Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I ... - uni-kassel.de
Transcript of Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I ... - uni-kassel.de
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
1
Elek
trom
agne
tisch
e Fe
ldth
eorie
I (E
FT I)
/El
ectr
omag
netic
Fie
ld T
heor
y I (
EFT
I)
7th
Lect
ure
/ 7.
Vor
lesu
ng
Univ
ersi
ty o
f Kas
sel
Dep
t. El
ectr
ical
Eng
inee
ring
/ Co
mpu
ter
Scie
nce
(FB
16)
Elec
trom
agne
tic F
ield
The
ory
(FG
TET
)W
ilhel
msh
öher
Alle
e 71
Off
ice:
Roo
m 2
113
/ 21
15D
-341
21 K
asse
l
Univ
ersi
tät K
asse
lFa
chbe
reic
h El
ektr
otec
hnik
/ In
form
atik
(F
B 16
)Fa
chge
biet
The
oret
isch
e El
ektr
otec
hnik
(F
G T
ET)
Wilh
elm
shöh
er A
llee
71Bü
ro: R
aum
211
3 /
2115
D-3
4121
Kas
selDr.
-Ing
. Ren
éM
arkl
ein
mar
klei
n@un
i-ka
ssel
.de
http
://w
ww
.tet.e
-tec
hnik
.uni
-kas
sel.d
eht
tp:/
/ww
w.u
ni-k
asse
l.de/
fb16
/tet
/mar
klei
n/in
dex.
htm
l
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
2
Pois
son
and
Lapl
ace
Equa
tion
/ Po
isso
n-un
d La
plac
e-G
leic
hung
Coul
omb
Inte
gral
/ C
oulo
mb-
Inte
gral
:
3e
e0
e e
know
n /
(
b
)1
()
4|
|
():
ekan
ntun
know
n / u
nbek
annt
():
sVd
ρπε
ρ
′Φ
=−
Φ
′′
′
∫∫∫R R
RR
R
R
R
ee
0e
e
for /
Poiss
on E
quat
ion
/ fü
rPo
isson
-Gle
ichu
ng
for /
Lapl
ace
Equa
ti
()
()
0
()
0on
/ fü
rLa
plac
e-G
leic
h(
)0
un
g
ρρ
ε
ρ
−≠
∆Φ
=
=
RR
RR
e0
()
0s s
V Vρ
≠∈
∈
RR
R
Lim
ited
Sour
ce V
olum
e /
Begr
enzt
es Q
uellv
olum
en
2La
plac
e O
pera
tor /
Lap
lace
-Ope
rato
r
:∆=∇
=∇
∇i
ES F
ield
s –
Coul
omb
Inte
gral
/ E
S Fe
lder
–Co
ulom
b-In
tegr
al
x
z
sVy
e()
ρ′
R ′R
R
||′
−R
Re(
)Φ
R
Sour
ce P
oint
/
Que
llpun
kt
Obs
erva
tion
Poin
t /
Beob
acht
ungs
punk
t
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
3
z
sVy
x
e()
ρ′
R ′R
R
||′
−R
Re(
)Φ
R e
3e
e0
3e
0
4(
)
3e
e0
0(
)
11
()
()
4|
|
11
()
4|
|
11
4(
)(
)(
)4
s
s
sV
V
V
d
d d
πδ
ρρπε
ρπε
πδρ
ρπε
ε
′=−
′
− =
∆Φ=
∆−
=∆
−
=−
−=−
′′
′
′′
′
′′
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
R
R
R
RR
RR
R R
R
RR
R
RR
RR
3e
e0
e e
know
n /
(
b
)1
()
4|
|
():
ekan
ntun
know
n / u
nbek
annt
():
sVd
ρπε
ρ
′Φ
=−
Φ
′′
′
∫∫∫R R
RR
R
R
R
Coul
omb
Inte
gral
/ C
oulo
mb-
Inte
gral
: ()
1
4w
ithδ
π∆
=−
−−
′′
RR
RR
ES F
ield
s –
Coul
omb
Inte
gral
/ E
S Fe
lder
–Co
ulom
b-In
tegr
al(..
.)
