1

3. Das Atom

Radioaktive Quelle

⊗⊗

⊗

⊗⊗

⊗

⊗⊗

⊗

⊗

⊗B

ungeladen

1 negativ geladen

2 positiv geladen βm108αm 4

1827 Brown: Existenz von Atomen/Molekülen Molekularbewegung

1911 Wilson: Erfindung der Nebelkammer Existenz von Atomen, Ionen, Elektronen

1937 Ernst Müller:Erfindung des FeldemissionsmikroskopsDirekte Beobachtung von Atomen

1932 Ruska: Erfindung des Elektronenmikroskops

1984 Binning, Rohrer: Erfindung des Rastertunnelmikroskops

1912 von Laue: Röntgenbeugung an Kristallen (Nobelpreis 1914)

Messung von Atomgrößen (O(1 Å)) und Bindungsabständen

1896... Becquerel: Radioaktive Zerfälle (-, -, -Strahlung) M. u. P. Curie Beobachtung von Atomkern-Zerfällen

(Nobelpreis 1927)

(Nobelpreis 1986)

(Nobelpreis 1903)

2

Das Feldemissionsmikroskop: Oberflächenstruktur der Wolfram-Spitze

Bild von Bariumatomen auf der Wolframspitze

3

3.1. Die klassische Struktur der Atome

3.1.1. Das Thomsonsche Atommodell

Hypothese (Thomson): Ein Atom ist eine homogen geladene Kugel gleich vieler positiver (Protonen) und negativer (Elektronen) Elementarladungen.

Streu-Target(10 m dünne Goldfolie)

Experimenteller Test: Streuexperiment nach Rutherford

Radioaktive -Quelle

E O(10 MeV)

Detektor

(drehbar)

4

Atom (ortsfest)Z Protonen

Streuebene

seZQ

T (transversal)

R

Abschätzung der Streuwinkelverteilung: me ≪ mp, m Streuung an Elektronen kann vernachlässigt werden. Atomradius 0,1 nm, Foliendicke 10 m n 5103

Atomlagen.

Streuung nur in durchkreuzten Atomen; die anderen sind zu weit weg und insgesamt neutral.

Die Streuwinkel pro durchkreuztem Atom sind extrem klein.

b

Stoßparameter

eze2q

vmE 221

α

eze2q

vmE 221

α

αinα

outα EEE α

inα

outα EEE

≪ 1

Sicht gegen die s-Achse

y

x

b

by

bx

x

y

r

F

5

E

1

R12

1

επ4

eZz

12

RΚσ

α0

22

y,x

E

1

R12

1

επ4

eZz

12

RΚσ

α0

22

y,x

Breite der Streuwinkelverteilung:

Atom (ortsfest)Z Protonen

Streuebene

seZQ

T (transversal)

R

b

Stoßparameter

eze2q

vmE 221

α

eze2q

vmE 221

α

αinα

outα EEE α

inα

outα EEE

≪ 1

Sicht gegen die s-Achse

y

x

b

by

bx

x

y

r

F

sinbb

cosbb

y

x

sin

cos

y

x

Ablenkung:

E

1

R

1

επ4

ZzeΚ

bRbΚ

α3

0

2

22

E

1

R

1

επ4

ZzeΚ

bRbΚ

α3

0

2

22

Tafelrechnung

6

Beispiel: MeV5E79Z2znm1,0R α

Goldα

54,0007,0rad103,1σ 4

y,x

Gesamtablenkung: 2y

2x

n

1iyy

n

1ixx θθθθθ

ii

Fehlerfortpflanzung: typisch O (1) σnσσΔ y,xyx θθ

Zentraler Grenzwertsatz

Δ2

θexp

Δπ2

AN

Δ2

θ

Δ2

θexp

Δπ2

AN

θdθd

Nd

2

2

20

2

2y

2

2x

20

n

yx

2

Δ2

θexp

Δπ2

AN

Δ2

θ

Δ2

θexp

Δπ2

AN

θdθd

Nd

2

2

20

2

2y

2

2x

20

n

yx

2

# -Teilchen pro Targetfläche A

E

1

R12

1

επ4

eZz

12

RΚσ

α0

22

y,x

E

1

R12

1

επ4

eZz

12

RΚσ

α0

22

y,x

Breite der Streuwinkelverteilung: Ablenkung:

