1. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik für...

M. GEORGIWS 2007/08

1. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik für GeologenABGABE IM ÜBERNÄCHSTEN TUTORIUM

AUFGABE 1

a) Anderthalb Hühner legen in anderthalb Tagen anderthalb Eier. Wie viele Eier legt ein Huhnan einem Tag?

b) Jeder cm2 der Erdoberfläche ist mit der Masse von 1 kg Luft belastet. Die Erdoberflächebeträgt ca. 5.1 ·108 km2. Berechnen Sie die Masse der Atmosphäre und die des Sauerstoffs.(22 % der Gesamtmasse der Atmosphäre besteht aus Sauerstoff.)

AUFGABE 2Volumen und Oberfläche einer Kugel vom Radius r berechnen sich nach den Formeln V = 4

3!r3

und A = 4!r2. Welche Funktion drückt die Kugeloberfläche durch das Volumen aus?

AUFGABE 3Bestimmen Sie folgende Mengen:

• {x ! R : |x " 2| # 3} ${ x ! R : |x| < 2}

• {x ! R : |x " 2| # 3} %{ x ! R : |x| < 2}

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2. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik für GeologenABGABE IM ÜBERNÄCHSTEN TUTORIUM AM 8. NOVEMBER

AUFGABE 4Berechnen bzw. vereinfachen Sie (p, s, t != 0, a, b > 0):

272/3 64!1/6!

4!9/5"( 1

9+ 1

6) s3t

pst4

"ab2 4

"a"

a3 1"

b

AUFGABE 5Schreiben Sie mit bzw. ohne Summenzeichen:

2 + 3 + 4 + · · · + 8 x + 2x2 + 3x3 + · · · + 9x94

#

j=1

xj

7#

k=4

akb10!k

AUFGABE 6Für die Abhängigkeit der WärmeproduktionW (in kJ pro Tag) vom KörpergewichtM (in kg) kannbei Warmblütern in guter Näherung W = b · M c angenommen werden. Bestimmen Sie die Pa-rameter b und c mit Hilfe der M - und W -Werte eines Pferdes (M = 500, W = 28000) und einesMeerschweinchens (M = 0.5, W = 175). Was ergibt sich damit für einen Menschen von 70 kgGewicht?

AUFGABE 7Betrachten Sie die enzymatische Reaktion

E + Sk1

!k2

ESk3# E + P,

in der E das Enzym, S das Substrat, ES der Enzymsubstratkomplex, P das Produkt der Um-wandlung und ki die Reaktionsgeschwindigkeitskonstanten bezeichnen. Bei konstanter gesamterEnzymkonzentration, d.h. [E] + [ES] = [E0], und unter der Gleichgewichtsannahme k1[E][S] =(k2 + k3)[ES] ergibt sich für die Reaktionsgeschwindigkeit die Michaelis-Menten-Gleichung

v = vmax[S]

[S] + K(1)

mit den Konstanten vmax = k3[E0] und K = (k2 + k3)/k1.

ii) Nehmen Sie die Koordinatentransformationen y = 1/v und x = 1/[S] vor, und zeigen Sie,dass (1) in die lineare Lineweaver-Burk-Gleichung

y =K

vmaxx +

1

vmax(2)

übergeht. Was sind bei dieser Darstellung die Schnittpunkte mit den Achsen?

i) In einer Versuchsreihe mit Glutamat (S), Glutamat-Dehydrogenase (E) und 2-Oxogluta-rat (P ) wurden folgende Werte gemessen:

[S] in mol/dm3 3.33 · 10!4 6.66 · 10!4 10!3 3.33 · 10!3 10!2

v in µmol/min 0.023 0.037 0.047 0.073 0.089

Tragen Sie diese Werte in ein geeignetes Diagramm ein, und ermitteln Sie graphisch vmax

und K.

Tutorien: Do: 12$ 14 Uhr, Hörsaal, Arnimalle 3 und Do 16$ 18 Uhr, Raum 31, Arnimallee 6.

