050201.65 ¾математика¿ с дополнительной...

Федеральное агентство по образованиюГосударственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования “Славянский-на-Кубанигосударственный педагогический институт”

Факультет математики и информатикиКафедра математики и МПМ

Чернышев А.Н., ст. преподаватель, к.ф.-м.н.(Ф.И.О. должность, уч. степень автора)

Учебно-методический комплекс дисциплины

«Информационные технологии в математике»

для студентов специальности 050201.65 «математика»с дополнительной специальностью 050202.65 «информатика»

курс 2семестр 3

количество часов:лекций 30

практических 12лабораторных 12

самостоятельной работы 36

УМКД утвержденна заседании кафедры

« » 200 г.Зав. кафедрой

УМУ СГПИ

Содержание

1 Учебная программа дисциплины 41.1 Пояснительная записка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Назначение дисциплины, её место в системе подготовки специалиста . . . . 41.1.2 Требования к знаниям и умениям обучаемого . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Обоснование структуры учебной дисциплины . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Рекомендации к применению различных видов учебных занятий . . . . . . 61.1.5 Методические рекомендации преподавателю . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.6 Рекомендации по использованию информационно-коммуникационных тех-

нологий обучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Тематический план учебной дисциплины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Содержание учебной дисциплины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Содержание учебного материала (теоретической части) . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Содержание практических занятий и лабораторных работ . . . . . . . . . . 111.3.3 Содержание и виды самостоятельной работы студентов . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Тематика курсовых работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Тематика контрольных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Тематика рефератов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов . . . . . . . . . . 131.8 Теоретические вопросы к зачёту . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.9 Критерии оценивания студентов на зачете . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.10 Список рекомендуемой для изучения литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.10.1 Список основной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.10.2 Список дополнительной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Конспект лекций (рекомендации к теоретической части) 172.1 Тема 1. Пакет символьных вычислений Maple V Release 4 . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Лекция 1. Обзор пакетов символьных вычислений (Matematica, Derive, MapleV, MathCAD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Лекция 2. Интерфейс Maple V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 Лекция 3. Синтаксис языка Maple V Release 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.4 Лекция 4. Использование Maple V Release 4 для решения задач математи-

ческого анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.5 Лекция 5. Использование Maple V Release 4 для решения дифференциаль-

ных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.6 Лекция 6. Использование Maple V Release 4 для построения графиков функ-

ций и поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.7 Лекция 7. Использование Maple V Release 4 для решения уравнений и их

систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.8 Лекция 8. Использование Maple V Release 4 для решения задач линейной

алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.1.9 Лекция 9. Использование Maple V Release 4 для решения задач алгебры,

теории чисел и геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2 Тема 2. Технологии подготовки математических текстов. Пакет LATEX . . . . . . . 63

2.2.1 Лекция 10. Подготовка математических текстов средствами Microsoft Word 632.2.2 Лекция 11. Документы в LATEX. Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.3 Лекция 12. Набор текста в LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.4 Лекция 13. Набор математических формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.2.5 Лекция 14. Математические символы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.2.6 Лекция 15. Некоторые особенности LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2

3 Практикум (рекомендации к практической части) 943.1 Тема 1. Пакет символьных вычислений Maple V Release 4 . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.1.1 Практическое занятие 1. Синтаксис Maple. Вычисление пределов. Диффе-ренцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.1.2 Практическое занятие 2. Решение задач математического анализа . . . . . . 963.1.3 Практическое занятие 3. Решение алгебраических задач . . . . . . . . . . . 98

3.2 Тема 2. Технологии подготовки математических текстов. Пакет LATEX . . . . . . . 1003.2.1 Практическое занятие 4. Верстка математических документов в Microsoft

Word . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.2.2 Практическое занятие 5. Набор текста в LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.2.3 Практическое занятие 6. Верстка математических документов в LATEX . . . 105

4 Лабораторный практикум 1074.1 Тема 1. Пакет символьных вычмслений Maple V Release 4 . . . . . . . . . . . . . . 107

4.1.1 Лабораторная работа 1. Синтаксис Maple. Вычисление пределов. Диффе-ренцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.1.2 Лабораторная работа 2. Решение задач математического анализа . . . . . . 1094.1.3 Лабораторная работа 3. Решение алгебраических задач . . . . . . . . . . . . 111

4.2 Тема 2. Технологии подготовки математических текстов. Пакет LATEX . . . . . . . 1134.2.1 Лабораторная работа 4. Верстка математических документов в Microsoft Word1134.2.2 Лабораторная работа 5. Набор текста в LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.2.3 Лабораторная работа 6. Верстка математических документов в LATEX . . . 117

5 Итоговый тест 120

6 Базовый учебник 125

7 Хрестоматии, справочники, монографии и т.п. (в библиотеке СГПИ) 127

8. Список литературы 129

c©Maple, Maple V, Maple V Release 4 являются зарегестрированными торговыми марками WaterlooMaple Software Inc.c©Windows является зарегестрированной торговой маркой Microsoft Corp.

3

1 Учебная программа дисциплины

1.1 Пояснительная записка

1.1.1 Назначение дисциплины, её место в системе подготовки специалиста

Курс “Информационные технологии в математике” является дисциплиной вузовского компонен-та, устанавливаемого решением руководства ВУЗа для предметного блока подготовки государ-ственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специально-сти “032100 — математика” (квалификация — учитель математики). В учебной программе фа-культета курс входит в блок обучения основной специальности.

Основная цель изучаемой дисциплины — дать студентам теоретические и практические зна-ния в следующих областях:

• Методов и информационных средств обработки математической информации.

• Прикладных математических пакетов обработки числовой информации с решением числен-ным способом сложных математических задач:

– задачи символьного дифференцирования и интегрирования функций одного и несколь-ких переменных;

– построение графиков функций и поверхностей;

– решение задач матричной алгебры;

– поиск аналитического решения систем линейных уравнений;

– решение нелинейных уравнений;

– решение дифференциальных уравнений;

– решение задач теории чисел и комбинаторных задач.

• Использования систем подготовки математических текстов.

Цель курса — познакомить с конкретными реализациями программных систем и приклад-ных пакетов, их базовыми возможностями и особенностями работы, освоить методы обработкиматематической информации, показать связь современных информационных технологий и ком-пьютерных систем с различными разделами математики. Познакомить с реализациями системMaple и LATEX.

Данный курс должен познакомить студента с примерами прикладных компьютерных систем,используемых для решения сложных математических задач различных типов и видов, а также продемонстрировать важный прикладной характер математики и возможности современныхинформационных технологий. Курс является естественным продолжением курса “Программноеобеспечение ЭВМ” и обеспечивает углубленное изучение определенных тем и компьютерных си-стем, которые имеют важное практическое приложение в математике.

1.1.2 Требования к знаниям и умениям обучаемого

В результате изучения курса “Информационные технологии в математике” студент должен знать:

• основные теоретические сведения о характеристиках математических пакетов;

• основные возможности компьютерных прикладных пакетов для решения математическихзадач и представления математических текстов;

• базовые методы символьных преобразований;

• базовые методы решения задач матричной алгебры;

4

• базовые методы решения уравнений;

• базовые методы решения дифференциальных уравнений;

• базовые методы решения комбинаторных задач.

В результате изучения курса ”Информационные технологии в математике” студент долженуметь:

• решать в системе Maple задачи символьного дифференцирования и интегрирования;

• решать в системе Maple задачи построения графиков функций и поверхностей;

• решать в системе Maple задачи матричной алгебры;

• решать в системе Maple задачи аналитического решения систем линейных уравнений;

• решать в системе Maple задачи решения нелинейных уравнений;

• решать в системе Maple задачи решения дифференциальных уравнений;

• решать в системе Maple задачи теории чисел и комбинаторные задачи;

• готовить математические тексты в системе LATEX.

1.1.3 Обоснование структуры учебной дисциплины

Курс “Информационные технологии в математике” рассчитан на изучение в течение 3 семестра2 курса обучения.

Для изучения выделены следующие темы:

1. Обзор пакетов символьных вычислений.

2. Решение задач символьного дифференцирования и интегрирования функций одного и несколь-ких переменных.

3. Построение графиков функций и поверхностей.

4. Решение задач матричной алгебры.

5. Решение систем линейных уравнений.

6. Решение нелинейных уравнений.

7. Решение дифференциальных уравнений.

8. Решение задач теории чисел и комбинаторных задач.

9. Технологии подготовки математических текстов.

В данной программе курс “Информационные технологии в математике” содержит лекцион-ную, практическую и лабораторную составляющую. Учитывая практическую направленностькурса и необходимость серьезной практики на ЭВМ, курс содержит минимальное количествопрактических занятий и максимальное количество лабораторных занятий. На практические за-нятия выносятся только отдельные темы, требующие дополнительной математической проработ-ки.

В качестве программной среды для реализации моделей выбраны пакеты прикладных про-грамм Maple и LATEX. Данный набор программных продуктов может служить удобным и простымсредством для иллюстрации методов и возможностей компьютерной техники математической об-работки данных и соответствует государственному стандарту. Практические навыки работы вданных системах будут служить хорошим дополнением к навыкам полученным при изучениикурса “Программное обеспечение ЭВМ”.

5

1.1.4 Рекомендации к применению различных видов учебных занятий

В курсе “Информационные технологии в математике” планируется 54 часа аудиторной работына лекциях, практических и лабораторных занятиях и 36 часов самостоятельной работы. Лек-ционные занятия используются для изучения основных теоретических сведений о современномпрограммном обеспечении, используемом для обработки математических данных, его характери-стиках, основных функциях и назначении.

На практических занятиях разбираются общие и частные примеры применения математиче-ских пакетов для решения конкретных математических задач, а так же примеры использованиясистем подготовки математических текстов. Лабораторные занятия используются для получениянеобходимых практических знаний и навыков в работе с современными программными системамиMaple и LATEX.

В качестве форм контроля учебной деятельности используются защита лабораторных работ,зачет и коллоквиум.

Защита лабораторных работ вводится для контроля выполнения лабораторных работ. Защиталабораторной работы предусматривает создание файла лабораторной работы, письменного от-чета о результатах расчетов, защиты в форме устного ответа на теоретические и практическиевопросы по защищаемой работе.

Коллоквиум используется для контроля усвоения материала лекционного курса. Зачет ис-пользуется для контроля и аттестации общего знания студентов по дисциплине.

1.1.5 Методические рекомендации преподавателю

Концепция целенаправленного развития у студентов готовности к самообразованию приводит ктому, что самостоятельная деятельность школьников и студентов, управляемая и организуемая,тесно смыкается с их образованием, которое является составной и закономерной частью целост-ной системы учебно-воспитательной работы.

В рамках указанной концепции на первый план выходит самостоятельная работа студентов,представленная как в рамках основных форм организаций учебного процесса (лекция, практиче-ские и лабораторные занятия), так и в части организации самостоятельной работы во внеурочноевремя, в том числе по индивидуальным заданиям.

Программа курса “Информационные технологии в математике” предусматривает разнообраз-ные виды самостоятельных работ:

• по образцу;

• реконструктивно-вариативные;

• частично-поисковые;

• творческие.

Первые два вида самостоятельных работ применяются непосредственно на учебных занятиях,и предназначены для подготовки студентов к более высокому уровню учебной деятельности.

Следующие виды самостоятельной работы предназначены для интеллектуального роста сту-дентов, выполнение работ этого рода предлагается студентам по следующим направлениям —это индивидуальные задания, курсовые работы, дипломное проектированное, а так же НИРС(подготовка докладов, статей и выступление с ними на методических и научно-практическихконференциях).

Для закрепления навыков самостоятельной работы необходимо студентам с первых занятийвырабатывать и развивать у себя систему знаний и умений, которые отражают меру интеллек-туального развития:

• в конкретном видеть общее;

6

• из общего выделять конкретное;

• видеть внутри- и межпредметные связи относительно различных научных понятий, методови т.д.;

• осознание единства и целостности научной картины мира;

• умение соотносить научные категории с объективной реальностью;

• понимание относительного характера знаний и необходимости уточнять их путем система-тического познания;

• умение анализировать и обобщать;

• гибкость мыслительной деятельности, осознанная устойчивость и самостоятельность мыш-ления;

• прочность имеющихся знаний, умений и навыков, их восстанавливаемость.

Для реализации приведенной системы знаний студентам предлагаются различные средства.В частности, методические рекомендации к практическим и лабораторным занятиям и самосто-ятельной работе.

Данные методические пособия помогают студентам организовать свою работу как на практи-ческих и лабораторных занятиях, так и при работе во внеаудиторное время.

Методические рекомендации к практическим занятиям и лабораторным занятиям предусмат-ривают разбиение учебного материала на темы, изучение которых предусмотрено Государствен-ным стандартом и данной учебной программой. Каждое практическое и лабораторное занятиеразбито на ряд тем, помогающих студентам самостоятельно работать при подготовке к практи-ческим занятиям и лекциям. Это такие вопросы как:

1. План занятия. Здесь более подробно обозначены вопросы, изучаемые в данной теме. Длялабораторных работ план занятия содержит подробные инструкции по выполнению зада-ния.

2. Задания. Первая группа заданий подготавливает студентов к восприятию нового материа-ла. Вторая группа — это задания по усвоению и закреплению изученного. Третья группа —задания для самостоятельной проработки материала. В лабораторных работах объем зада-ний устанавливаются с таким расчетом, чтобы основная часть студентов использовала дляего выполнения дополнительное машинное время.

3. Вопросы для самоконтроля. Этап самооценки и самоконтроля является очень важным впроцессе самообразовательной деятельности. Поэтому наличие этого пункта дает возмож-ность студентам оценить результаты своей работы, соотнести их с базовым уровнем, а также позволяет усваивать не только материал практического плана. Дополнительная функ-ция вопросов для самоконтроля — организация защиты или допуска (в зависимости отвыбранной методики проведения занятий) для лабораторных работ. Помимо методическихрекомендаций в печатном виде, для более успешной адаптации первокурсников преподава-тель на каждом занятии проводит специальный инструктаж, который состоит из следующихэлементов:

• предложение выполнить задания по аналогии;

• объяснение выполнения задания на двух-трех примерах;

• разбор наиболее трудных элементов домашнего задания.

7

Знания и умения, которые формируются у студентов в ходе изучения информационных тех-нологий в математике достигают наибольшего эффекта при следующих основных условиях, этиусловия могут быть созданы только при непосредственном участии и работе самих студентов.

1. Четкое определение цели деятельности в смысле результата действий и цели упражнений(т.е. каких показателей действий надо достичь в процессе упражнений).

2. Ясное представление техники выполнения действий, т.е. образца, которого следует достичь.

3. Понимание правил и последовательности выполнения действий направленных на достиже-ние целей.

4. Постоянный самоконтроль качества действий путем сличения их результатов со сложивши-мися в представлении или по зрительно воспринимаемым образцам.

5. Своевременное обнаружение отклонений, ошибок и брака в действиях при следующих по-вторениях этих действий.

6. Правильная самооценка успехов в достижении конкретной деятельности и цели упражненийв смысле совершенствования осваиваемых действий.

Следовательно, нужны, во-первых, система и последовательность упражнений; во-вторых,разумное их распределение во времени; в-третьих, необходима постоянная актуализация в са-мообразовательной деятельности студентов по переносу знаний и умений в новую ситуацию;в-четвертых, активизация опыта по решению задач и преобразования ранее усвоенных способовдеятельности и др.

Организационно-управленческие умения, которые необходимы студентам для самостоятель-ной работы по информатике, особенно во внеучебное время, и которые повышают готовность ксамообразованию:

• умение намечать и принимать к исполнению задачи, основные пути поиска и усвоения учеб-ного материала;

• навыки планирования учебного труда, распределения усилий и времени для решения этихзадач;

• умения оценивать достигнутые результаты и ставить новые задачи.

1.1.6 Рекомендации по использованию информационно-коммуникационных техно-логий обучения

Осуществление компьютерного обучения на базе новых информационных технологий являетсяодним из важных направлений совершенствования профессиональной подготовки будущих педа-гогов.

Информационные технологии, которые используются при изучении курса “Информационныетехнологии в математике” включают компьютерные обучающие программы и гипертекстовыеучебники, компьютерные тестовые системы и справочники.

Обучающие программы, которые включены в процессе изучения программного обеспеченияЭВМ характеризуются следующими параметрами:

1. структурная сложность;

2. содержательная сложность;

3. информативность;

8

4. ясность структуры.

Проведение практических занятий в компьютерных классах позволяет оптимально сочетатьтакие формы организации учебного процесса, как общие, групповые и индивидуальные.

Изучение названных тем с помощью технических средств позволяет реализовать дифферен-цированный подход к обучению.

Такие формы организации обучения как лекция, практические занятия в сочетании с приме-нением информационных технологий позволяет строить учебный процесс в соответствии с совре-менными тенденциями развития образования, такими как: усиление роли самостоятельной рабо-ты студентов, смещение акцента с преподавания на учение (преподаватель приобретает статусконсультанта), чем обеспечивается направленность на развитие самообразовательной деятельно-сти будущих специалистов.

Обучающие программы, как уже отмечалось, имеют модель, эквивалентную учебнику. Этопозволяет организовать изучение как теоретического, так и практического материала. Наличиеструктурированной системы подачи информации ведет к рациональной организации системыконтроля за усвоением учебного материала, наиболее полно реализующую принцип “прозрачногоящика”, предполагающий информационное обеспечение управления.

Тестовый контроль обеспечивает систематическую обратную связь, а так же позволяет пре-подавателю своевременно проводить учебные мероприятия по коррекции усвоения знаний.

Применение обучающих программ в процессе изучения курса “Информационные технологиив математике” позволяет проводить контролирующие мероприятия независимо от применяемыхформ, методов и средств обучения, в виде итогового тестирования по темам как по теоретиче-скому содержанию курса, так и по практическому, т.е. проводить контроль усвоенных знаний,умений и навыков обучаемых.

Наличие обучающих систем обеспечивает значительную экономию учебного времени как пре-подавателя, так и студентов. Это достигается тем, что теоретический и практический материал,который имеется в учебниках, несет в себе информацию в сжатой форме и содержит не только ба-зовый материал, но и разделы, выходящие за рамки программы. Таким образом, это способствуеткак фундаментализации знаний, так и расширению кругозора студентов в изучении компьюте-ров, а это, свою очередь, обеспечивает реализацию принципов профессионально-педагогическойнаправленности обучения.

Исходя из вышеуказанного, можно указать следующие методические рекомендации к исполь-зованию информационных технологий в процессе изучения курса “Информационные технологиив математике”:

1. В соответствии с учебной программой курса можно организовать изучение отдельных темна практических занятиях в компьютерных классах:

• изучение теоретических вопросов;

• изучение практического содержания темы;

• комплексное изучение предлагаемых тем.

2. В течение изучения курса можно проводить контрольные мероприятия по отдельным раз-делам и темам. Проводится контроль:

• усвоение теоретического содержания темы;

• уровня сформированности умений и навыков по решению базовых задач, включенныхв обязательные результаты обучения.

3. На первом занятии преподавателем даются указания к работе с обучающими программа-ми. После чего студентам предлагается самостоятельно изучить темы во внеаудиторное

9

время. Контрольные мероприятия преподаватель может проводить либо с использовани-ем тестовых систем, либо с использованием других форм (устные и письменные опросы,фронтальные проверки).

4. Лабораторные занятия и самостоятельная работа так же предполагают использование ком-пьютерных обучающих программ.

5. Характерной особенностью данного курса является его прикладной характер, который обя-зательно требует использования средств ПЭВМ. Каждая изученная тема должна практи-чески закрепляться соответствующей лабораторной или самостоятельной работой по инди-видуальному заданию, которое предполагает использование ПЭВМ.

1.2 Тематический план учебной дисциплины

Разбивка курса по семестрам и видам деятельности в часах:Но-мерсе-мест-ра

кол-воне-дель

Лек-ций(час)

Лаб.раб.

Пр.за-нят.

Кур-сов.раб.

Все-гоча-сов

Контрольныемероприятия

Примечание

3 18 30 12 12 - 54 1 коллоквиум Зачет

Примерный тематический план курса “Информационные технологии в математи-ке”п/п

Наименование раз-делов, тем

Всегочасов

В т.ч. аудиторных С/раб.студ.


Лекц. Лаб.зан.

Пр.зан.

Конт.раб.

1 2 3 4 5 6 7 8 93 семестр1 Обзор пакетов сим-

вольных вычислений.3 1 1 - - 2

2 Решение задач сим-вольного дифферен-цирования и инте-грирования функцийодного и несколькихпеременных.

8 4 2 1 1 4

3 Построение графиковфункций и поверхно-стей.

9 5 4 - 1 4

4 Решение задач мат-ричной алгебры.

13 9 5 2 2 4

5 Решение систем ли-нейных уравнений.

8 6 4 1 1 2

6 Решение нелинейныхуравнений.

7 5 3 1 1 2

10

1 2 3 4 5 6 7 8 97 Решение дифференци-

альных уравнений.14 10 6 2 2 4

8 Решение задач теориичисел и комбинатор-ных задач.

9 5 2 1 2 4

9 Технологии подготов-ки математическихтекстов.

19 9 3 4 2 10

Итого: 90 54 30 12 12 - 36

1.3 Содержание учебной дисциплины

Лекций - 30 часЛаб. раб. - 12 час

Практ. зан. - 12 час.Всего: 54 час.

1.3.1 Содержание учебного материала (теоретической части)

Наименование тем, краткое содержание материала Учеб-ныечасы

Литература

Обзор пакетов символьных вычислений. 1 [1], [2], [3], [3]Решение задач символьного дифференцирования и интегри-рования функций одного и нескольких переменных.

2 [1], [2], [3], [4]

Построение графиков функций и поверхностей. 4 [2], [3], [4]Решение задач матричной алгебры. 5 [7], [5], [3]Решение систем линейных уравнений. 4 [6]Решение нелинейных уравнений. 3 [7], [5]Решение дифференциальных уравнений. 6 [6], [4], [5]Решение задач теории чисел и комбинаторных задач. 2 [5]Технологии подготовки математических текстов. 3 [5], [6]ВСЕГО ПО КУРСУ 30

1.3.2 Содержание практических занятий и лабораторных работ

Практические занятия

1. Математическая обработка данных в Maple. Решение задач символьного дифференцирова-ния и интегрирования функций одного и нескольких переменных (1 час).

2. Решение задач матричной алгебры (2 часа).

3. Решение систем линейных уравнений (1 час).

4. Решение нелинейных уравнений (1 час).

5. Решение дифференциальных уравнений (2 часа).

6. Решение задач теории чисел и комбинаторных задач (1 час).

7. Технологии подготовки математических текстов (4 часа).

Всего 12 часов

11

Лабораторные занятияТематика занятия Учебные

часыРешение задач символьного дифференцирования и интегрированияфункций одного и нескольких переменных.

1

Построение графиков функций и поверхностей. 1Решение задач матричной алгебры. 2Решение систем линейных уравнений. 1Решение нелинейных уравнений. 1Решение дифференциальных уравнений. 2Решение задач теории чисел и комбинаторных задач. 2Технологии подготовки математических текстов. 2ИТОГО 12

1.3.3 Содержание и виды самостоятельной работы студентов

Недостаточный объем аудиторного времени на изучение курса “Информационные технологии вматематике” ставит задачу усиления самостоятельной работы студентов по проработке важней-ших разделов курса. Закрепление практических умений и навыков лежит на плечах студентов ввиде их самостоятельной работы.

В процессе изучения курса предусматриваются следующие виды самостоятельных работ сту-дентов над изучаемым материалом:

• проработка и осмысление лекционного материала;

• работа с учебниками и с учебными пособиями по лекционному материалу;

• подготовка к контрольным работам по материалам лекционных и практических занятий,заданий для решения во внеаудиторное время;

• самостоятельное решение заданий во внеаудиторное время;

• проработка не зачтённых заданий и защита их на индивидуальных занятиях и консульта-циях.

Значительный объем курса ставит задачу усиления самостоятельной работы студентов попроработке важнейших разделов курса. На лекции преподаватель может лишь успеть изложитьосновные вопросы курса. Все остальное изучение материала ложиться на плечи студентов в видеих самостоятельной работы.

В процессе изучения курса предусматривается следующие виды самостоятельной работы сту-дентов над изучаемым материалом:


• работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу;

• подготовка к практическим занятиям по рекомендуемой литературе;

• самостоятельная проработка тем и вопросов, предусмотренных программой, но не раскры-тых полностью на лекциях;

• подготовка к контрольным работам по рекомендуемой литературе и материалу лекционныхи практических занятий;

• подготовка к коллоквиумам по учебникам и лекционному материалу.

12

Календарный план СРС

1-2 недели Проработка лекций

3 неделя ДЗ практ. 1, самостоятельная работа, проработка лекций





8 неделя контрольная работа 1, ДЗ практ. 6, самостоятельная работа, проработка лекций



11 неделя коллоквиум, проработка лекций

12 неделя ДЗ практ. 9, проработка лекций



15 неделя контрольная работа 2, проработка лекций

16 неделя подготовка к экзамену

1.4 Тематика курсовых работ

В учебном плане не предусмотрена курсовая работа по данному курсу.

1.5 Тематика контрольных работ

В учебном плане не предусмотрена контрольная работа по данному курсу.

1.6 Тематика рефератов

Написание рефератов по дисциплине “Инфорационные технологии в математике” не предусмот-рено.

1.7 Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов

Дисциплина “Информационные технологии в математике” занимает важное место в общей систе-ме профессиональной подготовки учителя математики. При самостоятельной работе по данномукурсу студент должен помнить, что усвоение основ любой науки начинается с овладения ее тер-минологии. Именно терминология позволяет понять не только взаимоотношение между опреде-лениями, понятиями, условными величинами внутри отдельно взятого раздела, но и взаимосвязьнаучных понятий в системе дисциплины информатика. Свободное владение терминологией, про-цедур, функций, предикатов, свойств тех или иных действий позволит будущим педагогам гра-мотно, с профессиональной точки зрения, преподносить учащимся нужные вопросы, обеспечиваявысокое качество обучения.

13

При подготовке к лекциям, практическим и лабораторным занятиям следует не просто про-сматривать и читать конспекты лекций, надеясь на зрительную память, но формулировки опреде-лений, правил следует проговаривать вслух, тем самым подключая и слуховую память, а заодно,и упражняясь в применении терминологии. Наиболее сложные выкладки задач при построениипрограмм следует не просто читать, а излагать в письменном виде. Готовясь самостоятельно кзанятиям, следует не просто читать и запомнить информацию, но стремиться выявить и осмыс-лить причинно-следственную связь внутри параграфа, главы, раздела, всей системы изучаемойдисциплины.

В помощь студенту по каждой теме даны контрольные вопросы, которые представляют собойне простое воспроизведение пройденного материала, а результат творческой его переработки иосмысления.

Большую помощь студенту в его самостоятельной работе окажут источники, которые указаныв списке дополнительной литературы.

В процессе изучения курса предусматривается следующие виды самостоятельной работы сту-дентов над изучаемым материалом:


• работа с учебниками и учебными пособиями;

• подготовка к практическим и лабораторным занятиям по рекомендуемой литературе;

• самостоятельная проработка тем и вопросов курса, не раскрытых в лекциях;

• самостоятельное выполнение ряда практических заданий.

1.8 Теоретические вопросы к зачёту

1. Компьютерные системы математической обработки информации в современном мире. Ос-новные направления разработки и сферы применения.

2. Использование математических пакетов.

3. Математическая обработка данных. Символьное дифференцирование в Maple.

4. Математическая обработка данных. Символьное интегрирование в Maple.

