ) ( )lim :gesuchtsin
02=→
xfx
xxhx
0limsinlim 2
00==
→→xx
xx
xd sin xd sin( ) ±∞===
±±± →→→ xx
xdxd
xdxxh
xxx 2coslim
slimlim
0200( ) ±∞===
±±± →→→ xx
xdxd
xdxxh
xxx 2coslim
slimlim
0200
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 2426.10.2010
Beispiele Regel De L‘Hospitalp g p( ) ( )
( )( ) ( ) ( )xrxrxnxz
xxxxxr
xx 112
23
lim und lim :gesucht14
1036−→→
=−
−++=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ±∞===++
=
−=−====−→−→→→
xrxxxr
zxzxnxnxzxxxx
21111
lim12183123limlim
8)1(lim0limlimlim ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ±∞===++
=
−=−====−→−→→→
xrxxxr
zxzxnxnxzxxxx
21111
lim12183123limlim
8)1(lim0limlimlim
( ) ( ) ±∞====±−→→→
xrx
xrxxx 111lim
42
88limlim ( ) ( ) ±∞====
±−→→→xr
xxr
xxx 111lim
42
88limlim
Zur Erinnerung: Abspaltung Linearfaktoren:( )( ) ( )10710711036 2223 ++++++ xxxxxxxx
Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 25
( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )14107
1141071
141036
2 +++
=+−++−
=−
−++=
xxx
xxxxx
xxxxxr
26.10.2010
Überblick KurvendiskussionÜberblick KurvendiskussionFunktion bzw. Gleichung bezüglich charakteristischer Punkte analysiert:Punkte analysiert:Nullstellen (Schnittpunkt mit der x‐Achse)Extremstellen: ‐ lokale bzw. relative und absolute bzw. globale Extrema
d‐Maxima und MinimaSattelstellenWendestellenPolstellen und AsymptotenPolstellen und Asymptoten
26.10.2010Mathematik II – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – HochschuleEmden/Leer 26
NullstellenSchnittpunkte mit x‐Achse des Funktions‐/Gleichungsgraphen bestimmen/Gleichungsgraphen bestimmenBeispiel: f(x)=2x4+19x3+61x2+74x+24
( ) ( )( )( )( )Abspaltung von Linearfaktoren: f(x)=(x+4)(x+3)(x+2)(2x+1)Nullstellen von f(x) (f(x)=0): xNullstellen={‐4;‐3;‐2;‐1/2}
Mathematik II – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – HochschuleEmden/Leer 2726.10.2010
NullstellenNullstellen von f(x) (f(x)=0): xNullstellen={‐5;‐2;1}
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Zusammenfassung ExtremstellengGraph von f ‘(x) schneidetfür x=xE x‐Achse E
Extremstelle f(xE)Graph von f ‘(x) berührtGraph von f (x) berührtfür x=xE x‐Achse
Sattelstelle f(xE)( E)(also: f ‘(x) hat bei x=xENullstelle & Extremstelle) )Minimum/Maximum:
f ‘(xE)=0 undf (xE)=0 undMinimum: f ‘‘(xE)>0Maximum: f ‘‘(xE)<0Maximum: f (xE)<0oder Sattelstelle von f ‘(x)…
