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Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-1

1. Freie ungedämpfte Schwingungen

1.1 Schwingungsgleichung

1.2 Statische Vorlast

1.3 Einheiten

1.4 Energiebilanz

1.5 Federsysteme



● Bewegungsgleichung:● Lösungsansatz:

● Einsetzen:

● Nichttriviale Lösung für:

m xc x=0

x t =A1sin t A2cos t x t = A1cos t −A2sin t

x t =−2 A1 sin t A2cos t

=−2 x t

−m2c x t =0

−m2c=0 =

cm



● Schwingungskenngrößen:– Kreisfrequenz:

– Frequenz:

– Periode:

=cm

f =

2=12

cm

T=1f=2

mc

● Bestimmung von A1 und A

2

aus Anfangsbedingungen● Beispiel:

– Auslenkung x0 und Ge-

schwindigkeit v0 zum

Zeitpunkt t = 0 gegeben

x0=x 0=A2 A2=x0

v0= x 0= A1 A1=v0



● Ergebnis:

– Zusammenhang:

x t =x0cos t v0 /sin t =A sin t

A sin t=A sin t cosAcost sin

x0=Asinv0=Acos

A= x02v0/

2

tan= x0v0



● Zusammenfassung:– Zeitverläufe:

– Maxima:

x t =A sin t

x t =v t = Acos t = Asin t

2 x t =a t =−

2 A sin t=2 A sin t

xmax=A , vmax= A , amax=2 A



α

α

α

A

ωA

ω2A

α=ωt + φ α=ωt + φ

x

v

a



ωt

x(t)/A

v(t)/ωA

a(t)/ω2A



● Beispiel: Zugstab mit Ein-zelmasse

– Ermittlung der Feder-konstante c:

● Auslenken der Masse um ΔL

L

E, A

m

ΔL

F

● Bestimmung der dazu nötigen Kraft F:

● Für die Federkonstante c folgt:

– Frequenz:

F= A=E A=EA⋅ LL

c=F L

=EAL

f =12

cm=12

EAmL



● Beispiel: Torsionsstab mit Einzelmasse

– Torsionsstab:● Länge L● Torsionssteifigkeit GJ● masselos

– Scheibe:● Massenträgheitsmoment

Θ– Freiheitsgrad:

● Verdrehung φ

L G, J

M, φ

Θ




● Verdrehen der Scheibe um Winkel φ

● Bestimmung des dazu nötigen Moments M:

● Für die Federkonstante folgt:

– Schwingungsgleichung:

– Kreisfrequenz:

– Frequenz:M=

GJL

c=GJL

c=0

=c=

GJL

f =

2=12

GJL



● Beispiel: Kragbalken mit Einzelmasse


● Auslenken der Masse um w

● Bestimmung der dazu nötigen Kraft F:

● Für die Federkonstante c folgt:

– Frequenz:

L

E, I m

F

w

F=3EI

L3w

c=3EI

L3

f =12 3

EIm L3



● Beispiel: Rollschwinger – Eine zylindrische Walze mit Masse m und Massenträg-heitsmoment Θ bezüglich des Schwerpunktes wird durch eine im Schwerpunkt befestigte Feder der Stei-figkeit c gehalten.

– Die Walze kann auf einer horizontalen Ebene rollen.

r

m, Θ

xφc



– Walze freigeschnitten:

– Rollbedingung:

– Drallsatz bezüglich Schwerpunkt S:

– Impulssatz:

– Schwingungsgleichung:

– Frequenz:

r

m, Θ

φc∙x

x

mg

NH

S

x=r x=r

=r H

mr2 c r2=0

f =12

c r2

mr2

m x=−c x−H H=−c r−mr



xs

xx

s + x

G

G

c(xs + x)



● Statische Ruhelage:

● Impulssatz:

● Eine Schwingung erfolgt immer um die statische Ruhelage.

c x s=G

m x=G−c x sx

m xc x=0

● Vorspannkraft und sta-tische Last sind im Gleich-gewicht.

● Bei linearen Systemen muss die statische Last nicht berücksichtigt werden, wenn die Aus-lenkung von der statischen Ruhelage aus gemessen wird.



● Die Frequenz kann aus der statischen Auslenkung berechnet werden:– Gewichtskraft:

– Statische Ruhelage:

– Frequenz:

G=m g

c x s=m gcm=

gx s

f = 12

gx s


1.3 Einheiten

● Die Einheiten von Steifig-keit und Masse müssen konsistent sein.– Beispiel:

[c]=Nm

, [m]=kg

[cm ]=

Nm⋅kg

=kg⋅m

s2⋅m⋅kg=1

s2

[ f ]=[cm ]=1s=1Hz

● In der Praxis werden in der Regel folgende Einhei-ten verwendet:– Längeneinheit: mm– Krafteinheit: N– Elastizitätsmodul: N/mm2

● Damit ist die Einheit für die Masse eine abgeleitete Einheit.