5. Математическая обработка данных. Построение графиков функции в Maple.

6. Математическая обработка данных. Построение поверхностей в Maple.

7. Математическая обработка данных. Базовые понятия матричной алгебры.

8. Математическая обработка данных. Создание и операции с матрицами в Maple.

9. Математическая обработка данных. Матричные преобразования в Maple.

10. Математическая обработка данных. Решение систем линейных уравнений в Maple.

11. Математическая обработка данных. Решение нелинейных уравнений в Maple.

12. Математическая обработка данных. Базовые понятия дифференциальных уравнений.

13. Математическая обработка данных. Решение однородных дифференциальных уравнений вMaple.

14. Математическая обработка данных. Задачи оптимизации в Maple.

14

15. Математическая обработка данных. Решение систем дифференциальных уравнений в Maple.

16. Математическая обработка данных. Решение дифференциальных уравнений с частнымипроизводными в Maple.

17. Математическая обработка данных. Базовые понятия теории чисел.

18. Математическая обработка данных. Базовые понятия комбинаторики.

19. Математическая обработка данных. Задачи теории чисел в Maple.

20. Математическая обработка данных. Решение комбинаторных задач в Maple.

21. Основы системы TEX.

22. Основы форматирования в системе TEX.

23. Основы системы LATEX.

1.9 Критерии оценивания студентов на зачете

Требования, предъявляемые к ответу на зачете:Положительная аттестация на зачете выставляется в одном из следующих случаев:

• Полно раскрыто содержание материала, четко и правильно даны определения, раскрытосодержание понятий, верно используются научные термины, правильно выполнены черте-жи, схемы, графики; ответ самостоятельный, по собственному плану; приведены примеры,используются ранее приобретенные знания, умеет применять знания в новой обстановке, внестандартной ситуации.

• Раскрыто основное содержание материала, собственный план ответа может не использовать,нет новых примеров, но примеры присутствуют; не использует связи с ранее изученнымматериалом; определений не помнит наизусть, а пересказывает, есть небольшие неточностив ответе.

• Дано определение, формулировка теоремы без доказательства, свойства. Ответ показыва-ет, что усвоено основное, но определения недостаточно четкие, есть пробелы; умеет решатьпростые задачи и упражнения с использованием готовых формул (ответ на уровне репро-дуктивного);

Студент получает “незачтено”, если основное содержание материала не раскрыто, не даныответы на вспомогательные вопросы, допущены грубые ошибки в определении и формулировках.

1.10 Список рекомендуемой для изучения литературы

1.10.1 Список основной литературы

1. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. — М.: Финансы и статистика.1995. — 384 с.

2. Дюк В. Обработка данных на ПК в примерах. — СПб.: Питер, 1997. — 240 с.

3. Основы современных информационных технологий. Под ред. Хомоненко А.Д. — СпБ: Ко-рона принт. 1998. — 448 с.

4. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика. — М.: Академия. 2000. — 816 с.

5. Дьяконов В. Maple8 \ 2000: Специальный справочник. — СПб: Питер. 2001. — 592 с.

15

6. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MatLab. — СПб: Питер. 2000. — 432 с.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Лаборатория ба-зовых знаний. 2000. — 624 с.

1.10.2 Список дополнительной литературы

1. Шафрин Ю. Информационные технологии. — М.: Лаборатория базовых знаний. 1998. —704 с.

2. Информатика: Учебник/под ред.проф.Макаровой Н.В. — 2-е изд. — М.: Финансы и стати-стика. 1998. — 768 с.

3. Острейковский В.А. Информатика: учеб. для вузов. — М.: Высшая школа. 1999. — 511 с.

4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.1. — М.: Наука.1976. Т.2. — М.: Наука. 1977.

5. Котов Ю.В., Павлова А.А. Основы машинной графики. — М.: Просвещение. 1993. — 255 с.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.:Наука. 1968. — 720 с.

16

2 Конспект лекций (рекомендации к теоретической части)

2.1 Тема 1. Пакет символьных вычислений Maple V Release 4

2.1.1 Лекция 1. Обзор пакетов символьных вычислений (Matematica, Derive, MapleV, MathCAD)

План лекции

1. Основные системы компьютерной алгебры.

2. Тенденции развития систем компьютерной аналитики.

Основные системы компьютерной алгебрыИнтегрированные системы символьной математики (компьютерной алгебры) — одно из важ-

ных современных направлений в применении компьютеров. Если традиционное использованиепоследних — манипуляция с числами, то в системах аналитических вычислений компьютер опе-рирует с выражениями, их преобразованием по определенным заданным правилам, подстановкойодних выражений в другие.

Ярким примером, иллюстрирующим отличие систем аналитических вычислений, являетсявычисление 100!. Аналитические системы выдают точное число длиной более 150 цифр. Числовыесистемы выдают приблизительное число с плавающей точкой в виде мантиссы и показателястепени.

Основа подхода к аналитическим системам была заложена в 1960-м году Джоном Маккарти,разработавшим язык списков Лисп. Главным объектом в Лиспе является элемент, точнее — егоимя. Главной операцией в Лиспе является подстановка.

Эти свойства вскоре привели к построению на базе Лиспа простейших систем работы с фор-мулами. Наиболее известной такой системой был R-Lisp, в котором можно было работать с по-линомами, приводить подобные члены, делить полиномы, находить остаток. Вершиной развитияR-Lisp’а стал язык Reduce.

Большую известность получили также три класса таких систем: Derive, свободно оперировав-шая производными, но в отличие от Reduce, с элементами графического представления результа-тов, одна из самых мощных и поныне привлекательных систем Maple V (ядро написано на языкеС) и система Mathematica. Позже на базе ядра системы Maple V символьные вычисления были ре-ализованы в популярной числовой системе MathCAD, имеющей великолепный пользовательскийинтерфейс.

Большой популярностью в среде радиоэлектроников получила система Матричная Лабора-тория MathLab, в которой заложены средства для обработки сигналов.

ReduceРазвитие систем аналитических вычислений стимулировалось не только здоровой любозна-

тельностью. Одним из главных стимуляторов, требовавших развития таких систем являлась тео-ретическая физика. По крайней мере, две области остро нуждались в таком инструменте — этофизика элементарных частиц, где требовалось расписание, приведение к стандартному виду иинтегрирование большого числа диаграмм Фейнмана, и общая теория относительности, где по-становка каждой конкретной задачи требовала расписания метрического тензора, вычисленияобратного тензора, вычисления по его производным связностей и по производным последних —тензора кривизны, определяющего уравнения Эйнштейна.

Дальнейшее совершенствование R-Lisp’a в направлении удовлетворения этих запросов при-вело к созданию в 1968 году A.Hern’ом языка Reduce, основное назначение которого уже быларабота с формулами, аналитическое дифференцирование и интегрирование, решение уравненийи систем уравнений. Для вычислений диаграмм Фейнмана, как внутриязыковые объекты быливведены матрицы Дирака и операции работы с ними.

17

Скачок в развитии аналитических систем произошел с начала 80-х годов с появлением персо-нальных компьютеров. Аналитические системы попали на стол ученого. Исключительную попу-лярность приобрела система Reduce 3.3, написанная A.Hern’ом на базе Лиспа Tsuioshi Yamamoto.Теперь Reduce стал полноценным научным инструментом: в нем можно было проводить и слож-нейшие аналитические вычисления, можно было и выражать в числах необходимые величины, ипреобразовывать формулы для прямой записи их в программы на Fortran’e.

Однако, следует отметить, что Reduce в конце концов, работает только с текстовой информа-цией — и формулы и числа вводятся и выводятся только в текстовом виде. Никакого графическогоинтерфейса Reduce не имеет.

MapleMaple — система символьных вычислений занимает в настоящее время в этой отрасли наряду

с системой Mathematica фирмы Wolfram Research ведущие позиции. Она была создана группойсимвольных вычислений (The Symbolic Group), организованной Кейтом Геддом (Keith Qeddes) иГастоном Гонэ (Gaston Gonnet) в 1980 году в университете Waterloo, Канада. Система Maple Vпод Windows (реализации R3, R4 и R5) была реализована на персональных компьютерах фирмойWaterloo Maple Inc. (Канада). Серийная версия Maple V R4 открыто и бесплатно распространя-ется через Internet, благодаря чему легально попала на многие CD-ROM, свободно распростра-няемые у нас. Система обладает громадным (свыше 2500) набором самых различных функцийдля выполнения аналитических и численных вычислений, решения алгебраических и дифферен-циальных уравнений, графического вывода результатов и многих других действий.

MathematicaПризнанный мировой лидер в системе аналитических вычислений — пакет Mathematica —

создан в начале 80-х годов физиком теоретиком Стефеном Вольфрамом (Stephen Wolfram). Этомощная система создана на базе Лиспа, обладает очень гибкой внутренней структурой, позволя-ющей писать сложные алгоритмы аналитических вычислений.

Первая версия пакета под DOS выгодно отличалась от своего предшественника Reduce, яв-лявшегося в то время явным фаворитом, возможностью быстрого графического представленияполученных результатов.

Mathematica в последние годы рассматривается как мировой лидер среди компьютерных си-стем символьной математики, обеспечивающих не только возможности выполнения сложныхчисленных расчетов с выводом их результатов в самом изысканном графическом виде, но ипроведение особо трудоемких аналитических вычислений и преобразований.

Версии системы под Windows имеют превосходный пользовательский интерфейс и позволяютготовить документы в форме Notebook (записная книжка). Они объединяют исходные данные,описание алгоритмов решения задач, программ и результатов решения в самой разнообразнойформе (математические формулы, числа, векторы, матрицы, графики).

В версии Mathematica 3 имеется развитый интерфейс, анимация графических данных, введе-на система создания структурированных документов. Одним из главных достоинств этой вереиявляется великолепнейший Help. В него заложена вся книга S.Wolfram’a “The Mathematica Book”,но при этом Help является активным, то есть любой приведенный пример можно, запустив, уви-деть в действии, модифицировать, скопировать в свою рабочую страницу.

В версии 4 значительно улучшен графический интерфейс: графики можно экспортировать всамых различных графических форматах. Значительно повышена скорость численной обработкиза счет частичной компиляции вычислительной части программы.

Достойным конкурентом системы Mathematica является система Maple.

MathCADПо началу MathCAD создавался как система подготовки научных публикаций — с написанием

формул в естественном виде и представлением графиков. Постепенно система брала на себя всебольшую часть подготовки документа, проводя по началу вычисления по введенным формулам,

18

а в более поздние версии включено приобретенное по лицензии у фирмы Waterloo Maple Inc.(создателя системы Maple) ядро символьных вычислений.

Тенденции развития систем компьютерной аналитикиГлавными направлениями развития систем аналитических вычислений являются:

• Расширение круга обслуживаемых математических объектов.

• Интеграция аналитических вычислений с другими компьютерными системами.

• Упрощение и обогащение интерфейса пользователя.

• Возможность построения сложных программ.

• Ускорение работы системы.

• Расширение круга обслуживаемых математических объектов

Одним из признаков развитой системы является ее возможность к дальнейшему расширению.При неизменном ядре системы, расширение, как правило, заключается в создании и подключе-нии к системе пакетов расширения, которые пишутся уже на языке системы. Пакеты расширенияв Maple V и Mathematica охватывают большую часть современной математики: алгебру, геомет-рию, теорию чисел, теорию вероятностей и математическую статистику, специальные функции,преобразования Фурье и Лапласа и многие другие.

Развиваются и требования к ядру для быстрого и легкого для пользователя подключенияэтих пакетов к решаемым задачам.

Интеграция аналитических вычисленийКак правило, аналитические вычисления не являются самоцелью, а являются частью некото-

рой работы, куда входят не только аналитические, но и численные вычисления, а также другиеработы вплоть до подготовки текста отчета или статьи.

Связь с программами числовой обработкиВсе системы аналитических вычислений являются интерпретирующими и поэтому скорость

сложных операций с числами у них в сотни раз меньше, чем у численных систем, компилиру-ющих программы (Фортран, Паскаль, Си). Поэтому при большом объеме обычных вычисленийвычислительную часть лучше поручать программам на процедурных языках.

В частности, в системе Мathematica фирмой Wolfram разработана система связи программнаписанных на Си и Mathematica — MathLink, позволяющая вызывать из программ на Си функ-ции ядра пакета Mathematica, а также наоборот, дополнительно включать в пакет Mathematicaмодули, написанные на Си.

Однако, наиболее оперативными являются простые возможности — вывод каких-то данных вфайл, запуск из Mathematic’и программы, которая может численно обработать данный файл ивернуть файл результата (в виде текстового файла), который затем опять считать в Mathematic’y.

Отметим, что на практике встречаются задачи, требующие или повышенной точности реше-ния, или включающие какито простейшие аналитические преобразования. При этом, структураисходных данных настолько специфична, что воспользоваться системами компьютерной алгебрыпросто невозможно. В этом случае приходится разрабатывать свои специализированные системыкомпьютерных вычислений.

Генерация текста программ вычисленийУже в Reduce была заложена возможность выдачи результатов преобразования формул в со-

ответствии с синтаксисом Фортрана. Это позволяло формулы общих случаев преобразовыватьк конкретным задачам и расчетные формулы (которые иногда могли быть достаточно громозд-кими) прямо из Reduce вписывать в текст программ на Фортране, что не только значительно

19

ускоряет стадию работы написания программы на Фортране, но и гарантирует от появленияошибок при переписывании больших формул.

В системах Mathematica и Maple V предусмотрена возможность вывода как в стиле Фортрана,так и в стиле Си, что расширяет возможности использования пакета для генерации программвычислений.

Связь с текстовыми процессорамиВ системах Mathematica и Maple V предусмотрена возможность вывода в соответствии с пра-

вилами исключительно популярной в научной среде системы TEX. Это предоставляет возмож-ность с минимальными переделками прямо в Mathematic’e писать самую трудоемкую и деликат-ную часть подготовки отчета или статьи — написание формул.

Возможность вывода графических результатов в виде развитых графических стандартов(.wmf, .jpg, .giff и пр.) позволяет вставлять их в файлы на TEX’e.

Упрощение и обогащение интерфейса пользователяСовременные системы, работающие под Windows, имеют исключительно развитый пользова-

тельский интерфейс. У всех упоминаемых ранее систем (кроме Reduce и Derive) богатые возмож-ности редактирования, копирования, выбора шрифтов, цвета для приспособления среды разра-ботки к своим вкусам.

В системах MathCad, Maple V, Mathematica имеются средства создания интерактивных до-кументов, на основе которых достаточно просто строить учебные пособия как по самим этимсистемам, так и по их приложениям.

Возможность построения сложных программВ системе Maple V имеется громадное количество заготовок (как в самом ядре, так и в биб-

лиотеке расширения). Библиотека пакета Mathematica раза в три меньше. Однако, будучи напи-санной на базе Lisp, Mathemanica имеет несравненно более гибкую внутреннюю структуру, чтопозволяет писать в ней сложные аналитические и вычислительные программы.

Ускорение работы системыБудучи системами интерпретации, аналитические системы, как уже говорилось, проводят чис-

ленные расчеты раз в 100 медленнее откомпилированных программ. Это значительно удлиняетработу таких программ, как решение дифференциальных уравнений в частных производных,статистическое моделирование.

В системе Mathematica 4 модули, выдающие численный результат, компилируются и скоростьработы значительно увеличивается.

Другой подход, направленный на повышение быстродействия систем, связан с разработкойэффективных алгоритмов.

20

2.1.2 Лекция 2. Интерфейс Maple V


1. Интерфейс рабочего документа Maple V.

2. Интерфейс справочной системы Maple V.

3. Интерфейс двухмерной графической системы Maple V.

4. Интерфейс трехмерной графической системы Maple V.

Maple V типичное Windows-приложение, использующее оконный интерфейс.

Интерфейс Maple V состоит из следующих основных частей:

• главное меню;

• панели инструментов;

• рабочее окно, в котором производятся все математические операции и действия, связанныес форматированием документа.

Панели инструментов будут несколько отличаться в зависимости от следующих действий:

• редактирование рабочего документа — стандартный интерфейс рабочего листа;

• просмотр справки — интерфейс справочной системы;

• двухмерные построения — интерфейс графической двухмерной системы;

• трехмерные построения — интерфейс графической трехмерной системы.

Интерфейс рабочего документа Maple V

Используется, если пользователь работает в рабочем документе и курсор ввода расположенименно там. В строке команд содержится восемь пунктов меню:

21

File — команды для работы с файлами сессии Maple V;

Edit — команды для работы с отдельным регионом, либо с его частью;

View — изменение вида содержимого рабочего документа и панелей управления;

Insert — вставка различных объектов и текста в формате Maple в открытый документ;

Format — содержит команды форматирования текста;

Options — команды для установки действий, выполняемых при выводе результатов;

Window — команды для закрытия, упорядочивания и вывода списка открытых рабочих доку-ментов;

Help — команды для работы со справочной системой и изменения базы данных помощи.

Меню FILE

New — открытие нового документа (<Ctrl>+<N>).

Open — открытие существующего документа (<Ctrl>+<O>). Выполнение данной команды при-водит к открытию окна диалога, в котором пользователю предлагается выбрать имя откры-ваемого файла.

Save — сохраняет текущий документ в файле на диске (<Ctrl>+<S>).

Save As. . . — сохранение активного документа под новым именем. При выполнении даннойкоманды появляется окно диалога, в котором предлагается ввести имя файла и выбратьтип сохраняемого файла: .mws,.txt или .tex.

Export As — экспорт активного рабочего документа, как простого текста, текста в форматеMaple V или документа LaTeX. При этом в выпадающем меню пользователь может выбратьследующие типы сохраняемых файлов: Plain Text — обычный текст; Maple Text — текст вформате Maple V; LaTeX — документ LaTeX.

Close — закрыть существующий рабочий документ (<Ctrl>+<F4>).

Save Settings — сохранение установок текущего сеанса работы.

Auto Save Settings — автоматическое сохранение текущего сеанса работы при выходе из про-граммы.

Print. . . — печать активного документа (<Ctrl>+). При выполнении данной команды от-крывается окно диалога, содержащее такие опции, как формат бумаги, качество печати иколичество копий.

Print Preview. . . — просмотр текущего документа перед печатью.

Printer Setup. . . — выбор принтера и опций, например таких, как формат вывода, источникбумаги и ее ориентация.

Exit — выход из Maple V (<Alt>+<F4>).

Меню EDIT

Undo Delete — отменить предыдущее удаление (<Ctrl>+<Z>).

22

Cut — вырезать выделенную часть документа и отправить его в буфер обмена (<Ctrl>+<X>).

Сору — копировать выделенную часть документа в буфер обмена (<Ctrl>+<C>).

Copy as Maple Text — копировать выделенную часть документа в буфер обмена в форматетекста Maple V.

Paste — вставить содержимое буфера обмена в активный документ в позицию курсора (<Ctrl>+ <V>).

Paste Maple Text — команда интерпретирует содержимое буфера обмена как текст в форматеMaple V и вставляет его в активный документ.

Delete Paragraph —удалить параграф, в котором находится курсор (<Ctrl>-<Del>).

Select All — выделить активный документ (<Ctrl>+<A>).

Find. . . — поиск текста в текущем документе. При этом возникает окно диалога, где пользова-телю предлагается выбрать слово или слова для поиска, а также тип поиска: вперед илиназад (<Ctrl>+<F>).

Insert OLE Object. . . — вставляет объект OLE 2.0 в активный документ в позицию курсора.

Object — выполнение действий над внедренным объектом. Просто укажите курсором на внед-ренный в Maple V объект и увидите, что данный пункт меню будет заменен на названиесервера, к которому относится приложение и в выпадающем меню будут указаны возмож-ные операции над OLE объектом.

Show OLE Objects — переключение между внедренным и связанным OLE объектом. Связан-ный OLE объект (окружен пунктирной линией) изменяется при редактировании исходногодокумента, в отличие от внедренного объекта (окружен непрерывной линией на экране),который не изменяется с момента внедрения его в документ Maple V.

Input Mode — переключение между строкой ввода Maple V и текстовым комментарием (<F5>).

Split or Join — Split Execution Group (<F3>) — расщепить объединенную группу строк; JoinExecution Groups (<F4>) — объединить строку, в которой расположен курсор с группойстрок, расположенных выше нее; Split Section (<Shift>+<F3>) — расщепить секцию в по-зиции курсора; Join Sections (<Shift>+<F4>) — объединить секцию в которой стоит курсорс секцией, стоящей перед ней.

Execute — Selection — выполнить последовательно все выделенные команды. Worksheet — Вы-полнить последовательно все команды в рабочем документе

Remove Output — From Selection — удалить все результаты вычислений из выделенной частирабочего документа. From Worksheet — Удалить все результаты вычислений из рабочегодокумента.

Меню VIEW

Tool Bar — показать (скрыть) главную панель инструментов.

Context Bar — показать (скрыть) контекстную панель инструментов (расположена ниже глав-ной панели инструментов).

Status Line — показать (скрыть) строку состояния внизу рабочего документа.

23

Zoom Factor — управляет масштабом содержимого. рабочего документа. По умолчанию уста-новлен масштаб 100 %. Также возможно установить следующие значения: 50% – <Ctrl>+<0>;75% – <Ctrl>-<1>; 100% – <Ctrl>+<2>; 150% – <Ctrl>+<3>; 200% – <Ctrl>+<4>; 300%– <Ctrl>+<5>; 400% – <Ctrl>+<6>.

Bookmarks — использование закладок для быстрого перемещения курсора в требуемое месторабочего документа. Просто установите курсор в нужное место и выберите пункт меню:View/Bookmarks/Edit Bookmark. . . ; наберите название закладки. Затем можно просто пере-мещаться по документу с помощью этих закладок, названия которых будут отображатьсяв данном пункте меню ниже Edit Bookmark.

Show Invisible Characters — показать (скрыть) невидимые специальные символы.

Show Section Ranges — показать (скрыть) область одной секции. Область секции — это линияслева поля рабочего документа, отображающая начало и конец секции.

Show Group Ranges — показать (скрыть) область групп секций ввода и вывода или простоготекста.

Expand All Sections — открыть все закрытые секции.

Collapse All Selections — закрыть все открытые секции.

Меню INSERT

Text Input — вставка и форматирование текстового комментария. (<Ctrl>-<T>)

Maple Input — вставка команды Maple непосредственно в ту часть документа, где стоит курсор(<Ctrl>+<M>).

Execution Group — вставка группы выполняемых команд: Befor Cursor – перед курсором (<Ctrl>+ <K>), After Cursor – после курсора (<Ctrl>+<J>).

Paragraph — вставка параграфа: Before – перед курсором (<Shift>+<Ctrl>+<K>), After – по-сле курсора (<Shift>+<Ctrl>+<J>). Вообще говоря, вы начинаете новый параграф про-стым нажатием на клавишу ввода, т.е. переводите курсор на новую строку.

Section – вставка секции после текущей.

Subsection – вставка подсекции после текущего параграфа.

Math Input – вставка активной команды Maple в ту часть документа или текста, где стоиткурсор.

Hyperlink – вставка гипертекстовой ссылки. Вы можете создать связь с другим документом,темой из помощи или с какой-либо определенной закладкой.

Меню FORMATМногие из действий данного меню доступны только при редактировании текста, а не строк

ввода.

Styles. . . — создание или изменение стилей текста в документе.

Italic — поменять шрифт в выделенном фрагменте на наклонный.(<Ctrl>+)

Bold — поменять шрифт в выделенном фрагменте на жирный. (<Ctrl>+)

24

Underline — поменять шрифт в выделенном фрагменте на подчеркнутый. (<Ctrl>+)

Paragraph. . . — меняет установки параграфа. Появляется меню, в котором пользователь можетизменить различные опции.

Character. . . — выбор имени, размера, цвета и атрибута шрифта.

Indent — преобразовать выделение в подсекцию. (<Ctrl>+<.>)

Outdent — действие, обратное Indent. (<Ctrl>+<,>)

Convert — преобразовать выделенный текст в гипертекстовую ссылку, в математическое выра-жение (внутристрочный ввод) или в строку ввода Maple.

Меню OPTIONS

Replace Output — включает режим замены выводимого результата.

Insert Mode — включает режим вставки выводимого результата.

Output Display — определяет в каком формате Maple будет выводить результат: LineprintNotation — использовать тот же стиль, что и в строках ввода; Character Notation — ис-пользовать двухмерный стиль, основанный на текстовых символах; Typeset Notation — ис-пользовать стандартный графический математический вывод.

Assumed Variables — в Maple существует возможность накладывать ограничения на перемен-ные. Данный пункт меню позволяет изменить настройку того, как Maple будет предупре-ждать пользователя, что на переменную наложены ограничения: No Annotation – не выда-вать никакого предупреждения. Trailing Tildes – после переменной в строке вывода будетуказываться символ “∼”. Phrase – после вывода будет отображена строка, предупреждаю-щая, что на данную переменную наложены ограничения.

Plot Display — управляет способом построения графиков. Inline – показывает построенный гра-фик непосредственно в рабочем документе. Window – построенный график отображается вотдельном окне.

Меню WINDOW

Cascade — расположить все окна “каскадом”.

Tile — уложить все окна “черепицей”.

Horizontal — расположить все окна горизонтально.

Vertical — то же самое, но вертикально.

Arrange Icons — упорядочить иконки.

Close All — закрыть все окна.

Close All Help — закрыть все окна помощи.

Untitledl.mws — список всех открытых рабочих документов в данный момент. Перед названиемактивного окна будет символ “галочка”.

Меню HELP

25

Contents — открыть содержание помощи.

Topic Search. . . — поиск темы помощи.

Full Text Search. . . — поиск страниц помощи, содержащих данный текст.

History. . . — история открытых страниц помощи.

Save to Database. . . — записать текущий рабочий документ как страницу помощи в опреде-ленную базу данных.

Remove Topic. . . — удалить тему из базы данных, созданной пользователем.

Using Help — помощь о том, как использовать помощь.

Balloon Help — включить помощь в виде всплывающих подсказок.

About Maple V. . . — отображение информации о версии данной копии Maple.

Интерфейс справочной системы Maple V

Главное меню содержит пять пунктов:

File — команды для работы с файлами;

Edit — команды редактирования;

View — изменение вида содержимого рабочего документа и панелей управления;

Window — команды для закрытия, упорядочивания и вывода списка открытых рабочих доку-ментов;

Help — команды для работы со справочной системой и изменения базы данных помощи.

Меню FILEПочти ничем не отличается от одноименного меню в интерфейсе рабочего документа. Содер-

жит следующие команды:

New — открытие нового документа. (<Ctrl>+<N>)

Open — открытие существующего документа. (<Ctrl>+<O>) Выполнение данной команды при-водит к открытию окна диалога, в котором пользователю предлагается выбрать имя откры-ваемого файла.

Close Help Topic — закрыть активную тему помощи. (<Ctrl>+<F4>)

Print Help Topic. . . — напечатать активную тему помощи. (<Ctrl>+)

Exit — выход из Maple V (<Alt>+<F4>).

Меню EDIT

Copy — копировать выделенную часть документа в буфер обмена. (<Ctrl>+<C>)

Copy Examples — копировать секцию примеров в буфер обмена.

Select All — выбрать все содержимое активной страницы помощи. (<Ctrl>+<A>)

26

Find. . . — поиск текста в текущем документе.

Команды меню View, Window, Help не отличаются от команд меню из интерфейса рабочегодокумента.

Интерфейс двухмерной графической системы Maple V

При выполнении любых видов графических построений на плоскости перед пользователемпоявляется интерфейс двухмерной графической системы.