E

1

R

1

επ4

ZzeΚ

bRbΚ

α3

0

2

22

E

1

R

1

επ4

ZzeΚ

bRbΚ

α3

0

2

22

7

Das Thomson-Modell ist unhaltbar

Ωd

Nd

dθdθ

Nd

θdθd

Nd

2

yx

2

sinθθ

cosθθ

y

x dθdθsinΩd

E

1

E

1

R

1

12

n

επ4

eZzΔ

Δ2

θexp

Δπ2

AN

Ωd

Nd

αα0

2

2

2

20

E

1

E

1

R

1

12

n

επ4

eZzΔ

Δ2

θexp

Δπ2

AN

Ωd

Nd

αα0

2

2

2

20

αE1Δ

Ωd

Ndθπ2

θd

Nd

O ( 1 )

2

2

Δ2θexpθ

Theorie

Δ2

θexp

Δπ2

AN

Δ2

θ

Δ2

θexp

Δπ2

AN

θdθd

Nd

2

2

20

2

2y

2

2x

20

n

yx

2

Δ2

θexp

Δπ2

AN

Δ2

θ

Δ2

θexp

Δπ2

AN

θdθd

Nd

2

2

20

2

2y

2

2x

20

n

yx

2

2θsin1

E1

42α

Experiment (Geiger, Marsden)

E MeV10 20 30

Ωd

Nd

60 fest

EKnick cot

8

F

yF

3.1.2. Das Rutherfordsche AtommodellHypothese (Rutherford): Ein Atom besteht aus einem praktisch punkt-förmigen Kern der Ladung Ze, der praktisch die gesamte Atommasse trägt. Der Kern ist umgeben von einer ausgedehnten Hülle von Z Elektronen ( Atomgröße), die die Kernladung perfekt abschirmt.

Streuung von -Teilchen: Streuung nur in unmittelbarer Kernnähe Mehrfachstreuungen sehr selten betrachte nur Einfachstreuungen!

x

y

b

Stoßparameter

KernQ Z e

Streuebene

Q z e

m

Hyperbel

E , v

v

r

Streuwinkel: bEbvmcot αeZz

επ82ααeZz

επ42θ

20

20 bEbvmcot αeZz

επ82ααeZz

επ42θ

20

20

Tafelrechnung

9

gerechnet für einen Einzelkern als Streutarget

Wirkungsquerschnitt der -Kern Streuung (Einheit m2)

differentieller Wirkungsquerschnitt der -Kern StreuungΩdσd

Bezeichnung: Ωd

σd

Ωd

Nd

N

1

0

Ωd

σd

Ωd

Nd

N

1

0

Einzelkern

x

y

b

Stoßparameter

KernQ Z e

Streuebene

Q z e

m

Hyperbel

E , v

v

r

Winkelverteilung: ( Tafelrechnung)

sin

1

E

1

επ4

eZz

16

1

Ωd

Nd

N

1

2θ42

2

0

2

0

sin

1

E

1

επ4

eZz

16

1

Ωd

Nd

N

1

2θ42

2

0

2

0

10

sin

1

E

1

επ4

eZz

16

1

Ωd

Nd

N

1

2θ42

2

0

2

0

sin

1

E

1

επ4

eZz

16

1

Ωd

Nd

N

1

2θ42

2

0

2

0

Ωd

Ndlg

2θ4sin

0 50 100

E = 10 MeV

Theorie

Experiment

Theorie experimentell bestätigt, solange nicht zu groß,bzw. minimaler Kernabstand nicht zu klein

2θ2

α sinE

Folgerung: Abschätzung von Kerngrößen aus Abweichungen von Rutherfordscher Streuwinkelverteilung

fm3,1m103,1r

Arr 15

0

310K

fm3,1m103,1r

Arr 15

0

310K

A # Protonen # Neutronen

KernmassenzahlKerne sind um 5 Größenordnungen kleiner als Atome!

11

Ungeklärte Probleme des Rutherfordschen Atommodells:

Beschleunigte Ladungen strahlen e.m. Energie ab. Warum stürzen die um den Kern kreisenden Hüllenelektronen nicht ins Zentrum des Atoms? Wieso sind Atome also stabil?

Atome strahlen elektromagnetische Strahlung u. a. in Form von Linienspektren ab. Was ist deren Ursprung?

Wie kommt es zu chemischen Bindungen zwischen Atomen und was ist deren Natur?