1.3 Einheiten

● Einheit für die Masse: ● Konsistente Einheiten:– N, kg, m– N, t, mm

● Falsch:– N, kg, mm

1N=1kg⋅m

s2=1

kg⋅103mm

s2

1N=1000kg⋅mm

s2

1 kg=10−3N s2

mm

1N s2

mm=1000kg=1 t


1.3 Einheiten

● Beispiel: Kragbalken mit Einzelmasse– Für die folgenden Zahlenwerte ist die Frequenz zu be-

stimmen:● E = 2∙105N/mm2

● I = 2∙105mm4

● L = 1000mm● m = 1kg

– Umrechnung der Masse:● m = 1∙10-3t


1.3 Einheiten

– Frequenz:

f =12 3

EIm L3

f =12

3⋅2⋅105N /mm2⋅2⋅105mm4

10−3Ns2/mm⋅10003mm3 =12

4⋅3⋅1010Nmm2

106Ns2mm2

=100 3

1s=55,13Hz


1.4 Energiebilanz

● Kinetische Energie:

● Elastische Energie:

● Energieerhaltung:

E k=12

mv2=12

m2 A2cos2 t

E p=12

c x 2=12

c A2 sin2 t

E kE p=E=const.

12

A2 [m2cos2 tc sin2 t ]=const.


1.4 Energiebilanz

● Aus der Energieerhaltung folgt:

● Gesamtenergie:

● Mit

folgt:

m2=c

E=E kE p=12

c A2=12

m2 A2

cos2=12

1cos2 , sin2=12

1−cos2

E k=12

E 1cos2 t2

E p=12

E 1−cos2 t2


1.4 Energiebilanz

t

x/xmax

v/vmax

Ep/E

max

Ek/E

max


1.5 Federsysteme

● Parallelschaltung: ● Reihenschaltung:

c1

c2

m

xm

c1

c2

x


1.5 Federsysteme

x

c1

c2

c

m m

● Parallelschaltung:

– Beide Federn haben die gleiche Auslenkung x.

– Die Federkräfte addieren sich:

– Damit folgt für die Steifig-keit der Ersatzfeder:

– Bei mehr als zwei Fe-dern gilt:

F=F 1F 2=c1 xc2 x=c1c2 x=c x

c=c1c2

c=∑k=1

n

ck


1.5 Federsysteme

m

c1

c2

m

EI

c

m

c1

c2

EI

– Beispiele:


1.5 Federsysteme

● Reihenschaltung:

– Beide Federn haben die gleiche Kraft F.

– Die Wege addieren sich:

– Damit folgt für die Steifig-keit der Ersatzfeder:

– Bei mehr als zwei Fe-dern gilt:

m

c1

c2

x

x

c

x=x1x2=Fc1

Fc2

=F 1c11c2

1c=1c11c2

c=c1c2

c1c2

1c=∑

k=1

n1ck


1.5 Federsysteme

E, I

m

L/2 L/2

E, I

m

L/2 L/2

cF

cF

System 1 System 2

● Beispiel:


1.5 Federsysteme

– Die beiden dargestellten Systeme bestehen je-weils aus einem masse-losen Balken (Biegestei-figkeit EI), einer Feder (Federkonstante c

F ) und

einer Masse m.– Wie groß sind die Eigen-

frequenzen?

– Daten:● L = 1m● m = 5kg● EI = 4∙1010Nmm2

● cF = 500N/mm


1.5 Federsysteme

– System 1:● Durchbiegung in Bal-

kenmitte und Verlänge-rung der Feder sind gleich.

● Es handelt sich um eine Parallelschaltung.

● Federsteifigkeit des Bal-kens:

cB=48 EI

L3

● Ersatzsteifigkeit:

● Frequenz:

c1=cFcB=c F48 EI

L3

f 1=12

c1m

=12

cF L348 EI

mL3


1.5 Federsysteme

– System 2:● Die Auslenkung der

Masse ist gleich der Summe der Durchbie-gung des Balkens und der Verlängerung der Feder.

● Es handelt sich um eine Reihenschaltung.

1c2=1cF

L3

48 EI

=48 EIcF L3

48 cF EI

● Ersatzsteifigkeit:

● Frequenz:

f 2=12

48 cF EI

cL³48 EI m


1.5 Federsysteme

– Zahlenwerte:● Masse:

● Balkensteifigkeit:

5 kg=5⋅10−3 t=5⋅10−3Ns2

mm

cB=48⋅4⋅1010

109Nmm2

mm2

=1920N

mm

● Ersatzsteifigkeiten:

c1=500N /mm1920 N /mm=2420 N /mm

c2=cF cB

c FcB

=500⋅19205001920

N 2⋅mm

mm2⋅N

=396,7N /mm


1.5 Federsysteme

● Frequenzen:

f 1=12

24205⋅10−3

N⋅mmmm⋅Ns²

=110,7Hz

f 2=12

396,7

5⋅10−3N⋅mm

mm⋅Ns²=44,8Hz


1.5 Federsysteme

● Schräg eingebaute Feder:– Bei einer schräg eingebauten Feder ist die Federachse

gegenüber der Schwingungsrichtung geneigt.– Vorgehen:

● Die Verschiebung wird in ihre Komponenten parallel und senkrecht zur Federachse zerlegt. Da die Verschiebung als klein vorausgesetzt wird, kann diese Zerlegung am unver-formten System durchgeführt werden.

● Mit Hilfe der Federkonstanten wird die Federkraft parallel zur Federachse ermittelt.

● Daraus wird die Komponente der Federkraft in Schwingungs-richtung berechnet.


1.5 Federsysteme

– Beispiel:

● Die abgebildete Masse kann sich nur in x-Rich-tung bewegen.

● Sie wird durch zwei Fe-dern gestützt.

αx

m

cc

● Zerlegung der Verschie-bung x:

● Federkraft:

x

xp

α

α

x p=x sin

F p=c x p=c x sin


1.5 Federsysteme

● Kraft in Schwingungsrichtung:

● Ersatzsteifigkeit der beiden Federn:

Fp

αFF=F p sin=c sin2 x

cges=2c sin2

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