Построения можно выполнять в отдельном окне, если в пункте меню Options рабочего доку-мента режим Plot Display установлен в значение Window. Можно также изображать графическиепостроения непосредственно в рабочем документе. В этом случае необходимо установить режимPlot Display в значение Inline.

В этом режиме строка команд содержит следующие пункты меню:

File — стандартное меню интерфейса рабочего документа;

Edit — стандартное меню интерфейса рабочего документа;

View — стандартное меню интерфейса рабочего документа;

Style — определяет стиль построения;

Axes — управляет стилем координатных осей;

Projection — определяет масштаб изображения;

Animation — анимация графиков;

Window — стандартное меню интерфейса рабочего документа;

Help — стандартное меню интерфейса рабочего документа.

Меню STYLE

Line — воспроизвести рисунок, используя стиль “линия”.

Point — воспроизвести рисунок, используя стиль “точка”.

Patch — воспроизвести рисунок, используя стиль с координатной сеткой.

Patch w/o Grid — воспроизвести рисунок, используя стиль без координатной сетки.

Symbol — используйте этот пункт меню при стиле построения по точкам: Cross – точка в видекрестика; Diamond – в виде бриллианта; Point – в виде обычной точки; Circle – в видеокружности; Box – в виде квадратика; Default – в виде крестика (по умолчанию).

Line Style — используйте эту опцию, если стиль построения не точечный: (1) Solid – непрерыв-ная линия; (2) Dot – линия из мелких тире; (3) Dash – пунктирная линия; (4) DashDot –штрих-пунктирная линия.

Line Width — используйте эту опцию, если стиль построения не точечный: (1) Thin – толщиналинии — один пиксел; (2) Medium – толщина линии — два пикселя; (3) Thick – толщиналинии — три пикселя; (4) Default – по умолчанию (thin).

Меню AXES

27

Boxed — воспроизвести рисунок с координатными линиями в виде замкнутой рамки вокругграфика.

Framed — воспроизвести рисунок с координатными линиями в виде половинки рамки вокругграфика.

Normal — воспроизвести рисунок в традиционном виде.

None — воспроизвести рисунок без осей.

Меню PROJECTION

Constrained — воспроизвести оси в масштабе 1:1.

Unconstrained — воспроизвести оси таким образом, чтобы они заполнили все окно.

Меню ANIMATIONДоступно лишь при выполнении команды plots[animate].

Play/Stop — проиграть график, если он остановлен, или остановить, если он уже запущен.

Next — перейти на другой кадр.

Backwards/Forwards — установить направление воспроизведения: назад, вперед.

Faster — увеличить скорость воспроизведения.

Slower — уменьшить скорость анимации.

Continuous/Single cycle — установить количество повторов: бесконечный повтор/проигратьодин раз.

Интерфейс трехмерной графической системы Maple V

При любом виде трехмерного построения перед пользователем возникает интерфейс графи-ческой трехмерной системы.

Перечислим пункты меню, которые не описаны в стандартном интерфейсе рабочего докумен-та:

Style — определяет стиль построения;

Color — определяет цвет построения;

Axes — вид осей (аналогичен соответствующему пункту из интерфейса графической системы);

Projection — определяет масштаб изображения;

Animation — анимация (полностью совпадает с управлением двухмерной анимацией).

Меню STYLE

Patch — построение изображения с использованием стиля с координатной сеткой, нанесеннойпо поверхности графика.

28

Patch w/o Grid — то же самое но без координатной сетки.

Patch and contour — стиль “Patch”, но с контурными линиями вместо координатной сетки.

Hidden Line — построение с использованием стиля “скрытая линия”.

Contour — контурный стиль.

Wireframe — почти ничем не отличается от стиля “скрытая линия”.

Point — точечное построение.

Symbol — см. “Интерфейс графической двухмерной системы”

Line Style — см. “Интерфейс графической двухмерной системы”

Line Width — см. “Интерфейс графической двухмерной системы”

Grid Style — стиль координатной сетки: Grid Full – полная сетка; Grid Half – половинная сетка.

Меню Colour

XYZ — цвет зависит от всех трех координат;

XY — только от X и Y;

Z — только от Z;

Z (Hue) — оттеночный цвет, зависящий от Z;

Z (Greyscale) — градация серого, зависит от Z;

No Colouring — не использовать оцветнение графиков.

Меню PROJECTION

No Perspective — без какого либо вида;

Near Perspective — вид вблизи;

Medium Perspective — вид со среднего расстояния;

Far Perspective — вид издалека.

29

2.1.3 Лекция 3. Синтаксис языка Maple V Release 4


1. Символы и переменные.

2. Константы и внутренние функции.

3. Типы данных.

Символы и переменные

Команду Maple V необходимо заканчивать символом “:” или “;”. В первом случае результатвыполнения команды не отображается на экране, во втором — отображается

При определении выражения используются стандартные символы: “+” (сложение), “-” (вычи-тание), “*” (умножение), “/” (деление), “^” или “**” (возведение в степень), “:=” (присваивание), “=” (равенство), “!” (факториал).

Для обозначения последовательности используется символ “$”. Например:

>x!$x=1..4;1, 2, 6, 24

Символ “@” — оператор композиции. Например, чтобы вычислить вторую производную необ-ходимо написать следующее:

>(D@@2)(ln);

a→ − 1a2

Численный параметр после символа “@“ может принимать и отрицательные значения:>(sin@@(-l))(x);

arcsinx

Одинарные кавычки “"” ссылаются на результат предыдущей команды. Двойные “""” — нарезультат, полученный две команды назад, тройные “"""” — на три команды назад. В качествепримера решим численным методом систему линейных уравнений, очистив предварительно па-мять Maple и определив точность:

>restart: Digits:=2:

>2*x+5*y-z=2;

>x+2*y=5;

>2*x-z=24;

>fsolve(","",""",x,y,z);

Решение выводится в форме множества. Множество — это группа выражений, заключенныхв фигурные скобки. Существует также ряд команд для выполнения операций над множествами:union – объединение множеств; intersect – пересечение множеств; minus – вычитание множеств.

Стандартные логические операции в Maple V Release 4: and – логическое “и“; or – логическое“или“; not - логическое отрицание.

Для более подробной информации нужно воспользоваться справочной системой Maple VRelease 4.

30

Переменные в Maple характеризуются именем и типом. В качестве имени переменной можетиспользоваться любой набор символов латинского алфавита, не зарезервированных программой.Следует отметить, что система различает регистр символов.

Константы и внутренние функции

Константы в Maple бывают целочисленными, числами с плавающей запятой и обыкновеннымидробями. Кроме этих типов констант существуют символьные константы — зарезервированныеимена. Например: false, true, infinity, Pi, I и т. д. Не рекомендуется использовать эти имена дляописания своих собственных переменных. Это приводит к генерации исключения Error, attemptingto assign to ’false“ which is protected.

В Maple используется общепринятые среди математиков названия для основных математиче-ских функций, хотя есть некоторые исключения.

ФУНКЦИЯ ОПИСАНИЕabs модульRe действительная частьIm мнимая частьfactorial факториалlog обыкновенный логарифмln натуральный логарифмlog10 десятичный логарифмsqrt квадратный кореньexp экспонентаargument аргумент комплексного числаbinomial биномиальный коэффициентround округлениеtrunc отсечение дробной части

Тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции записываются в форме,которая интуитивно понятна пользователю и не требуют детального описания: sin, cos, tan, sec,csc, cot, sinh, cosh, tanh, sech, csch, coth, arcsin, arccos, arctan, arcsec, arccsc, arccot, arcsinh, arccosh,arctanh, arcsech, arccsch, arccoth.

В Maple запрограммированы некоторые математические функции, такие как гамма-функция,функция Лапласа, бета-функция, функция Бесселя, функция Дирака и Хэвисайда, функции Яко-би и многие другие.

Типы данных

В Maple V используется около ста зарезервированных имен типов данных. Существует боль-шое разнообразие функций для работы с данными.

ЦелыеВ Maple V выражение принадлежит к целому типу (тип integer), если оно состоит из последо-

вательности цифр, не разделенных между собой никакими знаками. Длина последовательностиограничена лишь ресурсами системы, но, обычно, более 500000 цифр. Число типа integer можетбыть как положительным, так и отрицательным.

С целыми числами возможны следующие операции: abs — модуль числа; factorial или n! —нахождение факториала и т.д. Например:

>abs(-10420);

>factorial(5); 5!;

31

Для проверки принадлежности выражения к определенному типу служит команда type(x,t),где x — любое выражение, t — название типа.

Например:

>type(-102,integer);

ДробныеТип fraction — дробный тип. Дроби представляются в виде: a/b, где a – целое число со зна-

ком, b – целое число без знака. В выражении типа fraction обязательно присутствие двух полей:числитель и знаменатель.

Функция ор от дроби возвращает два числа — числитель и знаменатель.

>ор(2/7);

Числа с плавающей точкойТип float — числа с плавающей точкой. Тип float в среде Maple определен как:

1. последовательность чисел, разделенных точкой:

(a) <integer>.<integer>

(b) <integer>.

(c) .<integer>

2. число может быть представлено в виде: Float(mantissa, exponent),т.е. <mantissa>* 10^<exponent>

>type(.1234,float);

>Float(2,4);

Обратное представление числа реализуется функцией op, которая возвращает два числа –мантиссу и экспоненту.

>ор(0.02234);

Для приближения чисел с плавающей точкой служит команда evalf:

>evalf(Pi,5);

Строковые типыВ среде Maple определены тип string и тип name. Выражение типа string может содержать

цифры и буквы, строчные и прописные. Строка с двух сторон должна быть окружена символом‘.Если же в строку требуется вставить символ‘, то его надо удвоить.

>var:=‘It‘‘s a string‘

Из строки можно выделить подстроку:

>substring(abcdefgh,3..5);

Определим длину строки:

>length(abcdef);

32

Булевы выраженияДля логических операций в среде Maple предусмотрен специальный тип данных — boolean, а

зарезервированные слова true и false используются для работы с булевыми выражениями.В булевских выражениях можно использовать следующие операторы: ’=’, ’<>’, ’<’, ’<=’,

’and’, ’or’, ’not’.Для работы с булевыми выражениями предусмотрена команда evalb – вычисление сложного

логического выражения:

>evalb(f=f);

>ToBe or not ToBe;

ПоследовательностиПоследовательность — это набор элементов, разделенных запятыми, без скобок.

>S:=l,2,3,4,5,6;

Для генерации последовательности в среде Maple служит команда seq. Синтаксис вызоваданной команды:

seq(y, i = m..n)

seq(y,i = x)

где y – любое выражение; i – имя; m, n – численные параметры; x – выражение.Наиболее распространенный вызов: seq(f(i), i = 1..n), который генерирует последователь-

ность f(1), f(2), . . . , f(n). Менее употребимый — seq(f(i), i = m..n) – создает последовательностьf(m), f(m+ 1), f(m+ 2), ..., f(n). Здесь m и n могут быть не только типа integer.

>seq(sin(Pi*i/6),i=0..3);

МножестваМножества принято обозначать фигурными скобками. Для них присущи все правила преоб-

разования, принятые в классической математике.

>set1:=sin,cos,tan,cos;

Извлечение элементов с первого по второй из множества set1:

>ор(1..2,set1);

Определение количества элементов в множестве set1:

>nops(setl);

Объединение двух множеств a, b и b, c:

>a,b union b,c;

Пересечение:

>a,b intersect b,c;

Вычитание:

33

>a,b minus b,c;

Принадлежность элементов a и cos множеству set1:

>member(a,set1);

>member(cos,set1);

Зададим множество L в виде последовательности:

>L:=seq(y[i],i=1..4);

Добавление элемента к множеству L:

>L:=op(L),z[5];

Удаление второго элемента из множества L:

>L:=subsop(2=NULL,L);

СпискиСписок принято обозначать квадратными скобками.

> list1:=[sin,cos,tan,cos];

Co списками можно производить математические операции, например, дифференцирование:

>D(list1);

По отношению к спискам и множествам допустимы операции присваивания:

>list2:=list1;

МассивыМассив — конечномерный список с целочисленными индексами. Операции, применяющиеся

к массивам: array – создание массива; print – распечатка содержимого массива; map – заданиеоперации над всеми элементами массива; ор – извлечение элементов (уточнение задания массива).

Создадим массив v:

>v:=array(1..4);

Заполним этот массив элементами и распечатаем его содержимое:

>for i to 4 do v[i]:=i od:

>print(v);

Создадим одномерный массив s с нулевыми значениями:

>s:=array(l..2,[0,0]);

Создадим двумерный массив m:

>m:=array(symmetric,1..2,1..2,[[cos(y),0],[0,sin(y)]]);

34

Зададим операцию дифференцирования над всеми элементами массива m:

>map(diff,m,y);

ТаблицыВ отличие от массивов, где индексы — целочисленные значения, расположенные по порядку

номеров, индексы у таблиц — любые значения. Таблица задается указанием слова “table”:

>table();

Команда “table()” создала таблицу с неопределенными значениями.Определим значения таблицы, выполнив команду:

>table([22,42]);

Так как индексы таблицы не были определены, то программа сама присвоила им целочис-ленные значения, расположенные по порядку. Индексы таблицы можно задать произвольнымобразом:

>S:=table([(red)=45,(green)=61]);

Обратимся к элементам таблицы:

>S[1],S[red];

С таблицами возможны также следующие операции. Зададим таблицу F , элементами которойявляются операторы:

>F:=table([y=(x->x^2),cos=-sin]):

Распечатаем таблицу:

>print(F);

Вычислим значение элемента таблицы y от аргумента, равного 3:

>F[y](3);

35

2.1.4 Лекция 4. Использование Maple V Release 4 для решения задач математиче-ского анализа


1. Вычисление пределов.

2. Дифференцирование.

3. Интегрирование.

4. Суммирование. Исследование рядов на сходимость.

5. Произведения.

6. Кусочно-аналитические функции.

Основу курса математического анализа составляют такие понятия как пределы, производ-ные, первообразные функций, интегралы разных видов, ряды и дифференциальные уравнения.Кто знаком с основами математического анализа, тому наверняка известны десятки правил на-хождения пределов, взятия интегралов, нахождения производных и т.д. и т.п. Если добавить кэтому, что для нахождения большинства интегралов нужно еще помнить таблицу интегралов, тополучается просто огромный объем информации. И, если некоторое время не тренировать себяв решениях таких задач, то в итоге многое забывается и для нахождения, например, интегралапосложнее уже требуется искать его в справочнике. Но ведь взятие интегралов и нахождениепределов — это не самоцель вычислений. Всякая задача должна решать некоторую практиче-скую проблему, а промежуточные вычисления — лишь промежуточный этап на пути к ответу. Спомощью Maple можно сэкономить массу времени и избежать многих ошибок при вычислениях.

Вычисление пределов

Рассмотрим на примерах команду limit, которая позволяет находить пределы функций.

> restart;

> f(x):=(x^3-3*x^2+2*x-5)/(x^2+2);

> Limit(f(x),x=-1)=limit(f(x),x=-1);

> r:=5*sin((3*x)/(x-Pi));

> limit(r,x=Pi);

Результат последней команды −5..55 означает, что предел не найден, но значения функциив окрестности указанной точки принимают значения в диапазоне, который вычислила функцияlimit. Проверить это можно с помощью графика функции.

> plot(r,x=Pi-0.3..Pi+0.3);

Иногда Maple не может найти предел, например:

> limit(tan(x), x=infinity);

Можно также находить односторонние пределы. Для этого достаточно указать ключевое сло-во left или right.

36

> g(x):=1/x;

> Limit(g(x),x=0,left)=limit(g(x),x=0,left);

Проверить правильность нахождения предела можно с помощью графика.

> plot(g(x),x=-1..1,view=[-1..1,-50..50],discont=true,color=blue,labels=[‘x‘,‘g(x)‘]);

Можно также находить пределы для функций нескольких аргументов:

> limit(x+1/y, x=0,y=infinity);

Для Maple не составит труда найти предел для функции с неизвестными параметрами:

> limit(a*x, x=infinity);

Дифференцирование

Чтобы продифференцировать функцию, достаточно воспользоваться командой diff.

> restart:

> f(x):=ln(sqrt(exp(3*x)/(1+exp(3*x))));

> simplify(diff(f(x),x));

Можно взять частные производные от функции многих переменных:

> diff(f(x,y),x,y);

При помощи оператора формирования последовательности ($) можно брать производные вы-соких порядков.

> Diff(sin(x),x$3)=diff(sin(x),x$3);

Интегрирование

Взять интеграл от какой-либо функции можно при помощи оператора int.

> restart:

Неопределенный интеграл:

> Int((3*x^2+8)/(x^3+4*x^2+4*x), x)= int((3*x^2+8)/(x^3+4*x^2+4*x),x);

Определенный интеграл:

> Int(sin(phi)^3*sqrt(cos(phi)),phi=0..Pi/2)=int(sin(phi)^3*sqrt(cos(phi)),phi=0..Pi/2);

Несобственные интегралы (первого и второго рода):

> Int(1/(x^2+2*x+2),x=-infinity..infinity)=int(1/(x^2+2*x+2),x=-infinity..infinity);

37

> Int(1/(x-1)^2,x=0..2)=int(1/(x-1)^2,x=0..2);

В тех случаях, когда интеграл не может быть вычислен в численной форме, поможет функцияevalf.

> ww:=int( exp(-x^3), x = 0..1 );

> evalf(ww,5);

Суммирование. Исследование рядов на сходимость

В Maple можно при помощи команды sum находить предел сходимости ряда.

> Sum(7^(3*n)/(2*n-5)!,n=3..infinity)= evalf(sum(7^(3*n)/(2*n-5)!,n=3..infinity));

Произведения

Полезной может оказаться и функция product:

> product( a[k], k=0..n );

Кусочно-аналитические функции

Достаточно просто производить различные операции над кусочно-аналитическими функци-ями. Их можно интегрировать, дифференцировать и даже использовать в дифференциальныхуравнениях.

> p:=piecewise(x<0, -1, x>1, 2*x, x^2);

Построим график вышеописанной функции:

> plot(p,x=-1..2);

Интегрировать и дифференцировать кусочную функцию можно также, как и обычные функ-ции:

> int(p,x);

А теперь попробуем решить дифференциальное уравнение, в которое входит функция p(x).

> dsolve( diff(y(x),x)+p*y(x),y(0)=-2, y(x));

Maple не ограничивается вышеописанными возможностями. Т.к. система содержит операто-ры для базовых вычислений, то почти все алгоритмы, которые не реализованы стандартнымифункциями можно реализовать посредством написания собственной программы.

38

2.1.5 Лекция 5. Использование Maple V Release 4 для решения дифференциальныхуравнений


1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем.

2. Решение дифференциальных уравнений с частными производными.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем

Для решения дифференциальных уравнений пользователю предлагается большой набор функ-ций, основное количество которых расположено в библиотеке DEtools. Решить дифференциальноеуравнение или систему уравнений можно с помощью встроенной команды dsolve. Формат коман-ды: dsolve(deqns, vars) или dsolve(deqns, vars, eqns), где deqns – одно дифференциальное урав-нение или множество уравнений и/или начальных условий, vars – переменная или множествонеизвестных переменных, eqns – необязательные выражения в форме “ключевое слово = значе-ние”. Команда dsolve позволяет определить решение многих дифференциальных уравнений. Поумолчанию dsolve постарается найти точное решение дифференциального уравнения. Однако,если точное решение не может быть получено, то можно попытаться найти приближенное реше-ние с помощью разложения его в ряд (параметр type=series) или численным методом (параметрtype=numeric).

Примеры: Решим дифференциальное уравнение без начальных условий:

>dsolve(t*diff(y(t),t)-t^2*y(t)=cos(t),y(t));

Найдем приближенное решение того же уравнения с начальными условиями при помощипараметра type=series. Число членов ряда можно изменить, присвоив параметру Order требуемоеколичество членов ряда:

>Order:=4; Order := 4

>dsolve(t*diff(y(t),t)-t^2*y(t)=sin(t), y(0)=1,y(t),type=series);

Важно отметить, что начальные условия, заданные производными, записываются в следую-щем виде, например, вторая производная от y в точке ноль: D(D(y))(0) или (D@@2)(y)(0). Длярешения дифференциальных уравнений, содержащих функции Дирака или Хевисайда, можноиспользовать опцию method=laplace. При этом при решении дифференциального уравнения бу-дет использоваться преобразование Лапласа. Пример:

>DifEqn1 := diff(y(t),t$2) + 5*diff(y(t),t) + 6*y(t) = Heaviside(t);

>dsolve(DifEqn1, y(0)=0, D(y)(0)=1, y(t), method=laplace);

С помощью команды dsolve можно находить решение дифференциального уравнения числен-ным методом. Пользователю предлагается 6 базовых методов. Следует отметить, что каждыйметод имеет огромное количество опций, подробную информацию о которых можно получить всправочной системе Maple V Release 4 или в книге Прохоров Г.В., Леденёв М. А., Колбеев В.В.Пакет символьных вычислений Maple V. - М.: Компания .Петит., 1997.

39

Название опции Описание методаmethod=rkf45 Метод Рунге-Кутта четвертого-пятого порядка (пара-

метр по умолчанию).method=dverk78 Метод Рунге-Кутта седьмого-восьмого порядка.method=classical[метод] Содержит несколько основных методов: foreuler - прямой

метод Эйлера; heunform - усовершенствованный методЭйлера; impoly - модифицированный метод Эйлера rk2- классический метод Рунге-Кутта второго порядка; rk3- классический метод Рунге-Кутта третьего порядка; rk4- классический метод Рунге-Кутта четвертого порядка;adambash - метод Адамса-Башфорда (метод “прогноза”);abmoulton - метод Адамса-Моултона (метод “прогноза икоррекции”).

method=gear Одношаговый метод Гираmethod=mgear Многошаговый метод Гираmethod=lsode Метод решения Ливермора Стиффа.

Пример:

>syst:=diff(y(x),x)=f(x)-y(x)-x,diff(f(x),x)= y(x):

>func := y(x), f(x):

>Fout := dsolve(syst,y(0)=0,f(0)=1,func, type=numeric,method=classical[rk4]);Далее можно распечатать значение решения в любой точке:

>Fout(1);

Решение дифференциальных уравнений с частными производными

Для решения дифференциальных уравнений с частными производными служит команда pdesolve.Формат команды: pdesolve(deqns, vars), где deqns – дифференциальное уравнение с частными про-изводными, vars – неизвестные переменные. Команда pdesolve позволяет найти решения многихуравнений с частными производными. Произвольные функции выводятся в виде: _F1, _F2 и т.д.Примеры:

>pdesolve(y*diff(F(x,y),x)+x*diff(F(x,y),y)=0, F(x,y));

>pdesolve( 3*diff(g(x,y),x,x)+7*diff(g(x,y),x ,y)=x*y, g(x,y));

Для получения детальной информации о дифференциальном уравнении и этапах его решенияследует выполнить команду:

>infolevel[pdesolve]:=5:

И затем решить дифференциальное уравнение.

40

2.1.6 Лекция 6. Использование Maple V Release 4 для построения графиков функ-ций и поверхностей


1. Общие положения.

2. Устройства вывода.

3. Графика 2D.

4. Графика 3D.

Графика в Maple V Maple V release 4 — незаменимый помощник при построении любых ти-пов графиков. После построения графика параметры изображения можно изменить с помощьюспециальной панели инструментов или всплывающего меню, которое вызывается нажатием пра-вой кнопки мыши. Подробно меню рассмотрено при описании интерфейса системы. С помощью“мыши” можно узнать точные координаты интересующей точки, просто указав на нее и нажав ле-вую кнопку. А при построении трехмерных графиков можно визуально “крутить” оси координат,просматривая сложные участки поверхности с разных точек зрения.

Общие положения

Ограничения При построении быстроизменяющейся функции может возникнуть эффект, свя-занный с дискретным шагом построения графика. Хотя Maple использует адаптивный алгоритм,в некоторых случаях шаг построения все-таки оказывается слишком большим, чтобы проанали-зировать все точки графика. Проиллюстрируем этот факт примером построения сильноколеба-тельной функции:

> plot (sin(x^2),x=0..30);

Устройства вывода

Установить устройство вывода можно с помощью команды: interface(plotdevice = x), где x –параметр. Параметр может принимать следующие значения:

• default: восстанавливает установки по умолчанию устройства графического вывода;

• inline: используется для вывода в текущий рабочий документ;

• window: используется для вывода в отдельное окно;

• mac, win: синоним “window”, используется для обеспечения совместимости с предыдущимиверсиями Maple V;

• ps, postscript: вывод графики в формате encapsulated PostScript в файл, заданный интер-фейсной переменной plotoutput;

• gif: GIF-драйвер в данной версии Maple V не поддерживается;

• jpeg: вывод в 24-битовый графический файл в формате JPEG. Можно задать размер изобра-жения, например, plotoptions= ‘height=200, width=320‘. По умолчанию установлена высотав 360 и ширина в 480 пикселей.

• pcx: вывод в файл формата PCX (256 цветов). Аналогично драйверу JPEG задаются высотаи ширина изображения. По умолчанию установлена высота в 400 и ширина в 640 пикселей;

41

• hpgl: вывод в формате HP GL. Вывод подходит для распечатки на перьевых HP-плоттерах.Если plotoptions содержит ключевое слово “laserjet”, тогда полученный файл можно будетраспечатать на HP Laserjet принтерах.

В команде plotsetup устанавливаются опции вывода графики и указывается имя файла длятех драйверов, в которых это необходимо. Формат plotsetup следующий:

plotsetup(DeviceType, TerminalType, options...)plotsetup(DeviceType, options...)plotsetup(options...)DeviceType – тип графического устройства (например, ps, tek, x11, char); TerminalType –

необязательный параметр, определяющий терминал или устройство, поддерживающее графи-ку; options – каждая опция задается в форме “имя=значение”, где “имя” – одно из следующихключевых слов plotdevice, plotoutput, preplot, postplot, plotoptions; plotdevice – определяет использу-емый графический драйвер; plotoutput – определяет имя файла для вывода изображения; preplot– список целых чисел (ESC-последовательность), определяющий начальные установки устрой-ства; postplot – список целых чисел, определяющий завершение работы устройства; plotoptions –строка со значениями, известными для драйвера, разделенными запятыми.

> interface(plotdevice=jpeg);

> interface(plotoutput=‘frame.jpg‘);

> plotsetup( plotoptions=‘height=480, width=640‘);

> plot3d(sin(x)*sin(y),x=-Pi..Pi, y=-Pi.. Pi, style=patch);

Теперь можно перейти в просмотрщик файлов формата JPEG и просмотреть красочный гра-фик трехмерной поверхности, записанный в файле frame.jpg. Те же установки можно задать ввиде списка в одной команде plotsetup:

> plotsetup (plotdevice=jpeg, plotoutput= ‘frame.jpg‘,plotoptions= ‘height=480, width=640‘);

Для возврата в режим вывода в текущий рабочий документ достаточ- но ввести следующуюкоманду:

> plotsetup(plotdevice=inline);

Следует отметить, что сохранить график можно как переменную Maple. Это можно проил-люстрировать следующим примером.

> gr1:=plot(sin,3..10):

> gr2:=plot3d(sin(x*y)*cos(x*y),x=-10..10, y=- 10..10):

> save gr1,gr2,‘temp‘:Считать записанную в файл информацию можно при помощи команды read. И далее воспро-

извести при помощи команды eval, причем в качестве аргумента должно быть имя переменной,содержащей информацию о графике.