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
4
ES F
ield
s –
Gre
en’s
Fun
ctio
n /
ES F
elde
r –
Gre
ensc
he F
unkt
ion
ES e
3e
3e
0
)
e0
(()
1(
)4
||
11
1(
)4
||
s
s
V
V
G
d
d
ρπε
ρε
π
′=
−′Φ
=−
=
′′
′′
−′
∫∫∫
∫∫∫R
R
RR
RR
R RR
RR
z
:Sou
rce V
olum
e /
Que
llvol
umen
sV
y
x
e()
ρ′
R ′R
R
||′
−R
Re(
)Φ
R
for /
für
′≠
RR
ES e1
1(
)4
||
Gπ
′−
=−
′R
RR
R
Elec
tros
tatic
Gre
en’s
Fun
ctio
n /
Elek
tros
tatis
che
Gre
ensc
he F
unkt
ion
e1
()
4|
|eQ π
+Φ
=−
RR
R
Elec
tros
tatic
Pot
entia
l of a
n El
ectr
osta
tic P
oint
Cha
rge
/ El
ektr
osta
tisch
es P
oten
tial e
iner
ele
ktro
stat
isch
en P
unkt
ladu
ng ee
f
(
or
)/ f
ür(
)Q
ρδ
+=
−R
RR
Nor
mal
ized
Pot
entia
l of
a Po
int C
harg
e /
Nor
mie
rtes
Pot
entia
l ei
ner
Punk
tladu
ng
()
ES e
(
)w
ithG
δ′
∆−
=−
−′
RR
RR
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
5
Boun
dary
Con
ditio
ns /
Ran
dbed
ingu
ngen
()
()
ee0
e0
ee
0r
cons
t.
(0
V)
1(
)n
ηεε
Φ=Φ
=Φ
=
∂Φ
=−
∂
R RR
Med
ium
nB
(oun
dary
)S
∈R
()
()
e,
,(
)Φ
ER
DR
R
Elec
tros
tatic
(ES)
Fie
lds
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r
e()
ηR
e()
pec/
iel
σ→
∞R
Diri
chle
t Bou
ndar
y Co
nditi
ons
for Ф e
/ D
irich
let-
Rand
bedi
ngun
g fü
r Ф e
Neu
man
n Bo
unda
ry C
ondi
tions
for Ф e
/ N
eum
ann-
Rand
bedi
ngun
g fü
r Ф e
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
6
e2
22
e0
e2
22
e
for /
Poiss
on E
quat
ion
/ fü
rPo
isson
-Gle
ichu
ng
for /
Lapl
ace
Equa
tion
/ fü
(,
,)
(,
,)
0
(,
,)
0(
,,
)r
Lapl
ace-
Gle
0ic
hung
xy
zx
yz
xy
zx
yz
xy
z
ρρ
ε
ρ
−≠
∂
∂∂
+
+Φ
=
∂∂
∂
=
ES F
ield
s /
ES F
elde
rPo
isso
n an
d La
plac
e Eq
uatio
n /
Pois
son-
und
Lapl
ace-
Gle
ichu
ng (2
)El
ectr
osta
tic(E
S) F
ield
s –
Pois
son
and
Lapl
ace
Equa
tion
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r –
Pois
son-
und
Lapl
ace-
Gle
ichu
ng (3
)La
plac
e O
pera
tor
in C
arte
sian
Coo
rdin
ates
/ La
plac
e-O
pera
tor
in K
arte
sisc
hen
Koor
dina
ten
Exam
ple:
pn
Junc
tion
–pn
Dio
de /
Be
ispi
el: p
n-Üb
erga
ng –
pn D
iode
2
e2
for /
für
for /
für
0
d(
)d
0
en
ep
nd
xe
xx
nx
dε
−−
≤≤
Φ
=
≤≤
+ + + +
−−
−−
−−
−−
−−
−−
nd−pd
0x
Exam
ple:
/ B
eisp
iel:
22
e2
2(
,)
0x
yx
y
∂∂
+Φ
=
∂
∂
x
ye
10 V
Φ=
e0
VΦ
=e
0 V
Φ=
e0
VΦ
=
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es /
Se
para
tion
der
Varia
blen
!