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Vorgehen: Suche Sattel‐/Extremstelleng /
f‘‘(x=a)>0? f‘‘(x=a)<0?ja nein neinf‘(x=a)=0? f (x=a)>0? f (x=a)<0? nein
4 Möglichkeiten:f‘(x=a) Maximum
ja janein
( )=> f(x=a) Sattelstelle monoton fallend
f‘(x=a) Minimumf( ) S tt l t ll
f(x=a) istkein Extremumkeine Sattelstelle
f(x=a) istein Minimum
f(x=a) istein Maximum
=> f(x=a) Sattelstelle monoton steigend
f‘(x=a) Sattelstelle mono-ton fallendkeine Sattelstelle ton fallend=> f(x=a) Maximum
f‘(x=a) Sattelstelle mono-ton steigend=> f(x=a) Minimum
nächster Schritt: rekursives Überprüfen von f‘(x=a) auf ein Extremum
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ein Extremum
26.10.2010
Beispiel: i(x)=x7p ( )Ableitung Folgerung
1 1. Ableitung: i‘(0)=0 i(x) weist für x=0 Sattelstelle oder Extremum auf
2 2. Ableitung: i‘‘(0)=0 i‘(x) weist für x=0 Sattelstelle oder Extremum auf
3 3. Ableitung: i‘‘‘(0)=0 i‘‘(x) weist für x=0 Sattelstelle oder Extremum auf
4 4. Ableitung: i‘‘‘‘(0)=0 i‘‘‘(x) weist für x=0 Sattelstelle oder Extremum auf
5 5. Ableitung: i‘‘‘‘‘(0)=0 i‘‘‘‘(x) weist für x=0 Sattelstelle oder Extremum auf
6 6. Ableitung: i‘‘‘‘‘‘(0)=0 i‘‘‘‘‘(x) weist für x=0 Sattelstelle oder Extremum auf
7 7. Ableitung: i‘‘‘‘‘‘‘(0)>0 i‘‘‘‘‘‘(x) (6. Ableitung) ist bei x=0 monoton steigend => i‘‘‘‘‘(x) (5. Ableitung) weist für x=0 ein Minimum auf
i‘‘‘‘‘‘‘(x)=7!=7∙6 ∙5 ∙4 ∙3 ∙2 ∙1=5040
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Beispiel: i(x)=x7p ( )Ableitung Folgerung
7 7. Ableitung: i‘‘‘‘‘‘(x) (6. Ableitung) ist bei x=0 monoton steigend => i‘‘‘‘‘(x) (5. Ableitung) weist für x=0 ein Minimum auf
8 4. Ableitung da 5.Ableitung Extremum=> 4.Ableitung Sattelstelle (monoton steigend)
9 3 Ableitung da 4 Ableitung Sattelstelle (monoton steigend)9 3. Ableitung da 4.Ableitung Sattelstelle (monoton steigend) => 3.Ableitung Minimum
10 2. Ableitung da 3.Ableitung Extremumg=> 2.Ableitung Sattelstelle (monoton steigend)
11 1. Ableitung da 2.Ableitung Sattelstelle (monoton steigend) > 1 Abl it Mi i=> 1.Ableitung Minimum
12 Ausgangsfunktion da 1.Ableitung Extremum=> Ausgangsfunktion Sattelstelle (monoton steigend)
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Ausgangsfunktion Sattelstelle (monoton steigend)
26.10.2010
Alternatives Verfahrenwenn f ‘(x=a)=0 ist
f ‘(x) oder f(x) in der Umgebung” von x a überprüfenf (x) oder f(x) in der „Umgebung von x=a überprüfen.