Antwort: Die klassische Physik ist auf atomaren Skalen nicht mehr anwendbar. Wir benötigen ein quantenmechanisches Atommodell!

12

3.2. Die Quantenstruktur der Atome3.2.1. Empirisches Wasserstoff-LinienspektrumWasserstoff: Kern 1Proton ; Hülle 1 Elektron ; einfachstes Atom

Beobachtung (Jakob Balmer, 1885): Ex. Serie von Emissionslinien im sichtbaren Bereich (VIS) mit einfacher geometrischen Systematik:

,5,4,3n,n

1

2

1Ry

λ

1

22n

1cm109678Ry

Rydbergkonstante des Wasserstoffs

… Entdeckung weiterer Serien (Lyman, Paschen, Bracket, Pfund, …)

,2n,1nn

,3,2,1n,

n

1

n

1Ry

λ

1

112

122

21nn 21

,2n,1nn,3,2,1n

,n

1

n

1Ry

λ

1

112

122

21nn 21

Interpretation: Dem Hüllenelektron stehen im Potentialtopf des Kern-Coulombfeldes unendlich viele Energieeigenzustände zur Verfügung. Übergänge zwischen Zuständen mit Energiedifferenz E können durch Emission / Absorption von Photonen mit vermittelt werden.Eω

13

,2n,1nn

,3,2,1n,

n

1

n

1Ry

λ

1

112

122

21nn 21

,2n,1nn,3,2,1n

,n

1

n

1Ry

λ

1

112

122

21nn 21

n 1

n 2

n 3

n 4

n 5

n 6

n 7

E eV

0

0,9

1,5

3,49

13,6Lyman-Serie (UV)

Balmer-Serie (UV, VIS)

Paschen-Serie (IR)

Bracket-Serie (IR)Pfund-Serie (IR)

Ionisierungsgrenze

eV13,6RychRy eV13,6RychRy

Energiekontinuum

14

3.2.2. Das Bohrsche Atommodell (1913, Nobelpreis 1922)

Betrachte wasserstoffartiges Atom: Kern der Ladung Z e mit Masse mK m≫ e, ,,umgeben” von einem einzelnen Hüllenelektron

Postulat (1): Das Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn um den Kern (genauer: um den gemeinsamen Schwerpunkt).

Kern

v

e

r

() r 20

2

vμ1

επ4eZ r 2

0

2

vμ1

επ4eZ

reduzierte Masse: mμ emmmm

Ke

Ke mμ emm

mm

Ke

Ke

Kräftegleichgewicht: () 2

2

0

2

r

eZεπ4

1rvμ

15

Postulat (2): Die Materiewelle des Elektrons ist stationär, d. h. der Kreisumfang ist ein ganzzahliges Vielfaches der de Broglie-Wellenlänge (periodische Randbedingung).

mathematisch: ,2,1n,nλnrπ2nvμ

hn

20n n

Z

ar

Quantisierte Bahnradien:

Bohrscher Radius

m103,5eμπ

hεa 11

2

20

0

für feste Quantenzahl n sind rn und vn festgelegt.

n vnr1

μn n v

nr1

μn

2nn

μμ1

επ4eZ

vμ1

επ4eZ

n

)(

rr 22

2

0

2

2n0

2

()Kern

v

e

r

16

Postulat (3): Die Bahn jeder Quantenzahl n gehört zu einem Energie-Eigenzustand:

n,potn,kinn EEE

n,pot21

2n

2

0

n)(

n

2nn2

n21

n,kin Er

eZ

επ4

1

2

r

r

vμ

2

rvμE

2n

2

2

2

212

n21

n,kinn,potn,kinn r

n

μμvμEEEE

2420

2422

2

2

n2

22020

n nhε

Zeμπ

μπ8

hE

Zeμπ

nhεn

Z

ar

n

ZRy

nh8ε

ZeμE

2

2

2220

24

n

n

ZRy

nh8ε

ZeμE

2

2

2220

24

n

1nn λchE

220

4

h8ε

eμRychRy

Rydbergkonstante

Ry hängt über von Kernmasse mK ab:

em

μK RymRy cm31534,109737Ry 1

chε8

em32

0

4e

17

En

rn

Bemerkung: Bedeutung des Postulats (3)

klassisch

E

r

reZ

επ41

pot

2

0E

pot21

kin EE

pot21 EE

Es gibt keinen Zustand minimaler Energie. Das Elektron stürzt in

den Kern.

n

2

0 reZ

επ41

potE

2n

22

r1

μ2n2

n2μ

kin vE

Es gibt einen Zustand minimaler Energie. Die Elektronenbahn ist

stabil.

quantenmechanisch

E

rn

n festn fest

E

nur hier ist Ekin ½ Epot

18

Bemerkung: Bedeutung von...

nvμ

hn nλnrπ2 n v

nr1

μn n v

nr1

μn

Folgerung: nrvμL nn

nrvμL nn

Der ( Bahn- ) Drehimpuls des Elektrons ( relativ zum Kern ) ist in Einheiten von quantisiert.