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
7
Elec
tros
tatic
(ES)
Fie
lds
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
rPo
int C
harg
e(s)
: Mon
opol
e, D
ipol
e, a
nd Q
uadr
upol
e/
Punk
tladu
ng(e
n): M
ono-
, Di-
und
Qua
drup
ol
Appl
icat
ion:
Num
eric
al S
olut
ion
of U
nbou
nded
Sta
tic P
robl
ems
/ An
wen
dung
: Num
eris
che
Lösu
ng v
on u
nbeg
renz
ten
stat
isch
en
Prob
lem
ene
e0(
)(
)ρε
∆Φ=−
RR
Prob
lem
: Par
alle
l Pla
te C
apac
itor
in a
n Un
boun
ded
Regi
on /
Pr
oble
m: P
aral
lele
r Pl
atte
nkon
dens
ator
in e
inem
unb
egre
nzte
n G
ebie
t
e+ηeη−
Elec
tros
tatic
Sur
face
Cha
rges
/
Elek
tros
tatis
che
Fläc
henl
adun
gen
Para
llel P
late
s /
Para
llele
Pla
tten
Num
eric
al S
olut
ion:
We
need
to S
peci
fy B
ound
ary
Cond
ition
s at
the
Boun
darie
s of
the
Sim
ulat
ion
Area
whi
ch
is a
lway
s bo
unde
d. /
N
umer
isch
e Lö
sung
: Wir
müs
sen
für
die
Ränd
er d
es
num
eris
chen
Sim
ulat
ions
gebi
etes
, wel
ches
imm
er
begr
enzt
ist,
Rand
bedi
ngun
gen
spez
ifizi
eren
.
e+ηeη−
Out
line
of th
e Pr
oble
m /
En
twur
f des
Pro
blem
s
Boun
dary
Co
nditi
on (B
C) ?
/
Rand
bedi
ngun
g (R
B) ?
Ope
n Bo
unda
ry
Cond
ition
(OBC
) ? /
O
ffen
e Ra
nd-
bedi
ngun
g (O
RB) ?
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
8
Poin
t Cha
rge(
s): M
onop
ole,
Dip
ole,
and
Qua
drup
ole
/ Pu
nktla
dung
(en)
: Mon
o-, D
i-un
d Q
uadr
upol
Elec
tros
tatic
(ES)
Fie
lds
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r
ee
()
()
Qρ
δ+
=−
RR
Rz
y
x
Mon
opol
e /
Mon
opol
One
Poi
nt C
harg
e /
Eine
Pun
ktla
dung
ee
e(
)(
)(
)Q
Qρ
δδ
+−
=−
−−
RR
RR
Rz
y
x
Dip
ole
/ D
ipol
Two
Poin
t Cha
rges
/Zw
ei P
unkt
ladu
ngen
4(
)()
ee
1(
)(
)i
i
iQ
ρδ
==
−∑
RR
Rz
y
x
Qua
drup
ole
/ Q
uadr
upol
Four
Poi
nt C
harg
es /
Vier
Pun
ktla
dung
en
eQ d
d
eQ
eQ− d
eQ−
eQ−
eQ
eQ(1
)(2
)(1
)(2
)e
ee
e
(3)
(4)
(3)
(4)
ee
ee
,
,
22
22
,
with
/ m
it
,
22
22
yz
yz
yz
yz
dd
dd
dd
dd
=−
=+
==−
+
=−
=−
−=
=−
Re
eR
ee
Re
eR
ee
w
it
h /
22
mit z
zd
d+
−=
=−
Re
Re
with
/ m
it
+=
R0
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
9
Poin
t Cha
rge(
s): M
onop
ole,
Dip
ole,
and
Qua
drup
ole
…/
Punk
tladu
ng(e
n): M
ono-
, Di-
und
Qua
drup
ol ..
.
Elec
tros
tatic
(ES)
Fie
lds
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r
Arbi
trar
y Po
int C
harg
e /
Belie
bige
Pun
ktsl
adun
gsve
rtei
lung
en
z
y
x
e()
ρR
3e
e0
11
()
()
4|
|d
ρπε
′∞ =−∞
′′
Φ=
′−
∫∫∫ R
RR
RR
R
Expa
nsio
n of
in a
Tay
lor S
erie
s for
yiel
ds:
Entw
ickl
ung
von
in e
ine
Tayl
or-R
eihe
für
ergi
bt
1
||
′ =′
−R
0R
R
35
11
11
13
2|
|
H
ighe
r Ord
er T
erm
s / T
erm
e hö
here
r Ord
nung
:RR
R
′
′′
′′
=+
+−
+
′
−R
RR
RR
RR
IR
RR
ii
ii
HOT
HOT
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
10
Poin
t Cha
rge(
s): M
onop
ole,
Dip
ole,
and
Qua
drup
ole
…/
Punk
tladu
ng(e
n): M
ono-
, Di-
und
Qua
drup
ol ..
