Materialien zum Modellversuch:

Vorschläge und Anregungen zu einer

veränderten Aufgabenkultur

(03) Zum Themengebiet Geometrie

(Jahrgangsstufe 7)

Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms"Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen

Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.

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Gehfaule Ameisen

Quelle: Arbeitsblätter von Johannes Glötzner zur "Geometrie der gehfaulen Ameisen"(auf Vorschlag von R. Bendrien, HeLP), die von den Lehrern der Albert-Schweitzer-Schule aufbereitet wurden.

Dies sind drei Arbeitsblätter, die zur Einführung geometrischer Grundbegriffe wieParallelen, Senkrechten, Kreise, ... dienen können.

Eignung:• GA/PA• Eigenschaften erkennen, formulieren und begründen

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Tangram

In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art:

Stelle die Teile des Tangram-Spiels nach der Vorlage aus Karton her.a. Aus welchen Formen besteht das Spiel?b. Lege die abgebildeten Tangramfiguren nach. Erfinde selbst weitere Figuren.

Anregungen zur Öffnung dieser Aufgabe:

Zunächst könnten die Schüler vorgegebene Figuren nachlegen oder selbst weitereFiguren erfinden und deren Umrisse dem Nachbarn geben, damit dieser sie auslegt.

Eine Möglichkeit wäre auch, die Schüler möglichst viele verschiedene konvexePolygone legen zu lassen (es gibt insgesamt 13, die Idee und die untere Abbildungstammt aus: Wittmann, E.: Vom Tangram zum Satz von Pythagoras. In: mathematiklehren 83, S. 19)

Anschließend sollen die Schüler überlegen, aus welchen anderen Grundformen dievorliegenden Figuren noch hätten gelegt werden können, welche Symmetrien diegelegten Figuren haben, welche Winkel vorkommen, ... und Flächeninhalteverschiedener Teilfiguren bestimmen (vgl. hierzu auch den Artikel von E.Köhler inMidSch 36 (1998) 9, S. 462 f.).

Eignung:• Auch für schwächere Lerngruppen• PA• Wdhg. Winkel (es muss "passen")• Wdhg. Grundformen• Wdhg. Symmetrie• Wdhg./Vorbereitung Flächeninhalte

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Abbildung zu den 13 konvexen Polygonen des Tangram (aus: Wittmann in ml 83):

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Hier noch ein AB, das von Frau B. Brazel (Friedrich-Wöhler-Schule) zu diesemThemengebiet entworfen wurde:

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Dreiecke

In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art:

Konstruiere ein Dreieck ABC aus den gegebenen Größen. Bestimme durch Messen die übrigen Größen.Kontrolliere die Winkelgrößen mit Hilfe des Winkelsummensatzes.

a. a=5 cm, b=4 cm, γ=67°b. c=9 cm, a=6 cm, γ=53°c. a=4,5 cm, β=57°, γ=43°d. a=7 cm, b=5 cm, c=4 cm

Aus welchen der vier Kongruenzsätze folgt, dass alle Lösungsdreiecke mit den gegebenen Größenkongruent zueinander sind? Miss auch die Höhen im Dreieck.

Anregungen zur Öffnung dieser Aufgabe:

Die Schüler sollen z.B. mit einer geringeren Anzahl gegebener Angaben möglichstviele verschiedene Dreiecke konstruieren (unterbestimmte Aufgabe), z.B.: "In einemDreieck ist eine Seite 6 cm lang. Was muss noch gegeben sein, damit diegezeichneten Dreiecke identisch sind?" (Alternative: unten wiedergegebene Tabelle)

Oder (überbestimmt): Die Schüler sollen auf möglichst viele (mindestens drei)verschiedene Arten ein vorgegebenes Dreieck zeichnen.

Mögliche Anschlussfrage: In welchen Fällen ist es gar nicht möglich, ein Dreieck zukonstruieren (und warum)?

Die Schüler erfahren durch Ausprobieren und Überlegen, wie viele und welcheAngaben notwendig sind, um eine Figur eindeutig zu bestimmen bzw. ob diesüberhaupt möglich ist.

Herr M. Arendt (Gesamtschule Am Obersberg) hat folgende Tabelle zum Einstieg indieses Themengebiet verwendet (die Schüler fügten weitere Zeilen hinzu underarbeiteten Kriterien für Konstruierbarkeit):

c a b alpha beta gamma konstruierbar? alle Dreieckekongruent?

