Post on 07-Sep-2019
Wahrscheinlichkeitsrechnung undStatistik fur Biologen
2. Der Standardfehler
Martin Hutzenthaler & Dirk Metzler
http://www.zi.biologie.uni-muenchen.de/evol/StatGen.html
27. April 2010
1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik
Inhalt
1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
Inhalt
1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
Bachstelzen fressen Dungfliegen
Rauber Beute
Bachstelze (White Wagtail) Gelbe DungfliegeMotacilla alba alba Scatophaga stercoraria
image (c) by Artur Mikołajewski image (c) by Viatour Luc
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
available dung flies
length [mm]
num
ber
4 5 6 7 8 9 10 11
050
100
150
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
available dung flies
length [mm]
num
ber
4 5 6 7 8 9 10 11
050
100
150 mean= 7.99
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
available dung flies
length [mm]
num
ber
4 5 6 7 8 9 10 11
050
100
150 mean= 7.99
sd= 0.96
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
captured dung flies
length [mm]
num
ber
4 5 6 7 8 9 10 11
010
2030
4050
60
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
captured dung flies
length [mm]
num
ber
4 5 6 7 8 9 10 11
010
2030
4050
60 mean= 6.79
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
captured dung flies
length [mm]
num
ber
4 5 6 7 8 9 10 11
010
2030
4050
60 mean= 6.79
sd= 0.69
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
Beobachtung
In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den
Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden.
Es gibt aber auch Ausnahmen.
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
Beobachtung
In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den
Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden.
Es gibt aber auch Ausnahmen.
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Inhalt
1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Kupfertolerantes Rotes Straußgras
Rotes Straußgras KupferAgrostis tenuis Cuprum
image (c) Kristian Peters Hendrick met de Bles
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Browntop Bent (n=50)
root length (cm)
dens
ity p
er c
m
0 50 100 150 200
010
2030
40
meadow plants
m m+sm−s
In etwa 2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]????Nein! Deutlich mehr.
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Browntop Bent (n=50)
root length (cm)
dens
ity p
er c
m
0 50 100 150 200
010
2030
40
meadow plants
m m+sm−s
In etwa 2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]????
Nein! Deutlich mehr.
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Browntop Bent (n=50)
root length (cm)
dens
ity p
er c
m
0 50 100 150 200
010
2030
40
meadow plants
m m+sm−s
In etwa 2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]????Nein! Deutlich mehr.
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Manche Verteilungen konnen nur mit mehr als zweiVariablen angemessen beschrieben werden.
z.B. mit den funf Werten der Boxplots:min, Q1, median, Q3, max
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Manche Verteilungen konnen nur mit mehr als zweiVariablen angemessen beschrieben werden.
z.B. mit den funf Werten der Boxplots:min, Q1, median, Q3, max
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ●● ● ●
● ●
0 50 100 150 200
Browntop Bent n=50+50
root length (cm)
copper mine plants
meadow plants
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Schlussfolgerung
In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den
Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden.
Es gibt aber auch Ausnahmen. Also:Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen!
Verlassen sie sich niemals allein auf numerischeKenngroßen!
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Schlussfolgerung
In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den
Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden.
Es gibt aber auch Ausnahmen. Also:Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen!
Verlassen sie sich niemals allein auf numerischeKenngroßen!
Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Schlussfolgerung
In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den
Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden.
Es gibt aber auch Ausnahmen. Also:Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen!
Verlassen sie sich niemals allein auf numerischeKenngroßen!
Der Standardfehler
Inhalt
1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Inhalt
1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Population(sämtliche Transpirationsraten)
n=oo
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Population(sämtliche Transpirationsraten)
n=oo
Stichproben=14
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Population(sämtliche Transpirationsraten)
µ
Stichprobex
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Wir schatzenden Populationsmittelwert
µdurch
den Stichprobenmittelwertx .
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Jede neue Stichprobe liefert einen neuen Wert von x .
x hangt vom Zufall ab:eine Zufallsgroße
FRAGE: Wie variabel ist x?
Genauer: Wie weit weicht x typischerweise von µ ab?
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Jede neue Stichprobe liefert einen neuen Wert von x .
x hangt vom Zufall ab:eine Zufallsgroße
FRAGE: Wie variabel ist x?
Genauer: Wie weit weicht x typischerweise von µ ab?
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Jede neue Stichprobe liefert einen neuen Wert von x .
x hangt vom Zufall ab:eine Zufallsgroße
FRAGE: Wie variabel ist x?