Postulat (2): Die Materiewelle des Elektrons ist stationär, d. h. der Kreisumfang ist ein ganzzahliges Vielfaches der de Broglie-Wellenlänge (periodische Randbedingung).

19

3.2.3. Der Franck-Hertz-Versuch (1913, Nobelpreis 1925)

Bekannt: Niveauübergänge Absorption / Emission von Photonen

Frage: Niveauübergänge Energieübertrag durch Atomstöße ?

Experiment: Quecksilberdampf (102 mbar)

Glühkathode

e

I

RöhreAnode

Gitter

U U

Kathode Gitter: Ee e U EStöße

Gitter Anode: Ee e U

Elektronen erreichen Anode ( I ) wenn EeGitter

e U

20

4.9 V

Dioden-Charakteristik

Anodenstrom als Funktion der Beschleunigungsspannung (U fest):

I A

U V 0 5 10 15

1 Stoßanregung

2 Stoßanregungen

3 Stoßanregungen

4.9 V

4.9 V

HgeHge eV9,4EE

HgeHge eV9,4EE

γHgHg eV4,9

γHgHg eV4,9

Spektrograph

21

3.2.4. Wellenfunktion des WasserstoffatomsStatinonäre Schrödingergleichung in Relativkoordinaten:

rψErψrVrψΔ μ2

2 rψErψrVrψΔ μ2

2

Relativkoordinate Kern Elektronr

r

eZ

επ4

1rV

2

0

r

eZ

επ4

1rV

2

0

Coulomb-Zentralpotential:

Faktorisierung ( Theorie-VL): Lösungen für beliebige Zentral-Potentiale V(r) in Kugelkoordinaten (r,,)

,YrR,r,ψrψ mnmnmn

,YrR,r,ψrψ mnmnmn

Rn l(r) Radialfunktion, spezifisch für die Form der Potentialfunktion

Yl m(,) Kugelflächenfunktion, universell für jedes Zentralpotential

22

a) Die Kugelflächenfunktionen

cosP,Y mm

m cosP,Y mm

m

Legendre-PolynomeGrad: ℓ m e mi

Yℓ m Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators rp̂rL̂ i

rp̂rL̂ i

In Kugelkoordinaten: L̂ iz L̂ iz sinsinL̂ 2

2

2

2

sin

2

Eigenwertgleichungen:

,Ym,YL̂

,Y1,YL̂

mmz

m2

m2

,Ym,YL̂

,Y1,YL̂

mmz

m2

m2

ℓ Drehimpulsquantenzahl m magnetische Quantenzahl ℓ 0, 1, 2, m ℓ, ℓ, , ℓ , ℓ

unabhängig von Rotationssymmetrie um z-Achse (Quantisierungsachse)

2

mY

23

b) Das Vektormodell des Drehimpulsoperators

z

x

y

Kugelradius 1

0m 1m

2m 3m

3m

2m

1m

Beispiel: ℓ 3

,Ym,YL̂

,Y1,YL̂

mmz

m2

m2

,Ym,YL̂

,Y1,YL̂

mmz

m2

m2

mL̂

1L̂L̂

z

2

mL̂

1L̂L̂

z

2

L

Lx, Ly nicht messbar, Drehimpulsvektor quantenmechanisch über Kegel verschmiert! Klassisches Analogon: Präzession um z-Achse

24

c) Die Radialfunktion Rn ℓ(r)

effektives Potential

(radialer Impuls)2

2

2

eff rμ2

LrVrV

2

2

eff rμ2

1rVrV

rd

dr

rd

d

rΔ 2

2

2

r2

2rp

klassische Radialgleichung( Physik 1 )