6 cm 4 cm 5cm ja ja

6 cm 3 cm 2 cm nein -

... ... ... ... ... ... ... ...

Eignung:• Wdhg. Grundkonstruktionen• Einstieg in die Behandlung der Kongruenzsätze• Begründen/Beweisen

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Vierecke

In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art:

Ergänze zu einem Parallelogramm ABCD. Wann entsteht eine Raute?

(aus: Mathematik heute 7)

Anregungen zur Öffnung der Aufgabe:

"Hier sind einige Teilfiguren. Ergänze sie jeweils zu einem Viereck! WelcheMöglichkeiten gibt es?"

Hieran lassen sich in bezug auf Vierecke direkt Symmetriebetrachtungenanschließen.In GA oder PA sollen anschließend Ordnungsstrukturen oder Analogien entdecktwerden.

Die Schüler können auf diese Weise selbständig Ähnlichkeiten entdecken und gelangenso zu charakterisierenden Eigenschaften und Definitionen. Zumindest ansatzweisekann eine Klassifikation im Sinne des "Hauses der Vierecke" erfolgen.

In diesem Zusammenhang können auch Abbildungsmöglichkeiten wie Spiegelung,Drehung und Verschiebung wiederholt werden.

Als Vorbereitung auf das Themengebiet "Maßstäbliche Vergrößerung bzw.Verkleinerung" können hier auch schon ähnliche Drei-/Vierecke betrachtet werden (evtl.Ähnlichkeit präformal über gleiche Seitenverhältnisse und gleiche Winkelgröße).

Gerade für leistungsschwächere Lerngruppen erscheint es uns in diesemZusammenhang sinnvoll, die einzelnen Grundformen von den Schülern zeichnen,ausschneiden und anschließend klassifizieren zu lassen. Dadurch haben die Schülerkonkrete Figuren vorliegen (Anschaulichkeit!) und können damit hantieren. EineAlternative hierzu ist die Verwendung der MEXBOX (siehe Abbildung unten, bei derMUED e.V., 48301 Appelhülsen bestellbar) oder eines Geobrettes (siehe Abbildung undHerstellungsanleitung unten).

Besonders hinweisen möchten wir an dieser Stelle auf den hervorragend hierzupassenden Artikel von E. Köhler in MidSch 36 (1998) 10, S. 521-530, in dem auf eineArt Geobrett Bezug genommen wird.

Eignung:• Wdhg. Symmetrie, Winkel• Einstieg in die Klassifikation der Vierecke (Haus der Vierecke)• Begründung

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Ein Geobrett können die Schüler auf folgende Weise relativ einfach und schnell selbstherstellen (auch ohne Nägel): Man schneidet aus einem Stück dicken Kartons einRechteck der Größe 16 cm x 9 cm aus. Dann sticht man mit Hilfe eines Nagels 10Löcher und kennzeichnet sie wie folgt:

Version1: Version2:

Von der Rückseite werden nun “Briefklammern“ durch diese Löcher gesteckt, in dem der eine “Klammerarm“ umgeknickt wird.

Mit Hilfe unterschiedlich langen Gummis kann man jetzt Vierecke und Dreiecke um denanderen Klammerarm spannen.

Zur Vergrößerung der Anzahl der Möglichkeiten, vor allem vor Veranschaulichung vonDrehung, Spiegelung und Verschiebung kann die Anzahl der Löcher vergrößert werden.

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Figuren legen

Welche Drei- und Vierecke lassen sich mit zwei gegebenen rechtwinkligenDreiecken legen?Schneide die vorgegebenen Dreiecke aus und lege sie so aneinander, dass eineneue Figur entsteht. Benenne jeweils Ihre Eigenschaften.

Mögliche Verallgemeinerung: Welche Drei- und Vierecke lassen sich aus zweigegebenen Dreiecken legen?

Lösungen:

Eignung:• Eigenschaften erkennen und anwenden• Verbalisierung von Eigenschaften• Durcharbeitungsphase oder Lernkontrolle

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Flächeninhalt Trapez

Quelle: Winter, H.: Begriff und Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht, in:mathematik lehren 2 (1984), S. 12.

Die Schüler sollen den Flächeninhalt eines Trapez auf möglichst viele (mind. drei)verschiedene Arten bestimmen.Oder einfach nur (z.B. in GA): "Berechne den Flächeninhalt!"