Genauer: Wie weit weicht x typischerweise von µ ab?
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Jede neue Stichprobe liefert einen neuen Wert von x .
x hangt vom Zufall ab:eine Zufallsgroße
FRAGE: Wie variabel ist x?
Genauer: Wie weit weicht x typischerweise von µ ab?
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Hypothethische Transpirationsratenverteilung
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
010
2030
4050
60
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
Population
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Hypothethische Transpirationsratenverteilung
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
010
2030
4050
60
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
Population Stichprobenmittel(n=16)
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Die allgemeine Regel
Die Standardabweichungdes Mittelwerts einer Stichprobe vom Umfang n
ist1/√
nmal
der Standardabweichungder Population.
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Die allgemeine Regel
Die Standardabweichungdes Mittelwerts einer Stichprobe vom Umfang n
ist1/√
nmal
der Standardabweichungder Population.
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Die Standardabweichung der Populationbezeichnet man mit
σ(sigma).
Die Regel schreibt man haufig so:
σ(x) =1√nσ(X )
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Die Standardabweichung der Populationbezeichnet man mit
σ(sigma).
Die Regel schreibt man haufig so:
σ(x) =1√nσ(X )
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
In der Praxis istσ
unbekannt.
Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s
geschatzt:
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
In der Praxis istσ
unbekannt.
Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s
geschatzt:
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
In der Praxis istσ
unbekannt.
Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s
geschatzt:
σ =??
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
In der Praxis istσ
unbekannt.
Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s
geschatzt:
σ ≈ s
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Die geschatzteStandardabweichung
von xs/√
nnennt man denStandardfehler.
(Englisch: standard error of the mean, standard error,SEM)
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Die geschatzteStandardabweichung
von xs/√
nnennt man denStandardfehler.
(Englisch: standard error of the mean, standard error,SEM)
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Inhalt
1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Wir haben gesehen:
Auch wenn die Verteilung vonx mehrgipfelig
&asymmetrisch
ist
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Hypothethische Transpirationsratenverteilung
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
010
2030
4050
60
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
Population
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
ist die Verteilung vonx
trotzdem(annahernd)
eingipfelig&
symmetrisch
(wenn der Stichprobenumfang n nur groß genug ist)
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Hypothethische Transpirationsratenverteilung
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
010
2030
4050
60
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
Population Stichprobenmittel(n=16)
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Die Verteilung von xhat annahernd
eine ganz bestimmte Form:
die Normalverteilung.
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Dichte der Normalverteilung
−1 0 1 2 3 4 5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Nor
mal
dich
te
µµ µµ ++ σσµµ −− σσ
Die Normalverteilungsdichte heisstauch Gauß’sche Glockenkurve
(nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855)
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Dichte der Normalverteilung
−1 0 1 2 3 4 5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Nor
mal
dich
te
µµ µµ ++ σσµµ −− σσ
Die Normalverteilungsdichte heisstauch Gauß’sche Glockenkurve
(nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855)
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Dichte der Normalverteilung
Die Normalverteilungsdichte heisstauch Gauß’sche Glockenkurve
(nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855)
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Wichtige Folgerung
Wir betrachten das Intervall
x − s/√
n x + s/√
n
x
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Wichtige Folgerung
x − s/√
n x + s/√
n
Mit Wahrscheinlichkeit ca. 2/3liegt µ innerhalb dieses Intervalls
x
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Wichtige Folgerung
x − s/√
n x + s/√
n
Mit Wahrscheinlichkeit ca. 2/3liegt µ innerhalb dieses Intervalls
Mit Wahrscheinlichkeit ca. 1/3liegt µ ausserhalb des Intervalls
x
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Demnach:
Es kommt durchaus vor, dass xvon µ
um mehr alss/√
n abweicht.
Der Standardfehler Anwendungen
Inhalt
1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 1:Welche Werte von µ sind plausibel?
x = 0,12s/√
n = 0,007
Frage: Konnte es sein, dassµ = 0,115?
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 1:Welche Werte von µ sind plausibel?
x = 0,12s/√
n = 0,007
Frage: Konnte es sein, dassµ = 0,115?
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 1:Welche Werte von µ sind plausibel?
x = 0,12s/√
n = 0,007
Frage: Konnte es sein, dassµ = 0,115?
Der Standardfehler Anwendungen
Antwort: Es ist gut moglich.
Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.
Standardfehlers/√
n = 0,007
Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.
(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,untersuchen wir spater.)
Der Standardfehler Anwendungen
Antwort: Es ist gut moglich.
Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.