Quantenmechanisches Analogon

rRErRrVrd

Rdr

rd

d

r

1

μ2 nnneff

n22

2

rRErRrV

rd

Rdr

rd

d

r

1

μ2 nnneff

n22

2

radiale Schrödingergleichung

25

rRErRrVrd

Rdr

rd

d

r

1

μ2 nnneff

n22

2

rRErRrV

rd

Rdr

rd

d

r

1

μ2 nnneff

n22

2

rμ2

1

r

1

επ4

eZrV

2

2

0

2

eff

rμ2

1

r

1

επ4

eZrV

2

2

0

2

eff

r

Veff 2r

1

r

1

Potentialtopf

radiale Aufenthalts-Wahrscheinlichkeit

Lösung:

xLexrR 121n

xn

xLexrR 12

1nx

n

x0anrZ x0anrZ

Laguerre-Polynom (Grad n ℓ 1)

Bohr-Radius

RyEE 2

2

nZ

nn RyEE 2

2

nZ

nn

Folge für die möglichen Werte für die Quantenzahlen (QZ):

Drehimpuls-QZ: ℓ 0, 1, , n 1 n DrehimpulszuständeMagnetische QZ: m ℓ, ℓ 1, , ℓ 2 ℓ 1 Drehimpulsrichtungen

Haupt-QZ: n 1, 2, 3, diskretes Energiespektrum

radiale Quantenzahl nr n ℓ 1 0, 1, ↳ Zahl der Knoten

26

d) Die Energieentartung:

RyE 2

2

nZ

n RyE 2

2

nZ

n

• unabhängig von m Rotationssymmetrie

• unabhängig von ℓ r 1-Potential

Entartungsgrad bei festem n, ℓ( Zustände mit Energie En

und Drehimpuls ):

121m

1

Entartungsgrad zur Haupt-QZ n ( Zustände mit Energie En):

221n

0

1n

0

1n

0

nnnnn2

1nn21212

Drehimpuls-QZ: ℓ 0, 1, , n 1 n DrehimpulszuständeMagnetische QZ: m ℓ, ℓ 1, , ℓ 2 ℓ 1 Drehimpulsrichtungen

Haupt-QZ: n 1, 2, 3, diskretes Energiespektrum

27

e) Die spektroskopische Nomenklatur:

ℓ Zustand

0 s

1 p

2 d

3 f

4 g

m Zustand

0 1

2 3 4

Beispiel: n 4 , ℓ 3 , m 2 4 f - Zustand

Bemerkung: ℓ 0 m 0. Es gilt: Y00 const.

Folgerung: s-Zustände sind kugelsymmetrisch.

28

Beispiel: Der Grundzustand 1s

arρ

1

0

f) Die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte :

Aufenthaltswarscheinlichkeit in Kugelschale (Dicke dr) beim Radius r :

1

1

22mn

π2

0rOb

2mn rdr|ψ|cosddrd|ψ|Addrrρ

1

1

2n

22m

π2

0

rd|rR|r|,Y|cosdd

1

rd|rR|r 2n

2

ar 023 ar 023

Beim Bohrschen Radius ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit maximal. Im Mittel befindet sich das Elektron aber im Abstand 1,5 a0 zum Kern.

29

Regeln: Knoten nr

Bäuche nr 1 n ℓ

• n ↗ r ↗ , r n2

• ℓ ↗ r ↗ , Bäuche ↘ klassisch: mit ℓ zunehmend exzentrische Ellipsenbahnen

(Ausschmierung)

• n fest ist kugelsymmetrisch

Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der ersten drei Energieniveaus:

n 3, ℓ 0nr 2

n 3, ℓ 1nr 1

n 3, ℓ 2nr 0

arρ

1

0 n 1, ℓ 0

nr 0n 2, ℓ

0nr 1

n 2, ℓ

1nr 0

1n

0 m

2mn |ψ|

30

g) Die Parität der Wellenfunktion (WF):

π,πrr

coscos ecosP,YrR,r,ψrψ mim

mnmnmn

eecosPπ,πr,ψrψ πmimimmnmn

cosP1 mm

m1Die Parität der WF eines Teilchens im Zentralpotential ist (1)ℓ.

Die Parität ist damit durch den Bahndrehimpuls festgelegt.

Definition: Die Wellenfunktion besitzt eine Parität, wenn sie gerade oder ungerade ist. Bezeichnung:

gerade: Parität bzw. 1 bzw. gerade

ungerade: Parität bzw. 1 bzw. ungerade rψrψ

rψrψ

rψ

rψrψ

rψrψ