Anschließend werden die verschiedenen Vorgehensweisen im Plenum vorgestellt undverglichen.

Dies kann auf viele verschiedene Arten geschehen (vielleicht finden Sie oder IhreSchüler noch weitere), z.B.:

Diese Aufgabe lässt sich wie folgt fortführen: Die Schüler haben die Aufgabe, eineFormelsammlung für sich selbst zu erstellen, in der die Flächeninhaltsformeln fürverschiedene Grundformen stehen und auch erläutert werden. Eignung:

• GA/PA• Begründungen• Wdhg. Grundkonstruktionen, Symmetrie• Vorbereitung Terme

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Verpackungen

Quelle: Bruder, R.: Kräutergarten und Konfektverpackung, in: mathematik lehren 81(1997), S. 14-16.

In diesem Artikel wird geschildert, wie im Unterricht anhand der Untersuchung realerKörper (Verpackungen) die mathematischen Themengebiete Volumen/Oberfläche/...behandelt werden.

Ausführliche Erläuterungen hierzu finden sich im genannten Artikel von R. Bruder inmathematik lehren 81.

Als Alternative könnten an dieser Stelle auch die "Klickies" (siehe Abbildung, über dieMUED e.V., 48301 Appelhülsen beziehbar, ebenfalls auch Arbeitsblätter dazu)eingesetzt werden, dort wird z.B. vorgeschlagen:"Entwerfe eine Kartonverpackung für 1 kg Reis oder 500g (kleine) Nudeln" (Vorgabe:sehr auffällig, kein Würfel oder Quader)

Klickies (3D Geoshapes)Ein vielseitiges Konstruktionskonzept für Körper und Netze aus Dreiecken,Quadraten, Fünf- und Sechsecken. Es fördert Kreativität, räumliches Denkensowie die Feinmotorik.

Klickies bestehen aus hochschlagfestem, umweltfreundlichen Polycarbonat. DieFarben sind lebensmittelecht.Die einzigartige Konstruktionstechnik liefert stabile und trotzdem flexibleVerbindungen zwischen den verschiedenen Formen. Die Kantenlänge isteinheitlich 6,8 cm. Damit erhalten die konstruierten Körper eine anschaulicheund gut handhabbare Größe.

Klickies lassen sich vielfältigeinsetzen, z.B. um:§ den Zusammenhang von

Körpern und zugehörigemNetz zu be-greifen;§ Eigenschaften geometrischer Körper zu untersuchen;§ Parkettierung zu be-handeln;§ den Anteilsbegriff in der Bruchrechnung zu

veranschaulichen;§ den Satz des Pythagoras zu veranschaulichen und

zu be-greifen;§ besondere Linien in Körpern zu zeigen – z.B. beim

Pythagoras und bei Winkelfunktionen;§ geometrische Extremwertprobleme in der Analysis zu

veranschaulichen;§ analytische Geometrie im R3 zu betreiben.

Eignung:• Einstieg in die Behandlung von Körpern• GA/PA• Modellierung• Wdhg. Symmetrie, Grundformen, Flächeninhalte

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Füll-Graphen

In Anlehnung an die Modellversuchs-Materialien zum Themengebiet Zuordnungen(Vorschlag "Wasserhöhe in Gefäßen") könnten Füll-Graphen hier wieder aufgegriffenund wiederholt werden:

Befüllen von Körpern (in verschiedenen Lagen!): Welche "Füll"-Graphengehören/passen dazu?

"Gegeben sind folgende Gefäße. Finde jeweils den zugehörigen Graphen, der dieWasserhöhe beim Befüllen des Gefäßes angibt." (bei Vorgabe einer Auswahlmöglicher Graphen)

Oder: "Gegeben sind folgende Gefäße. Zeichne jeweils den zugehörigen Graphen,der die Wasserhöhe beim Befüllen des Gefäßes angibt."

Im folgenden Beispiele hierzu:

Auch hier sind natürlich wieder Umkehraufgaben denkbar: Gegeben ist ein Graph, wiekönnte ein zugehöriges Gefäß aussehen?

Im Rahmen der Diskussion über den Verlauf verschiedener Füll-Graphen sollte auchauf Begründungen wert gelegt werden, z.B.: Warum/wann tritt ein "Knick" auf?, ...

Eignung:• Wdhg. Zuordnungen• PA• Begründen