11.12.2006Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler2 Einleitung.

11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 2

Einleitung


Einleitung

Die thermische Quantenfeldtheorie dient der Be-handlung relativistischer Vielteilchensysteme imthermischen Equilibrium (extreme Materie).


Einleitung

Untersuchung des elektroschwachen Phasen-übergangs (t=10-37 s, T=1028 K)

Untersuchung des Übergangs des frühen Universums aus der QCD-Plasmaphase ins Confinement / Entstehung der Hadronen (t=10-5 s, T=1012 K)

Außerdem aber auch z.B. theoretische Behandlung des Inneren von Neutronensternen

Ein Hauptanwendungsgebiet der thermischen Feldtheorie ist die Kosmologie des frühen Universums


Einleitung

QCDSchwerionenkollisionen,Untersuchung des entsehenden Quark-Gluon-Plasmasderzeit: RHICgeplant: LHC, FAIR

QEDz.B. Vermessung der thermischen Planckverteilung durch Streuung von Elektronen an thermischen Photonen (LEP)

ElektroschwachDerzeit keine Verifikationmöglich

Experimentelle Verifikation


Vorteile der Untersuchung schwerer

Quarkonia: Theorie

Schwere Quarkonia sind Gitter- oder Störungstheoretischen Metoden zugänglich.Quantitative Aussagen über thermische Anregungszustände und Zerfallsbreiten sind möglich.

ExperimentSchwere Quarkonia liefern auch vor einem thermischen Hintergrund ein gut zu isolierendes Signal.Eine Überprüfung theoretischer Aussagen ist möglich!

Einleitung

Schwere Quarkonia


Inhalt

Grundlagen der thermischen QFTGrundidee, bosonische und fermionische Zustandssummen, dynamische Observablen

Schwere QuarkoniaSchwere Quarkonia in einem Plasma: das Schmelzen der Bindungszustände,ein effektives Potential für Bottomium

Das Quark-Gluon PlasmaEine Darstellung der kinetische Theorie

SimulationDiskretisierung der Bewegungsgleichungen und Ergebnisse


Grundlagen


Grundlagen

Ein Überblick über die Grundlagen der Thermischen Feldtheorie


Grundlagen

Ausgangspunkt der thermischen QFT:

€

Z = Tr(e−β ( H −μN ))

Idee: Interpretation von ß als euklidische Zeit und Formulierung als Pfadintegral


Grundlagen: Bosonen

Darstellung der Spur:

€

Tr(O) = dφ(x)∫x

∏ < φ | O | φ >

€

Z = dφ(x) < φ | e−β ( H −μN ) | φ >∫x

∏

Bosonische Zustandssumme:


Grundlagen: Bosonen

Entwicklung in ein Pfadintegral

3. Schritt: Identitäten

a) b)

c)

€

<φ | π >= exp(i d3xπ (x∫ )φ(x))

€

<φ1 | φa >=δ(φ1 − φa )

€

e− H

τ

N ≅N →∞

(1− Hτ

N)

€

Z = D πD φexp i dτ0

β

∫ d3x iπ∂φ

∂t−H (φ,π ) + μN (φ,π )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟∫

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

φ(β )=φ(0)

∫

Zustandsumme:


Grundlagen: Bosonen

Zustandssumme der Yang-Mills Theorie

€

Z = [dAaμ ]δ(F b )det

∂F c

∂α d

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟exp dτ d3xLE (τ , x)∫

0

β

∫ ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

A(β )= A (0)

∫Periodische RB Eichfixierung

Übergang:

€

LE = −LM (τ = it)


Grundlagen: Fermionen

Darstellung der Spur:

€

Tr(O) = dcdc*∫ e−c*c < −c | O | c >

€

Z = dφ(x)dφ*(x)e− φ*φ

x

∑< −φ | e−β ( H −μN ) | φ >∫

x

∏

Fermionische Zustandssumme:

antiperiodische RB



Die Zustandssumme als Pfadintegral

€

Z = D φD φ* exp − dτ dx∫ φ+∂0φ + H − μN( )0

β

∫ ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

φ(β )=−φ(0)

∫

Die Herleitung erfolgt analog zum bosonischen Pfadintegral, jedoch über Einschieben von:

€

1 = dφi*(x)dφi(x)∫

x

∏ e− φi

* (x )φi (x )x

∑| φi >< φi |



Zustandssumme der Dirac- Fermionen

€

Z = [idψ +][dψ ]exp − dτ d3xLE (τ , x)∫0

β

∫ ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

ψ (β )=−ψ (0)

∫Antiperiodisch

Übergang:

€

LE = −LM (τ = it,γ M → γ E )