.
Elec
tros
tatic
(ES)
Fie
lds
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r
3e
e0
3e
35
0
3e
23
0
11
()
()d
4|
|
11
11
13
()d
42
11
11
13
()d
42
RR
R
RR
R
ρπε
ρπε
ρπε
′ ′ ′∞ =−∞
∞ =−∞
∞ =−∞
′′
Φ=
′−
′′′
′′
′′
=+
+−
+
′′′
′′
′′
=+
+−
+
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
R R R
RR
RR
R
RR
RR
RR
RI
RR
R
RR
RR
RR
RI
RR
R
ii
ii
ii
ii
HOT
HOT
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
11
Poin
t Cha
rge(
s): M
onop
ole,
Dip
ole,
and
Qua
drup
ole
…/
Punk
tladu
ng(e
n): M
ono-
, Di-
und
Qua
drup
ol ..
.
Elec
tros
tatic
(ES)
Fie
lds
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r
()
1
33 3 3 3
3
′′
=
=
=
′′
′′
′′
′′
−=
−
′′
′′
=−
′′
′′
=−
′′
′′
=−
′′
=−
R
RR
:I
RR
RR
RI
RR
R:R
RR
RR
IR
RR
:RR
RR
RR
RR
:RR
RR
RR
:RR
RR
:I
RR
:R
RI
ii
ii
ii
ii
i
3e
e2
30
11
11
1(
)3
()d
42
RR
Rρ
πε′∞ =−
∞
′′′
′′
′′
Φ=
++
−+
∫∫∫R
RR
RR
RR
RR
IR
RR
ii
ii
HOT
()
3e
e2
30
11
11
1(
)3
()d
42
RR
Rρ
πε′∞ =−
∞
′′′
′′
Φ=
++
−+
∫∫∫R
RR
RR
R:
RR
IR
Ri
HOT
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
12
Poin
t Cha
rge(
s): M
onop
ole,
Dip
ole,
and
Qua
drup
ole
…/
Punk
tladu
ng(e
n): M
ono-
, Di-
und
Qua
drup
ol ..
.
Elec
tros
tatic
(ES)
Fie
lds
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r
()
e
e
3e
e0
3e
23
0
3e
0
3e
2
11
()
()d
4|
|
11
11
13
()d
42
11
()d
4
1
()
d
Q
RR
R
R R
ρπε
ρπε
ρπε
ρ
′ ′
′
′
∞ =−∞
∞ =−∞
∞ =−∞
=
∞ =−∞
=
′′
Φ=
′−
′′′
′′
=+
+−
+
′
′=
′′
′+
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫
R R
R R
p
RR
RR
R
RR
RR
:R
RI
RR
RR
RR
RR
i
i
HOT
()
e
3e
31
1
()
d3
2R
ρ′∞ =−
∞
=
′
′′
′
+
−+
∫∫∫R
q
RR
RR
:R
RI
HOT
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
13
Poin
t Cha
rge(
s): M
onop
ole,
Dip
ole,
and
Qua
drup
ole
…/
Punk
tladu
ng(e
n): M
ono-
, Di-
und
Qua
drup
ol ..
.
Elec
tros
tatic
(ES)
Fie
lds
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r
()
e
e
e
3e
e0
3e
2
3e
3
11
()
()d
4
1
()
d
11
(
)d
32
Q
R R
R
ρπε
ρ
ρ
′
′
′
∞ =−∞
=
∞ =−∞
=
∞ =−∞
=
′
′Φ
=
′′
′+
′
′′
′
+
−+
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
R R
p
R
q
RR
R
RR
RR
RR
RR
:R
RI
i
HOT
ee
23
ee
0
11
11
1ˆ
ˆˆ
()
34
2
Hig
her O
rder
Ter
ms /
Ter
me
höhe
rer O
rdnu
ng
:
QR
RR
πε
Φ
=+
+−
+
R
pR
q:
RR
Ii
HOT
HOT
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
14
Poin
t Cha
rge(
s): M
onop
ole,
Dip
ole,
and
Qua
drup
ole
…/
Punk
tladu
ng(e
n): M
ono-
, Di-
und
Qua
drup
ol ..
.
