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Landkarten

• Landkarten sind Tesselationen mit folgenden Eigenschaften:a) jede Masche ist der

geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent

b) die Aggregation aller inneren Maschen ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent

• Beachte: zu jeder Landkarte gehört eine unbeschränkte Masche „Außen“ - die einzige Masche, die nicht der geschlossenen Kreis-scheibe äquivalent ist

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Datenstrukturen für Landkarten

Landkarten

Nachbarschaften

A: 2.0 0.0 5.0 1.0 7.0 3.0 5.0 4.0 1.0 1.0

B: 5.0 4.0 7.0 3.0 7.0 6.0 5.0 6.0

C: 5.0 4.05.0 6.0 5.0 7.00.0 3.0 1.0 1.0

Spaghetti

(5.0 4.0)

(5.0 1.0)

(2.0 0.0)

(7.0 3.0)

(1.0 1.0)

(7.0 6.0)

(5.0 6.0)

(5.0 7.0)

(0.0 3.0)

A

BC

4

UML-Diagramm für die Spaghetti-Struktur

M asche

Koordinate

2n

1..1

{geordnet}

5

Masche

Punkt

n

1..1

{geordnet}

UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkten

6

Typischer Fehlerfall für Spaghetti: Änderung der Koordinaten eines gemeinsamen Punktes

vorher

nachher

7

P2

P1

P3

P6

P7

P8

P9

A

BC

Flächen:

A: P1 P2 P3 P4 P5

B: P4 P3 P6 P7

C: P4 P7 P8 P9 P5

P5

P4 Punkte:P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0P3 7.0 3.0P4 5.0 4.0P5 1.0 1.0P6 7.0 6.0.............................

Punktobjekte ohne Redundanz

8

Masche

Punkt

n

1..n

{geordnet}

Beachte: Redundanzfreiheitkann durch dies UML-Diagrammnicht erzwungen werden.

UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten

9

UML-Diagramm für die Knoten- und Kantenstruktur

3..*

Masche

2

begrenzt

Kante

2

2..*

begrenzt

Knoten

Punkt

1

1Geometrie

neu

Topologie explizit

Redundanzfreiheit wirderzwungen

10

P1

E6

E11

P2

P3

P6P7

P8

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E7

E8

E9

E10

Außen

Knoten:P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................

Kante

Anfangs-knoten

End-knoten

linkeMasche

rechteMasche

E1 P1 P2 A Außen

E2 P2 P3 A Außen

E3 P3 P4 A B

E4 P4 P5 A C

E5 P5 P1 A Außen

E6 P3 P6 B Außen

..............................................

Kanten:

Knoten-Maschen-Struktur

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Vor- und Nachteile der Knoten- und Kanten-Struktur

• Vorteile:– Geometrie ist

redundanzfrei

– Topologie ist explizit

– bei Änderungen können Fehler leichter vermieden werden

• Nachteil– der Kantenumring ist nicht

direkt gegeben, sondern muß berechnet werden

• Lösung: Kanten mit Flügeln

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Kanten mit Flügeln

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Geflügelte Kanten

P1

P8

P2

P3

P6P7

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E6

E7

E8

E9

E10

E11

Außen

E1 P1 P2 A Außen E5 E2

E2 P2 P3 A Außen E1 E6

E3 P3 P4 A B E2 E8

E4 P4 P5 A C E3 E11

E5 P5 P1 A Außen E4 E1

E6 P3 P6 B Außen E3 E7

.....................................................

Kanten:

Wie bei Knoten-Kanten-

Struktur

Vorgängerim Umring derlinken Masche

Nachfolgerim Umring der

rechten Masche

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Die Euler-Formel

• Für jede Landkarte mit – f Maschen (face)– e Kanten (edge)– v Knoten (vertex) gilt:

f - e + v = 2

• Euler-Charakteristik:– Landkarte: 2– Landkarte mit n Kontinenten: n + 1– Landkarte mit n Inseln und m Kontinenten: n + m + 1

• beachte: Außen zählt als eigene Masche!

Euler-Charakteristik

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Topologische Fehler (I)

Fehlender Knoten Zwei Referenzpunkte (Namen)

Undershoot

Overshoot

Fehlender Referenz-punkt (Name)

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Topologische Fehler (II)

• Überlappung zweier Maschen ohne Überschneidung von Kanten

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Integritätsbedingungen für Landkarten (I)

1. Schnittfreiheit der Kanten

2. Jede Kante hat zwei Maschen auf verschiedenen Seiten

3. Jede Masche wird von einem einfachen Zyklus begrenzt

4. Kein Mittelpunkt einer Kante liegt in einer Masche

falsch richtig

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Integritätsbedingungen für Landkarten (II)

1. Schnittfreiheit der Kanten

2. Jede Kante hat zwei Maschen auf verschiedenen Seiten

3. Jede Masche wird von einem einfachen Zyklus begrenzt

4. Es gibt genau eine unbeschränkte Masche

falsch richtig

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Zusammenfassung „Geometrisch-Topologische Datenstrukturen“

• Spaghetti mit Koordinaten: redundante Geometrie• Spaghetti mit Punkten: redundante Geometrie• Spaghetti mit Punkten als Objekten: redundanzfreie

Geometrie• Knoten-Kanten-Struktur: redundanzfreie Geometrie, explizite

Topologie, Maschenumring muß berechnet werden• geflügelte Kanten: redundanzfreie Geometrie, explizite

Topologie, Maschenumring leicht zu berechnen

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Aus Landkarten abgeleitete Strukturen

• quadratische Maschen gleicher Größe:Raster, Grid– kompakte Speicherung– homogene Informationsdichte

• Maschen sind Dreiecke– Triangulation

– gut zur Modellierung des Geländes

• Verallgemeinerung– Simplizes

– Simpliziale Komplexe

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Simplizes

• Ein 0-Simplex ist ein Punkt

• Ein 1-Simplex ist eine gerade Kante

• Ein 2-Simplex ist ein Dreieck (Inneres + 3 Kanten + 3 Knoten)

• Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder

Beachte: Das Schwierige an den

Simplexen ...

... ist der Plural

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Teilsimplizes

• Ein Knoten ist Teilsimplex einer Kante

• Eine Kante ist Teilsimplex eines Dreiecks

• Ein Dreieck ist Teilsimplex eines Tetraeders

• Der Teilsimplex T eines Simplex S ist ein Simplex, dessen Knoten alle in S vorkommen.

• Der Rand eines Simplex ist die Menge aller Teilsimplizes.

Randeines Dreiecks

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Simpliziale Komplexe

• Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften:– jeder Teilsimplex in C ist

ebenfalls in C

– der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder in C

falsch:

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Simpliziale Komplexe

• Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften:– jeder Teilsimplex in C ist

ebenfalls in C

– der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder in C

Korrektur:

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Simpliziale Komplexe

• Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften:– jeder Teilsimplex in C ist

ebenfalls in C

– der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder in C

Korrektur:

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Anwendungen

• Geländemodell• Computergraphik• Eisberge• ...

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Resümee

• Landkarten– 2D– beliebige Polygone

• Simpliziale Komplexe– Dreiecke– auch 3D

• Gemeinsamkeiten– Konstruktion des Raumes

durch Aggregation atomarer Primitive

– „algebraische“ oder „kombinatorische“ Topologie

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