Matsubara Frequenzen

Aufgrund der periodischen Randbedingungen

weisen thermische Felder ein diskretes

Frequenzspektrum auf:

Bosonen:

Fermionen:

€

ωn = 2πnT

€

ωn = (2n +1)πT


Dynamische Observablen

Es sei

€

ˆ O ein Operator im Heisenbergbild mit:

€

ˆ O X (t) ≡ ˆ O (t,x) und

€

ˆ O Y (t) ≡ ˆ O (t, y)

Zweipunktfunktionen dieses Operators ergeben

sich in Minkowskizeit aus der Spektralfunktion:

€

ρ( p0) = dt−∞

∞

∫ 1

2ˆ O X (t), ˆ O Y (0)[ ] e ip0t


Dynamische Observablen

Die Spektralfunktion ergibt sich aus der

euklidischen Korrelationsfunktion

€

ΠE (ωn ) = dτ0

β

∫ ˆ O X (τ ), ˆ O Y (0) e iωnτ

durch analytische Fortsetzung:

€

ρ( p0) = ImΠ E (ωn → −i(p0 + iε))


Schwere Quarkonia


Schwere Quarkonia

Ein effektives Potential für schwere Quarkonia


Motivation

Debye Screening

Durch Wechselwirkung mit dem Plasmaerhalten Gluonen eine thermischen Masse. Screening farbelektrischer Felder

Mit steigender Temperatur unterschreitet derScreening Radius zunehmend die Ausdehnungder Hadronen und es kommt zu einem Zerfallder Bindungszustände.


Motivation

Ein statisches Potential der thermischen QCD

sollte neben der Modifikation der Feldstärke

durch Debye-Screening auch den induzierten

Zerfall der Bindungszustände berücksichtigen.


Ein effektives Potential

Ausgangspunkt:

€

˜ C >(Q) ≡ gμν dt−∞

∞

∫ C>(t) mit

€

C>(t) ≡ d3x∫ J μ (t,x)J μ (0,0)

und

€

J μ (t,x) =ψ (x, t)γ μψ (t,x)

Point Splitting

€

C>(t,r) ≡ d3x∫ ψ (t,x +r

2)γ μWr(t,x +

r

2,x −

r

2)ψ (t, x −

r

2)ψ (0,0)γ μψ (0,0)

Wilson Linie (flux tube)Schrödingergleichung für M:

€

[i∂t − (2M −∇ r

2

M+ ...)]C>(t,r) = 0

Zu bestimmen !



Zur Vereinfachung wird folgender Korrelator

im Übergang M betrachtet:

€

C>(t,r) ≡<ψ (t,r

2)γ μWr(t,

r

2,−

r

2)ψ (t,−

r

2) ×

×ψ (0,−r

2)γ μWr (0,−

r

2,r

2)ψ (0,

r

2) >

Im Übergang M entsprechen die Wilson-

Linien Quark-Propagatoren !



Euklidischer Korrelator

Die Rechnung erfolgt euklidisch mit dem

Korrelator:

€

CE (τ ,r) ≡1

NC

Tr < W (0,r;τ ,r)W (τ ,r;τ ,0) ×

×W (τ ,0;0,0)W (0,0;0,r) >



In führender Ordnung sind folgende

Diagramme zu berechnen:

Wilson Linien, Heavy Quark Propagatoren



mit:

€

C>(t,r) = C>(0)(t,r) + C>

(2)(t,r)

Der Realzeit-Korrelator ergibt sich nach

analytischer Fortsetzung des Ergebnisses als

€

C>(0)(t,r) =11)

2)

€

C>(2)(t,r) = g2CF

d3q

(2π )3∫ e iq3r + e−iq3r − 2

2

it

q2 + Π E (0,q)+

⎧ ⎨ ⎩

€

×1

q2−

1

(q0)2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ρ E (q0,q) +

1

q32

−1

q2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ρT (q0,q)

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

€

+dq0

πnB (q0)

−∞

∞

∫ 1+ eβq0 − e iq0t − eβq0e−iq0t[ ] ×

HTL Beitrag zum Gluon Propagator

Gluonische Spektralfunktionen

Bose Verteilung



Schrödingergl. für M:

€

i∂tC>(t,r) = V>(t,r)C>(t,r)

Die ersten Ordnungen in g lauten:

1)

Das effektive Potential bis zur Ordnung g2

bestimmt sich somit über:€

i∂tC>(0)(t,r) = 0 2)

€

i∂tC>(2)(t,r) = V>

(2)(t,r)C>(0)(t,r)

€

V>(t,r) = V>(2)(t,r) = i∂tC>

(2)(t,r)€

da C>(0)(t,r) =1



Für t ergibt sich schließlich:

€

limt →∞

V>(2)(t,r) = −

g2CF

4πmD +

exp(−mDr)

r

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥−

ig2TCF

4πφ(mDr)

mit:

€

φ(x) = 2dzz

(z2 +1)21−

sin(zx)

zx

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

0

∞

∫

Der Realteil entspricht dem üblichen Potential der thermischen QCD.