Elec
tros
tatic
(ES)
Fie
lds
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r
Arbi
trar
y Po
int C
harg
e /
Belie
bige
Pun
ktsl
adun
gsve
rtei
lung
en
z
y
x
e()
ρR
3e
e()d
Qρ
∞ =−∞
′′
=∫∫∫ R
RR
Mon
opol
e M
omen
t /
Mon
opol
mom
ent
Dip
ole
Mom
ent /
D
ipol
mom
ent
Qua
drup
ole
Mom
ent /
Q
uadr
upol
mom
ent
3e
e(
)d
ρ∞ =−∞
′′
′=∫∫∫ R
pR
RR
3e
e(
)d
ρ∞ =−∞
′′
′′
=∫∫∫ R
qR
RR
R
3e
e0
11
()
()d
4|
|ρπε
′∞ =−∞
′′
Φ=
′−
∫∫∫R
RR
RR
R
Expa
nsio
n of
in a
Tay
lor S
erie
s for
yiel
ds :
Entw
ickl
ung
von
in e
ine
Tayl
or-R
eihe
für
ergi
bt
1
||
′ =′
−R
0R
R
ee
23
ee
0
11
11
1ˆ
ˆˆ
()
34
2
Hig
her O
rder
Ter
ms /
Ter
me
höhe
rer O
rdnu
ng
:
QR
RR
πε
Φ
=+
+−
+
R
pR
q:
RR
Ii
HOT
HOT
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
15
Poin
t Cha
rge(
s): M
onop
ole,
Dip
ole,
and
Qua
drup
ole
/ Pu
nktla
dung
(en)
: Mon
o-, D
i-un
d Q
uadr
upol
Elec
tros
tatic
(ES)
Fie
lds
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r
ee
e0,
,
Q≠
==
p0
q0
z
y
x
Mon
opol
e M
omen
t /
Mon
opol
mom
ent
One
Poi
nt C
harg
e /
Eine
Pun
ktla
dung
z
y
x
Dip
ole
Mom
ent /
D
ipol
mom
ent
Two
Poin
t Cha
rges
/Zw
ei P
unkt
ladu
ngen
z
y
x
Qua
drup
ole
Mom
ent/
Q
uadr
upol
mom
ent
Four
Poi
nt C
harg
es /
Vier
Pun
ktla
dung
en
eQ d
d
eQ
eQ− d
eQ−
eQ−
eQ
eQ
ee
e0,
,
Q=
≠=
p0
q0
ee
e0,
,
Q=
=≠
p0
q0
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
16
Elec
tros
tatic
Dip
ole
/ El
ektr
osta
tisch
er D
ipol
Elec
tros
tatic
(ES)
Fie
lds
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r
ee
e
ee
()
()
()
()
()
22
zz
dd
ρδ
δ
δδ
+−
=−
−−
=−
−+
RR
RR
R
Re
Re
z
y
x
d
eQ
eQ−
with
2
2z
z
d
d
+ −
= =−
Re
Re
+R
−R
ee
0
11
()
4Q πε+
−
Φ=
−
−
−
R
RR
RR
Elec
tros
tatic
Dip
ole
Mom
ent /
Ele
ktris
che
Dip
olm
omen
t
zd
=d
e
Dis
tanc
e Ve
ctor
/Ab
stan
dsve
ktor
22
zz
zd
dd
+−
=−
=+
=d
RR
ee
e
33
ee
ee
33
ee
ee
ee
()
d(
)(
)d
()
()
()
Qd
Qd
ρδ
δ
δδ
′′
′′
+−
∞∞
+−
=−∞
=−∞
∞∞
+−
+−
+−
=−∞
=−∞
==
′′
′′
′′
′=
=−
−−
′′
′′
′′
=−
−−
=−
=−
=
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
RR
RR
RR
pR
RR
RR
RR
RR
RR
RR
RR
RR
RR
RR
d
Elec
tros
tatic
Vol
ume
Char
ge D
ensi
ty /