Standardfehlers/√
n = 0,007
Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.
(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,untersuchen wir spater.)
Der Standardfehler Anwendungen
Antwort: Es ist gut moglich.
Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.
Standardfehlers/√
n = 0,007
Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.
(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,untersuchen wir spater.)
Der Standardfehler Anwendungen
Antwort: Es ist gut moglich.
Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.
Standardfehlers/√
n = 0,007
Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.
(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,untersuchen wir spater.)
Der Standardfehler Anwendungen
Antwort: Es ist gut moglich.
Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.
Standardfehlers/√
n = 0,007
Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.
(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,untersuchen wir spater.)
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 2:Vergleich von Mittelwerten
Beispiel: Springkrebs
Galathea squamiferaimage (c) by Matthias Buschmann
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 2:Vergleich von Mittelwerten
Beispiel: Springkrebs
Galathea squamiferaimage (c) by Matthias Buschmann
Der Standardfehler Anwendungen
Vergleich der Carapaxlange:
(c): public domain
Der Standardfehler Anwendungen
Galathea: Carapaxlangein einer Stichprobe
Mannchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm
n1 = 25
Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm
n2 = 29
Der Standardfehler Anwendungen
Die Weibchenscheinen großer zu sein.
Ist das ernst zu nehmen?
Oder konnte es nur Zufall sein?
Der Standardfehler Anwendungen
Die Weibchenscheinen großer zu sein.
Ist das ernst zu nehmen?
Oder konnte es nur Zufall sein?
Der Standardfehler Anwendungen
Die Weibchenscheinen großer zu sein.
Ist das ernst zu nehmen?
Oder konnte es nur Zufall sein?
Der Standardfehler Anwendungen
Wie genau sind die beiden Mittelwerte?
Mannchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm
n1 = 25
s1/√
n1 = 0,18 [mm]
Mit Schwankungen von±0,18 (mm) in x1
mussen wir rechnen.
Der Standardfehler Anwendungen
Wie genau sind die beiden Mittelwerte?
Mannchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm
n1 = 25
s1/√
n1 = 0,18 [mm]
Mit Schwankungen von±0,18 (mm) in x1
mussen wir rechnen.
Der Standardfehler Anwendungen
Wie genau sind die beiden Mittelwerte?
Mannchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm
n1 = 25
s1/√
n1 = 0,18 [mm]
Mit Schwankungen von±0,18 (mm) in x1
mussen wir rechnen.
Der Standardfehler Anwendungen
Wie genau sind die beiden Mittelwerte?
Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm
n2 = 29
s2/√
n2 = 0,17 [mm]
Es ist nicht unwahrscheinlich,dass x2 um mehr als ±0,17 (mm) vom wahren
Mittelwert abweicht.
Der Standardfehler Anwendungen
Wie genau sind die beiden Mittelwerte?
Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm
n2 = 29
s2/√
n2 = 0,17 [mm]
Es ist nicht unwahrscheinlich,dass x2 um mehr als ±0,17 (mm) vom wahren
Mittelwert abweicht.
Der Standardfehler Anwendungen
Wie genau sind die beiden Mittelwerte?
Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm
n2 = 29
s2/√
n2 = 0,17 [mm]
Es ist nicht unwahrscheinlich,dass x2 um mehr als ±0,17 (mm) vom wahren
Mittelwert abweicht.
Der Standardfehler Anwendungen
Die Differenz der Mittelwerte
3,23− 3,04 = 0,19 [mm]
ist kaum großer alsdie zu erwartenden Schwankungen.
Es konnte also einfach Zufall sein,dass
x2 > x1
Der Standardfehler Anwendungen
Die Differenz der Mittelwerte
3,23− 3,04 = 0,19 [mm]
ist kaum großer alsdie zu erwartenden Schwankungen.
Es konnte also einfach Zufall sein,dass
x2 > x1
Der Standardfehler Anwendungen
Die Differenz der Mittelwerte
3,23− 3,04 = 0,19 [mm]
ist kaum großer alsdie zu erwartenden Schwankungen.
Es konnte also einfach Zufall sein,dass
x2 > x1
Der Standardfehler Anwendungen
GENAUER FORMULIERT:
Wenn in Wirklichkeitdie Populationsmittelwerte
gleich sind,
µWeibchen = µMannchen
kann es trotzdem leicht passieren,dass die Stichprobenmittelwerte
x2 und x1
so weit auseinander liegen.