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Alternatives VerfahrenÜberprüfung von f(x) in der
Umgebung von x=aÜberprüfung von f‘(x) in der
Umgebung von x=akritischer Punkt von f(x)
ist
f(x)>f(a) für x<a ∧ x∈U(a) und f(x)>f(a) für x>a ∧ x∈U(a)
f‘(x)<0 für x<a ∧ x∈U(a) und f‘(x)>0 für x>a ∧ x∈U(a)
Minimum
8
10f(x)=(x+1)^2+1
f‘(x)=2(x+1)
2
4
6
4
-2
0
-8
-6
-4
a=-1
x>ax<a
x - x +
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-10-4 -3 -2 -1 0 1 2
a 1a a +
26.10.2010
Alternatives VerfahrenÜberprüfung von f(x) in der
Umgebung von x=aÜberprüfung von f‘(x) in der
Umgebung von x=akritischer Punkt von f(x)
ist
f(x)<f(a) für x<a ∧ x∈U(a) und f(x)<f(a) für x>a ∧ x∈U(a)
f‘(x)>0 für x<a ∧ x∈U(a) und f‘(x)<0 für x>a ∧ x∈U(a)
Maximum
6
8
10f(x)=-(x+1)^2+1
f‘(x)=-2(x+1)
2
4
6
-4
-2
0
-8
-6
a=-1
x>ax<a
xa - x
a +
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-10-4 -3 -2 -1 0 1 2
26.10.2010
Alternatives VerfahrenÜberprüfung von f(x) in der
Umgebung von x=aÜberprüfung von f‘(x) in der
Umgebung von x=akritischer Punkt von f(x)
ist
f(x)<f(a) für x<a ∧ x∈U(a) und f(x)>f(a) für x>a ∧ x∈U(a)
f‘(x)>0 für x<a ∧ x∈U(a) und f‘(x)>0 für x>a ∧ x∈U(a)
Sattelstelle monoton steigend
6
8
10f(x)=(x+1)^3+1f‘(x)=3(x+1)^2
2
4
6
-4
-2
0
-8
-6
a=-1
x>ax<a
xa - x
a +
Mathematik II – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – HochschuleEmden/Leer 36
-10-4 -3 -2 -1 0 1 2
26.10.2010
Alternatives VerfahrenÜberprüfung von f(x) in der
Umgebung von x=aÜberprüfung von f‘(x) in der
Umgebung von x=akritischer Punkt von f(x)
ist
f(x)>f(a) für x<a ∧ x∈U(a) und f(x)<f(a) für x>a ∧ x∈U(a)
f‘(x)<0 für x<a ∧ x∈U(a) und f‘(x)<0 für x>a ∧ x∈U(a)
Sattelstelle monoton fallend
6
8
10f(x)=-(x+1)^3+1f‘(x)=-3(x+1)^2
2
4
6
-4
-2
0
-8
-6
a=-1
x>ax<a
xa - x
a +
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-10-4 -3 -2 -1 0 1 2
26.10.2010
Umgebung von ag gIm Intervall (xa‐;xa+), das die Umgebung U(a) begrenzt, muss folgendes gelten:muss folgendes gelten:
f ‘(x) darf keine weitere Nullstelle als f ‘(a) aufweisen undf ‘( ) i I ll i if ‘(x) muss im gesamten Intervall stetig sein.
In dieser Umgebung kann beliebiger x‐Wert für die d k h ll d dBewertung der kritischen Stelle verwendet werden
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Extrema wenn f‘(x) unstetig( ) gAnalysen in Umgebung U(x) anwendbar, um Minima und Maxima an Unstetigkeitsstelle von f ‘(x) zu überprüfenMaxima an Unstetigkeitsstelle von f (x) zu überprüfenBeispiel: f(x)=|x|
10k(x)=|x|=sqrt(x^2)
k´(x)=|x|/x=sqrt(x^2)/x
6
8
4
0
2
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-2-10 -5 0 5 10
26.10.2010
WendestellenEine Wendestelle liegt dort vor,
d Z h d S i d T f( ) i h wo der Zuwachs der Steigung der Tangenten von f(x) sich umkehrt bzw.f ‘( ) i E t t ll f i tf ‘(x) eine Extremstelle aufweist
Anders ausgedrückt:Der Graph ändert am Wendepunkt seine Krümmung:
konvex: „nach oben geöffnet“k k h ff “konkav: „nach unten geöffnet“
Anmerkung: Jede Sattelstelle ist auch ein Wendepunkt
Mathematik II – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – HochschuleEmden/Leer 4026.10.2010
WendestellenEine Wendestelle liegt dort vor,
d Z h d S i d T f( ) i h wo der Zuwachs der Steigung der Tangenten von f(x) sich umkehrt bzw.,f ‘( ) i E t t ll f i tf ‘(x) eine Extremstelle aufweist(also f ‘‘(x) notwendigerweise eine Nullstelle hat…)
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Wendepunkt: Beispielfunktionp pWendestelle:Hi fälli iHier zufälligerweisegleichzeitig Nullstelle
i( )konkav
von i(x)
k
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konvex
PolstellenStrebt der Grenzwert für x xP gegen ±∞, so
i i d G i hexistiert der Grenzwert nicht,der Funktionswert ist oft für x= xP nicht definiert undder Funktionsgraph besitzt dort eine senkrechte Asymptote
Betrachtung links‐ und rechtsseitiger Grenzwert:Ziel: Verlauf des Funktionsgraph erkennenOft liefert die Grenzwertbetrachtung für den links‐ und grechtsseitigen Grenzwert unterschiedliches Verhalten( ±∞)
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Polstellen ‐ BeispielepNenner strebt gegen 0:
B i Si di P l llBestimmen Sie die Polstelleund skizzieren Sie den Graph!