Elek
tros
tatis
che
Raum
ladu
ngsd
icht
e
Elec
tros
tatic
Pot
entia
l / E
lekt
rost
atis
ches
Pot
entia
l
e3
30
()
4Q πε+
−
+−
−−
=−
−−
RR
RR
ER
RR
RR
Elec
tros
tatic
Fie
ld S
tren
gth
/ El
ektr
osta
tisch
e Fe
ldst
ärke
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
17
Elec
tros
tatic
Dip
ole
/ El
ektr
osta
tisch
er D
ipol
Elec
tros
tatic
(ES)
Fie
lds
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r
z
y
x
d
eQ
eQ−
+R
−R
zd
=d
e3
ee
3e
e
33
ee
ee
e
() (
)(
)
()
()
22
zz
d
d
Qd
Qd
dd
Q
ρ
δδ
δδ
′ ′
′′
++
−−
∞ =−∞
∞
+−
=−∞ ∞
∞
+−
=−∞
=−∞
==
++
−−
′′′
′=
′′
′′
′=
−−
−
′′′
′′
′′
′=
−−
−
=−
=
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
R R
RR
RR
RR
qR
RR
R
RR
RR
RR
R
RR
RR
RR
RR
RR
RR
RR
ee
e
22
zz
zz
zz
dd
Qd
d=
−
−−
=−
=0
ee
ee
ee
0
Elec
tros
tatic
Dip
ole
Mom
ent /
Ele
ktro
stat
isch
es D
ipol
mom
ent
ee
eeˆ
Q p
= =
pd p
e eˆ
ee
pQ
Q+
−
+−
==
+
==
+
dR
R
pd
RR
with
/
mit
Elec
tros
tatic
Qua
drup
ole
Mom
ent /
Ele
ktro
stat
isch
es Q
uadr
upol
mom
ent
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
18
Elec
tros
tatic
(ES)
Fie
lds
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
rPo
int C
harg
e(s)
: Mon
opol
e, D
ipol
e, a
nd Q
uadr
upol
e …
/ Pu
nktla
dung
(en)
: Mon
o-, D
i-un
d Q
uadr
upol
... (
2)Ap
plic
atio
n: N
umer
ical
Sol
utio
n of
Unb
ound
ed S
tatic
Pro
blem
s /
Anw
endu
ng: N
umer
isch
e Lö
sung
von
unb
egre
nzte
n st
atis
chen
Pr
oble
men
ee
0()
()
ρε
∆Φ=−
RR
eη+
eη−
With
Diri
chle
t Bou
ndar
y Co
nditi
on /
Mit
Diri
chle
t Ran
dbed
ingu
ngW
ith O
pen
Boun
dary
Con
ditio
n (O
BC) /
Mit
offe
ner
Rand
bedi
ngun
g (O
RB)
ee+
e(
)(
,)
()
(,
)(
)R
yz
xx
yz
xx
ρη
δη
δ+
−−
=−
+−
x
y
ze0
e+
e
(,
)0
else
/ so
nst
(,
)
yy
yy
zz
zz
yz
ηη
η
−+
−+
−
≤≤
=
≤≤
=−
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
19
ES F
ield
s –
Met
hod
of Im
ages
/ E
S-Fe
lder
–Sp
iege
lung
smet
hode
Med
ium
nB(
ound
ary)
Se(
)η
R
e eB
()
p
ec /
iel
()
0, ()
Sσ
→∞
Φ=
∈
⇒=
R RR
n×E
R0
z
y
x
eQ
−∞←
∞→
Be
:(
)0
()
S≠
∈Φ ⇒
≠
RR n×
ER
0B
e:
()
0
(
)S
∈Φ
=
⇒=
RR n×
ER
0
e e kno
wn
/ bek
annt
!,
Q ΦE
unkn
own
/ unb
ekan
nt!