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3. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik für GeologenABGABE IM ÜBERNÄCHSTEN TUTORIUM AM 15. NOVEMBER

AUFGABE 8Bei einer Versuchsreihe wurden folgende Zahlenwerte ermittelt:

x 1.5 2.5 4.0 5.0 6.5f1(x) 3.56 5.22 9.28 13.63 24.22f2(x) 15.0 6.32 2.85 1.91 1.22

Stellen Sie beide Funktionen sowohl in einem einfach logarithmischen als auch in einem dop-pelt logarithmischen Koordinatensystem dar. Entscheiden Sie, welche der Funktionen durch einePotenz- und welche durch eine Exponentialfunktion angenähert werden kann, und ermitteln Siederen Parameter.

AUFGABE 9Gegeben seien die Funktionen f : R ! R, f(x) = x+2, und g : R ! R, g(x) = x2"1. BestimmenSie f # g, g # f , f # f und g # g.

AUFGABE 10Ein gewisses RNS-Molekül reproduziert sich extrazellulär in einem Teströhrchen. Unter günstigenäußeren Umständen erzeugt ein Molekül in 20 Minuten 1012 Kopien (Autokatalyse).

• Finden Sie eine Exponentialfunktion N(t) = N0e!t, die diesen Prozess beschreibt (t = Zeitin Sekunden, N = Anzahl der Moleküle).

• Wieviel Zeit wird benötigt, um ein zweites Molekül zu generieren?

• Wieviel Zeit wird benötigt, um die ersten 1000 Moleküle zu generieren?

AUFGABE 11In einem jungen Wald wächst das Volumen schlagbaren Holzes jährlich um 3.5 %. Um wievielProzent ist dieses Volumen in 10 Jahren gewachsen? Wann hat es sich verdoppelt (in Jahren,Monaten und Tagen)?

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4. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik für GeologenABGABE IM TUTORIUM AM 18. NOVEMBER

AUFGABE 12Die Menge M(t) einer radioaktiven Substanz zur Zeit t verringert sich durch Zerfall gemäß

M(t) = M0e!!t.

Dabei ist M0 die Menge zur Zeit t = 0 und ! > 0 die Zerfallskonstante der Substanz. Die Halb-wertzeit T der Substanz ist die Zeitspanne zwischen zwei Zeitpunkten t1 und t2, in der die Hälfteder Substanz zerfällt. Zeigen Sie

T =ln 2

!;

insbesondere ist T unabhängig von M0 und t1.

AUFGABE 13(Die 14C-Methode)Ist von einer radioaktiven Substanz die Zerfallskonstante ! oder die Halbwertszeit T bekannt undkennt man von einer Probe M(t0) und M0 (Masse der radioaktiven Substanz zum Zeitpunkt t0bzw. 0) oder aber das Verhältnis M(t0)/M0, so kann man das Alter einer Probe bestimmen (ra-diometrische Altersbestimmung). Dieses Verfahren wird je nach Situation und Art des Atomzerfallsunterschiedlich ausgenutzt und unterliegt diversen Einschränkungen; z.B. sind häufig Messungendirekt am Objekt nicht möglich, und man muß geeignete benachbarte Proben nehmen. Auch istdie schätzbare Zeit auf etwa 10 Halbwertszeiten des beteiligten Isotops limitiert, denn nach dieserZeit sind nur noch ca. 0.1 % des Ausgangsmaterials vorhanden.Ein in der Praxis wichtiges Verfahren ist die 14C-Methode. Dieses um 1949 von Walter Libby ent-deckte Verfahren gründet sich auf folgende Beobachtungen: In der Erdatmosphäre werden durchkosmische Strahlung, die ständig die Atmosphäre bombardiert, Neutronen produziert, die sichmit Stickstoff verbinden, wobei ein Proton und 14C entstehen. Dieser Kohlenstoff wird radioaktiverKohlenstoff oder Radiokohlenstoff genannt, da er radioaktiv zerfällt. Das Verhältnis 14C/12C in derAtmosphäre ist dabei konstant. Das trifft ebenso auf lebendige Materie zu, denn der radioaktiveKohlenstoff ist in Kohlendioxid enthalten und bewegt sich daher durch die Atmosphäre, wobei ervon Pflanzen absorbiert wird. Die Tiere wiederum nehmen ihn durch Fressen der Pflanzen in ihrGewebe auf. In lebendem Gewebe wird die Aufnahmerate von 14C gerade durch seine Zerfalls-rate ausgeglichen. Stirbt aber ein Organismus, so findet keine Aufnahme von 14C mehr statt; die14C-Konzentration beginnt durch Zerfall des vorhandenen Kohlenstoffs zu sinken.Anwendung: Wann entstanden die Wandmalereien in der Lascaux-Höhle in Frankreich? Man hatbei der Entdeckung der Höhle im Jahre 1950 Holzkohlereste gefunden, die von den damaligenBewohnern stammen dürften und die noch einen Anteil von 14.52 % des 14C-Gehalts von leben-dem Holz aufwiesen. Die Halbwertszeit von 14C beträgt 5568 Jahre.