Der Imaginärteil wird im folgenden als Zerfallsbreite bezeichnet.


Erwartung für Bottomium

Zur Untersuchung von Bottomium wurde folgende

Schrödingergleichung numerisch gelöst:

€

[i∂t − (2M −∇ r

2

M+ ReVt →∞(r))]C>(t,r) = 0

Bestimmung des Grundzustands über:

Numerov Integration (Wasserstoff GZ für r0) Kopplung und Debyemasse aus dimensions-

reduzierter QCD

Bei Behandlung des Imaginärteils des Potentials

als Störung ergibt sich die Zerfallsbreite über:

€

≅ψGZ ImVt →∞ ψGZ


Erwartung für Bottomium

Erwartete Bindungsenergie und Zerfallsbreite


Beobachtung

Klassischer Grenzfall

Im klassischen Grenzfall verschwindet der Realteil des effektiven Potentials.......während der Imaginärteil vollständig erhalten bleibt. Der Zerfall schwerer Quarkonia ist auf die klassische Dynamik des Quark-Gluon Plasmas zurückzuführen.


Das Quark Gluon Plasma


Das Quark Gluon Plasma

Entwicklung einer kinetischen Theorie des

Quark-Gluon Plasmas


Kinetische Theorie

Skalen der thermischen QCD

k~T (Charakteristische Skala des QGP)Wechselwirkungen zwischen „harten“ Moden erfolgen durch den Austausch „weicher“ Teilchen

k~gT (Skala kollektiver Anregungen)Die Dynamik „weicher“ Moden kann bis auf einen Beitrag durch den Austausch harter Teilchen klassisch approximiert werden (Expansionsparameter: g2T/k)

k~g2T (Nichtperturbativ)Beiträge thermischer Loops höherer Ordnung dominieren.


Kinetische Theorie

Beschreibung des Quark-Gluon Plasmas als System ultrarelativistischer Teilchen in einem klassischem Feld


Kinetische Theorie

Klassische Bewegungsgleichungen für ein spin-

loses Teilchen der Masse M und Farbladung Qa

€

MdX μ

dτ= K μ

€

MdK μ

dτ= −gQaFa

μν Kν

€

MdQa

dτ= gfabcKμ Ab

μQc

1)

2)

3)

Bewegungsgleichung der SR

Bewegung im Eichfeld

Farbwechsel


Kinetische Theorie

Boltzmann Gleichung

€

˙ X μ∂

∂X μ+ ˙ K μ

∂

∂K μ+ ˙ Q a

∂

∂Qa

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ f (X,K,Q) = C[ f ]

Verteilung Kollisionsterm

EOM, C[F]=0

€

Kμ

∂

∂X μ+ gQaFa

μν ∂

∂K ν+ gfabc Ab

μQc

∂

∂Qa

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟f (X,K,Q) = 0


Kinetische Theorie

Feldgleichung und Strom

€

Dν Faνμ (X) = Ja

μ (X)Feldgleichung:

Strom:

€

Jaμ (X) = ja

μ

Teilchen ,Spins

∑ (X)

mit:

€

jaμ (X) = g dK∫ dQK μQa f (X,K,Q)

≡ g dK∫ jaμ (X,K)


Kinetische Theorie

Expansion der Distributionsfunktion

Eine Lösung der Boltzmann- und Feldgleichung

erfolgt durch Expansion der Distribution nach g:

€

f = f (0) + gf (1) + g2 f (2) + ...

Die Gleichgewichtsverteilung f(0) (Boseverteilung

für Gluonen, Fermiverteilung für Quarks) ist

hierbei von Q und X unabhängig


Kinetische Theorie

Boltzmann Gleichung und Strom in führenderOrdnung

€

Kμ

∂

∂X μ+ gfabc Ab

μQc

∂

∂Qa

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ f (1)(X,K,Q) =

KμQaFaμν ∂

∂K νf (0)(K 0)

Boltzmann:

€

jaμ (X) = g2 dK∫ dQK μQa f (1)(X,K,Q)

≡ dK∫ jaμ (X,K)

Strom:


Kinetische Theorie

Der Farbstrom erfüllt die Gleichung:

€

Kν Dabν jb

μ (X,K) = g2K μKν Fbνρ ∂

∂Kρ

dQQaQb f (0)(K 0)∫

€

Nn(K 0)δab (Gluonen)

(1/2) ˜ n (K 0)δab (Quarks)

Summation über alle Teilchen liefert schließlich:

€

Kν DXν J μ (X,K) = 2g2K μK ν Fν 0

d

dK0

Nn(K 0) + N f ˜ n (K 0)[ ]


Kinetische Theorie

Ist eine Lösung der Gleichung

so gilt:

€

vν DXν W μ (X,v) = F μν (X)vν , v = (1,

r v )

€

W μ (X,v) = vν dτU(X, X − vτ )0

∞

∫ F μν (X − vτ )U(X − vτ , X)

Explizite Lösung:

€

jμind (X) = dK∫ J μ (X,K) = 2m2vμ

dΩ

4πW 0(X,v)∫

€

W μ (X,v)

Wilson Linien


mit:

Abweichung vom Equilibrium

ultrarelativistische Teilchen- geschwindigkeit

Kinetische Theorie

Bewegungsgleichungen der kin. Theorie

1) 2)

€

(Dν Fνμ )a = jμa

€

jμa (x) = mD

2 dΩυ

4π∫ vμW

a (x,v)

€

(vμ Dμ )abW b (x,v) = v μ F0μa (x)

€

W a (x,v) :

€

v = (1,v) :


Simulation


Aufgabenstellung und Idee

Aufgabenstellung Nichtperturbative Untersuchung der thermischen

Zerfallsbreite schwerer Quarkonia Vermessung der Spektralfunktion schwerer

Quarkonia

Idee Diskretisierung der kinetischen Theorie und

Simulation bei nahezu kontinuierlicher Zeit Vermessung des Wilson Loops und Simulation

von Quarks endlicher Masse über NRQCD


EOM: Kinetische Theorie

Diskretisierung der Bewegungsgleichungen

Zur Diskretisierung der kinetischen Theorie

sind die diskretisierten Bewegungsgleichungen

der Hard-Thermal Loops über den Strom an

die Bewegungsgleichungen der diskretisierten

Yang-Mills Theorie zu koppeln...



Diskretisierung der Bewegungsgleichungen

... hierzu ist zunächst zu berücksichtigen daß

die W(x,v) eine sphärische Winkelabhängigkeit

aufweisen.

Diskretisierung der W(x,v) über Kugel-flächenfunktionen



Expansion in Kugelflächenfunktionen

€

W a (x,v) = W lma (x)Ylm (v)

l=−m

m

∑l= 0

∞

∑

Einsetzen in die Bewegungsgl. 2) liefert:

€

∂W lma (x)

∂t= −Clm,l 'm',i(Di)

abW l 'm'a (x) + δ l,1vmiE i

a (x)

mit Koeffizienten:

€

vmi = dΩv∫ Y1m* (v)v i

€

Clm,l 'm ',i = dΩv∫ Ylm* (v)v iYl 'm'

* (v)



Darstellung des Stroms harter Moden und des

Gaußschen Gesetzes in Kugelflächenfunktionen

Darstellung des Stroms

Gaußsches Gesetz

€

jia =

mD2

4πvmi

* W1ma , j0

a =mD

2

4πW00

a

€

(D ⋅E)a = j0a =

mD2

4πW00

a



Diskretisierte Bewegungsgleichungen

€

Δ tU i(x, t) = exp(iδ t E i(x, t))U i(x, t −1

2δt )

€

Δ t E i(x, t) = δt

1

NT a ImTr T a U ij (x, t)

j ≠ i

∑ ⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥+

1

2ji(x, t) + Pi ji(x + i, t)[ ]

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

1)

2)

3)

€

Δ tW lm (x, t) = −δtClm,l 'm',i PiW l 'm' (x + i, t) + P−iW l 'm '(x − i, t)[ ]

€

−δt 2δ l1vmiEave,i(x, t)( )

Strom:

€

ji(x, t) =(amD )2

4πvmi

* W1m (x, t)Gauß:

€

E i(x, t +1

2δt ) − P−iE i(x − i, t +

1

2δ t )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

i

∑ = −(amD )2

4 πW00(x, t) + W00(x, t + δt )( )Skalierung: ,

€

x → ax

€

t →a

2Nt


Thermodynamik

Der statistische Aspekt der Simulation wird durch Mittelung der Ergebnisse über verschiedene Ausgangskonfigurationen berücksichtigt (Ensemblemittelung)

Die Wahl der Ausgangskonfigurationen ist hierbei über eine in der Zustandssummeauftretende Gaußverteilung festgelegt.