+R
ee
()
()
Qρ
δ+
=−
RR
Re
ee
()
()
()
ρδ
δ+
−=
−−
−R
RR
RR
0z
Boun
dary
Val
ue P
robl
em (B
VP) –
Rand
wer
tpro
blem
(RW
P)
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
20
Be
:(
)0
()
S∈
Φ=
⇒=
RR n×
ER
0
Met
hod
of Im
ages
/ S
pieg
elun
gsm
etho
deEl
ectr
osta
tic (E
S) F
ield
s /
Elek
tros
tatis
che
(ES)
Fel
der
Be
:(
)0
()
S∈
Φ=
⇒=
RR n×
ER
0
ee
0
11
()
4Q πε+
−
Φ=
−
−
−
R
RR
RR
e
e0
11
0(
)4
00
Qz z
πε+
−
−
≥
Φ=
−−
<
RR
RR
R
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
21
Met
hod
of Im
ages
/ S
pieg
elun
gsm
etho
deEl
ectr
osta
tic (E
S) F
ield
s /
Elek
tros
tatis
che
(ES)
Fel
der
Be
:(
)0
()
S∈
Φ=
⇒=
RR n×
ER
0
Med
ium
nB
(oun
dary
)S
e()
ηR
e eB
()
p
ec /
iel
()
0, ()
Sσ
→∞
Φ=
∈
⇒=
R RR
n×E
R0
z
y
x
eQ
−∞←
∞→
Med
ium
nB
(oun
dary
)S
e()
ηR
e eB
()
p
ec /
iel
()
0, ()
Sσ
→∞
Φ=
∈
⇒=
R RR
n×E
R0
z
y
x
eQ
−∞←
∞→
eQ−
+R
+R
−R
Prob
lem
:So
lutio
n /
Lösu
ng:
Imag
e Ch
arge
/
Spie
gella
dung
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
22
ES F
ield
s –
Met
hod
of Im
ages
/ ES
Fel
der
–Sp
iege
lung
smet
hode
Med
ium
nB
(oun
dary
)S
e()
ηR
e eB
()
p
ec /
iel
()
0, ()
Sσ
→∞
Φ=
∈
⇒=
R RR
n×E
R0
z
y
x
eQ
−∞←
∞→
eQ−
+R
−R
Solu
tion
by A
pply
ing
the
Met
hod
of Im
ages
/
Lösu
ng d
urch
Anw
endu
ng d
er S
pieg
elun
gsm
etho
de
Imag
e Ch
arge
/
Spie
gella
dung
e
e0
11
0(
)4
00
Qz z
πε+
−
−
≥
Φ=
−−
<
RR
RR
R
ee
e(
)(
)(
)Q
Qρ
δδ
+−
=−
−−
RR
RR
R
00
with
m
itz
zz
z+
−+
==−
=−
Re
RR
e
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
23
Met
hod
of Im
ages
/ S
pieg
elun
gsm
etho
deEl
ectr
osta
tic (E
S) F
ield
s /
Elek
tros
tatis
che
(ES)
Fel
der
e
e0
11
0(
)4
00
Qz z
πε+
−
−
≥
Φ=
−−
<
RR
RR
R
ee
e(
)(
)(
)Q
Qρ
δδ
+−
=−
−−
RR
RR
R0
0
w
ith
mit
zz
zz
+−
+=
=−
=−
Re
RR
e
e e3
30
0
e3
3
()
()
04
00
()
()
04
00
Qz z
Qz z
πε
ε
π
+−
+−
+−
+−
=−∇
Φ
−
−
−≥
=
−
−
<
=
−
−
−≥
=
−
−
<
ER
R
RR
RR
RR
RR
DR
ER
RR
RR
RR
RR
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
24
ES F
ield
s –
Met
hod
of Im
ages
/ E
S-Fe
lder
–Sp
iege
lung
smet
hode
Med
ium
nB(
ound
ary)
Se(
)η
R
e eB
()
p
ec /
iel
()
0, ()
Sσ
→∞
Φ=
∈
⇒=
R RR
n×E
R0
z
y
x
eQ
−∞←
∞→
Be
:(
)0
()
S≠
∈Φ ⇒
≠
RR n×
ER
0B
e:
()
0
(
)S
∈Φ
=
⇒=
RR n×
ER
0
e e kno
wn
/ bek
annt
!,
Q ΦE
unkn
own
/ unb
ekan
nt!