AUFGABE 14Im Jahre 1972 wurden auf der Erde insgesamt 2.7·109 t Mineralöl verbraucht. Die jährliche Wachs-tumsrate betrug 5.1 %. Der gesamte Vorrat (bekannte und unentdeckte Reserven miteingeschlos-sen) wird auf 700 · 109 t geschätzt. Wann würden die Vorräte erschöpft sein, vorausgesetzt, diejährliche Wachstumsrate bliebe konstant?

AUFGABE 15Es sei I die Intensität des Sonnenlichts gemessen in Energieeinheiten pro cm2 pro sec. Wenn einBlatt einer Pflanze einenWinkel von 60" mit den auftreffenden Strahlen bildet, so wird I gegenüberdem senkrechten Lichteinfall reduziert. Um welchen Faktor?

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5. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik für GeologenABGABE AM DONNERSTAG IM TUTORIUM AM 29. NOVEMBER

AUFGABE 16Welche der folgenden Folgen (an) sind konvergent? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenz-wert.

i) (an) = 1, 23 , 1, 4

5 , 1, 67 , 1, . . .

ii) an = ("1)n/n

ii) an =!

n

iii) an = (n2 + 3n " !)e!n

iv) an =n + 1

2n " 3

v) an =n2 +

!n

2n2 "!

n

vi) an =

!

x + 1n

"2" x2

1n

AUFGABE 17Geben Sie Beispiele für Folgen (an) und (bn) mit an # 0, bn # $ und

a) anbn # 0, (b) anbn # 3, (c) anbn # $.

AUFGABE 18Ein Patient bekommt täglich eine Dosis von 10 mg eines Medikaments ins Blut injiziert. DurchAusscheidung über die Körperorgane sinkt die Konzentration im Blut pro Tag um 50 %. Auf wel-chen Wert (in mg/l) pendelt sich die Konzentration ein, wenn man von 5 l Blutvolumen ausgeht?Nach wie vielen Tagen nach der ersten Injektion ist der Grenzwert bis auf ±0.2 mg/l erreicht? [DieKonzentration soll jeweils unmittelbar nach der Injektion gemessen werden.]

AUFGABE 19Wenn die Erdölvorräte beim jetzigen Jahresverbrauch noch für 200 Jahre ausreichen würden, umwieviel % müsste man dann von Jahr zu Jahr den Verbrauch einschränken, damit sie für immerausreichen würden?

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6. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik für GeologenABGABE AM DONNERSTAG IM TUTORIUM AM 6. DEZEMBER

AUFGABE 20Bestimmen Sie

• ddx(2x + 3)2

• ddx sinx cos x

• ddw (1 " w)

!w

• ddz

z1+z

• ddx ln g(x).