Observablen: Wilson-Loop

Der Wilson-Loop im Kontinuum:

€

C>(t,r) ≡1

NC

Tr < W (0,r;t,r)W (t,r;t,0) ×

€

×W (t,0;0,0)W (0,0;0,r) >

Die Wilson-Linie ist gegeben durch:

€

W (t1, x1;t0,x0) = P exp −ig dx μ

t0 ,x0

t1 ,x1

∫ Aμa (x)T a

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

Pfadordnung

€

W (ζ ) = U i(x)ζ :räumlich

∏ Die Wilsonlinie in temporaler Eichung:

Diskretisierung: Wilson Loop

Der Wilson Loop ist somit gegeben durch:

€

C>(t,r) =1

NC

Tr U(t,r)U +(0,r)( )


Observablen: Wilson-Loop


Fragen?


EOM: Quark- Propagatoren

Nichtrelativistische QCD im Kontinuum

Transformation:

€

ψ → e iSψ , S =1

2mDiγ

i

€

LD (x) =ψ (iDμγ μ − m)ψ

€

ψ (iDoγ0 +

1

2mD i

2 )ψ + O(1

m2)

diagonal

Greensfunktionen für Quarks und Antiquarks:

€

iDt +1

2mDi

2 ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟G(x,y) = iδ 4 (x − y)1

€

iDt −1

2mDi

2 ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ˜ G (x,y) = iδ 4 (x − y)1

Schrödingergleichung


EOM: Quark-Propagatoren

Diskretisierte Bewegungsgleichungen in

temporaler Eichung

€

Δ tG(x, t) = −i

2Nδ t

ˆ H QG(x, t) − i1δ t 0δx0

€

Δ t˜ G (x, t) = −

i

2Nδ t

ˆ H Q* ˜ G (x, t) − i1δ t 0δx0

€

ˆ H Q = −Δ iΔ−i

2ammit und

€

Δ iϕ (x) = U i(x)ϕ (x + i) −ϕ (x)

€

Δ−iϕ (x) = ϕ (x) −U−i(x)ϕ (x − i)


Observablen: Dilepton-Rate

Produktionsrate für Dileptonen (z.B. )

mit Gesamtimpuls Q im Kontinuum

€

dΓ

d4Q= −

e2

3(2π )5Q21+

2mμ2

Q2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 1−

4mμ2

Q2

2nb (q0)

1+ 2nb (q0)gμν ReΠ μν

T (Q)€

μ+,μ−

€

ΠμνT (Q) = dt

−∞

∞

∫ d3∫ x ˆ T Jν (x)Jμ (0)( ) e iQx

€

Jμ (x) =2

3eψ (x)γ μψ (x)

Simulation: <Jν(x)Jμ(0)>=0 für t<0

mit:

€

nb (q0) =1/(eq0

T −1)


Observablen: Dilepton-Rate

€

=4

9e2 dt

0

∞

∫ d3∫ x ψ (x)γυ ψ (x)ψ (0)γ μψ (0) e iQx + O(1

M 2)

Die nichtrelativististische Dileptonrate in

führender Ordnung

€

ΠμνT (Q)

€

dt0

∞

∫ d3∫ x Jν (x)Jμ (0) e iQx + O(1

M 2)

Auswertung über Wicksches Theorem/ NRQCD

(Propagatoren in der NRQCD diagonalisiert!)

€

−gμν Π μνT (Q) =

8

3e2 Re dt

0

∞

∫ d3xTr(G ˜ G T )e iQx∫aus Simulation


Zusammenfassung

Die Zustandssumme entspricht einem euklidisches Pfadintegralmit (anti-)periodischen Randbedingungen

Yang-Mills Theorie mit Dirac- Fermionen:

Die physikalische Spektralfunktion ergibt sich aus der euklidischen Theorie über:

€

Z = Tr(e−β ( H −μN ))

€

ρ( p0) = ImΠ E (ωn → −i(p0 + iε))€

Z = [dAaμ ][(i)dψ (+)]δ(F b )det

∂F c

∂α d

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟exp dτ LE (τ )

0

β

∫ ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

A(β )= A (0)ψ (β )=−ψ (0)

∫


Initialisierung der Felder

Gaußverletzungen bei der Initialisierung derFelder werden vermieden indem lediglich dieW(l,m) für l>1 über eine Gaußverteilungermittelt werden

Eine Verteilung der Energie auf die übrigenFelder erfolgt durch mehrfache Anwendung der Bewegungsgleichungen

Der Prozeß wird schrittweise wiederholt bis die Felder vollständig thermalisiert sind.


Thermalisierung

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