Графика 2D

Задание областей

42

Область — это окно декартовой системы координат, в котором строится график. Синтаксисопределения области: “x=нижняя граница..верхняя граница”. Числа, определяющие границы,должны быть действительными. plot(f,x=low..hi,y=low..hi) – пример задания. Области можно за-давать с использованием констант. Например: infinity, Pi, exp(8) и т.д. По умолчанию выбираетсядиапазон -10..10 для оси абсцисс. Если указан один диапазон, то считается, что он для оси абс-цисс, а для оси ординат область изменения выбирается автоматически.

> plot(sin(x),x=0..Pi,y=0..0.5);

> plot(exp,0..infinity);

СтилиПри построении можно выбрать стиль (тип) интерполирования. Задается стиль с помощью

ключевого слова style: plot(f,h,v,style=x). Существуют три стиля: POINT – построение по точкам;LINE – линейная интерполяция; PATCH – стиль для многоугольников.

Стиль point – график будет строиться по точкам. Точки могут быть заданы парами в видесписка: [[x1,y1], [x2,y2], ..., [xn,yn]]

> plot(x^3,x= . 1..1,style=point);

Стиль line – точки будут соединяться прямыми. Данный стиль выбирается по умолчанию.Стиль patch – применяется для построения раскрашенных многоугольников.

> plot([seq([ cos(2*Pi*i/5), sin(2*Pi*i/5) ], i = 1..5),[cos(2*Pi/5), sin(2*Pi/5)]], style=patch, color=green);

ПараметрыПараметры перечисляются в команде plot после указания областей в форме “имя парамет-

ра=значение”. Список параметров приведен в таблице.

Таблица параметров функции plotПАРАМЕТРЫ ЗНАЧЕНИЯ ОПИСАНИЕadaptive true, false использование адаптивного алгоритма

построенияaxes FRAME, BOXED,

NORMAL, NONEтип координатных осей

axesfont [family, style, size] шрифт для осейcolor зарезервированное

слово или процедурацвет графика

coords имя системы коорди-нат

тип системы координат

discont true, false для построения выражений с разрыва-ми

font [family, style, size] шрифт для текстаlabelfont [family, style, size] шрифт для меток осейlabels [str1, str2] названия осейlinestyle целое число тип линииnumpoints целое число точки по оси абсциссresolution целое число горизонтальное разрешение устройства

выводаsample [x1,x2,...xn] список точек, в которых будет построе-

на функция (adaptive=false)

43

scaling CONSTRAINED,UNCONSTRAINED

масштабирование

style POINT, LINE, PATCH тип интерполяцииsymbol BOX, CROSS,

CIRCLE, POINT,DIAMOND

символ точек чертежа

thickness 0, 1, 2, 3 толщина линийtitle строка заголовок чертежаtitlefont [family, style, size] шрифт для заголовкаview [x1..x2, y1..y2] окно координатной плоскостиxtickmarks, ytickmarks целое число количество отметок на осях X и Y.

> plot(sin, sample=[0.5,1,2,3,4,5,6,7,8,9], adaptive=false);

Кусочные функцииДля построения кусочной функции надо просто определить описывающую ее процедуру, а

затем как обычно воспользоваться командой plot.

> w:=proc(x) if x<0 then -x elif (x>0) and (x<4)then x else -x+8 fi end:

> plot(w, -5..6,color=red);

Параметрическая графикаПри построении параметрических функций используется следующий синтаксис команды plot:

plot([x(t),y(t),t=(диапазон изменения t)],h,v,options)

> plot([(t^2-1)/(t^2+1),2*t/(t^2+1),t=-infinity..infinity]);

Построение графиков в различных системах координатПри необходимости можно выбрать систему координат, отличную от декартовой. Всего Maple

может использовать 15 типов систем координат (для двухмерного построения), которые задаютсяпараметром coords=‘имя координат‘. Приведем пример построения в полярных координатах:

> plot([1-cos(t),t,t=0..2*Pi],coords=polar);

Анимация 2D графиковВ Maple возможна анимация двухмерных графиков.

> with(plots):

> animate( x-x^3/u,sin(u*x),x=0..Pi/2,u=1..16,color=red);Синтаксис команды animate: animate(F, x, t,...). Здесь F = F (x, t) — функция двух пере-

менных; x, t – диапазоны изменения x и t. При анимации происходит следующее: изменяютсязначения t и при фиксированных значениях t строится график F (x, t). Количество выводимыхкадров можно устанавливать параметром frames (по умолчанию frames =16).

Совмещение графиковМожно построить несколько графиков на одной координатной плоскости. Для этого достаточ-

но указать в команде plot множество или список функций, т.е. записать через запятую функции изаключить их в фигурные или квадратные скобки. В этом случае Maple автоматически выбираетразные цвета для графиков. Допустимо совмещать обычную и параметрическую графику.

44

> plot(x,[x^2,x,x=0..1],x=0..1);При необходимости для каждой функции можно указать конкретный цвет и стиль построения.

> plot([cos(x),cos(x+0.1)],x=0..2,color=[red,blue],style=[point,line], symbol=diamond);

Графика 3D

Описание функций для построенияДля 3D построений используется функция plot3d. Синтаксис:

plot3d(expr1, x=a..b, y=c..d)plot3d(f, a..b, c..d)plot3d([f,g,h], a..b, c..d),где f, g, h – отображаемые функции (или функция); expr1 – выражение, зависящее от x и y (функ-ция двух переменных); exprf, exprg, exprh – выражения, зависящие от s и t; a, b – действительныеконстанты; c, d – действительные константы, процедуры или выражения (зависящие от x); x, y –имена.

Построить трехмерный график в Maple достаточно просто.

> plot3d(x^2+y^2,x= . 1..1,y= . 1..1);Можно вывести несколько графиков в одной системе координат.

> gr1:=-5*x^2-5*y^2:

> gr2:=-(1.4*x^2+1.4*y^2)-30:

> plot3d(gr1,gr2,x=-4..4,y=-4..4, style=patch);

Параметрическое построениеПриведем синтаксис команды plot3d для построения параметрических поверхностей: plot3d([

expr1,expr2,expr3],s=a..b,t=c..d). Здесь expr1, expr2, expr3 – функции, зависящие от s и t; x(t, s) =expr1, y(t, s) = expr2, z(t, s) = expr3

>plot3d([s*sin(s)*cos(t), s*cos(t)*cos(t),s*sin(t)],s=0..2*Pi, t=0..Pi, style=patch);

ЦветЦвет поверхности устанавливается параметром color=c (colour=c), где c – предопределен-

ные цвета: aquamarine, black, blue, navy, coral, cyan, brown, gold, green, gray, grey, khaki, magenta,maroon, orange, pink, plum, red, sienna, turquoise, violet, wheat, white, yellow.

Задать цвет можно двумя способами: 1. color = f(x,y) – цвет определяется по HUE-алгоритму;2. color = [expr1,expr2,expr3] – цвет определяется по RGB-алгоритму.

> plot3d((0.5*x^6-0.2*x^4*y^5),x=-20*Pi..20*Pi,y=-20*Pi..20*Pi,color=x^2+y^2, style=patch);

> plot3d((0.5*x^6-0.2*x^4*y^5),x=- 20*Pi..20*Pi,y=-20*Pi..20*Pi,style=patch, color=[sin(x*y),cos(x*y),tan(x*y)]);

Системы координатПользователь по своему желанию может выбирать любую из 31 системы координат, поддер-

живаемую Maple V. Приведем только три наиболее известных типа систем координат: cartesian

45

– декартова; spherical – сферическая; cylindrical – цилиндрическая. Тип координатной системыустанавливается параметром coords. Например: coords=spherical.

По умолчанию используется декартова система координат. Если выбрана декартова систе-ма координат, то вертикальная координата z выражается как функция координат x и y, т.е.plot3d(z(x,y), x=a..b, y=c..d);

При выборе сферической системы координат команда plot3d должна быть записана в следу-ющей форме: plot3d(r(theta,phi),theta=a..b, phi=c..d, coords=spherical);

Здесь theta – угол, измеряемый от x – оси в плоскости XY ; phi – угол, измеряемый от поло-жительной полуоси z; r(theta,phi) – модуль радиуса-вектора.

Если выбрана цилиндрическая система координат, то команда plot3d записывается в следую-щей форме: plot3d(r(theta,z), theta=a..b, z=c..d, coords=cylindrical); Здесь theta – угол, измеряемыйот положительной полуоси x; z – координата (высота); r(theta,z) – модуль радиуса-вектора; thetaможет изменятся от 0 до 8*Pi.

Справку по остальным типам систем координат не составит труда найти в справочной системеMaple.

> plot3d(height,angle=0..2*Pi,height=-10..10, coords=cylindrical,style=patch, title=‘Конус‘, orientation=[45,60]);

> plot3d(1,t=0..2*Pi, p=0..Pi, coords=spherical,

scaling=CONSTRAINED, style=patch);

Таблица параметров функции plot3d

ПАРАМЕТРЫ ЗНАЧЕНИЯ ОПИСАНИЕambientlight [red, green, blue] освещение рассеянным светомaxes NORMAL, BOXED,

FRAME, NONEтип осей координат

axesfont [family, style, size] шрифт для осейcontours целое число или спи-

сок целых чиселчисло контуров

coords имя системы коорди-нат

тип системы координат

font [family, style, size] шрифт для текстаgrid [n, m], n, m-целые количество ячеек сеткиgridstyle rectangular или

triangularтип сетки

labelfont [family, style, size] шрифт для меток осейlabels [str1, str2] названия осейlight [phi, theta, red, green,

blue]источник света

lightmodel none, light1,light2,light3, light4

модели освещения

linestyle целое число тип линийorientation [theta, phi] точка взгляда в сферических координа-

тахprojection 0<x<1 или

FISHEYE, NORMAL,ORTHOGONAL

точка взгляда

shading XYZ, XY, Z,Z_GREYSCALE,Z_HUE, NONE

наложение теней

46

style POINT,HIDDEN,PATCH,WIREFRAME,CONTOUR,PATCHNOGRID,PATCHCONTOUR,LINE

стиль рисования поверхности

symbol BOX, CROSS,CIRCLE, POINT,DIAMOND

символ для точек чертежа

thickness 0, 1, 2, 3 толщина линийtitle строка заголовокtitlefont [family,style, size] шрифт для заголовкаview z1..z2 или

[x1..x2,y1..y2, z1..z2]окно пространства

47

2.1.7 Лекция 7. Использование Maple V Release 4 для решения уравнений и ихсистем


1. Символьные вычисления

2. Численные вычисления

3. Целочисленные вычисления

4. Рекуррентные выражения

5. Решение систем линейных уравнений

6. Решение неравенств

Символьные вычисления

Для аналитического решения линейных и нелинейных уравнений и систем служит командаsolve(eqn, per), где eqn – множество уравнений, a per – множество переменных. Напомним, чтомножество – совокупность разделенных запятыми объектов, взятая в фигурные скобки. Еслипеременные не определены, то Maple V найдет решение для всех неизвестных, упомянутых вомножестве уравнений. Например:

> eqs1:=x+2*y+3*z=6,5*x+5*y+4*z=l,3*y+4*z=l;

>a1:=solve(eqs1,x,y,z);

Результатом решения является множество, каждый элемент которого доступен обычным об-разом. Например, найдем приближенное решение у, с точностью до четвертого знака.

>evalf(subs(a1,y),4);

В следующем примере мы увидим, что результатом выполнения могут быть одно или несколь-ко решений.

Пример 1. (Maple V выдает одно решение):

>eqs5:=2*x*y=l,x+z=0,2*x-3*z=2;

>solve(eqs5,x,y,z);

Проверим методом подстановки правильность решения системы. Для этого воспользуемсякомандой subs. Здесь мы используем принятые обозначения " – последнее и "" – предпоследнее.

>subs(","");

Пример 2 (решений много):

>eqs6:=x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=14,x^3+y^3+z^3=36;

>solve(eqs6,x,y,z);

Рассмотрим следующий пример. Найдем решение нелинейного уравнения lnx−2x(ln −1) = 0:

>eqn3:=ln(x)-2*x*(ln(x) - 1);

48

Следует отметить, что выражение eqn3 мы не приравнивали к нулю, т.к. это происходит поумолчанию в команде solve.

>a3:=solve(eqn3,х);

Иногда Maple V не удается найти ответа в символьном виде, или система может выдавать егов неявной форме (как в предыдущем примере). В этом случае можно попробовать найти решениев численном виде.

Численные вычисления

Для решения уравнений численными методами служит команда fsolve:

>a3:=fsolve(eqn3,х);

В качестве следующего примера попробуем найти корни полинома пятой степени.

>poly:=205*х^5 + 140*x^4 + 70*x^2 + 5*x:

Для обыкновенного уравнения команда fsolve вычисляет как минимум одиночный реальныйкорень. Для полинома она вычислит все реальные (несложные) корни, хотя исключительно плохообусловленные полиномы могут заставлять fsolve пропускать некоторые корни.

Для определения режима вычисления корней используют следующие опции: complex – на-ходит все комплексные корни, fulldigits – эта опция ограничивает команду fsolve от выполненияпромежуточных вычислений чисел высоких порядков (с этой опцией fsolve может решить плохообусловленные задачи, но решение займет несколько большее количество времени), maxsols=n –находит n наименьших корней (эта опция применяется только для полинома, у которого большечем один корень), interval – определяется так: a..b или х = a..b или х=a..b, y=c..d,. . . (поисккорней ведется только в данном интервале).

Для заданного выше полинома poly найдем три наименьших корня.

>fsolve(poly,x,maxsols=3);

Найдем все корни полинома poly на интервале от -0.5 до 0.

>fsolve(poly,х,-0.5..0);

Целочисленные вычисления

Процедура isolve(eqn,vars) решает уравнения, в которых присутствуют только целые числа.Она находит все корни уравнения. Необязательный второй параметр vars используется, чтобызадать имена глобальным переменным, которые имеют целочисленные значения и используютсяв решении. Если введен только один параметр eqn, глобальные переменные имеют имена _N1,_N2, и т.д. Например:

>isolve(2*х-5*y=8);

>isolve(х^2=3);

isolve возвращает значение NULL, если не имеется никаких целочисленных решений или Mapleнеспособен найти решения.

Рекуррентные выражения

49

Для рекуррентных выражений используется команда rsolve.

>rsolve(f(n)=- 3*f(n-1)-2*f(n-2),f(k));

>rsolve(f(n) = 3*f(n/2)+5*n,f(n));

>rsolve(t(b*n)=a*t(n)+n,t(m));

Решение систем линейных уравнений

Для решения систем линейных уравнений высоких порядков можно использовать командуlinsolve(А,В), где A[n*m] – матрица коэффициентов системы уравнений из m уравнений и nнеизвестных; B – матрица (вектор) свободных членов системы уравнений; X – матрица (вектор)неизвестныых параметров. Действие команды продемонстрируем на примере решения системыeqs1, состоящей из трех линейных уравнений:

>with(linalg):

>A:=matrix([[l,2,3],[5,5,4],[0,3,4]]);

>B:=vector([6,l,l]);

>X:=linsolve(A,B);

Результат тот же, что и при решении системы с помощью команды solve. Выигрыш во временипри решении системы третьего порядка не ощутим. Однако, решение систем высоких порядков(более 20-го) командами solve, fsolve может занимать некоторое время. Уменьшить его поможетвышеописанный метод. При этом, в библиотеке linalg существует возможность приведения мат-рицы A к различным специальным формам, что еще может увеличить скорость поиска решения.

Решение неравенств

Решить неравенства может команда solve. Использование этой команды аналогично как и прирешении уравнений:

>solve(х^2+6*x+9>5,х);

В качестве результата Maple выдает два интервала, причем выражение RealRange – указываетна вещественную часть ответа, а выражение Open – на открытость границ интервала.

С помощью команды solve можно также решить как систему неравенств, так и систему, вкоторую входят и равенства и неравенства:

>solve(х^2*y^3=0, x+y=2, х<>0);

50

2.1.8 Лекция 8. Использование Maple V Release 4 для решения задач линейнойалгебры


1. Библиотека linalg.

2. Матричные и векторные вычисления.

Библиотека linalg

Среда Maple позволяет выполнять все стандартные операции, определенные в линейной ал-гебре. Они становятся доступны при подключении библиотеки linalg:

> with(linalg):

Матричные и векторные вычисления

Для определения матрицы (вектора) используются команды matrix (vector).

> A:=matrix([[1,1,1],[4,1,6],[7,1,9]]);a:=vector([2,x^2,4,5.3,alpha]);

Известно, что в Maple (как и во многих других программных продуктах) под матрицей по-нимается двумерный массив, индекс которого изменяется от единицы до любого целого числа.Следовательно, матрицу также можно задать следующим образом:

> AA:=array(1..2,1..3);

Но массив вида array(1..2,0..3) матрицей не является, т. к. второй индекс изменяется от ну-ля. Имеются богатые возможности для формирования матриц специального вида. Например,сформировать единичную матрицу можно следующим образом:

> E:=array(identity,1..3,1..3): evalm(E);

Для получения диагональной матрицы используют команду diag(vec), где vec – вектор, рас-положенный на главной диагонали. Заметим, что если vec – единичный вектор, то полученнаяматрица так же будет единичной.

> De:=diag(1,2,3);

Матрица из случайных чисел генерируется командой randmatrix(n,m,opt), где n,m – раз-мерность матрицы, а opt - параметр, определяющий тип матрицы (symmetric, antisymmetric,unimodular и др.).

> randmatrix(4,4,symmetric);

Команда blockmatrix определяет блочную, а команда hilbert – гильбертову матрицы. Чтобыузнать количество строк или столбцов необходимо выполнить следующие операции:

> rowdim("); coldim(A);

В библиотеке “linalg” предусмотрены различные преобразования над матрицами: транспони-рование, вычисление обратной матрицы, сопряженной матрицы, взятие минора, вычисление яд-ра и др. Для этого используются соответствующие команды: transpose(A), inverse(A), adjoint(A),minor(A,n,m), kernel(A).

51

> AT:=transpose(A); minor(A, 2,1);

Для того, чтобы выделить часть матрицы (вектора) существуют команды submatrix(A,i1..i2,j1..j2)и subvector(a,i1..i2), а если необходимо выделить i-тую строчку или i-ый столбец используютrow(A,i) или col(A,i) соответственно.

> submatrix(A,1..2,2..3); row(",2);

Строки или столбцы удаляются командами delcols(A,i1..i2) или delrows(A,i1..i2) соответствен-но. Склеить несколько матриц горизонтально можно используя функцию concat(A1,..,A2), а вер-тикально – stack(A1,..,A2):

> S:=concat(A,E,De);

Для вычисления определителя, ранга, числа обусловленности, следа матрицы используютсяследующие команды соответственно:

> det(A); rank(S); cond(A); trace(A);

Команда multiply(A1,..,An) служит для перемножения матриц (векторов). Следует заметить,что операции “+”, “-”, “*” можно выполнить и традиционным способом, при этом знак “*” ис-пользуется при умножении скалярной функции или числа на матрицу, а когда в произведенииучаствуют только вектора или матрицы, то он заменяется на “&*”:

> Su:=evalm(A&*De+E-x*multiply(A,E));

Команды addrow(A,i,j,m) и addcol(A,i,j,m) служат для умножения i-той строки (столбца) наскалярный множитель m и прибавления к j-той строке (столбцу).

> addrow(Su,1,2,10);

Т.е. первая и третья строки остаются без изменений, а на место второй строки записываетсявыражение m*row(A,i) + row(A,j).

> row2:=evalm(10*row(Su,1)+row(Su,2));

Вычислим матрицу , исходя из формулы: B = A− E ∗ λ , используя команду diag(1,1,1) длясоздания единичной матрицы 3х3.

> B:=evalm(A-lambda*diag(1,1,1));

Найдем определитель матрицы B:

> f:=det(B);

Это выражение будет являться характеристическим полиномом матрицы . Его можно найти,выполнив всего одну команду:

> charpoly(A,lambda);

Теперь найдем собственные значения матрицы , решая ее характеристическое уравнение от-носительно λ.

> res:=evalf(solve(f,lambda),4);

52

Последний результат можно найти, проделав лишь одну операцию над матрицей :

> evalf(eigenvals(A),4);

Получим собственные векторы матрицы :

> evalf(eigenvects(A,‘radical‘),4);

Здесь результат выдается в форме: [num,r,vect], где num – собственное значение матрицы; r– кратность собственного значения; vect – собственный вектор; “radical” – ключ, определяющийрежим нахождения всех собственных значений.

C помощью библиотеки linalg можно привести матрицу к раз личным специальным формам.Команда gausselim(A) используется для приведения к треугольному виду. Алгоритм гауссоваисключения без деления реализуется функцией ffgausselim(A).

> ffgausselim(A);

К треугольному виду привести матрицу можно так же при помощи алгоритма Гаусса-Жордана– gaussjord. Команда jordan(M) приводит матрицу к жордановой форме, а hermite(A,x) – к эрми-товой форме, элементы которой зависят от переменной x.

> hermite(Su,x);

Можно воспользоваться так же дифференциальными операторами. Например, что бы вычис-лить градиент (дивергенцию) функции f(F ), зависящей от переменных вектора x, необходимовоспользоваться командами grad(f,x) или diverge(F,x).

Функция curl(v,x) определяет ротор трехмерного вектора v по трем переменным вектора x.Матрицу Якоби для вектора v по переменным вектора x вычисляют при помощи команды

jacobian(v,x), а лапласиан функции f по переменным вектора x – laplacian(f,x). Например:

> f:=x^3+y^2+cos(z+x);

> gr:=grad(f,[x,y,z]); laplacian(f,[x,y,z]);

> diverge(gr,[x,y,z]); jacobian(gr,[x,y,z]); curl(gr,[x,y,z]);

Для решения матричного уравнения AX = B используется команда linsolve(A,B), где –матрица, X, B – матрицы или векторы.

> A:=matrix([[-1,2],[-3,4]]): B:=matrix([[5,-6],[7,-8]]):

> linsolve(A, B);

Приведем основные из доступных операций c кратким описанием:

команда описаниеaddcol(A,i,j,m) Умножение j-го столбца матрицы А на скалярный множитель m и прибав-

ление к i-му столбцу матрицы Аaddrow(A,i,j,m) Умножение j-ой строки матрицы А на скалярный множитель m и прибав-

ление к i-ой строке матрицы Аadjoint(A) Определение сопряженной матрицы Аblockmatrix Определение блочной матрицыcharpoly(A,lambda)Определение характеристического многочлена матрицы A относительно

lambdacol(A,i) Выделение i-го столбца матрицы Аcoldim(A) Определение числа столбцов матрицы A

53

concat(A1,..,A2) Склеивание нескольких матриц (с А1 по А2) горизонтальноcond(А) Определение числа обусловленности матрицы Аcurl(v,x) Определение ротора трехмерного вектора v по трем переменным век-

тора xdelcols(A,i1..i2) Удаление строк с номерами i1 по i2delrows(A,i1..i2) Удаление столбцов с номерами i1 по i2det(A) Нахождение определителя Аdiag(vec) Определение диагональной матрицы, где vec – вектор, расположен-

ный на главной диагоналиdiverge(F,x) Определение дивергенции функции F, зависящей от набора перемен-

ных вектора xeigenvals(A) Определение собственных значений матрицы Аeigenvects(A) Определение собственных векторов матрицы Аffgausselim(A) Применение алгоритма гауссова исключения без деления матрицы Аgausselim(A) Приведение матрицы А к треугольному видуgaussjord(А) Приведение матрицы А к треугольному виду при помощи алгоритма

Гаусса-Жорданаgrad(f,x) Определение градиента функции f, зависящей от набора переменных

вектора xhermite(A,x) Приведение матрицы А к эрмитовой форме, элементы которой зави-

сят от переменной xhilbert(A) Определение гильбертовой матрицы Аinverse(A) Нахождение обратной матрицы Аjacobian(A,x) Определение матрицы Якоби для вектора v по переменным вектора

xjordan(A) Приведение матрицы А к жордановой формеkernel(A) Определение ядра матрицы Аlaplacian(f,x) Определение лапласиана функции f по переменным вектора xlinsolve(A,B) Решение матричного уравнения AX=B, где А - матрица, X,B - мат-

рица или вектор.matrix(A) Определение матрицы Аminor(A, i, j) Распечатка минора матрицы A, отвечающего элементу, стоящему в

i-ой строке, j-ом столбцеmultiply(A1,..,A2) Перемножение матриц с A1 по A2randmatrix(n, m, opt) Определение матрицы из случайных чисел, где n,m – размерность

матрицы, а opt – параметр, определяющий тип матрицы (symmetric,antisymmetric, unimodular и др.)

rank(A) Определение ранга матрицы Arow(A,i) Выделение i-ой строчки матрицы Аrowdim(А) Определение числа строк матрицы Аstack(A1,..,A2) Склеивание нескольких матриц (с А1 по А2) вертикальноsubmatrix(A,i1..i2,j1..j2) Выделение части матрицы (с i1 по i2 элемента строки, с j1 по j2

элемента столбца)subvector(a,i1.. i2) Выделение части вектора (с i1 по i2 элемента)trace(A) Определение следа матрицы Аtranspose(A) Транспонирование матрицы Avector(B) Определение вектора B

54

2.1.9 Лекция 9. Использование Maple V Release 4 для решения задач алгебры, тео-рии чисел и геометрии


1. Операции с формулами.

2. Операции с полиномами.

3. Графы.

4. Геометрические построения.

Операции с формулами

При работе с математическими выражениями практически всегда приходится выполнять мно-жество таких операций, как раскрытие скобок, разложение на множители, приведение подобныхчленов, которые отнимают массу времени. Maple позволяет сосредоточится над основными пре-образованиями, избегая рутинной работы. Ниже представлены основные команды этого класса.

КОМАНДА ОПИСАНИЕcollect(w, x) Приведение подобных членов в выражении w относительно перемен-

ной xdenom(d) Выделение знаменателя дроби dexpand(w) Раскрытие скобок выражения wfactor(w) Факторизация (разложение на множители) выражения wlhs(ur) Выделение левой части уравнения urnormal(w) Нормализация (сокращение) дроби wnumer(w) Выделение числителя дроби dop(i..j, e) Выделение подвыражения из выражения erhs(ur) Выделение правой части уравнения ursimplify(w) Упрощение выражения wsubs(x=t, w) Подстановка в выражение w вместо выражения x выражение tsubsop(eq1,..,eqN,expr)

Замена некоторого операнда в выражении expr

trigsub(w) Определение всех тригонометрических эквивалентов выражения w

Начнем с самой распространенной операции – упрощения выражения. Переменной rex при-своим некоторую сумму из тригонометрических слагаемых.

> rex := cos(x)^3+sin(x)^4+2*cos(x)^4-2*sin(x)^4- cos(2*x):

Далее упростим полученный полином:

> simplify(rex);

Из приведенного примера видно, что Maple преобразовал выражение rex, подтверждая извест-ные тригонометрические правила. Ниже приведен еще один пример с использованием экспонентыи натурального логарифма.

> w:=exp(a+ln(c*exp(c^a))); simplify(w);

Для раскрытия скобок используется команда expand. Далее в примере определим дробь w2путем деления одного полинома на другой. Отметим, что и в числителе и в знаменателе присут-ствует общий множитель (x+ 3).

55

> expand((x+3)*(x-y)):expand((x+3)*(x+1)):

> w2:=(")/("");

Теперь произведем факторизацию выражения (операцию обратную expand), при этом дробьw2 должна упроститься, т.к. множитель w2 сократится.

> factor(w2);

Огромное количество операторов Maple V используется в различных контекстах. Далее при-ведено описание некоторых самых употребимых и полезных операторов Maple. Для выделенияподвыражения из целого выражения служит команда op: Формат команды: op(i,e), op(i..j,e),op(e), где i, j – положительные целые числа, определяющие позицию операнда в выражении, e –любое выражение.