Der Standardfehler Anwendungen
GENAUER FORMULIERT:
Wenn in Wirklichkeitdie Populationsmittelwerte
gleich sind,
µWeibchen = µMannchen
kann es trotzdem leicht passieren,dass die Stichprobenmittelwerte
x2 und x1
so weit auseinander liegen.
Der Standardfehler Anwendungen
Der Statistiker sagt:
Die Differenzder Mittelwerte
ist(statistisch)
nicht signifikant.
Der Standardfehler Anwendungen
nicht signifikant
=
konnte Zufall sein
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 3:
Wenn man Mittelwertegraphisch darstellt,
sollte man auchihre Genauigkeit
(±s/√
n)anzeigen.
Der Standardfehler Anwendungen
Also nicht so:Carapaxlangen: Mittelwerte nach Geschlecht
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
Car
apax
läng
e [m
m]
●
●
Männchen Weibchen
Der Standardfehler Anwendungen
sondern so:Carapaxlangen:
Mittelwerte ± Standardfehler nach Geschlecht2.
62.
83.
03.
23.
4
Car
apax
läng
e [m
m]
●
●
Männchen Weibchen
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 4:
Bei der Versuchsplanung:
Wieviele Beobachtungenbrauche ich?
(Wie groß sollte die Stichprobenlange n sein?)
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 4:
Bei der Versuchsplanung:
Wieviele Beobachtungenbrauche ich?
(Wie groß sollte die Stichprobenlange n sein?)
Der Standardfehler Anwendungen
Wenn man weiß, welche Genauigkeit(Standardfehler s/
√n)
fur x man erreichen will,
und wenn man(aus Erfahrung oder aus einem Vorversuch)
s ungefahr kennt,dann kann man
das notwendige n ungefahr abschatzen:s/√
n = g(g = gewunschter Standardfehler)
Der Standardfehler Anwendungen
Wenn man weiß, welche Genauigkeit(Standardfehler s/
√n)
fur x man erreichen will,
und wenn man(aus Erfahrung oder aus einem Vorversuch)
s ungefahr kennt,
dann kann mandas notwendige n ungefahr abschatzen:
s/√
n = g(g = gewunschter Standardfehler)
Der Standardfehler Anwendungen
Wenn man weiß, welche Genauigkeit(Standardfehler s/
√n)
fur x man erreichen will,
und wenn man(aus Erfahrung oder aus einem Vorversuch)
s ungefahr kennt,dann kann man
das notwendige n ungefahr abschatzen:s/√
n = g(g = gewunschter Standardfehler)
Der Standardfehler Anwendungen
Beispiel:Gestresste Transpirationswertebei einer anderen Hirse-Sorte:
x = 0,18s = 0,06n = 13
Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholt werdenund man will
Standardfehler ≈ 0,01 erreichen.
Wie groß sollte n sein?
Der Standardfehler Anwendungen
Beispiel:Gestresste Transpirationswertebei einer anderen Hirse-Sorte:
x = 0,18s = 0,06n = 13
Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholt werdenund man will
Standardfehler ≈ 0,01 erreichen.
Wie groß sollte n sein?
Der Standardfehler Anwendungen
Beispiel:Gestresste Transpirationswertebei einer anderen Hirse-Sorte:
x = 0,18s = 0,06n = 13
Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholt werdenund man will
Standardfehler ≈ 0,01 erreichen.
Wie groß sollte n sein?
Der Standardfehler Anwendungen
Losung:
gewunscht:s/√
n ≈ 0,01
aus dem Vorversuch wissen wir:
s ≈ 0,06,√
n ≈ 0,060,01 = 6
n ≈ 36
Der Standardfehler Anwendungen
Losung:
gewunscht:s/√
n ≈ 0,01
aus dem Vorversuch wissen wir:
s ≈ 0,06,
√n ≈ 0,06
0,01 = 6n ≈ 36
Der Standardfehler Anwendungen
Losung:
gewunscht:s/√
n ≈ 0,01
aus dem Vorversuch wissen wir:
s ≈ 0,06,√
n ≈ 0,060,01 = 6
n ≈ 36
Der Standardfehler Anwendungen
Losung:
gewunscht:s/√
n ≈ 0,01
aus dem Vorversuch wissen wir:
s ≈ 0,06,√
n ≈ 0,060,01 = 6
n ≈ 36
Der Standardfehler Zusammenfassung
Inhalt
1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.
Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .
x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroße
mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/√
n.Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/
√n.
s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.
s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.s/√
n nennt man den Standardfehler.
Schwankungen in x von der Große s/√
n kommen haufigvor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.
Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.