AUFGABE 21Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen:

a) f(x) = ex+2

b) g(x) = e!x2

c) h(x) = sin(x3)

d) !(x) = ln tan2 x

e) "(x) = xx.

AUFGABE 22Bestimmen Sie die 2. Ableitung der Tangensfunktion.

AUFGABE 23Es seien #,$ > 0 und

f : [0,!) " R, f(x) =x!

e"x.

Wo ist f monoton wachsend und wo monoton fallend?

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AUFGABE 24Ein Fisch schwimmt stromaufwärts mit einer Geschwindigkeit von v relativ zum Wasser; dieseshabe eine Strömungsgeschwindigkeit von v1 relativ zum Boden. Der Fisch möchte ein Ziel imAbstand s erreichen; die dafür benötigte Zeit sei t. Experimente zeigen, dass die Energie, die derFisch dafür aufwenden muss, durch die Formel E = cvkt mit gewissen Konstanten c > 0 undk > 2 (k hängt von der Form des Fischs ab) beschrieben werden kann.

i) Schreiben Sie bei gegebenem v1 und s die Größe E als Funktion von v. Schreiben Sie dazunoch die Zeit t als Funktion von s, v, v1.

ii) Für welchen Wert von v wird die Energie minimal? Bestimmen Sie also die Minima (bzw.das Minimum) der Funktion E(v).

AUFGABE 25Die potentielle Energie eines zweiatomigen Moleküls ist

U = U(r) = A(b/r12# 1/r6),

wo A und b positive Konstanten sind und r der Abstand der beiden Atome.

i) Bestimmen Sie limr!0 U(r) und limr!" U(r) (also bestimmen Sie, ob U(r) " +! oder obU(r) " #! für r " 0).

ii) Welcher Wert für r minimiert U? Berechnen Sie noch U(r) für diesen Wert!

AUFGABE 26BEin Körper verliert durch Abstrahlung um so weniger Wärme, je kleiner die Oberfläche ist. Wiehat man infolgedessen eine Säule mit quadratischer Grundfläche und dem Volumen V zu dimen-sionieren, damit der Wärmeverlust minimal ist?

AUFGABE 27Bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima der Funktion f : R " R, f(x) = xex.

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AUFGABE 28Stellen Sie das Taylorpolynom 2. Grades für f(x) = 1/

!1 + x im Entwicklungspunkt x0 = 0 auf

und bestimmen Sie damit Näherungen für 1/!

1.1 und 1/!

0.9.

AUFGABE 29Sei f : ["2, 4] # R die Funktion, deren Graph so aussieht:

!

"

!!

!!

!!

!!! "

""

""1 2 3 4"1"2

"1

1

a) Wie groß ist! 4

!2f(x) dx?

b) Berechnen Sie:! !

!!(t + sin t) dt,

! !

0sin(2x + c) dx,

! 1

0x2ex3

dx,

! 1/2

!1/2

du

1 + u.

AUFGABE 30Bestimmen Sie:

!

(x3 + 5) dx,

!

y(1 " y)2 dy,

!

t cos t dt,

!

x"

x2 " 4 dx.

AUFGABE 31Strömt eine Flüssigkeit durch eine zylindrische Röhre mit dem Radius R, ohne dabei Wirbel zuerzeugen, so ist die Geschwindigkeit v (in m/sec) eines Punktes, der den Abstand r von derMittelpunktachse besitzt, gegeben durch

v(r) =p

4!l(R2 " r2).

Hierbei ist p der Druckunterschied zwischen den Rohrenden (in Pa), l die Länge der Röhre (in m)und ! die Viskosität der strömenden Flüssigkeit (in Pa · sec). Für das Volumen V (t), welches biszum Zeitpunkt t durch die Röhre geflossen ist, ergibt sich dann

V (t) =

! R

02"rtv(r) dr.

i) Berechnen Sie V (t).

ii) Realistische Werte für menschliche Blutgefäße sind l = 0.02 m, R = 8 · 10!5 m und p =400 Pa; menschliches Blut hat eine mittlere Viskosität von 0.0027 Pa · sec. Wieviel Blut fließtpro Minute durch ein derart dimensioniertes Gefäß?

iii) Um wieviel Prozent vermindert sich die pro Zeiteinheit durchfließende Blutmenge, wenn R

aufgrund von Ablagerungen an der Gefäßwand um 20 % verkleinert ist?