> f:=[x,y,z]; f := [x,y, z]

> op(3,f);

Для того, чтобы заменить некоторый операнд в выражении, служит команда subsop. Форматкоманды: subsop(eq1, eq2, ..., eqN, expr), где eqI – выражение(необязательное) вида: <numI> =<exprI>, numI – положительное целое, exprI – выражение, expr – выражение. Заменим в опреде-ленном нами ранее списке f=[x,y,z] третий элемент этого списка на v:

> subsop(3=v,f);

При выполнении различных математических операций возникает необходимость подставитьодно выражение в другое, а также проверить полученное решение путем подстановки его в ис-ходное равенство. Для этого служит команда subs. Формат вызова: subs(s_1,s_2,...,s_n,expr), гдеs_1,... – уравнение, или множество, или список из уравнений, expr – любое выражение. При этомs_1,...,s_n подставляются в выражение expr. Пример:

> subs( x=r^(1/3), 3*x*ln(x^3) );

Другой пример использования функции subs – проверка полученного решения.

> eqs := 2*x*y = 1, x + z = 0, 2*x - 3*z = 2;

> f:=solve(eqs,x,y,z);

Проверим, правильно ли мы решили данную систему.

> subs(f,eqs);

Очень удобны операторы rhs и lhs для выделения правой и левой частей выражения:

> y = a*x^2 + b;

> rhs(");

> lhs("");

Иногда необходимо представить некоторую функцию всеми ее тригонометрическими эквива-лентами. Для этих целей в Maple служит функция trigsubs. Перед использованием ее необходимоподгрузить командой readlib.

56

> readlib(trigsubs):

> trigsubs(sin(2*a));

Операции с полиномами

В математических преобразованиях часто используются полиномы. Под полиномом Mapleпонимает сумму или разность выражений с неотрицательными степенями. В пакете представленширокий спектр команд для работы с полиномами. Ниже приведены основные из них.

Определим полином pol:

> pol:=expand((5*y*x^2+x+1)*(x^3- x)+(2*y*x^2+6));Выполним несколько арифмитических операций. C помощью команды quo разделим один

полином на другой, определив при этом целую часть от деления:

> quo(pol,x^3-x,x);

КОМАНДА ОПИСАНИЕlcoeff(pol,opt) Определение старшего коэффициента полинома polcoeff(pol,x,n) Определение коэффициента полинома pol при n-ой степени перемен-

ной xcoeffs(pol,x) Определение всех коэффициентов полинома pol при переменной xconvert(pol, sqrfree,x) Разложение полинома pol на квадратные трехчлены по переменной

xdegree(pol,x) Определение степени полинома pol при переменной xdiscrim(pol,x) Вычисление дискриминанта полинома pol по переменной xgcd(pol1,pol2) Вычисление наибольшего общего делителя двух полиномов pol1 и

pol2psqrt(pol) Вычисление квадратного корня из полинома polquo(pol1,pol2,x) Вычисление частного от деления двух полиномов pol1 и pol2 по пе-

ременной xrandpoly(x) Создание случайного полинома переменной xrem(pol1,pol2,x) Вычисление остатка от деления двух полиномов pol1 и pol2 по пере-

менной x.

С помощью команды rem найдем остаток от этого деления, при этом целая часть запишетсяв переменную ‘k‘:

> os:=rem(pol,x^3-x,x,’k’);k;

Для нахождения наибольшего общего делителя двух полиномов используется команда gcd.

> gcd(os,y*x^2+3);

Сгруппируем ранее определенный нами полином по переменной x с помощью команды collectи подставим вместо переменной y число 2.

> collect(pol,x); pol1:=subs(y=2,pol);

Определим коэффициенты полинома pol1 и далее вычислим для него дискриминант и степень,используя соответственно команды coeffs, discrim, degree.

> coeffs(pol1,x); discrim(pol1,x); degree(pol1,x);

57

Командой factor можно разложить полином на множители. Например:

> factor(3*x^2+9*x-12);

Ограничения на переменные В Maple можно наложить различные ограничения на перемен-ные, при этом программа будет предупреждать вас о наложенных ограни- чениях в различнойформе. Пусть переменная “а” будет больше нуля:

> assume( a>0 );

> signum( a );

> Re(a+1);

После переменной “а” мы видим символ “ ” , означающий, что на переменную наложеныограничения.

Графы

Достаточно широкий спектр задач можно решить при помощи теории графов. Например, на-хождение максимального потока в сети, кратчайшего расстояния, максимального паросочетания,проверка планарности графа и др. Как особый класс можно выделить задачи оптимизации награфах. Для работы с графами в Maple V предназначена библиотека networks. Команда подклю-чения этой библиотеки . стандартная, т.е. достаточно воспользоваться оператором with.

Граф в Maple представляется особой процедурой типа GRAPH. Для работы с графами можновоспользоваться любой из 75-ти функций, содержащихся в библиотеке networks. Основные функ-ции, которые позволяют создавать и изменять графы, а также процедуры решения классическихзадач из теории графов приведены в таблице.

Основные функции библиотеки networks

ФУНКЦИЯ ОПИСАНИЕaddedge добавление ребер в графaddvertex добавление вершин в графadjacency составление матрицы смежностиcomplete создание полного графаdelete удаление из графа ребер и вершинdraw построение чертежа графаduplicate создание копии графаends возвращает имена вершинeweight нахождение весов реберflow нахождение максимального потока в сетиhead нахождение начальных вершинincidence составление матрицы инцидентностиisplanar проверка графа на планарностьnew создание пустого графаpetersen создание графа Петерсенаrandom создание случайного графаshortpathtree нахождение дерева кратчайших расстоянийshow вывод полной информации о графеtail нахождение конечных вершинvoid создание графа без реберvweight нахождение весов вершин

58

Рассмотрим пример решения задачи нахождения максимального потока в сети. Вначале спомощью команды new создаем пустой граф G:

> with(networks):

> new(G):

Теперь добавим в граф G шесть вершин:

> addvertex(a1,a2,a3,a4,a5,a6,G);

Затем соединим вершины ребрами:

> addedge([a1,a2,a2,a3,a2,a5,a2,a4,a3,a4,a3,a6,a5,a6,a1,a4],weights=[8,3,2,4,5,8,6,5],G);

Следует заметить, что в Maple ненаправленное ребро, соединяющее вершины е1 и е2 обозна-чаются как e1,e2 или e2,e1. Направленное ребро обозначается [e1,e2] – ребро направлено отe1 к e2. В предыдущей команде выражение weights определило веса ребер. Для задачи отысканиямаксимального потока в сети вес ребра трактуется как пропускная способность.

Теперь просмотрим созданный граф:

> draw(Linear([a1],[a3,a2],[a5,a4],[a6]),G);

Для нахождения максимального потока от источника а1 к стоку а6 надо воспользоватьсяфункцией flow. Рассмотрим подробно формат вызова этой функции:flow(G,s,t); flow(G,s,t,’maxflow’=n);flow(G,s,t,eset,comp); flow(G,s,t,eset,comp,’maxflow’=n);Команда находит максимальный поток в сети G от вершины s к вершине t (от источника кстоку). eset – имя множества, в котором будут содержаться ребра, “работающие” с максимальнойнагрузкой, comp – имя множества, в котором будут содержаться имена вершин через которыепроходит поток. Параметр maxflow определяет, что необходимо найти поток n. Если n большемаксимально возможного потока, то возвращается значение максимально возможного потока.

> flow(G,a1,a6,’set1’,’set2’);

Команда flow выдала значение максимального потока в заданной сети. Теперь просмотримребра с максимальной загрузкой:

> set1;

> set2;

Таким образом, задача решена: найден максимальный поток, а, используя информацию оребрах с максимальной загрузкой, можно получить данные о загруженности оставшихся ребер.Широко распространены задачи нахождения кратчайшего пути. В таких задачах задается граф(сеть дорог) и начальная вершина (пункт отправления). Каждому ребру можно присвоить вес –длина дороги; кроме этого ребра могут быть как ориентированными, так и не ориентированны-ми. Задача нахождения кратчайшего пути решается с помощью алгоритма Дейкстры. Результатработы алгоритма – дерево с началом в начальной вершине, причем ко всем остальным вершинамидут кратчайшие пути.

В Maple V задачу нахождения кратчайшего пути можно решить при помощи команды shortpathtree.Формат команды: shortpathtree(G,v), где G – граф, v – начальная вершина. В следующем примересоздадим полный граф с четырьмя вершинами, причем вес каждого ребра равен 1.

59

> g:=complete(4): draw(g);

> g1:=shortpathtree(g,2): draw(g1);

Таким образом, g1 – дерево, полученное в результате работы алгоритма Дейкстры. Теперьизменим исходный граф g: ребру, которое соединяет вершины 2 и 3 присвоим вес, равный 100.

> del_edg:=edges(2,3,g);

> delete(del_edg[1],g): addedge(2,3,weights=100,g):

> t:=shortpathtree(g,2): draw(t);

Таким образом, в измененном графе найдены новые кратчайшие пути ко всем вершинам.Команда shortpathtree также присваивает длины кратчайших путей весам вершин.

> vweight(t);

Из данной таблицы видно, что для того, чтобы попасть из вершины 2 в вершину 3, требуетсяпройти расстояние равное двум. В теории графов существует понятие планарности графа. Графназывается планарным, если его можно изобразить на плоскости без самопересечений. Задачаопределения планарности встречается при разводке печатных плат, где ребра графа – печатныепроводники, вершины – контактные площадки. В Maple V проверить планарность графа можнопри помощи команды isplanar, которая возвращает true – если граф планарный и false – в про-тивном случае. Вначале isplanar упрощает граф, т.е. удаляет циклы и повторяющиеся ребра, азатем граф проверяется на планарность (упростить граф можно при помощи gsimp).

> g:=complete(5): draw(g);

> isplanar(g);

> g1:=complete(3): draw(g1);

> isplanar(g1);

В этом разделе приведены лишь краткие сведения о библиотеке networks, но перечисленныхкоманд будет достаточно для решения элементарных задач теории графов. При необходимостинайти дополнительные сведения о данной библиотеке можно воспользоваться справочной систе-мой Maple.

Геометрические построения

Функции библиотеки geometry позволяют работать в евклидовой геометрии с двухмернымиобъектами. Заметим, что пакет не поддерживает расширенную плоскость, то есть он не можетработать с точками и прямыми в бесконечности.

Рассмотрим принцип работы в пакете и опишем в таблице основные команды.Библиотека geometry поддерживает основные геометрические примитивы. Среди них: точка,

отрезок, луч, прямая, треугольник, квадрат, окружность, эллипс, парабола, гипербола и другие.Каждый объект обязательно имеет свои имя и размер. Для некоторых из них необходимо опре-делить специфические параметры, например, для окружности – имя центра. Примитив задаетсяс помощью одноименных команд.

Например, для определения точки используется функция point(P,Px,Py), где P – имя точки,Px – горизонтальная координата, Py – вертикальная координата.

60

Треугольник можно задать несколькими способами:triangle(T, [A, B, C], n),triangle(T, [l1, l2, l3], n ),triangle(T,[side1, side2, side3] ),triangle(T, [side1, ’angle’=theta, side3],n ),где T – имя треугольника; A,B,C – три точки; L1, l2, l3 – три прямые; side1, side2, side3 – тристороны треугольника; side1, ‘angle‘ = theta, side3 – две стороны треугольника и theta – уголмежду ними; n – список из двух имен, представляющих названия горизонтальной и вертикальнойоси соответственно (необязательный параметр). Таким же образом определяются и остальныепримитивы.

Кроме того, есть команды, определяющие основные параметры фигуры, такие как способзадания примитива, координаты, радиус, площадь, алгебраическое уравнение и многие другие.

Для графической визуализации объектов используется функция draw([obj_1(localopts_1), ...,obj_n(localopts_n)], globalopts); где obj_1, ..., obj_n – геометрические объекты, localopts_1, ...,localopts_n – параметр для каждого объекта, globalopts – параметры, которые относятся ковсем объектам, localopts_i – последовательность параметров: цвет, стиль линии, количествоточек, стиль, символ, толщина, текст, заполнение.

КОМАНДА ОПИСАНИЕarea(А1) Определение площади объекта А1 (треугольника, квадрата, круга,

и т. п.)asymptotes (P) Определение асимптот гиперболы Pbisector(Т) Определение биссектрисы треугольника Тcenter(А1) Определение центра круга, эллипса, гиперболыcircle(c,m) Определение круга с именем “с” методом mconic(k, m) Определение конуса с именем “k” методом mcoordinates(p) Определение координат объекта p[Px, Py], где Px - горизонтальная

координата и Py - вертикальная координатаdefinedAs (Sq) Определение четырех вершин квадрата Sqdetail(А1) Детальное описание объекта А1diagonal(Sq) Определение длины диагонали квадратаhyperbola(H, m) Определение гиперболы с именем “H”, методом mdiameter(V) Вычисление диаметра окружности Vdistance(a, b) Вычисление расстояния между двумя объектамиdraw(А1) Построение объекта А1ellipse(E, m) Определение эллипса с именем “E” методом mEquation(А1) Вывод уравнения геометрического объекта А1Foci(E) Нахождение фокуса эллипса или гиперболыform(P) Определение формы геометрического объекта (то есть, point2d, ес-

ли P - точка)HorizontalCoord(P) Определение значения Px, которое является горизонтальной коор-

динатой точки PMajorAxis(p) Вычисление длины главной оси эллипса pMedian(t) Определение медианы треугольника tmethod(T) Вывод метода определения объекта TMinorAxis(p) Определение длины малой оси эллипсаparabola (P,m) Определение параболы с именем “P”, методом mradius (c) Определение радиуса окружности c

61

square(K,m) Определение квадрата с именем “K”, методом mVertex (p) Вывод названия вершины объекта pVerticalCoord (P) Определение значения Py, которое является вертикальной коорди-

натой точки P

Ниже приведены основные команды из библиотеки geometry.Объекты можно подвергнуть различным преобразованиям: перенос вдоль горизонтальной

или вертикальной осей, различные повороты и сдвиги и т.п.В качестве иллюстрации приведем доказательство теоремы о точке пересечения биссек-

трис в треугольнике, которая гласит: Центр окружности, вписанной в треугольник, являетсяточкой пересечения его биссектрис.

> restart: with(geometry):Построим треугольник Т:

> triangle(T,[point(A,0,0),point(B,3,-1), point(C,4,2)]):Построим окружность inc, вписанную в треугольник с центром О1.

> incircle(inc,T,’centername’=O1):Построим биссектрисы bA, bB, bC углов треугольника Т:

> bisector(bA,A,T): bisector(bB,B,T): bisector(bC,C,T):Проверим, действительно ли центр вписанной окружности О1 лежит на пресечении трех

биссектрис:

IsOnLine(O1,bA) and IsOnLine(O1,bB) and IsOnLine(O1,bC);Мы убедились, что точка О1 действительно принадлежит биссектрисам bA, bB, bC. Под-

твердим вышесказанное рисунком:

> draw([inc(color=green), bA(color=black), bB(color=black),bC(color=black), T(color=blue, filled=false)],filled=true,scaling=constrained);

62

2.2 Тема 2. Технологии подготовки математических текстов. Пакет LATEX

2.2.1 Лекция 10. Подготовка математических текстов средствами Microsoft Word


1. Вставка формул в документ Microsoft Word.

2. Клавиши быстрого доступа в MathType.

Вставка формул в документ Microsoft Word

Укажите место для вставки формулы.В меню Вставка выберите команду Объект, а затем откройте вкладку Создание. В списке

Тип объекта выберите Microsoft Equation 3.0. Если редактор формул недоступен, его необходимоустановить.

Нажмите кнопку OK.Создайте формулу, выборирая символы на панели инструментов Формула и вводя перемен-

ные и числа с клавиатуры. Верхняя строка панели инструментов Формула содержит более 150математических символов. Нижняя строка используется для выбора разнообразных шаблонов,предназначенных для построения дробей, интегралов, сумм и других сложных выражений.

Для получения справочных сведений выберите команду Вызов справки в меню Справка.Чтобы вернуться в Microsoft Word, щелкните документ.

Клавиши быстрого доступа в редакторе формул Math Type

Ctrl+Shift+K,±, ∓, ·, ∗, ∃, ∀ =, +, ., *, e, ao, ∠, ⊥, ‖ d, Shift+a, p, |

Ctrl+T,| | , [ , |, [, 12 , 1/2, 3

√ F, Alt+/, nxx, x

x,

xxx,

xX, X

x,

xXx

L, Alt+l, l, O, Alt+o, o∑,∑n,

m∑n

S, Alt+s, sx−→, −→

x,

1−→2

Shift+→, Alt+→, →2←−, ←−

2,

1←−2

Shift+Up, Alt+Up, Up∏,∏n,

m∏n

P, Alt+p, p⋂,⋂n,

m⋂n

I, Alt+i, i⋃,⋃n,

m⋃n

U, Alt+u, u

Ctrl+Shift+I,∫,

b∫a,∫l

,∫l,

∫∫!, s, Alt+s, Alt+1, @∫∫

s,∫∫

s,∫∫∫

,∫∫∫v,∫∫∫

v 2, Alt+2, #, 3, Alt+3

63

Ctrl+K,×, →, ⇒, ∈, /∈ t, →, Shift+→, e, E⇔, 7→ Alt+Shift+→, Tab⋃,⋂, ⊂, ⊃, 6⊂ U, X, c, s, C

∅, ∞, ≤, ≥ o, I, „ .∼, ≈, 6=, ≡ Alt+∼, ∼, +, =

Ctrl+D,R, Z, C, Q, N R, Z, C, Q, N

Ctrl+( ) , [ ] , , 〈〉 9, [, , ,рад., инт., дробь r, i, fx′, x′′, x, x Alt+’, ", Alt+., `

Ctrl+6,x, x′, x, x, x, x, ~x 6, `, 9, 0, -, _, →

Ctrl+m,2× 2, 3× 3, 4× 4, m× n 2, 3, 4, n

64

2.2.2 Лекция 11. Документы в LATEX. Общие положения


1. Определение системы действительных чисел.

2. Построение системы действительных чисел.


LATEX— это система подготовки текстов, пригодная, в частности, для подготовки научныхпубликаций, которые содержат математические формулы. Но она может применяться так-же для многих других видов документов, от простых писем до сложных книг и призентаций.LATEXпостроен на базе TEX’а.

TEX(произносится как русское слово «тех», допускается написание «TeX») это компью-терная программа профессора Дональда Э. Кнута, предназначенная для набора и распечаткитекстов и математических формул.

LATEX(произносится «ла-тех» или «лей-тех», допускается написание «LaTeX») — это такназываемый макро-пакет Лесли Лампорта, написанный при помощи TEX’а. Он позволяет ав-тору несложным способом набрать свою рукопись с применением уже готовых форматов ираспечатать ее на полиграфическом уровне.

Основная концепция

Обычно автор передает в издательство рукопись, напечатанную на пишущей машинке.Затем технический редактор решает вопросы, связанные с внутренним оформлением издания(длина строк, вид шрифта, интервалы до и после заголовков глав и т. д.), и дает наборщикунеобходимые указания.

LATEXявляется, так сказать, техническим редактором, а TEX— наборщиком. ВыдаваемыеLATEX’ом команды переводятся на более низкий уровень команд TEX’а.

Технический редактор распознает намерения автора (например, заголовки глав, цитаты,примеры, формулы . . . ) из содержания рукописи, в большинстве случаев основываясь на сво-их профессиональных знаниях. LATEX, напротив, является «только» программой и нуждаетсяпоэтому в дополнительной информации относительно логической структуры текста. Эта ин-формация дается в форме так называемых внутритекстовых команд.

Применяя LATEX, автор при вводе исходного файла не видит, как правило, то, во что пре-вратится текст после форматирования. Но он всегда может при наличии соответствующихпрограмм сделать пробную распечатку своей рукописи или вывести ее на экран дисплея, а затемсоответствующим образом скорректировать свой исходный файл и продолжить работу.

Верстка

Типографская верстка обычно является ручной работой, требующей соответствующих зна-ний. Неопытные авторы часто делают грубые ошибки форматирования текстов. Например,размер шрифта и нумерация заголовков должны быть такими продуманными, чтобы струк-тура глав и параграфов легко просматривалась. Длина строк должна быть такой, чтобы чи-тателю не приходилось слишком утомлять глаза, а не такой, чтобы строки заполняли бумагуна столько, на сколько это возможно.

С помощью интерактивных редакторов текстов авторы создают в общем эстетическивполне удовлетворительные, но плохо структурированные рукописи. LATEXпредотвращает та-кие ошибки форматирования благодаря тому, что заставляет автора указывать логическуюструктуру текста, и затем автоматически применяет наиболее подходящий для этого фор-мат.

65

Достоинства и недостатки

LATEXимеет следующие достоинства:

• Имеется несколько стандартных стилей (книга, статья, доклад, письмо), с помощьюкоторых получаются документы очень высокого полиграфического качества.

• Набирать математические формулы очень просто.

• Пользователю нужно знать всего несколько команд, которые определяют логическую струк-туру текста, и почти ничего не надо знать о том, как документ форматируется.

• Без особых трудностей можно получить сноски, список литературы, оглавление, списоктаблиц, указатель и т. п., а также простые рисунки.

К недостаткам LATEX’а можно отнести то, что при серьезных отклонениях от стандарт-ных стилей документов требуется достаточно сложное программирование.

Исходный файл

В качестве исходного файла для LATEX’а используется обыкновенный текстовый файл. Егоможно набрать в любом привычном для вас текстовом редакторе в коде ASCII или cp1251.Управляющие «команды» LATEX’а вводятся при помощи обратной наклонной черты. На практи-ке для работы с исходными файлами используются специализированные текстовые редакторы,создающие дополнительные удобства при работе с документами (например, подсветка синтак-сиса, проверка орфографии, клавиши быстрого доступа и т. д.). Среди них в данный моментраспространены WinEdit, TexnicCenter, WinTexShell.

Внутри исходного текста между словами может быть какое угодно количество пробелов.LATEXавтоматически сжимает их в один, имеющий длину, наиболее подходящую для «нормаль-ного» расположения слов на строке.

LATEXдопускает использование в исходном файле заглавных и строчных букв, цифр и зна-ков пунктуации. Десять символов являются служебными и используются только в командахLATEX’а (и TEX’а). Это

$ & % # _ ~ ^ \

Пять символов

+ = | < >

используются главным образом в математических формулах, хотя + и - могут использоватьсяи в обычном тексте.

Для того чтобы получить в тексте символы, занятые под служебные, перед ними нужнопоставить знак обратной черты \ (Backslash), так что1

$ & % # _ \$ \& \% \# \_ \ \

Команды LATEX’а

Большинство команд LATEX’а имеют следующий формат: сначала ставится знак обратнойнаклонной черты (\), а затем имя команды. Обязательные аргументы заключаются в фигур-ные скобки , а необязательные — в квадратные. После управляющей команды обычно ставитсяпробел. Некоторые команды позволяют получить целые слова и фрагменты текста. Например:

1Здесь и далее в правой части примеров показано то, что вводится в исходный файл, а в левой — то, чтополучается после компиляции посредством LATEX’а.

66

Я предпочитаю LATEX. Я предпочитаю \LaTeX.Эта страница была напечатана 12 де-кабря 2008 г.

Эта страница была напечатана \today

Для ввода в исходный текст комментариев, которые будут проигнорированы компилято-ром, используется знак %. Он применяется для ввода в исходный файл собственных поясняющихотметок или для отмены печати следующих за ним символов. Эта команда действует тольков пределах одной строки.

Документ

Существует несколько команд LATEX’а, присутствие которых во входном файле документаобязательно. Первой должна быть команда, определяющая класс (стиль) документа:

\documentclass

Текст каждого документа начинается с команды \begindocument. Затем следует тело до-кумента, которое может включать в себя разные команды LATEX’а. В конце документа обяза-тельно должна быть команда \enddocument. Все, что за ней следует, LATEX игнорирует.

Минимально возможный LATEX-файл.

\documentclassarticle\begindocumentHello, worlds!\enddocument

Более сложный пример исходного файла:

\documentclass[12pt,twocolumn]article\authorR.~Zagretdinov\titleGnus of the World\date4 July 1997\setlength\parindent0pt \setlength\parskip5pt plus 2pt minus 1pt\frenchspacing \sloppy\begindocument\maketitle\beginabstractThis is an example of an English scientific article.\endabstract\tableofcontents\sectionStartStudying of gnus of the world is one of the important \dots\sectionEnd\dots\ so our research will be continued in the near future.\enddocument

Стиль документа

Преамбула документа, стоящая до команды \begindocument, может содержать толькоопределения. Эти определения служат для обозначения стиля документа. Преамбула начина-ется с команды

\documentclass[options]style

67

В качестве обязательных параметров (в фигурных скобках) этой команды должен бытьодин из параметров:

article (статья) Стиль научных статей, отчетов, коротких документов. Этот стиль несодержит разделение на главы. Титульный лист, полученный командой \maketitle, по-мещается не на отдельном листе, а вверху первой страницы.

report (доклад) Стиль, предназначенный для более длинных технических документов (ди-пломных работ, диссертаций и т. д.). Этот стиль отличается от предыдущего тем,что содержит разделение на главы, и титульный лист занимает отдельную страницу.

book (книга) Основной стиль для издания книг. Гранки формируются исходя из того, что вокончательном варианте текст будет печататься на обеих сторонах листа.

letter (письмо) Стиль, предназначенный для деловых писем. Содержит все элементы хоро-шо оформленного письма: адрес, дату, подпись и т. п.

В квадратных скобках могут стоять параметры, которые модифицируют основные стили.Примеры таких необязательных параметров:

11pt — базовый размер символов 11pt, а не 10pt, который используется по умолчанию.

12pt — базовый размер символов 12pt.

fleqn выравнивает по левому краю текста математические формулы, выделенные в краснуюстроку соответствующими командными скобками.

leqno ставит номера математических формул слева.

titlepage — команда \maketitle в присутствии этого параметра печатает титульный листна отдельной странице и для документа в стиле статья.

twocolumn дает возможность печатать в две колонки.

twoside дает возможность печатать документы в стиле статьи или доклада на обеих сто-ронах листа.

Пример начала исходного файла:

\documentclass[11pt,twocolumn,twoside]article.

Стиль страницы

Стиль печатаемой страницы может быть задан командой:

\pagestylestyle

При использовании опции plain номер страницы печатается внизу, а заголовок страницыпуст; опции headings — номер страницы и другая информация (коллонтитул) печатаютсясверху, а внизу страницы ничего. Опция empty — номера страниц не печатаются.

Существуют и другие команды, позволяющие менять формат печати номеров страницы ипроч., например: \thispagestyle, \pagenumbering, \twocolumn и \onecolumn.

68

2.2.3 Лекция 12. Набор текста в LATEX


1. Формирование строк и страниц.

2. Перенос слова.

3. Спецзнаки.

4. Пробелы.

5. Заголовки и даты.

6. Особенности технической литературы на русском языке.

7. Разделы и заголовки (section).

8. Сноски (footnote).

9. Выделение слов (emphasize).

10. Среды (Environments).

11. Таблицы.

12. Табуляция.

Формирование строк и страниц

Обычный текст размещается в гранке, т. е. с соблюдением ширины полосы набора. LATEXавтоматически производит верстку строк и страниц. При этом для каждого абзаца определя-ется наилучшее разделение слов на строки и при необходимости осуществляется автомати-ческий их перенос.