( ) −=
12xxf ( )
( ) ±∞==
−
±± 23limlim
2
xf
xf
( )−±± →→ 222 xxx
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Polstellen ‐ BeispielepFunktion weist Polstellen auf:
f( ) lf(x)=log10xf(x)=tan(x)
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ExtremwertaufgabegTypische Aufgabe:
Ph ik li h G öß ll i i d i i i dPhysikalische Größe soll maximiert oder minimiert werdenPhysikalische Größe ist durch Mathematische Funktion (H tb di ) b h i b(Hauptbedingung) beschriebenHauptbedingung hängt typischerweise von 2 Größen ab, di i d üb i N b b di i d die wiederum über eine Nebenbedingung voneinander abhängenDurch Einsetzen der Nebenbedingung in die Durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung erhält man eine Funktion einer Veränderlichen die maximiert oder minimiert werden sollVeränderlichen, die maximiert oder minimiert werden sollVorgehen:
1 Ableitung bilden und 0 setzen1. Ableitung bilden und 0 setzenPolarität der 2.Ableitung überprüfen (Bedingung für Min/Max)
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Extremwertaufgabe: Beispielg pZylinderförmige Dose mit geg. Volumen G h /h d M i l f d ( Ob flä h ) Gesucht: r/h, so dass Materialaufwand (~Oberfläche) minimalHauptbedingung:Definitionsmenge: r,h∈R+
rhrAAhrA SeiteDeckelDose ππ 222),( 2 +=+=
VNebenbedingung: Nebenbed Haupbed :
22
rVhhrV Dose
Dose ππ =⇒=
VrrA Dose22)( 2 += πNebenbed. Haupbed.: r
rrADose 22)( += π
02424)(' 222 =⋅−=⋅−= −− rhrrrVrrA DoseDose πππ
i i044)(''2
2
3
=⇒=
A
hrhr
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Minimum044)('' 3 ⇒>⋅+= −rVrA DoseDose π26.10.2010
Lineare ApproximationppIdee: Approximation einer Funktion f(x) durch dessen Tangente im Punkt P (a;f(a))Tangente im Punkt P=(a;f(a))Beispiel:
( )Bestimmen Sie die Geradengleichung für die Tangente t(x), die die Funktion im Punkt P=(4;2) berührt!A i i f( ) d h ( ) d b i Si
( ) xxf =
Approximieren f(3,98) durch t(3,98) und bestimmen Sie den Approximationsfehler!A i i f( ) d h ( ) d b i Si Approximieren f(4,05) durch t(4,05) und bestimmen Sie den Approximationsfehler!I l h I t ll i i t t( ) di F kti f( ) In welchem Intervall approximiert t(x) die Funktion f(x) mit einem maximalen absoluten Fehler von 0,1?