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9. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik für GeologenABGABE AM DONNERSTAG IM TUTORIUM AM 10. JANUAR

AUFGABE 32Wenn eine Kurve, gegeben als Graph einer Funktion f : [a, b] " R, um die x-Achse rotiert,entsteht ein Körper des Volumens

V = !

! b

a

(f(x))2 dx.

Berechnen Sie dieses Volumen für die Funktion f(x) = 4"

x, 1 $ x $ 2.

AUFGABE 33Berechnen Sie:

!

!

0xe"x2

dx,

!

!

0xe"xdx,

! 1

0

dx3"

x.

AUFGABE 34Bestimmen Sie:

a)!

"1

"2

dt

t3

b)!

v

v + 1dv

c)! !

"!x sin(x2) dx

AUFGABE 35Berechnen Sie:

i)!

!

1

dt

t7

ii)!

sin(!x + 1) dx

iii)! A

"Ae"+1 d"

M. GEORGIWS 2007/08

10. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik für GeologenABGABE AM DONNERSTAG IM TUTORIUM AM 17. JANUAR

AUFGABE 36Die Wachstumsrate von Fruchtfliegen ist proportional zur Populationsgröße P (t) zu einer beliebi-gen Zeit t.

• Geben Sie die zugehörige Differentialgleichung und ihre allgemeine Lösung an.

• Bestimmen Sie die anfängliche Populationsgröße, wenn bekannt ist, dass die Anzahl derFruchtfliegen am zweiten Tag des Experiments 100 und am sechsten Tag 400 beträgt. Wiegroß ist die Verdoppelungszeit?

AUFGABE 37Eine strömende Flüssigkeit hat die konstante Temperatur Tu. Darin befindet sich ein Körper, des-sen Temperatur T (t) zur Zeit t sich gemäß der Differentialgleichung

T !(t) = k(Tu # T (t)), (1)

ändert, wo k eine positive Konstante ist.

• Wie lautet die Lösungsgesamtheit von (1)?

• Der Faktor k hängt von Form und Material des Körpers, aber auch von der Beschaffenheitder Flüssigkeit und ihrer Strömungsgeschwindigkeit ab. Für k = 0.5 min"1 und Tu = 10# Cberechne man die Zeit, die der Körper braucht, um von 80# C auf 20# C abzukühlen.

AUFGABE 38Beim Verlauf einer chemischen Reaktion mit zwei Komponenten bezeichne y(t) die Konzentrationdes Ausgangsstoffes A zur Zeit t. Der Verlauf der Reaktion kann dann durch die Differentialglei-chung

y!(t) = k(b # y(t))

beschrieben werden.

• Wie lautet die Lösungsgesamtheit dieser Gleichung?

• Es sei (in geeigneten Einheiten gemessen) b = 1 und k = 2. Die Konzentration zum Zeit-punkt t = 1 sei y(1) = 10. Wie groß war die Anfangskonzentration y(0)?

AUFGABE 39Wir betrachten die Differentialgleichung

y! = ay, a ! R \ {0}

• Geben Sie diejenige Lösung y(t) an, die y(1) = 5 erfüllt.

• Es sei nun y(t) die Grösse der Weltpopulation zur Zeit t, wobei t beliebig gross werden kann.Argumentieren Sie (ohne Formeln), warum Sie in diesem Fall das Modell y ! = (M "Ly)y fürgeeignete M,L > 0 dem Modell (1) vorzuziehen würden. Oder anders ausgedrückt, warumist die Modellgleichung (1) nicht für beliebig grosse t realistisch und warum ist deswegen dieModellgleichung y ! = (M " Ly)y realistischer?

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