Übungsblatt 09

Lehrstuhl für Kommunal- und Umweltökonomie

Übung zu den Grundzügen der VWL I/ Mikroökonomie

Johannes Wiebels/ Benjamin Hecker

Aufgaben 25a und 25b

2Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie

Isoquanten bei substitutionalen Inputs

Arbeitskräfteeinsatz

Kapitaleinsatz 1 2 3 4 5

1 20 40 55 65 75

2 40 60 75 85 90

3 55 75 90 100 105

4 65 85 100 110 115

5 75 90 105 115 120

CBA

Aufgaben 25a und 25b

Kapitalpro Jahr

Arbeitpro Jahr

3Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie

2 41 3 5

1

2

3

4

5

Isoquante:

Kurve, die alle möglichen Inputkombi-nationen darstellt, mit denen der gleiche Output erzielt wird.

D

E

Q1 = 55

Q2 = 75

Q3 = 90

Isoquanten bei substitutionalen Inputs

∆L = 1

∆K2

B

Aufgaben 25a und 25b

Kapitalpro Jahr

Arbeitpro Jahr

4Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie

2 41 3 5

1

2

3

4

5

A

C

D

Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)

∆L = 1∆L = 1

∆K1

∆K3

Abnehmende GRTS: ∆K1 > ∆K2 > ∆K3

Grenzrate der technischen Substitution::

Betrag, um den die Menge eines Inputs reduziert werden kann, wenn eine zusätzliche Einheit eines anderen Inputs eingesetzt wird, so dass der Output konstant bleibt.

∆L = 1

Aufgaben 25a und 25b

Kapitalpro Jahr

5Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie

2 41 3 5

1

2

3

4

5

A

B

C

Q1 Q2 Q3 Arbeitpro Jahr

Isoquanten bei vollkommen substitutionalen Inputs

GRTS = konstant (hier: GRTS = 1)∆L = 1

∆K1 = 1

∆K2 = 1

∆L = 1

∆K3 = 1

∆K1 = ∆K2 = ∆K3

Aufgaben 25a und 25b

Kapitalpro Jahr

6Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie

Q1

Q2

Q3

Arbeitpro Jahr

Isoquanten bei festem Einsatzverhältnis der Inputs

A

B

C

h

Die Steigung der Gerade h entspricht dem Einsatzverhältnis von Kapital und Arbeit (= Kapitalintensität): K1 /L1 = K2 /L2 = K3 /L3

L1 L2 L3

K1

K2

K3

GRTS = ∞

GRTS = 0

Aufgabe 26a

Kapital

Arbeit

7Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie

155 10

2

4

6

Q1 = 10

Q2 = 20

Q3 = 30

Konstante Skalenerträge: F(ƛ·K, ƛ·L) = ƛ·F(K, L)

Aufgabe 26a

Kapital

Arbeit

8Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie

155 10

2

4

6

Q1 = 10

Q2 = 15

Q3 = 20

Abnehmende Skalenerträge: F(ƛ·K, ƛ·L) < ƛ·F(K, L)

Aufgabe 26a

Kapital

Arbeit

9Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie

155 10

2

4

6

Q1 = 10

Q3 = 30

Q2 = 20

Zunehmende Skalenerträge: F(ƛ·K, ƛ·L) > ƛ·F(K, L)

Q4 = 40

Aufgabe 26b

10Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie

Erste Ableitung nach L (GPL)

Zweite Ableitung nach L

b.1) = 3 > 0 = 0 Positives und konstantes GPL

b.2) = (2·L + 2·K) -0,5 > 0 = -(2·L + 2·K) -1,5 < 0 Positives aber abnehmendes GPL

b.3) = 2·L·K² > 0 = 2·K² > 0 Positives und zunehmendes GPL

b.4) = 0,5·L-0,5 ·K 0,5 > 0 = -0,25·L-1,5 ·K 0,5 < 0 Positives aber abnehmendes GPL

b.5) = 3·K² > 0 = 0 Positives und konstantes GPL

Aufgabe 26b

11Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie

Erste Ableitung nach K (GPK)

Zweite Ableitung nach K

b.1) = 2 > 0 = 0 Positives und konstantes GPK

b.2) = (2·L + 2·K) -0,5 > 0 = -(2·L + 2·K) -1,5 < 0 Positives aber abnehmendes GPK

b.3) = 2·L²·K > 0 = 2·L² > 0 Positives und zunehmendes GPK

b.4) = 0,5·L0,5 ·K -0,5 > 0 = -0,25·L0,5 ·K -1,5 < 0 Positives aber abnehmendes GPK

b.5) = 6·L·K > 0 = 6·L > 0 Positives und zunehmendes GPK

Aufgabe 26c

12Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie

Per definitionem ist das Grenzprodukt eines Inputs gleich dem durch den Einsatz einer weiteren Einheit des betreffenden Inputs erzielten, zusätzlichen Output, während alle anderen Inputs konstant gehalten werden. Der zusätzliche Output bzw. Ertrag auf diesen einzelnen Input nimmt ab, da alle anderen Inputs konstant gehalten werden. So verfügt beispielsweise jede zusätzliche Einheit Arbeit über weniger Kapital, mit dem sie arbeiten kann, wenn das Niveau des Kapitals konstant gehalten wird.

Anders als bei den Erträgen auf einen einzigen Produktionsfaktor handelt es sich bei Skalenerträgen um proportionale Erhöhungen aller Inputs. Während jeder einzelne Faktor für sich betrachtet abnehmende Erträge aufweist, kann sich der Output bei einer Verdopplung aller Inputs mehr als verdoppeln, weniger als verdoppeln oder genau verdoppeln. Der Unterschied liegt darin, dass bei Skalenerträgen alle Inputs im gleichen Verhältnis erhöht werden und kein Input konstant gehalten wird.

Aufgabe 26d

13Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie

Die meisten Unternehmen haben Produktionsfunktionen, die zunächst zunehmende, danach konstante und schließlich abnehmende Skalenerträge aufweisen. Bei einem niedrigen Outputniveau führt eine proportionale Erhöhung aufgrund der Möglichkeit der Spezialisierung jedes Faktors zu einer überproportionalen Erhöhung des Outputs. Gibt es jetzt beispielsweise zwei Mitarbeiter und zwei Computer, kann sich jeder Mitarbeiter spezialisieren, indem er die Aufgaben übernimmt, bei denen er am besten ist, wodurch sich der Output mehr als verdoppeln kann. Wächst das Unternehmen, können die Möglichkeiten für eine Spezialisierung abnehmen, und eine Verdopplung aller Inputs führt nur noch zu einer Verdopplung des Outputs. Bestehen konstante Skalenerträge, wiederholt das Unternehmen, was es bereits tut. Ab einem gewissen Produktionsniveau ist das Unternehmen so groß, dass sich der Output bei einer Verdopplung der Inputs weniger als verdoppeln wird. Der Grund hierfür liegt in Problemen der Koordination, insbesondere der Kommunikation zwischen den Mitarbeitern.