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Lineare ApproximationppBestimmen Sie die Geradengleichung für die Tangente t(x), die die Funktion im Punkt P=(4;2) berührt!( ) xxf =die die Funktion im Punkt P=(4;2) berührt!( ) xxf =
1( )
12
1'
xxx
xf =
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )4
14
12441244'4 xxxxffxt +=+−=−⋅+=−⋅+=
Lineare ApproximationppApproximieren f(3,98) durch t(3,98) und bestimmen Sie den Approximationsfehler!den Approximationsfehler!Approximieren f(4,05) durch t(4,05) und bestimmen Sie d A i ti f hl !den Approximationsfehler!
x f(x) t(x) ε(x)=t(x)‐f(x) r(x)=ε(x)/f(x)
8 6 * 6 * 4%3,98 1,9949937 1,995 6,3*10‐6 3,1*10‐4%
4,05 2,0124612 2,0125 38,8*10‐6 1,9*10‐3%
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Lineare ApproximationppIn welchem Intervall approximiert t(x) die Funktion f(x) mit einem maximalen absoluten Fehler von 0 1?einem maximalen absoluten Fehler von 0,1?( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Krümmung)untersucheoder Grafik (siehe weil
1,0
≥−=−
≤−
xfxtxfxtxfxt
xfxt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,04
1
g)(
≤−+ xxfff
( ) 6,342
6,342
−≤−−
−≤−
x
xxAlso: Im Intervall [1,87;6,93] kann die Funktion f(x)durch dessen lineare Approximation t(x) angenähert
( )4,02
4,022
≤−
≤−
x
xpp ( ) g
werden, ohne dass der maximale Fehler von 0,1 über-schritten wird.
42422
⎩⎨⎧
<−≥−
=−xfürxxfürxx
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( ) ( ) 87,14,0293,64,0222≈−≥∧≈+≤
⎩
xx
f
Lineare Approximation: Differentialepp
( ) ( ) dxafdyafdy⋅=⇒= ''( ) ( )
( ) ( )afxafy
dxafdyafdx
−Δ+=Δ
⇒
( ) ( )ffy
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Anmerkung: hier nur Verwendung der Differentiale dx und dy – inhaltlich entsprichtdies der vorherigen Diskussion zur linearen Approximation
Lineare Approximation: DifferentialeppZurück zu unserem vorherigen Beispiel:
( )fGesucht f(3,98) und f(4,05) als lineare Approximation mit A f kt b i P ( )
( ) xxf =
Aufpunkt bei P=(4;2)f(3,98):d ∆dx=∆x=‐0,02dy=f ‘(a)∙dx=1/4 ∙(‐0,02)=‐0,005≈∆yalso: um 0 005 kleiner als f(4)=2also: um 0,005 kleiner als f(4)=2f(4,05):dx=∆x=0 05dx=∆x=0,05dy=f ‘(a)∙dx=1/4 ∙(0,05)=0,0125≈∆yalso: um 0,0125 größer als f(4)=25 g 4
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Lineare Approximation: DifferentialeppZusammenfassung:
d ∆ fü kl i ∆dy≈∆y für kleine ∆x
dyyΔlidxdy
xy
x=
ΔΔ
→Δ 0lim
Weitere Aufgaben: jeweils absolute/relative Toleranz gesuchta) Scheibe wird mit r=24cm±0,2cm gefertigt4 g g
gesucht: Toleranz Flächeb) Würfel wird mit Kantenlänge 30cm±0,1cm
gesucht: Toleranz Oberfläche und VolumenLösen Sie die Aufgaben unter Anwendung von Differentialen (lineare Approximation)!
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Differentiale: Funktionen von 2 VeränderlichenFunktionen von 1 Veränderlichen:
( ) dy
Funktionen von 2 Veränderlichen:
( ) dxdxdydxxfdy =⋅= '
Funktionen von 2 Veränderlichen:( )( ) ( )yxfyxfyxfz
∂∂=
;;;
Spezialfall z=0: Deutung Schnittkurve von f(x;y) mit Ebene z=0
( ) ( ) dyy
yxfdxx
yxfdz ⋅∂
∂+⋅
∂∂
=;;
Spezialfall z=0: Deutung Schnittkurve von f(x;y) mit Ebene z=0
( ) ( )( )x
yxfdydyyxfdxyxfdz ∂
∂
⇒∂
+∂
;;;0 ( ) ( )
( )y
yxfx
dxdy
ydx
xdz
∂∂∂−=⇒⋅
∂+⋅
∂== ;0
Bekannte Form der impliziten Ableitung☺Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 55
y