Расположение самих абзацев определяется стилем документа. В статьях, сообщениях икнигах абзацы отмечаются отступами первой строки. В письмах или при задании

\setlength\parindent0pt\setlength\parskip5pt plus 2pt minus 1pt

абзацы отмечаются дополнительным промежутком по вертикали без горизонтального отсту-па.

С помощью сред “Environments” можно по необходимости иначе размещать отдельные ча-сти текста.

Размещение текста можно менять с помощью следующих команд: команда \\ или \newlineосущестляет переход на новую строку без нового абзаца; команда \\* переход на новую строкубез перехода на новую страницу; команда \newpage осуществляет переход на новую страницу;командами \linebreak[n], \nolinebreak[n], \pagebreak[n] и \nopagebreak[n] задается, на-сколько желательно или нежелательно делать в определенном месте смену строк или страниц(соответственно), причем n определяет приоритет команды (1, 2 или 3).

LATEX старается построить строки настолько хорошо, насколько это возможно. Если нетудовлетворяющей строгим правилам возможности для построения ровных полей, LATEX мо-жет удлинить строку и дать соответствующее предупреждение об ошибке (“overfull hbox”).Это происходит обычно, когда нет подходящего места для переноса слова.

Перенос слова

69

В отдельных случаях, если автоматический перенос слова (деление на слоги) не дает жела-емого результата, можно воспользоваться специальной командой. Обычно это случается прииспользовании сложных или иноязычных слов.

Команда \hyphenation означает, что помещенные за ней в фигурных скобках слова могутбыть разделены каждый раз только в местах, отмеченных знаком дефис (-). Эта командадолжна стоять в начале исходного файла и распространяет действие на слова не содержащиеумляуты, цифры или особые знаки.

Команда \- позволяет осуществлять перенос слова в месте, где содержится \-. Эта ко-манда применима ко всем словам, в том числе содержащим цифры и особые значки.

Команда \mbox... означает, что аргумент не может быть разделен.

Кавычки

Для получения кавычек никогда не используйте знак двойной кавычки ("). Для текста наанглийском языке используется дважды обратный апостроф в начале и дважды прямой в концецитируемого текста. “No,” he said, “I don’t know!”

‘‘No,’’ he said, ‘‘I don’t know!’’

В русском и немецком текстах приняты иные кавычки. Например: ”это цитата” (или, чточаще встречается в русских изданиях: «это цитата»). Получить это можно, определив новуюмакрокоманду типа:\newcommand\qr\mbox,\hspace-0.1em,\hspace0.05em\nolinebreak,а для кавычек «елочкой» можно использовать знаки << и >>.

Дефисы и тире

В LATEX’е используются три типа дефисов и тире, отличающиеся по длине: An intra-worddash or hyphen, as in X-ray.A medium dash for number ranges, like 1–2.A punctuation dash—like this. А для русских текстов — такое.

An intra-word dash or hyphen, as in X-ray. A medium dash for number ranges,like 1--2. A punctuation dash---like this. А для русских текстов --- такое.

Многоточия (dots)

В отличие от пишущей машинки, где каждая точка и каждая запятая занимает место,соответствующее ширине буквы, точки и запятые при полиграфическом воспроизведении рас-полагаются вплотную к предыдущему знаку. Для точек, означающих многоточие (три точкис соответствующим промежутком), имеются собственные команды \ldots или \dots. Nichtso ... sondern so:Wien, Graz, . . .

Nicht so ... sondern so: \\Wien, Graz, \dots

Лигатуры

В книгопечатании для улучшения вида текста отдельные символы обьединяются в группы–лигатуры. Пример лигатур в латинице:

ff fi fl AV Te. . . вместо f f f i f l AV Te. . .

70

Таблица 1: Акценты и экзотические буквы

Ввод Вывод Ввод Вывод

\‘o o \’o o\^o o \~o o\=o o \.o o\u o o \v o o\H o o \"o o\c o o \d o o.\b o o

¯\t oo oo

\oe œ \OE Œ\ae æ \AE Æ\aa a \AA A\o ø \O Ø\l l \L L\i ı \j

!‘ !‘ ?‘ ?‘

Для предотвращения печати лигатуры используются команды \/ или \kern0pt. Пример:Nicht Auflage (Au-fl-age)sondern Auf lage (Auf-lage)

Nicht Auflage (Au-fl-age) \\sondern Auf\/lage (Auf-lage)

Акценты и экзотические буквы

LATEX позволяет использовать наборы различных акцентов (ударений) и экзотических буквиз других языков (см. табл. 1). В таблице акценты показаны на примере буквы “o”, однако впринципе они могут быть поставлены над любой буквой. Если акценты должны быть постав-лены над буквами i или j, то точки над ними не ставятся, eсли используются команды \iи \j. Hotel, naıve, smørebrød.!‘Senorita!

H\^otel, na\"\i ve,sm\o rebr\o d. \\!‘Se\~norita!

Пробелы

Для получения ровных прямых полей текста LATEX варьирует межсловными интервалами.После точек, знаков вопроса и т. д., оканчивающих фразы, ставятся несколько большие интер-валы, что повышает удобочитаемость текста. LATEX считает, что точки, следующие послезаглавных букв, означают сокращения, а все остальные точки оканчивают предложения. Ав-томатически пробелы между предложениями устанавливаются несколько больше, чем междусловами предложения.

В LATEX’е существуют также команды для установления специальных интервалов. Обрат-ная наклонная черта с пробелом (\) означает пробел, ширина которого не может быть из-менена. Знак тильда (~) означает, что интервал не может быть изменен и не может быть

71

Таблица 2: Заголовки

\contentsname Contents Содержание\listfigurename List of Figures Список иллюстраций\listtablename List of Tables Список таблиц\abstractname Abstract Аннотация\refname References Список литературы\bibname Bibliography Литература\indexname Index Предметный указатель\figurename Figure Рис.\tablename Table Таблица\partname Part Часть\chaptername Chapter Глава\appendixname Appendix Приложение

перехода на другую строку в данном месте. Команда \@ перед точкой означает, что эта точказаканчивает предложение, хотя перед ней стоит заглавная буква. Dazu zahlen u.a. auch dieOsterr. Bundesbahnen.Dr. Partl wohnt im 1. Stock.. . . 5 m breit.Ich brauche Vitamin C. Du nicht?

Dazu z\"ahlen u.a.\ auch die\"Osterr.\ Bundesbahnen. \\Dr.~Partl wohnt im 1.~Stock. \\\dots\ 5~m breit. \\Ich brauche Vitamin~C\@. Du nicht?

Заголовки и даты

Способ задания заголовков, формата даты и прочее определяется стилем документа. Длятекстов на русском языке необходимо использовать специальные стили. В табл. 2 показанызаголовки, используемые в английской и русской версиях.

Форматы представления даты также отличаются в русском и американском стандартах:(10 января 1993) и (January 10, 1993) соответственно.

Особенности технической литературы на русском языке

В формулах следует обращать внимание на повторение знака оператора при разрыве фор-мул (автоматическое повторение в TEX’е не предусмотрено). Советуем в формулах, которыенабираются в тексте, использовать английскую грамматику переносов операторов, во избежа-ние нелепых ошибок при форматировании. В выключных формулах вы можете использоватьрусские правила переноса формул.

Названия некоторых функций в русскоязычной и англоязычной литературе отличаются.Например,tanh −→ th,cosh −→ ch,n.c.d. −→ н.о.к., и т. п.

Для таких функций надо создавать новые макрокоманды или пользоваться командой \mbox.

72

Разделы и заголовки (section)

Начало параграфа или раздела и его заголовок вводятся командой вида \section.... Приэтом должна соблюдаться логическая иерархия.

В статьях:

\section \subsection \subsubsection

В отчетах и книгах:

\chapter \section \subsection \subsubsection

Статью, таким образом, относительно легко можно построить как главу в книге.Отбивки между параграфами, нумерация и величина шрифта заголовка устанавливаются

LATEX’ом автоматически.Заголовок всей статьи или титульный лист вводятся командой \maketitle. Текст главы

необходимо предварить командами \title, \author и \date.Команда \tableofcontents автоматически строит оглавление. Причем для правильного по-

строения оглавления необходимо запускать LATEX дважды.Есть также команды вида \section*..., при которых не производится нумерация и вне-

сение в оглавление соответствующего параграфа и т. п.. Пример см. на рис. ??, с. ??.Команды \label и \ref используются LATEX’ом для автоматической организации перекрест-

ных ссылок в тексте. Пример:

\sectionAlgorithmen... Der Beweis daf\"ur ist in Kapitel~\refbew angegeben. ...\sectionBeweise \labelbew...

Сноски (footnote)

Сноски2 автоматически нумеруются и печатаются внизу страницы.

Сноски\footnote Это сноска. автоматически нумеруются ...

Выделение слов (emphasize)

В машинописной рукописи выделяемый текст обычно подчеркивается, в полиграфическомисполнении чаще выделяется курсивом. Команда \em (emphasize) указывает LATEX’у, что после-дующий текст должен быть выделен. Here is some silly emphasized text.

Here is some silly \em emphasized text.

LATEX выделяет текст курсивным шрифтом, но если далее следует прямой шрифт, то необ-ходимо в конце выделяемого текста поставить команду \/ для предотвращения слипания кур-сивного и прямого шрифтов: I told you that he didn’t!I told you that he didn’t!

I told you that he \em didn’t! \\I told you that he \em did\/n’t!

2Это сноска.

73

Среды (Environments)

Для того чтобы указывать, как должен выглядеть документ, у LATEX’а есть возможностьописывать логическую структуру документа — среду. Элементом этой структуры можетявляться, например, цитата внутри текста. Для того чтобы указать логический элемент,пользователь должен поместить его в специальные командные скобки:

\beginname text \endname

Командные скобки могут быть вложены одни в другие:

\beginaaa...\beginbbb...\endbbb...\endaaa

Цитаты и стихи (quote, quotation, verse)

Среда цитата (quote) годится для коротких цитат, выделенных фраз и примеров: Ourpresidents have been known for their pithy remarks.

The buck stops here.Harry Truman

I am not a crook.Richard Nixon

Our presidents have been known for their pithy remarks.\beginquoteThe buck stops here.\\\em Harry Truman

I am not a crook.\\\em Richard Nixon

\endquote

Для цитирования текста, содержащего более одного абзаца, используется среда quotation.Для печати стихотворного текста используется среда verse. Перевод строки при этом

осуществляется командой \\.

Списки (itemize, enumerate, description)

Среды itemize (см. рис. 1), enumerate (см. рис. 2) и description (см. рис. 3) служат дляпостроения списков.

Выключка влево, вправо, центрирование (flushleft, flushright, center)

Среды flushleft и flushright смещают предложения текста соответственно влево ивправо, center центрирует текст на странице. Переxод на следующую строку осуществля-ется при помощи \\. Если \\ не задано, то LATEX делает разбивку строк автоматически.

This textis flushed to left

\beginflushleftThis text \\is flushed to left\endflushleft

74

• Each list item is marked with a itemize. The labels in this itemized list are bullets.

• Lists can be nested within one another.

– The maximum number of enclosings is 4.

– Switching and marking of items is automatic.

• And so on.

\beginitemize\item Each list item is marked witha \it itemize\/. The labels in thisitemized list are bullets.\item Lists can be nested withinone another.\beginitemize\item The maximum number of

enclosings is 4.\item Switching and marking

of items is automatic.\enditemize

\item And so on.\enditemize

Рис. 1: Пример itemize

1. The item labels in an enumerate list are numerals or letters.

2. A list should have at least two items.

(a) The maximum number of enclosings is 4.

(b) Switching and marking of items is automatic.

3. And so on.

\beginenumerate\item The item labels in an enumeratelist are numerals or letters.\item A list should have at leasttwo items.\beginenumerate\item The maximum number of

enclosings is 4.\item Switching and marking

of items is automatic.\endenumerate

\item And so on.\endenumerate

Рис. 2: Пример enumerate

75

Three animals you should know about are:

gnat A small animal, found in the North Woods, that causes no end of trouble.

gnu A large animal, found in crossword puzzles, that causes no end of trouble.

armadillo A medium-sized animal, named after a medium-sized Texas city.

Three animals you should know about are:\begindescription\item[gnat] A small animal, found

in the Nort Woods, that causesno end of trouble.

\item[gnu] A large animal, foundin crossword puzzles,that causes no end of trouble.

\item[armadillo] A medium-sizedanimal, named after a medium-sizedTexas city.

\enddescription

Рис. 3: Пример description

This textis flushed to right

\beginflushrightThis text \\is flushed to right\endflushright

Thistext

is centered

\begincenterThis \\ text \\is centered\endcenter

Дословная передача (verbatim, verb)

Командные скобки \beginverbatim и \endverbatim используются в случае, если вы хо-тите вывести текст на печать точно так же, как он был набран, включая команды LATEX’а.Полезно при печати листингов программ.

Текст необходимо помещать внутри двух одинаковых символов. The \dots-command . . .

The \verb|\dots|-command \dots

Рисунки (figure)

76

Рис. 4: И. Иванов. Снег

Текст, стоящий между \beginfigure и \endfigure, или текст с командой \vspace,задающей место для вклеивания рисунков (иллюстраций), автоматически помещается в бли-жайшее подходящее место. С помощью \caption... размещают название рисунка. При этомвводится только текст обозначения, слово «Рис.» и номер добавляются LATEX’ом. Общеприня-то помещать подпись под рисунком. Командами \label и \ref можно пометить этот рисуноки сделать на него ссылку в тексте. Рис. 4 — это пример Поп-Арта.

Рис.~\refweiss --- это пример Поп-Арта.\beginfigure\vspace6cm \captionИ.~Иванов. Снег \labelweiss\endfigure

Таблицы (table)

Таблицы используются аналогично рисункам и помещаются между \begintable и \endtable;команды \caption, \label и \ref действуют аналогично. Название таблицы помещается иливсегда под или, это используется чаще, всегда над ней.

Для совмещения таблиц обычно применяется tabbing- или tabular-среды. Однако можноприменять и другие структуры (например, enumerate или description). На рис. 5 показанспособ применения этих структур.

\begintable\caption... \label...\begincenter\begintabular......\endtabular

\endcenter\endtable

Рис. 5: Построение среды table

Табуляция (tabbing)

В среде tabbing можно использовать режим табуляции текста, т. е. расположение в ко-лонки, позиции которых определяются табулятором. Команда \= устанавливает положение

77

табулятора, \kill отменяет печать данной строки, \> продвижение к следующему табуля-тору, и \\ разделяет строки. The tabbing environment starts a new line.

Gnat Gnu GnomeArmadillo Armament Armorer

The text that follows starts on a new line, . . .

The \tt tabbing environment starts a new line.\begintabbingArmadillo \= Armament \= \killGnat \> Gnu \> Gnome \\Armadillo \> Armament \> Armorer\endtabbingThe text that follows starts on a new line, \dots

Собственно таблицы (tabular)

Среда tabular служит для размещения таблиц, в которых LATEX самостоятельно опреде-ляет необходимую ширину столбцов.

Параметры команды \begintabular... в фигурных скобках описывают способ выравни-вания элементов каждой колонки: (l) выравнивает текст по левому краю, (r) по правому,(c) центрирует текст, (pwidth) определяет столбец заданной ширины с многострочнымтекстом. Вертикальная черта (|) означает построение вертикальной линии.

Знак & внутри таблицы означает переход к следующему столбцу, \\ означает переход наследующую строку, \hline проводит горизонтальную линию.

7C0 hexadecimal3700 octal

11111000000 binary1984 decimal

\begintabular|rl|\hline7C0 & hexadecimal \\3700 & octal \\11111000000 & binary \\\hline1984 & decimal \\\hline\endtabular

78

2.2.4 Лекция 13. Набор математических формул


1. Общие положения.

2. Элементы математических формул.

3. Пробелы внутри формул.

4. Многострочные формулы.


Математические части текста внутри одного абзаца заключают или между $ и $, илимежду $ и $, или между \beginmath и \endmath. Математическими текстами счита-ются как полные математические формулы, так и отдельные обозначения величин, которыеотносятся к формулам, греческие буквы, верхние и нижние индексы в тексте и различные осо-бые обозначения. Пусть a и b — катеты и c — гипотенуза, тогда c2 = a2 + b2

(теорема Пифагора).

Пусть $a$ и $b$~--- катеты и $c$~--- гипотенуза,тогда $c^2=a^2+b^2$\\(теорема Пифагора).

TEX spricht man wie τεχ aus.

100 m2 Nutzflache

Mit ♥-lichen Grußen

\TeX spricht man wie$\tau\epsilon\chi$ aus.\\100~m$^2$ Nutzfl\"ache \\Mit $\heartsuit$-lichenGr\"u\ss en

Длинные математические формулы или равенства лучше набирать в одну строку. Для это-го их заключают или между \[ и \], или между $$ и $$, или между \begindisplaymath и\enddisplaymath, если номер уравнения не ставится, или между \beginequation и \endequation,если номер уравнения ставится. Пусть a и b — катеты и c — гипотенуза, тогда c2 = a2 + b2,

c =√a2 + b2 (1)

(теорема Пифагора).

Пусть $a$ и $b$~--- катеты и $c$~--- гипотенуза, тогда $c^2=a^2+b^2$,\beginequationc = \sqrt a^2+b^2 \endequation(теорема Пифагора).

Номера уравнений в тексте можно включать с помощью команд \label и \ref.

ε > 0 (2)

From the inequality (2) follows . . .

79

\beginequation \labeleps\epsilon > 0\endequation

From the inequality (\refeps) follows \dots

Набор в математическом режиме отличается от текстового режима прежде всего следу-ющим:

1. Пробелы и переходы на следующую строку игнорируются, все пробелы устанавливаютсяавтоматически по логике математических выражений или должны задаваться с помо-щью специальных команд типа \, или \qquad.

∀x ∈ R : x2 ≥ 0 (3)

\beginequation\forall x \in \rm R: \qquad x^2 \geq 0\endequation

2. Пустые строки запрещены (математические формулы должны стоять в пределах одногоабзаца).

3. Каждая отдельная буква рассматривается как название величины и вводится соответ-ственно (курсив с дополнительным расстоянием). Если внутри математического текстанеобходимо ввести нормальный текст (прямой шрифт, с пропусками), то этот текстследует заключить в \mbox....

x2 ≥ 0 for all x ∈ R (4)

\beginequationx^2 \geq 0\qquad \mboxfor all\ x \in \rm R\endequation

Элементы математических формул

В этом параграфе коротко описываются важнейшие элементы, которые применяются вматематических формулах. Список всех используемых символов представлен в следующей лек-ции.

Строчные греческие буквы определяются как \alpha, \beta, \gamma, и т.д., заглавныегреческие буквы определяются: \Gamma, \Delta, и т.д..

λ, ξ, π, µ,Φ,Ω

$\lambda, \xi, \pi, \mu,\Phi, \Omega $

Далее приводится множество математических символов: от ∈ через ⇒ до ∞ (см. § ??).

Показатели степени и индексы задаются с помощью надстрочного и подстрочного знач-ков ^ и _. a1 x2 e−αt a3

ij

$a_1$ \qquad $x^2$ \qquad $e^-\alpha t$ \qquad $a^3_ij$

80

Знак корня задается с помощью \sqrt, корень n-ой степени — \sqrt[n]. Размер знакакорня выбирается LATEX’ом автоматически.

√x

√x2 +

√y 3

√2

$\sqrtx$ \qquad $\sqrt x^2+\sqrty $ \qquad $\sqrt[3]2$

Команды \overline и \underline строят горизонтальную черту непосредственно над илипод выражением. m+ n

$\overlinem+n$

Команды \overbrace и \underbrace строят горизонтальные скобки непосредственно надили под выражением. a+ b+ · · ·+ z︸︷︷︸

26

$\underbrace a+b+\cdots+z _26$

Для построения над величинами математических акцентов типа ударения или тильдыимеются команды, приведенные в табл. ??. Более длинные тильды и крышечки, которые мо-гут распространяться над несколькими (до 3-х) символами, получают при помощи \widetildeили \widehat. Знаки производных задаются символом апострофа (’).

y = x2 y′ = 2x y′′ = 2

\begindisplaymathy=x^2 \qquad y’=2x \qquad y’’=2\enddisplaymath

Математические функции обычно изображаются в тексте не курсивом (как описанныевыше величины), а «прямым» шрифтом. Для этого имеются команды:

\arccos \cos \csc \exp \ker \limsup \min \sinh \arcsin \cosh\deg \gcd \lg \ln \Pr \sup \arctan \cot \det \hom \lim\log \sec \tan \arg \coth \dim \inf \liminf \max \sin \tanh

Для модуль-функций имеется два типа команд: \bmod для бинарного оператора a mod b и \pmod...для задания выражения вида: x ≡ a (mod b).

limx→0

sinxx

= 1

\begindisplaymath\lim_x \to 0 \frac\sin xx =1\enddisplaymath

Дробь (fraction) вводится командой \frac....... Для простых дробей можно приме-нять также оператор /. 11

2 of hour

x2

k + 1x

2k+1 x1/2

$1\frac12$~of hour\begindisplaymath\frac x^2 k+1 \qquad x^ \frac2k+1 \qquad x^ 1/2 \enddisplaymath

81

Биномиальные коэффициенты могут быть заданы в форме ...\choose.... С помо-щью команды \atop получают выражение без скобок.(

n

k

)x

y + 2

\begindisplaymath n \choose k \qquad x\atop y+2 \enddisplaymath

Интегралы задаются командой \int, а суммы — командой \sum. Верхний и нижний пре-делы интегрирования и суммирования задаются значками ^ и _ соответственно.

Для размещения пределов над и под знаком интеграла необходимо использовать команду\limits, что дает некоторую экономию в тексте.

Напротив, для знака суммы при задании команды \nolimits или в текущем тексте пределысуммирования ставятся рядом, однако в других случаях — сверху и снизу знака суммы.

n∑i=1

∫ π2

0

+∞∫−∞

\begindisplaymath\sum_i=1^n \qquad \int_0^\frac\pi2 \qquad \int\limits_-\infty^+\infty\enddisplaymath

Для скобок и других ограничителей в TeX’е есть много разных символов (например [ 〈 ‖ l).Круглые и угловые скобки можно ввести с клавиатуры, фигурные посредством \, другие —специальными командами (например, \updownarrow).

Если перед открывающей скобкой задать команду \left, а перед закрывающей — команду\right, то автоматически выбирается правильный размер скобки.

1 +(

11− x2

)3

\begindisplaymath1 + \left( \frac1 1-x^2

\right) ^3\enddisplaymath

В некоторых случаях желательно установить размер скобок самим, для чего можно ис-пользовать команды: \bigl, \Bigl, \biggl и \Biggl вместо \left и аналогично \bigr и т. д.вместо \right. (

(x+ 1)(x− 1))2

\begindisplaymath\Bigl( (x+1) (x-1) \Bigr) ^2\enddisplaymath

Для печати в формуле многоточия (напр., 1, 2, . . . , n) существуют команды \ldots и \cdots.\ldots ставит точки на основную (базовую) линию (low), \cdots ставит их посреди строки(centered). Кроме того имеются команды \vdots для вертикальных и \ddots для наклонныхточек.

x1, . . . , xn x1 + · · ·+ xn

82

\begindisplaymathx_1,\ldots,x_n \qquad x_1+\cdots+x_n\enddisplaymath

Пробелы внутри формул

Если выбранные TEX’ом интервалы внутри формул вас не удовлетворяют, можно их из-менить с помощью специальных команд. Важнейшими являются \, для очень маленьких про-белов, \; для средних, \quad и \qquad для больших пробелов, а также \! для уменьшения ин-тервала.

Fn = Fn−1 + Fn−2 n ≥ 2

\begindisplaymathF_n = F_n-1 + F_n-2\qquad n \ge 2\enddisplaymath

∫∫Ddx dy instead of

∫ ∫Ddxdy

\begindisplaymath\int\!\!\!\int_D dx\,dy \quad \mboxinstead of \quad \int\int_D dx dy\enddisplaymath

Многострочные формулы

Для матриц и т. п. существует array-среда, функционирующая аналогично tabular-среде.Команда \\ делает переход на следующую строку.

X =

x11 x12 . . .x21 x22 . . ....

.... . .

\begindisplaymath\bf X = \left( \beginarraycccx_11 & x_12 & \ldots \\x_21 & x_22 & \ldots \\\vdots & \vdots & \ddots\endarray \right)\enddisplaymath

Для многострочных формул или систем уравнений применяются среды eqnarray и eqnarray*вместо equation. При использовании eqnarray каждое уравнение нумеруется, при eqnarray*,как и в случае displaymath, ни одно уравнение не нумеруется. Для систем уравнений, которыеимеют один общий номер, можно применять array-среду внутри equation-среды.

Среды eqnarray и eqnarray* действуют как 3-х столбцовая таблица формы rcl, причемсредний столбец применяют для знака равенства или неравенства, после чего ряды должныбыть выровнены. Команда \\ делает перевод строки.

f(x) = cosx (5)f ′(x) = − sinx (6)∫ x

0f(y)dy = sinx (7)

83

\begineqnarrayf(x) & = & \cos x \\f’(x) & = & -\sin x \\\int_0^x f(y)dy &= & \sin x\endeqnarray

Слишком длинные уравнения LATEX автоматически не переносит на новую строку. Ав-тор должен самостоятельно определить, в каком месте сделать перенос. В основном для этогоприменяют один из двух следующих вариантов:

sinx = x− x3

3!+x5

5!−

−x7

7!+ · · · (8)

\begineqnarray\sin x & = & x -\fracx^33!

+\fracx^55! -\nonumber\\

& & -\fracx^77! + \cdots\endeqnarray

cosx = 1− x2

2!+

+x4

4!− x6

6!+ · · · (9)

\begineqnarray\lefteqn \cos x = 1

-\fracx^22! + \nonumber\\

& & +\fracx^44!-\fracx^66! + \cdots

\endeqnarray

Команда \nonumber указывает, что в данном месте уравнение нумеровать не следует. Команда\lefteqn делает возможным разрыв уравнения в среде eqnarray.

84

2.2.5 Лекция 14. Математические символы


1. Нематематические символы.

2. Математические акценты.

3. Строчные греческие буквы.

4. Прописные греческие буквы.

5. Различные специальные знаки.

6. Символы переменного размера.

7. Бинарные операторы.

8. Операторы отношения.

9. Отношения с отрицанием.

10. Стрелки.

11. Разделительные скобки.

12. Синонимы.

В следующих таблицах приведены символы, которые применяются в текстовом и матема-тическом режимах.

Нематематические символы

Следующие символы употребляются в текстовом режиме:

† \dag § \S c© \copyright‡ \ddag ¶ \P £ \pounds

Математические акценты

\hat a a \check a a\tilde a a \acute a a\grave a a \dot a a\ddot a a \breve a a\bar a a \vec a ~a

Строчные греческие буквы

α \alpha ι \iota % \varrhoβ \beta κ \kappa σ \sigmaγ \gamma λ \lambda ς \varsigmaδ \delta µ \mu τ \tauε \epsilon ν \nu υ \upsilonε \varepsilon ξ \xi φ \phiζ \zeta o o ϕ \varphiη \eta π \pi χ \chiθ \theta $ \varpi ψ \psiϑ \vartheta ρ \rho ω \omega

85

Прописные греческие буквы

Γ \Gamma Ξ \Xi Φ \Phi∆ \Delta Π \Pi Ψ \PsiΘ \Theta Σ \Sigma Ω \OmegaΛ \Lambda Υ \Upsilon

Различные специальные знаки

ℵ \aleph ′ \prime ∀ \forall~ \hbar ∅ \emptyset ∃ \existsı \imath ∇ \nabla ¬ \neg \jmath

√\surd [ \flat

` \ell > \top \ \natural℘ \wp ⊥ \bot ] \sharp< \Re ‖ \| ♣ \clubsuit= \Im ∠ \angle ♦ \diamondsuit∂ \partial 4 \triangle ♥ \heartsuit∞ \infty \ \backslash ♠ \spadesuitf \mho \Box ♦ \Diamond

Символы переменного размера∑\sum

⋂\bigcap

⊙\bigodot∏

\prod⋃

\bigcup⊗

\bigotimes∐\coprod

⊔\bigsqcup

⊕\bigoplus∫

\int∨

\bigvee⊎

\biguplus∮\oint

∧\bigwedge

Бинарные операторы

+ + − -± \pm ∩ \cap ∨ \vee∓ \mp ∪ \cup ∧ \wedge\ \setminus ] \uplus ⊕ \oplus· \cdot u \sqcap \ominus× \times t \sqcup ⊗ \otimes∗ \ast / \triangleleft \oslash? \star . \triangleright \odot \diamond o \wr † \dagger \circ © \bigcirc ‡ \ddagger• \bullet 4 \bigtriangleup q \amalg÷ \div 5 \bigtriangledown

Операторы отношения

< < > > = =≤ \leq ≥ \geq ≡ \equiv≺ \prec \succ ∼ \sim \preceq \succeq ' \simeq \ll \gg \asymp⊂ \subset ⊃ \supset ≈ \approx

86

⊆ \subseteq ⊇ \supseteq ∼= \congv \sqsubseteq w \sqsupseteq ./ \bowtie∈ \in 3 \ni on \Join` \vdash a \dashv |= \models^ \smile | \mid .= \doteq_ \frown ‖ \parallel ⊥ \perp

∝ \propto

Отношения с отрицанием

6< \not< 6> \not> 6= \not=6≤ \not\leq 6≥ \not\geq 6≡ \not\equiv6≺ \not\prec 6 \not\succ 6∼ \not\sim6 \not\preceq 6 \not\succeq 6' \not\simeq6⊂ \not\subset 6⊃ \not\supset 6≈ \not\approx6⊆ \not\subseteq 6⊇ \not\supseteq 6∼= \not\cong6v \not\sqsubseteq 6w \not\sqsupseteq 6 \not\asymp

Стрелки

← \leftarrow ←− \longleftarrow ↑ \uparrow⇐ \Leftarrow ⇐= \Longleftarrow ⇑ \Uparrow→ \rightarrow −→ \longrightarrow ↓ \downarrow⇒ \Rightarrow =⇒ \Longrightarrow ⇓ \Downarrow↔ \leftrightarrow ←→ \longleft... l \updownarrow⇔ \Leftrightarrow ⇐⇒ \Longleft... m \Updownarrow7→ \mapsto 7−→ \longmapsto \nearrow← \hookleftarrow → \hookrightarrow \searrow \leftharpoonup \rightharpoonup \swarrow \leftharpoondown \rightharpoondown \nwarrow \rightleftharpoons \leadsto

Разделительные скобки

( ( [ [ \[ \lbrack b \lfloor d \lceil \lbrace 〈 \langle) ) ] ] \] \rbrack c \rfloor e \rceil \rbrace 〉 \rangle

Синонимы

6= \ne или \neq \not=≤ \le \leq≥ \ge \geq \ \lbrace \ \rbrace→ \to \rightarrow← \gets \leftarrow

87

3 \owns \ni∧ \land \wedge∨ \lor \vee¬ \lnot \neg| \vert |‖ \Vert \|

88

2.2.6 Лекция 15. Некоторые особенности LATEX


1. Виды и размеры шрифтов (Fonts).

2. Интервалы между строк (интерлиньяж).

3. Горизонтальные отбивки.

4. Вертикальные отбивки.

5. Формат страницы.

6. Письмо (letter).

7. Ссылки на литературу.

Виды и размеры шрифтов (Fonts)

Обычно LATEX выбирает подходящие виды и размеры шрифтов на основании команд, которыеуказывают логическую структуру текста (заголовки, выделения и т. п.). В особых случаях види размер шрифта может быть изменен приведенными в табл. 3 и 4 командами. Применениеэтих команд осуществляется аналогично команде \em в пределах группы. Small fat romans take аpossessionunder the great Italy.

le 2eme regime

\small Small \bf fat romans take a possession\large under the great\it Italy\/. \\[6pt]\rm le $2^\mbox\scriptsize\‘eme$r\’egime

Команды из табл. 4 меняют размер шрифта \rm. Большой жирный шрифт получают не спомощью \bf\large, а командой \large\bf.

Однако, чем меньше применяется различных шрифтов, тем легче читается и лучше вы-глядит печатный текст.

Интервалы между строк (интерлиньяж)

Если в тексте желательно использовать межстрочное расстояние большее, чем преду-смотрено стилем документа, надо команду \baselinestretch изменить на множитель большеединицы:

Таблица 3: Шрифты

\rm прямой шрифт (roman)\bf жирный шрифт (boldface)\it курсивный шрифт (italic)\sl наклонный шрифт (slanted)\sf рубленый шрифт (sans serif)\sc Шрифт Капитель (Small Caps)\tt шрифт равноширинный (typewriter)\boldmath жирный шрифт для формул

89

Таблица 4: Размеры шрифтов

\tiny Gnu

\scriptsize Gnu

\footnotesize Gnu\small Gnu\normalsize Gnu\large Gnu\Large Gnu\LARGE Gnu\huge Gnu\Huge Gnu

Таблица 5: Единицы измерения длины

mm Миллиметрcm Сантиметр = 10 mmin Дюйм ≈ 25 mmpt Пункт ≈ 1

72 in ≈ 13 mm

em Немного меньше ширины заглавной буквы М для текущего шрифтаex Приблизительно высота строчной буквы х для текущего шрифта

для «полуторастрочных» интервалов:\renewcommand\baselinestretch1.3

для «двухстрочных» интервалов:\renewcommand\baselinestretch1.6

Горизонтальные отбивки

Расстояния между словами и предложениями вводятся LATEX’ом автоматически. Горизон-тальные отбивки можно определить командой

\hspacelength

Единицы длины определены в табл. 5. Here is 1.5 cm space.

Here\hspace1.5cmis 1.5~cm space.

Команды в табл. 6 являются сокращениями для некоторых горизонтальных отбивок. Команда\hfill может служить для того, чтобы заполнить весь возможный интервал. Примеры при-менения команд \, и \hfill: “ ‘Fi’ or ‘fum?’ ” he asked.

‘‘\,‘Fi’ or ‘fum?’\,’’ he asked.

Here is a stretched space.Here are two equal ones.

Here is a \hfill stretched space.\\Here are \hfill two \hfill equal ones.

90

Таблица 6: Горизонтальные отбивки

\, тонкая шпация\enspace ширина цифры\quad ширина, равная высоте букв\qquad в два раза шире чем \quad\hfill интервал от 0 до ∞.

Таблица 7: Вертикальные отбивки

\smallskip приблизительно 14 строки

\medskip приблизительно 12 строки

\bigskip приблизительно 1 строка\vfill интервал от 0 до ∞.

Вертикальные отбивки

Отбивки между абзацами, главами и т. д., устанавливаются LATEX’ом автоматически. Вособых случаях дополнительные отбивки между двумя абзацами задаются командой

\vspacelength.

Параметр length определяет величину вертикального интервала. Эта команда должна всегдавводиться между двумя пустыми строками. Если вертикальную отбивку необходимо ввестив начале или в конце страницы, используется \vspace* вместо \vspace. Команды в табл. 7являются обозначениями для некоторых отбивок. Команда \vfill в сочетании с \pagebreak[4]позволяет поместить текст на нижний край страницы или отцентрировать по вертикали.

Дополнительный интервал между двумя строками внутри абзаца или таблицы задаетсякомандой

\\[length].

Формат страницы

Если вас не устраивают стандартные форматы страницы, предлагаемые LATEX’ом по умол-чанию, то с помощью команд определителей формата

\addtolength\topmargin-... \addtolength\textheight...

можно изменить верхний и нижний края и увеличить количество строк на каждой страни-це. Команды \textheight и \textwidth определяют высоту и ширину отводимого на станицепод текст пространства, а командой \baselineskip изменяется расстояние между базовымилиниями соседних строк. Для основных размеров используются:

Высота шрифта 10 pt 11 pt 12 ptbaselineskip 12 pt 13.6 pt 15 pt∆topmargin −30 pt −34 pt −30 pt∆textheight 60 pt 68 pt 60 pt

91

Письмо (letter)

Если в качестве стиля документа использован стиль letter (письмо), то между команда-ми \begindocument и \enddocument можно набрать одно или несколько писем.

С помощью команд \signature и \address устанавливаются имя и адрес отправителя. Ко-манда \beginletter... начинает письмо к получателю, заданному именем и адресом ввиде параметров. \opening... и \closing... задают обращение и заключительное при-ветствие, заканчивающееся именем, заданным командой \signature. Команда \endletterзавершает текст письма.

Если перед \begindocument используется команда \makelabels, то печатается наклейкадля конверта.

На рис. 6 приведен пример одного письма.

\documentclass[12pt]letter\usepackageamsmath\usepackageamsfonts\usepackageamssymb\usepackage[mathscr]eucal\usepackagegraphicx\usepackage[russian]babel\usepackage[cp1251]inputenc\usepackage[T2A]fontenc

% ----------------------------------------------------------------\signatureИванов И.И.\address % Обратный адресг. Славянск-на-Кубани \\ул. Зеленского 10\\E-mail: [email protected]

\makelabels\begindocument% ----------------------------------------------------------------\beginletter % Адресг. Армавир \\ул. Тургенева 1 \\Петрову П.П.\openingУважаемый Петр Петрович,Текст письма%\closingС наилучшими пожеланиями,\endletter% ----------------------------------------------------------------\enddocument

Рис. 6: Пример письма

Ссылки на литературу

С помощью среды thebibliography можно напечатать список литературы. В нем каждыйлитературный источник начинается с \bibitem. В качестве метки используется имя, которое

92

при употреблении в команде \cite делает ссылку на соответствующий источник. Нумерацияпроизводится автоматически.

Пример цитирования литературы в тексте с помощью команды \cite имеет вид: Partl [1]has used . . .

Список литературы

[1] H. Partl: German TEX, TUGboat Vol. 9, No. 1 (1988)

Partl~\citepa has used \dots

\beginthebibliography99\bibitempaH.~Partl: \it German \TeX, TUGboat Vol.~9, No.~1 (1988)\endthebibliography

93

3 Практикум (рекомендации к практической части)

3.1 Тема 1. Пакет символьных вычислений Maple V Release 4

3.1.1 Практическое занятие 1. Синтаксис Maple. Вычисление пределов. Дифферен-цирование

План практического занятия

1. Актуализация базовых знаний (повторение ключевых терминов и понятий по теме заня-тия)(10 минут)

2. Решение примеров по теме практического занятия из раздела “Задачи для аудиторнойработы” (75 минут)

3. Подведение итогов. Постановка домашнего задания (решить задачи по теме занятия длясамостоятельного решения, ответить на вопросы самоконтроля, повторить ключевыетермины и понятия следующего практического занятия) (5 минут)

Ключевые термины и понятияСинтаксис Maple V, математические функции в Maple V, команды limit, Limit, diff, Diff.

Задачи для аудиторной работы

Упражнение 1 Вычислить следующие пределы:

limx→∞

2x+ 3x+ 3√x, lim

x→π/4

sinx− cosx1− tg x

, limx→0

x− sin 2xx+ sin 3x

limx→0

(sin 2xx

)1+x

, limx→0

ln√

1+x1−x

x

limx→0−0

11 + e1/x

, limx→0+0

11 + e1/x

Упражнение 2 Вычислить y′, если:

y(x) = tg x− 13

tg3 x+15

tg5 x

y(x) =

√3 sinx− 2 cosx

5y(x) = 3

√2ex − 2x + 1 + ln5 x

y(x) =32

3√x2 +

187x 6√x+

95x

3√x2 +

613x2 6√x

y(x) =34

lnx2 + 1x2 − 1

+14

lnx− 1x+ 1

+12

arctg x

Упражнение 3 Вычислить ∂2z∂x2 , ∂2z

∂y2 , ∂2z∂xy , ∂2z

∂yx если:

z = arcsin

√x2 − y2

x2 + y2;

z = esinyx

z = ln(x+√x2 + y2);

z = ln sinx+ a√y

;

94

Задачи для самостоятельного решенияСамостоятельно выполнить задачи для аудиторной работы.

Вопросы для самоконтроля

1. Синтаксис Maple V

2. Математические функции в Maple V

3. Команды limit, Limit.

4. Команды limit, Limit.

95

3.1.2 Практическое занятие 2. Решение задач математического анализа





Ключевые термины и понятияСинтаксис Maple V, математические функции в Maple V, команды diff, Diff, dsolve, int, Int,

plot, series, sum, Sum.

Задачи для аудиторной работыСамостоятельно выполнить задачи для аудиторной работы.

Задачи для самостоятельного решения

Упражнение 4 Решить следующие обыкновенные дифференциальные уравнения или их си-стемы:

y′′ + 2y′ − 3y = 2xe−3x + (x+ 1)ex,

y′′ + 2y′ − 3y = 2xe−3x + (x+ 1)ex, y(1) = 2, y′(0) = 0,

y′′ − 4y = e2x sin 2x,

y′′ − 2y′ = e2x + x2 − 1, y(0) =18, y′(0) = 1,

x2y′′ − xy′ + y = 2x, y(1) = 0, y′(1) = 1,y′ + z = 1,z′ + 2

x2 y = lnx,y′ + 3y + 4z = 2x,z′ − y − z = x.

Упражнение 5 Вычислить следующие интегралы:

∫ √ln(x+

√x2 + 1)

1 + x2dx

∫3x+ 15x2 + 1

dx∫x−√

arctg 2x1 + 4x2

dx∫sec2 x√4− tg2 x

dx∫esin

2 x sin 2x dx

96

∫sinx√

cos2 x+ 4 cosx+ 1dx,

∞∫π/2

sinxx2

dx,

100∫0

13√x+ 2 4

√x+ x3

dx,

e2∫e

1x lnx

dx,

1∫0

ex

1 + e2xdx,

ln 3∫ln 2

1ch2 x

dx.

Упражнение 6 Построить график функции

y(x) =1

3√x) + 2 4

√x+ x3

на отрезке [0, 100].

Упражнение 7 Разложить в степенной ряд функцию f(x) по степеням x− x0:

f(x) =1

x2 + 3x+ 2, x0 = −4,

f(x) = lnx, x0 = 1,

f(x) =√x, x0 = 4;

Упражнение 8 Исследовать ряды на сходимость:

∞∑1

n3

en,

∞∑1

1n!,

∞∑1

n2

2n2 + 1


1. Синтаксис Maple V.

2. Математические функции в Maple V.

3. Команды diff, Diff, dsolve, int, Int, plot, series, sum, Sum.

97

3.1.3 Практическое занятие 3. Решение алгебраических задач





Ключевые термины и понятияСинтаксис Maple V. Библиотека linalg. Команды solve, with, matrix, vector, linsolve, det,

inverse, multiply, quo, rem, series, gcd, lcm


Упражнение 9 Решить следующие уравнения и их системы:

x3 + 6x2 + 30x+ 25 = 0;

x3 − 6ix+ 4(1− i) = 0;

x4 − 6x3 + 10x2 − 2x− 3 = 0;x1 + x2 + 2x3 = −1,2x1 − x2 + 2x3 = −4,4x1 + x2 + 4x3 = −2;

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 13,2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 10,2x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 11,2x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + 2x5 = 6,2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 3.

Упражнение 10 Решить матричное уравнение вида AX = B, где

A =

1 2 3 4 52 1 2 3 42 2 1 2 32 2 2 1 22 2 2 2 1

, B =

13101163

.

Упражнение 11 Вычислить определитель матрицы A

A =

246 427 3271014 543 443−342 721 621

.

Упражнение 12 Вычислить определитель матрицы A

A =

1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

.

98

Упражнение 13 Решить матричное уравнение вида AX = B, где

A =(

2 51 3

), B =

(4 −62 1

).

Упражнение 14 Найти ABC, где

A =

1 2 10 1 23 1 1

, B =

2 3 1−1 1 01 2 −1

, C =

1 2 10 1 23 1 1

.

Упражнение 15 Найти обратную матрицу A−1, где

A =

1 3 −5 70 1 2 −30 0 1 20 0 0 1

.

Упражнение 16 Разделить f = x3 − 3x2 − x− 1 на g = 3x2 − 2x+ 1 с остатком.

Упражнение 17 Разложить f = x4 + 2ix3 − (1 + i)x2 − 3x+ 7 + i по степеням x+ i.

Упражнение 18 Вычислить НОД и НОК многочленов f и g:

f = 3x6 − x5 − 9x4 − 14x3 − 11x2 − 3x− 1, g = 3x5 + 8x4 + 9x3 + 15x2 + 10x+ 9.



1. Синтаксис Maple V.

2. Библиотека linalg.

3. Команды solve, with, matrix, vector, linsolve, det, inverse, multiply, quo, rem, series, gcd, lcm

99


3.2.1 Практическое занятие 4. Верстка математических документов в Microsoft Word





Ключевые термины и понятияВставка формул в документ Microsoft Word. Интерфейс Microsoft Equation. Интерфейс MathType.

Клавиши быстрого доступа в MathType.

Задачи для аудиторной работыНаберите в Microsoft Word следующий документ:

Определение 1 Элемент a кольца K называется обратимым элементом кольца, если в кольцесуществует такой элемент b, что ab = ba = 1K.

Теорема 3.1 Пусть F = 〈F,+,−, ·, 1〉 — поле. Тогда для любых элементов a, b, c поля:(1) если ab = 1, то a 6= 0 и b = a−1;(2) если ab = 1, то a 6= 0 и b = a−1.

Доказательство. (1) Если ab = 1, то a 6= 0 . . .∫dx

(x− 1)2√x2 + 2x+ 2

= I

∫dx

(x− 1)2√x2 + 2x+ 2

= I

∫R(x,

√ax2 + bx+ c)dx, (10)

где R — рациональная функция. ∫R(x,

√ax2 + bx+ c)dx, (11)

где R — рациональная функция.Формула (11) . . . ∫

sec2 t dt

tg2t sec t=

ln 3∫ln 2

3√

2dx

ch2 x

limn→∞

(1 +

1n

)n

= e

100

A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣I =

∫ (√3

2sh t− 1

2

) √3

2ch t√

32

ch t dt =

=3√

38

∫sh t ch2 t dt− 3

8

∫ch2 t dt =

=3√

38· ch3 t

3− 3

8

(12

sh t ch t+12t

)+G.

limx→∞

(x− 1x+ 1

)x

= limx→∞

[1 +

(x− 1x+ 1

− 1)]x

=

= limx→∞

[1 +

(−2x+ 1

)] x+1−2− 2x

1+x

= elim

x→∞−2xx+1 = e−2.

B =dr

dt× d2r

dt2=

∣∣∣∣∣∣i j k1 2 30 2 6

∣∣∣∣∣∣ = 6i− 6j + 2k;

a1 + . . .+ an︸︷︷︸n

ℵn︷︸︸︷xyz



1. Вставка формул в документ Microsoft Word.

2. Интерфейс Microsoft Equation.

3. Интерфейс MathType.

4. Клавиши быстрого доступа в MathType.

101

3.2.2 Практическое занятие 5. Набор текста в LATEX





Ключевые термины и понятияФормирование строк и страниц. Перенос слова. Спецзнаки. Пробелы. Заголовки и даты. Осо-

бенности технической литературы на русском языке. Разделы и заголовки (section). Сноски(footnote). Выделение слов (emphasize). Среды (Environments). Таблицы. Табуляция.


Это название статьи

Иванов И.И.

Аннотация

Статья посвящена описанию подпрастранств, инвариантных относительно дифферен-циального оператора бесконечного порядка, характеристическая функция которого имеетминимальный тип при порядке роста 0 ≥ ρ < 1

В любой науке столько истины,сколько в ней математики.А. Пуанкаре



В лесу родилась елочка,В лесу она росла.Зимой и летом стройная,Зеленая была.В лесу родилась елочка,В лесу она росла.Зимой и летом стройная,Зеленая была.

1. Пункт 1

(a) Подпункт 1.1

(b) Подпункт 1.2

2. Пункт 2

3. Пункт 3

102

Таблица 8: Список группы 2004–М–1 Ф.И.О. Дата рождения1. Иванов И.И. 01.01.19652. Петров И.И. 01.01.19653. Сидоров И.И. 01.01.1965

4. Пункт 4

• Пункт 1

– Подпункт 1.1

∗ Подподпункт 1.1.1∗ Подподпункт 1.1.2

– Подпункт 1.2

• Пункт 2

• Пункт 3

• Пункт 4

♠ Пункт 1

♣ Пункт 2

(α) Пункт 1

(β) Пункт 2

(γ) Пункт 3

(δ) Пункт 4

♥ Пункт 3

♦ Пункт 4

Список группы 2004–М–1 смотрите в таблице 8

1. Иванов И.И. директор2. Петров-Сидоров П.П. бухгалтер3. Иванов И.П. дворник



1. Формирование строк и страниц.

2. Перенос слова.

3. Спецзнаки.

4. Пробелы.

5. Заголовки и даты.

6. Разделы и заголовки (section).

7. Сноски (footnote).

103

8. Выделение слов (emphasize).

9. Среды (Environments).

10. Таблицы.

11. Табуляция.

104

3.2.3 Практическое занятие 6. Верстка математических документов в LATEX





Ключевые термины и понятияСпособы задания математической моды. Элементы математических формул. Пробелы внут-

ри формул. Многострочные формулы. Математические акценты. Строчные греческие буквы.Прописные греческие буквы. Различные специальные знаки. Символы переменного размера. Би-нарные операторы. Операторы отношения. Отношения с отрицанием. Стрелки. Разделитель-ные скобки.

Задачи для аудиторной работыНаберите в LATEXследующий документ:

Определение 2 Элемент a кольца K называется обратимым элементом кольца, если в кольцесуществует такой элемент b, что ab = ba = 1K.

Теорема 3.2 Пусть F = 〈F,+,−, ·, 1〉 — поле. Тогда для любых элементов a, b, c поля:(1) если ab = 1, то a 6= 0 и b = a−1;(2) если ab = 1, то a 6= 0 и b = a−1.

Доказательство. (1) Если ab = 1, то a 6= 0 . . .∫dx

(x− 1)2√x2 + 2x+ 2

= I

∫dx

(x− 1)2√x2 + 2x+ 2

= I

∫R(x,

√ax2 + bx+ c)dx, (12)

где R — рациональная функция. ∫R(x,

√ax2 + bx+ c)dx, (13)

где R — рациональная функция.Формула (13) . . . ∫

sec2 t dt

tg2t sec t=

ln 3∫ln 2

3√

2dx

ch2 x

limn→∞

(1 +

1n

)n

= e

105

A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣I =

∫ (√3

2sh t− 1

2

) √3

2ch t√

32

ch t dt =

=3√

38

∫sh t ch2 t dt− 3

8

∫ch2 t dt =

=3√

38· ch3 t

3− 3

8

(12

sh t ch t+12t

)+G.

limx→∞

(x− 1x+ 1

)x

= limx→∞

[1 +

(x− 1x+ 1

− 1)]x

=

= limx→∞

[1 +

(−2x+ 1

)] x+1−2− 2x

1+x

= elim

x→∞−2xx+1 = e−2.

B =dr

dt× d2r

dt2=

∣∣∣∣∣∣i j k1 2 30 2 6

∣∣∣∣∣∣ = 6i− 6j + 2k;

a1 + . . .+ an︸︷︷︸n

ℵn︷︸︸︷xyz



1. Способы задания математической моды.

2. Элементы математических формул.

3. Пробелы внутри формул.

4. Многострочные формулы.

5. Математические акценты.

6. Строчные греческие буквы.

7. Прописные греческие буквы.

8. Различные специальные знаки.

9. Символы переменного размера.

10. Бинарные операторы.

11. Операторы отношения.

12. Отношения с отрицанием.

13. Стрелки.

14. Разделительные скобки.

106

4 Лабораторный практикум

4.1 Тема 1. Пакет символьных вычмслений Maple V Release 4

4.1.1 Лабораторная работа 1. Синтаксис Maple. Вычисление пределов. Дифферен-цирование

План лабораторной работы


2. Решение примеров по теме лабораторной работы из раздела “Задачи для аудиторной ра-боты”(80 минут)

Ключевые термины и понятияСинтаксис Maple V, математические функции в Maple V, команды limit, Limit, diff, Diff.


Вычислить пределы:

1. limx→0

√1+x+x2−

√1−x+x2

x2−x

2. limx→±0

sin x|x|

3. limx→∞

(x2+1

x2

)x2+1

4. limx→∞

(sin√x+ 1− sin

√x)

5. limx→∞

(x+8x−2

)x

6. limx→2

(x2

)1/(x−2)

Вычислить первую производную:

1. y = x arccos x2 −√

4− x2

2. y = ln√

1+sin x1−sin x

3. y = 13 sin3√x− 2

5 sin5√x+ 17 sin7√x

4. y = arcsin sin x√1+sin2 x

5. y = ln√

4tgx+1−2√

tgx√4tgx+1+2

√tgx

6. y = 2x(x+1)3

(x−1)2√

2x+1

Вычислить следующие производные:

107

1. z = arctg x+y1−xy . Найти ∂2z

∂x∂y

2. u = ln tg(x+ y). Найти ∂2u∂x∂y

3. z = y lnx. Найти ∂2z∂x2 ,

∂2z∂x∂y ,

∂2z∂y2

108

4.1.2 Лабораторная работа 2. Решение задач математического анализа




Ключевые термины и понятияСинтаксис Maple V, математические функции в Maple V, команды diff, Diff, int, Int, dsolve.


Вычислить следующие неопределенные интегралы:

1.∫ √

x−23√

x2+14√x

dx

2.∫

sin x√cos3 x

dx

3.∫

dxsin2 x 4

√ctgx

4.∫ √ ln(x+

√1+x2)

1+x2 dx

Вычислите следующие определенные интегралы:

1.0,75∫0

dx(x+1)

√x2+1

2.1∫0

arcsin√

x√x(1−x)

dx

3.2∫

1/2

(1 + x− 1x)e1+(1/x) dx

4.+∞∫0

arctgx(1+x2)3/2

dx

Найти общее решение следующих обыкновенных дифференциальных уравнений:

1. 2x2yy′ + y2 = 2

2. xy′ + (x+ 1)y = 3x2e−x

3. y′′ + y = 5xe−2x + 4 sinx

4. y′′′ − 2y′′ + y′ = tet(1 + cos t) + t

Найти частное решение данного обыкновенного дифференциального уравнения, удо-влетворяющее заданным начальным условиям:

109

1. (x2 − 1)y′ + 2xy2 = 0; y(0) = 1

2. y′′ − 2y′ + y = 0; y(2) = 1, y′(2) = −2

3. y′′′ − 3y′ − 2y = 9e2x; y(0) = 0, y′(0) = −3, y′′(0) = 3

4. yIV + y′′ = 2 cosx; y(0) = −2, y′(0) = 1, y′′(0) = y′′′(0) = 0

110

4.1.3 Лабораторная работа 3. Решение алгебраических задач




Ключевые термины и понятияСинтаксис Maple V. Библиотека linalg. Команды solve, with, matrix, vector, linsolve, det,

inverse, multiply, plot, plot3d


1. Решить систему линейных уравнений.5x− y − z = 0,x+ 2y + 3z = 14,4x+ 3y + 2z = 16.

2. Решить систему линейных уравнений.x+ 3y − 6z = 12,3x+ 2y + 5z = −10,2x+ 5y − 3z = 6.

3. Вычислить определитель ∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 3 42 1 −4 33 −4 −1 −24 3 2 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣4. Вычислить определитель ∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 −1 −1 −1−1 −2 −4 −8−1 −3 −9 −27−1 −4 −16 −64

∣∣∣∣∣∣∣∣5. Найти значение матричного многочлена 2A2 + 3A+ 5E при

A =

1 1 21 3 14 1 1

,

если E – единичная матрица третьего порядка.

6. Найти матрицу, обратную к матрице

A =

3 2 21 3 15 3 4

.

111

7. Определить ранг матрицы 1 2 3 42 4 6 83 6 9 12

.

8. Построить график функции y = 0, 5x+ 2−x на отрезке [0, 5].

9. Построить поверхность, заданную функцией

z = xe−x2−y2,

где x ∈ [−2, 2], y ∈ [−2, 2].

112


4.2.1 Лабораторная работа 4. Верстка математических документов в Microsoft Word




Ключевые термины и понятияВставка формул в документ Microsoft Word. Интерфейс Microsoft Equation. Интерфейс MathType.

Клавиши быстрого доступа в MathType.

Задачи для аудиторной работыНаберите в Microsoft Word следующий документ:

Теорема 4.1 В прямоугольном треугольника с катетами a и b длина гипотенуза cсвязана с дли-нами катетов формулой

a2 + b2 = c2

Доказательство. Согласно условию теоремы, . . .В теореме 4.1Интегральная формула Коши f(ζ) = 1

2πi

∫L

f(ζ)dζζ−z , z ∈ intL

f(ζ) =1

2πi

∫L

f(ζ)dζζ − z

, z ∈ intL

f(z) =1

2πi

∫L

f(ζ)dζζ − z

, z ∈ intL (14)

f (n)(z) =n!

2πi

∫L

f(ζ)dζ(ζ − z)n+1

, z ∈ intL (15)

Интегральная формула Коши (14)

ex = 1 + x+x2

2!+ · · ·+

+f (n)

n!xn + · · · (16)

ex = 1 + x+x2

2!+ · · ·+

+f (n)

n!xn +

f (n+1)

(n+ 1)!xn+1 + · · ·

sinx lnx coshx chx∀x ∈ R : |x| ≥ 0α β γ δ ζ∫∫ ∫∫c =√a2 + b2

3

√1 +

√1 +√

1 + x

113

Пусть f(x) = az+bcz+df(x) =

az + b

cz + d

f(x) =az + b

cz + df(x) = az+b

cz+d f(x) = az+bcz+d f(x)= az+b

cz+d

1

1 +√

1 +1√x

limx→0

√1 + x− 1

3√

1 + x− 1

limx→0

√1 + x− 1

3√

1 + x− 1y′, y′′, y′′′, y(n) dy

dx

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0

∫f(x) dx

∫ b

a

f(x) dx

b∫a

f(x) dx∮

L

P (x, y) dx+Q(x, y) dy

∫∫G

f(x, y) dxdy∫∫G

f(x, y) dxdy∫∫∫

∞∑n=0

xn

n!= ex

∞∑n=0

n∈2Z+1

xn

n!= ex

∞∑n=0n∈2Z+1

xn

n!= ex

k∏n=1

n = k!

x1, a2, x21, a

34, C1n,

21D

43

∞β43

α21

∑δ

γn=0

(α), [β], γ, |δ|, ‖ζ‖, 〈ξ〉

y′′ = −(x

y

)′x[((

(x)))]

x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 4,

x2 − x3 + x4 = −3,x1 + 3x2 − 3x4 = 1,

− 7x2 + 3x3 + x4 = −3

x1, . . . , xn, x1 × · · · × xn,..., ,

. . . , , . . . , ·

114

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

z =

2xy

x2+y2 при x2 + y2 6= 0,0 при x = y = 0.

k︷︸︸︷x1 + . . .+ xk + . . .+ xn︸︷︷︸

n

z1 ± z2 = z1 ± z2z1 ± z2 = z1 ± z2

λ, λ

ˆαβγδ, αβγδ

~a

115

4.2.2 Лабораторная работа 5. Набор текста в LATEX




Ключевые термины и понятияФормирование строк и страниц. Перенос слова. Спецзнаки. Пробелы. Заголовки и даты. Осо-

бенности технической литературы на русском языке. Разделы и заголовки (section). Сноски(footnote). Выделение слов (emphasize). Среды (Environments). Таблицы. Табуляция.

Задачи для аудиторной работыНаберите в LATEX следующий документ:. . .Исходя из вышеуказанного, можно указать следующие методические рекомендации к использо-

ванию информационных технологий в процессе изучения курса “Информационные технологии в мате-матике”:

1. В соответствии с учебной программой курса можно организовать изучение отдельных тем напрактических занятиях в компьютерных классах:

• изучение теоретических вопросов;

• изучение практического содержания темы;

• комплексное изучение предлагаемых тем.

2. В течение изучения курса можно проводить контрольные мероприятия по отдельным разделами темам. Проводится контроль:

• усвоение теоретического содержания темы;

• уровня сформированности умений и навыков по решению базовых задач, включенных в обя-зательные результаты обучения.

3. На первом занятии преподавателем даются указания к работе с обучающими программами. По-сле чего студентам предлагается самостоятельно изучить темы во внеаудиторное время. Кон-трольные мероприятия преподаватель может проводить либо с использованием тестовых си-стем, либо с использованием других форм (устные и письменные опросы, фронтальные проверки).

4. Лабораторные занятия и самостоятельная работа так же предполагают использование компью-терных обучающих программ.

5. Характерной особенностью данного курса является его прикладной характер, который обязатель-но требует использования средств ПЭВМ. Каждая изученная тема должна практически закреп-ляться соответствующей лабораторной или самостоятельной работой по индивидуальному за-данию, которое предполагает использование ПЭВМ.

Тематический план учебной дисциплиныРазбивка курса по семестрам и видам деятельности в часах:

Но-мерсе-мест-ра

кол-воне-дель

Лек-ций(час)

Лаб.раб.

Пр.за-нят.

Кур-сов.раб.


Контрольныемероприятия

Примечание

3 18 30 12 12 - 54 1 коллоквиум Зачет

116

4.2.3 Лабораторная работа 6. Верстка математических документов в LATEX




Ключевые термины и понятияСпособы задания математической моды. Элементы математических формул. Пробелы внут-

ри формул. Многострочные формулы. Математические акценты. Строчные греческие буквы.Прописные греческие буквы. Различные специальные знаки. Символы переменного размера. Би-нарные операторы. Операторы отношения. Отношения с отрицанием. Стрелки. Разделитель-ные скобки.

Задачи для аудиторной работыНаберите в LATEXследующий документ:

Теорема 4.2 В прямоугольном треугольника с катетами a и b длина гипотенуза cсвязана с дли-нами катетов формулой

a2 + b2 = c2

Доказательство. Согласно условию теоремы, . . .В теореме 4.2Интегральная формула Коши f(ζ) = 1

2πi

∫L

f(ζ)dζζ−z , z ∈ intL

f(ζ) =1

2πi

∫L

f(ζ)dζζ − z

, z ∈ intL

f(z) =1

2πi

∫L

f(ζ)dζζ − z

, z ∈ intL (17)

f (n)(z) =n!

2πi

∫L

f(ζ)dζ(ζ − z)n+1

, z ∈ intL (18)

Интегральная формула Коши (17)

ex = 1 + x+x2

2!+ · · ·+

+f (n)

n!xn + · · · (19)

ex = 1 + x+x2

2!+ · · ·+

+f (n)

n!xn +

f (n+1)

(n+ 1)!xn+1 + · · ·

sinx lnx coshx chx∀x ∈ R : |x| ≥ 0α β γ δ ζ∫∫ ∫∫c =√a2 + b2

117

3

√1 +

√1 +√

1 + x

Пусть f(x) = az+bcz+df(x) =

az + b

cz + d

f(x) =az + b

cz + df(x) = az+b

cz+d f(x) = az+bcz+d f(x)= az+b

cz+d

1

1 +√

1 +1√x

limx→0

√1 + x− 1

3√

1 + x− 1

limx→0

√1 + x− 1

3√

1 + x− 1y′, y′′, y′′′, y(n) dy

dx

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0

∫f(x) dx

∫ b

a

f(x) dx

b∫a

f(x) dx∮

L

P (x, y) dx+Q(x, y) dy

∫∫G

f(x, y) dxdy∫∫G

f(x, y) dxdy∫∫∫

∞∑n=0

xn

n!= ex

∞∑n=0

n∈2Z+1

xn

n!= ex

∞∑n=0n∈2Z+1

xn

n!= ex

k∏n=1

n = k!

x1, a2, x21, a

34, C1n,

21D

43

∞β43

α21

∑δ

γn=0

(α), [β], γ, |δ|, ‖ζ‖, 〈ξ〉

y′′ = −(x

y

)′x[((

(x)))]

x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 4,

x2 − x3 + x4 = −3,x1 + 3x2 − 3x4 = 1,

− 7x2 + 3x3 + x4 = −3

118

x1, . . . , xn, x1 × · · · × xn,..., ,

. . . , , . . . , ·a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

z =

2xy

x2+y2 при x2 + y2 6= 0,0 при x = y = 0.

k︷︸︸︷x1 + . . .+ xk + . . .+ xn︸︷︷︸

n

z1 ± z2 = z1 ± z2z1 ± z2 = z1 ± z2

λ, λ

ˆαβγδ, αβγδ

~a

119

5 Итоговый тест

1. Вычислить предел:

limx→0

√1 + x+ x2 −

√1− x+ x2

x2 − x1) limit((sqrt(1+x+x^2)-sqrt(1-x+x^2))/(x^2-x),x=0);2) limit(((sqrt(1+x+x^2)-(sqrt(1-x+x^2)))/(x^2-x),x=0);3) limit((sqrt(1+x+x^2))-(sqrt(1-x+x^2)))/ (x^2-x), x=0);


limx→±0

sinx| x |

1) limit((sin(x))/abs(x),x=0,left); limit((sin(x))/abs(x),x=0,right);2) limit((sin(x))/abs(x),x=0,left); limit((sin(x))/abs(x),x=0,rigth);3) limit(sin(x)/abs(x),x=0,left); limit((sin(x)/abs(x),x=0,right);


limx→∞

(x2 + 1x2

)x2+1

1) limit(((x^2+1)/x^2)^(x^2+1),x=infinity);2) limit((x^2+1)/x^2^(x^2+1),x=infinity);3) limit((x^2+1)/x^(2^(x^2+1)), x=infinity);

4. Вычислить предел:lim

x→∞(sin√x+ 1− sin

√x)

1) limit(sin(sqrt(x+1))-sin(sqrt(x)),x=infinity);2) Limit(sin(sqrt(x+1))-sin(sqrt(x)),x=infinity);3) limit(sin(sqrt(x+1))-sin(sqrt(x),x=infinity);


limx→∞

(x+ 8x− 2

)x

1) limit(((x+8)/(x-2))^(x),x=infinity);2) limit((x+8)/(x-2)^x,x=infinity);3) limit(((x+8)/(x-2)^x),x=infinity);


limx→2

(x2

)1/(x−2)

1) limit((x/2)^(1/(x-2)),x=2);2) limit((x/2)^1/(x-2),x=2);3) limit((x/2)^(1/x-2),x=2);

7. Вычислить первую производную:

y = x arccosx

2−√

4− x2

1) diff(x*(arccos(x/2))-(sqrt(4-x^2)),x);2) diff(x*arccos(x/2)-sqrt(4-x^2)),x);3) diff(x*(arccos(x/2)-sqrt(4-x^2)),x);

120


y = ln

√1 + sinx1− sinx

1) diff(ln(sqrt((1+sinx)/(1-sinx))),x);2) diff(ln(sqrt(1+sinx)/(1-sinx)),x);3) diff(ln(sqrt(1+sinx))/(1-sinx),x);


y =13

sin3√x− 25

sin5√x+17

sin7√x

1) diff(sin(sqrt(x))^3/3-2*sin(sqrt(x))^5/5+sin(sqrt(x))^7/7,x);2) diff(sin sqrt(x)^3/3-2*sin sqrt(x)^5/5+sin sqrt(x)^7/7,x);3) diff((1/3*(sin^3*(sqrt(x))))-(2/5*(sin^5*(sqrt(x))))+(1/7*(sin^7*(sqrt(x)))),x);


y = arcsinsinx√

1 + sin2 x

1) diff(arcsin(sin(x)/(sqrt(1+(sin(x)^2)))),x);2) diff(arcsin(sin(x)/(sqrt(1+(sin^2(x))))),x);3) diff(arcsin(sin(x)/sqrt(1+(sin(x)^2)),x);


y = ln√

4tgx+ 1− 2√

tgx√4tgx+ 1 + 2

√tgx

1) simplify(diff(ln((sqrt(4*tan(x)+1)-2*sqrt(tan(x)))/(sqrt(4*tan(x)+1)+2*sqrt(tan(x)))),x));2) diff(ln((sqrt(4*tan(x)+1)-2*sqrt(tan(x)))/(sqrt(4*tan(x)+1)+2*sqrt(tan(x)))),x));3) simplify(diff(ln(sqrt(4*tan(x)+1)-2*sqrt(tan(x)))/(sqrt(4*tan(x)+1)+ 2*sqrt(tan(x)))),x));


y =2x(x+ 1)3

(x− 1)2√

2x+ 1

1) simplify(diff(2^x*(x+1)^3/(x-1)^2/sqrt(2*x+1),x));2) simplify(diff(2^x*(x+1)^3/(x-1)^2*sqrt(2*x+1),x));3) simplify((diff(2^x*(x+1)^3/(x -1)^2* sqrt(2*x+1)),x));

13. Вычислить следующие неопределенные интегралы:∫ √x− 2 3

√x2 + 1

4√x

dx

1) int((sqrt(x)-2*x^(2/3)+1)/x^(1/4),x);2) int((sqrt(x)-2*x^2/3+1)/x^(1/4),x);3) int(sqrt(x)-2*x^(2/3)+1/(x^(1/4)),x);

14. Вычислить следующие неопределенные интегралы:∫sinx√cos3 x

dx

121

1) int(sin(x)/cos(x)^(3/2),x);2) int(sin(x)/cos(x)^3/2,x);3) int(sin(x)/(cos(x)^3)/2,x);

15. Вычислить следующие неопределенные интегралы:∫dx

sin2 x 4√

ctgx

1) series(sin(x)^2*cot(x)^(1/4),x);2) series(sin(x)^2*cot(x)^1/4,x);3) series(sin(x)^2*ctan(x)^(1/4),x);

16. Вычислить следующие неопределенные интегралы:

∫ √ln(x+

√1 + x2)

1 + x2dx

1) series(int(sqrt(ln(x+sqrt(1+x^2))/(1+x^2)),x),x);2) int(series(sqrt((ln(x+sqrt(1+x^2)))/(1+x^2)),x),x);3) series(sqrt((ln(x+sqrt(1+x^2)))/(1+x^2)),x);

17. Вычислите следующие определенные интегралы:∫ 0,75

0

dx

(x+ 1)√x2 + 1

1) int(1/((x+1)*(sqrt(x^2+1))),x=0...75);2) int(1/((x+1)/sqrt(x^2+1)),x=0..0.75);3) int(1/((x+1)*sqrt(x^2+1))),x=0..0.75);

18. Вычислите следующие определенные интегралы:∫ 1

0

arcsin√x√

x(1− x)dx

1) evalf(int(arcsin(sqrt(x))/sqrt(x*(1-x)),x=0..1));2) int(evalf(arcsin(sqrt(x))/sqrt(x*(1-x)),x=0..1));3) evalf(int(arcsin(sqrt(x)))/(sqrt(x*(1-x)),x=0..1));

19. Вычислите следующие определенные интегралы:∫ 2

1/2(1 + x− 1

x)e1+(1/x)dx

1) int((1+x-1/x)*exp(1+1/x),x=1/2..2);2) int((1+x-1/x)*exp^(1+1/x),x=1/2..2);3) int((1+x-1/x)*exp(1)^(1+1/x),x=2..1/2);

20. Вычислите следующие определенные интегралы:∫ +∞

0

arctgx

(1 + x2)3/2dx

122

1) int(arctan(x)/(1+x^2)^(3/2),x=0..infinity);2) int(arctan(x)/(1+x^2)^3/2,x=0..infinity);3) int(arctan(x)/(1+x^2)^(3\2),x=0..infinity);

21. Вычислить следующие производные:

∂2z

∂x∂y, где z = arctg

x+ y

1− xy.

1) diff(arctan((x+y)/(1-x*y)),y,x);2) diff(arctan((x+y)/(1-x*y)),x,y);3) diff(arctan(x+y)/(1-x*y),x,y);


∂2u

∂x∂y, где u = ln tg(x+ y).

1) diff(ln(tan(x+y)),y,x);2) diff(ln(tan(x+y)),x,y);3) diff(ln(tg(x+y)),x,y);


∂2z

∂x2,∂2z

∂x∂y,∂2z

∂y2, где z = y lnx.

1) diff(y*ln(x),x,x); diff(y*ln(x),y,x); diff(y*ln(x),y,y);2) diff(y*ln(x),x$2); diff(y*ln(x),x,y); diff(y*ln(x),y$2);3) diff(yln(x),x$2); diff(yln(x),y,x); diff(yln(x),y$2);

24. Найти общее решение следующих обыкновенных дифференциальных уравнений:2x2yy′ + y2 = 21) dsolve(2*x^2*y*diff(y(x),x)+y^2=2,y(x));2) dsolve(2*x^2*y*diff(y,x)+y^2=2,y(x));3) dsolve(2*x^2*y(x)*diff(y,x)+y(x)^2=2,y(x));

25. Найти общее решение следующих обыкновенных дифференциальных уравнений:

xy′ + (x+ 1)y = 3x2e−x

1) dsolve(x*diff(y(x),x)+(x+1)*y=3*x^2*exp(-x),y(x));2) dsolve(x*diff(y,x)+(x+1)*y=3*x^2*exp(-x),y(x));3) dsolve(x*diff(y(x),x)+(x+1)*y=3*x^2*exp(-x));

26. Найти общее решение следующих обыкновенных дифференциальных уравнений:

y′′ + y = 5xe−2x + 4 sinx

1) dsolve(diff(y(x),x,x)+y=5*x*exp(-2*x)+4*sin(x),y(x));2) dsolve(diff(y(x),x$2)+y=5*x*exp^(-2*x)+4*sin(x),y(x));3) dsolve(diff(y,x$2)+y=5*x*exp(-2*x)+4*sin(x),y(x));

27.Найти общее решение следующих обыкновенных дифференциальных уравнений:

y′′′ − 2y′′ + y′ = tet(1 + cos t) + t

123

1) dsolve(diff(y(t),t$3)-2*diff(y(t),t$2)+diff(y(t),t)=t*exp(t)*(1+cos(t))+t,y(t));2) dsolve(diff(y,t$3)-2*diff(y,t$2)+diff(y,t)=t*exp(t)*(1+cos(t))+t,y(t));3) dsolve(diff(y(t),t$3)-2*diff(y(t),t$2)+diff(y(t),t)=t*exp^t*(1+cos(t))+t,y(t));

28. Найти частное решение данного обыкновенного дифференциального уравнения,удовлетворяющее заданным начальным условиям:

(x2 − 1)y′ + 2xy2 = 0; y(0) = 1

1) dsolve((x^2-1)*diff(y(x),x)+2*x*y^2=0,y(0)=1,y(x));2) dsolve((x^2-1)*diff(y,x)+2*x*y^2=0,y(0)=1,y(x));3) dsolve([(x^2-1)*diff(y(x),x)+2*x*y^2=0,y(0)=1],y(x));


y′′ − 2y′ + y = 0; y(2) = 1, y′(2) = −2

1) dsolve(diff(y(x),x$2)-2*(diff(y(x),x))+y=0,y(2)=1,D(y)(2)=-2,y(x));2) dsolve(diff(y(x),x$2)-2*(diff(y(x),x))+y=0,y(2)=1,diff(y(2),x)=-2,y(x));3) dsolve(diff(y,x$2)-2*(diff(y,x))+y=0,y(2)=1,D(y(x))(2)=-2,y(x));


y′′′ − 3y′ − 2y = 9e2x; y(0) = 0, y′(0) = −3, y′′(0) = 3

1) dsolve(diff(y(x),x$3)-3*(diff(y(x),x))-2*y=9*exp(2*x),y(0)=0,D(y)(0)=-3, (D@@2)(y)(0)=3, y(x));2) dsolve(diff(y,x$3)-3*(diff(y,x))-2*y=9*exp(2*x),y(0)=0,D(y)(0)=-3,D(D(y))(0)=3,y(x));3) dsolve(diff(y(x),x$3)-3*(diff(y(x),x))-2*y=9*exp(2*x),y(0)=0,diff(y(0),x)=-3, diff(y(0),x$2)=3,y(x));

124

6 Базовый учебник

Прохоров Г.В., Колбеев В.В., Желнов К.И., Леденев М.А. Математический пакет Maple VRelease 4. Руководство пользователя. — Калуга: Облиздат, 1998.

Электронная версия книги«Математический пакет Maple V Release 4.

Руководство пользователя»

Контактная информация

E-mail: [email protected]: http://users.kaluga.ru/math

http://math.newmail.ru

c©Прохоров Г.В., Колбеев В.В., Желнов К.И., Леденев М.А., 1998«Математический пакет Maple V Release 4».При перепечатке ссылка на первоисточник обязательна.

125

С.М. Львовский. Набор и верстка в пакете LATEX. 3-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2003.

!"#$ % &'(#)*$$+ "+'+* $$$+

,--.

126

7 Хрестоматии, справочники, монографии и т.п. (в библиотекеСГПИ)

1. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994.

2. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов.М.: Мир, 1979.

3. Бухбергер Б., Коллинз Дж., Лаос Р. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраическиевычисления. М.: Мир, 1986.

4. Воробьев Е.М. Введение в систему "МАТЕМАТИКА". М.: Финансы и статистика, 1998.

5. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple V. Математический пакет для всех. М.:Мир, 1997.

6. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения. М.: Мир,1988.

7. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М.: Мир, 1991.

8. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V, R3/R4/R5. М.: Солон, 1998.

9. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3. М.: Со-лон, 1998.

10. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы Derive. М.:Наука, 1996.

11. Дьяконов В.П. Справочник по системе символьной математики Derive. М.: СК-ПРЕСС,1998.

12. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 7.0 PRO. М.: СК-ПРЕСС, 1998.

13. Китаев А., Шень А., Вялый М. Классические и квантовые вычисления. М.: МЦНМО, Че-Ро, 1999.

14. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МНЦМО, 1999.

15. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. М.: Мир, т.1 - 1976, т.2 - 1977, т.3 —1978.

16. Латышев В.Н. Комбинаторная теория колец, стандартные базисы. М.:МГУ, 1988.

17. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. М.: Филинъ, 1998.

18. MathCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95.М.:Филинъ, 1996.

19. Муравьев В.А., Бурланков Д.Е. Практическое введение в пакет Mathematica. Н. Новгород:ННГУ, 2000.

20. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика. М.: Мир, 1999.

21. Панкратьев Е.В. Компьютерная алгебра. Факторизация многочленов. М.: МГУ, 1988.

22. Потемин В.Г. MATLAB: справочное пособие. М.: Диалог-МИФИ, 1997.

23. Прохоров Г.В. Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений Maple V. М.:Петит, 1997.

127

24. Яценко В.В. (ред.) Введение в криптографию. М., МЦНМО: "ЧеРо", 1999.

25. Heal K.M., Hansen L.M., Rickard K.M. Mple V Realise 5. Learning Guide. Springer, 1998.

26. Koblitz N. Algebraic aspects of cryptography. Springer, 1998.

27. Monagan B., Geddes K.O., Heal K.M., Laban G., Vorkoetter S.M. Maple V Realise 5. ProgrammingGuide. Springer, 1998.

28. Прохоров Г.В., Колбеев В.В., Желнов К.И., Леденев М.А. Математический пакет MapleV Release 4: Руководство пользователя. — Калуга: Облиздат, 1998. — 200 с., ил.

29. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. — М.: Финансы и статистика.1995. — 384 с.

30. Дюк В. Обработка данных на ПК в примерах. — СПб.: Питер, 1997. — 240 с.

31. Основы современных информационных технологий. Под ред. Хомоненко А.Д. — СпБ: Ко-рона принт. 1998. — 448 с.

32. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика. — М.: Академия. 2000. — 816 с.

33. Дьяконов В. Maple8 \ 2000: Специальный справочник. — СПб: Питер. 2001. — 592 с.

34. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MatLab. — СПб: Питер. 2000. — 432 с.

35. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Лаборатория ба-зовых знаний. 2000. — 624 с.

36. Шафрин Ю. Информационные технологии. — М.: Лаборатория базовых знаний. 1998. —704 с.

37. Информатика: Учебник/под ред.проф.Макаровой Н.В. — 2-е изд. — М.: Финансы и стати-стика. 1998. — 768 с.

38. Острейковский В.А. Информатика: учеб. для вузов. — М.: Высшая школа. 1999. — 511 с.

39. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.1. — М.: Наука.1976. Т.2. — М.: Наука. 1977.

40. Котов Ю.В., Павлова А.А. Основы машинной графики. — М.: Просвещение. 1993. — 255 с.

41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. —М.: Наука. 1968. — 720 с.

128

Список литературы

[1] L. Lamport: LATEX, A Document Preparation System, User’s Guide and Reference Manual,Addison-Wesley Publishing Company (1986), ISBN 0-201-15790-X.

[2] D. E. Knuth: The TEXbook, Addison-Wesley Publishing Company (1984), ISBN 0-201-13448-9.[Имеется перевод: Д.Е. Кнут: Всё про TEX. — АО RDTEX, Протвино, 1993.]

[3] H. Partl: German TEX, TUGboat Vol. 9, No. 1 (1988)

[4] M. Dobb: TEX and the Single CPU, II, Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 38, No. 10, (1991).

[5] H. Partl, E. Schlegl, I. Hyna: LATEX-Kurzbeschreibung, EDV-Zentrum der Technischen UniversitatWien (1990).

[6] М. Т. Виноградов: Про TEX и немного про других, Мир ПК, 1 (1992).

[7] А. В. Самарин: Введение в LATEX , Препринт ИФВЭ, 90-110, Протвино (1990).

[8] Н. Л. Глонти, С. В. Клименко, В. К. Малышев, А. В. Самарин, Б. Б. Филимонов: Ме-тапроект кирилловского алфавита для печатающих устройств с высоким разрешением,БИТ, Вып. 2, под. ред. Г.Р. Громова, ИнфоАрт (1991).

[9] Н. Л. Глонти, И. А. Грицаенко, С. В. Клименко, В. К. Малышев, А. В. Самарин: Много-язычный LATEX , Протвино, РДТеХ (1993).

[10] И. А. Грицаенко, С. В. Клименко: TEX — компьютерная система подготовки научныхпубликаций, Монитор-Аспект, 1 (1993).

[11] Г. М. Петрова, И. М. Руденко: TEX для начинающих. Препринт 511, ИПМ РАН, М.,(1992).

[12] А. И. Журов, И. И.Карпов: Основы TEX’а. Препринт 518, ИПМ РАН, М., (1992).

129

050201.65 ¾математика¿ с дополнительной...

Documents

Transcript of 050201.65 ¾математика¿ с дополнительной...