+R
ee
()
()
Qρ
δ+
=−
RR
Re
ee
()
()
()
ρδ
δ+
−=
−−
−R
RR
RR
0z
Boun
dary
Val
ue P
robl
em (B
VP) –
Rand
wer
tpro
blem
(RW
P)
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
25
Be
:(
)0
()
S∈
Φ=
⇒=
RR n×
ER
0
Met
hod
of Im
ages
/ S
pieg
elun
gsm
etho
deEl
ectr
osta
tic (E
S) F
ield
s /
Elek
tros
tatis
che
(ES)
Fel
der
Be
:(
)0
()
S∈
Φ=
⇒=
RR n×
ER
0
ee
0
11
()
4Q πε+
−
Φ=
−
−
−
R
RR
RR
e
e0
11
0(
)4
00
Qz z
πε+
−
−
≥
Φ=
−−
<
RR
RR
R
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
26
Met
hod
of Im
ages
/ S
pieg
elun
gsm
etho
deEl
ectr
osta
tic (E
S) F
ield
s /
Elek
tros
tatis
che
(ES)
Fel
der
Be
:(
)0
()
S∈
Φ=
⇒=
RR n×
ER
0
Med
ium
nB
(oun
dary
)S
e()
ηR
e eB
()
p
ec /
iel
()
0, ()
Sσ
→∞
Φ=
∈
⇒=
R RR
n×E
R0
z
y
x
eQ
−∞←
∞→
Med
ium
nB
(oun
dary
)S
e()
ηR
e eB
()
p
ec /
iel
()
0, ()
Sσ
→∞
Φ=
∈
⇒=
R RR
n×E
R0
z
y
x
eQ
−∞←
∞→
eQ−
+R
+R
−R
Prob
lem
:So
lutio
n /
Lösu
ng:
Imag
e Ch
arge
/
Spie
gella
dung
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
27
ES F
ield
s –
Met
hod
of Im
ages
/ ES
Fel
der
–Sp
iege
lung
smet
hode
Med
ium
nB
(oun
dary
)S
e()
ηR
e eB
()
p
ec /
iel
()
0, ()
Sσ
→∞
Φ=
∈
⇒=
R RR
n×E
R0
z
y
x
eQ
−∞←
∞→
eQ−
+R
−R
Solu
tion
by A
pply
ing
the
Met
hod
of Im
ages
/
Lösu
ng d
urch
Anw
endu
ng d
er S
pieg
elun
gsm
etho
de
Imag
e Ch
arge
/
Spie
gella
dung
e
e0
11
0(
)4
00
Qz z
πε+
−
−
≥
Φ=
−−
<
RR
RR
R
ee
e(
)(
)(
)Q
Qρ
δδ
+−
=−
−−
RR
RR
R
00
with
m
itz
zz
z+
−+
==−
=−
Re
RR
e
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
28
Met
hod
of Im
ages
/ S
pieg
elun
gsm
etho
deEl
ectr
osta
tic (E
S) F
ield
s /
Elek
tros
tatis
che
(ES)
Fel
der
e
e0
11
0(
)4
00
Qz z
πε+
−
−
≥
Φ=
−−
<
RR
RR
R
ee
e(
)(
)(
)Q
Qρ
δδ
+−
=−
−−
RR
RR
R0
0
w
ith
mit
zz
zz
+−
+=
=−
=−
Re
RR
e
e e3
30
0
e3
3
()
()
04
00
()
()
04
00
Qz z
Qz z
πε
ε
π
+−
+−
+−
+−
=−∇
Φ
−
−
−≥
=
−
−
<
=
−
−
−≥
=
−
−
<
ER
R
RR
RR
RR
RR
DR
ER
RR
RR
RR
RR
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
29
Met
hod
of Im
ages
/ S
pieg
elun
gsm
etho
deEl
ectr
osta
tic (E
S) F
ield
s /
Elek
tros
tatis
che
(ES)
Fel
der
Med
ium
nB(
ound
ary)
S
e()
,xy
xy
xy
η=
+
−∞<
<∞
RR
ee
z
eQ
y−∞
←y→
∞–
––
––
––
+
PEC
/ IE
L
Indu
ced
Elec
tros
tatic
Sur
face
Cha
rge
Den
sity
/ In
duzi
erte
(inf
luez
iert
e) e
lekt
rost
atis
che
Fläc
henl
adun
gsdi
chte
(Inf
luen
z)
Fiel
d Li
nes
of E
/ Fe
ldlin
ien
von
E
With
out t
he M
etho
d of
Imag
es w
e ha
ve to
Sol
ve th
e Fo
llow
ing
Inte
gral
Equ
atio
n fo
r th
e Un
know
n In
duce
d E
lect
rost
atic
Sur
face
Cha
rge
/ O
hne
die
Spie
gelu
ngsm
etho
de m
uss
man
die
folg
ende
In
tegr
algl
eich
ung
für
die
indu
zier
te (i
nflu
ezie
rte)
ele
ktro
stat
isch
e Fl
äche
nlad
ungs
dich
te lö
sen
2e
ee
00
()
1(
)d
04
z
Qη
πε′∞
++
=−∞
=
′
′
Φ=
+=
−′ −
∫∫R
RR
RR
RR
R
Unkn
own
/ Un
beka
nnt
x∞←
x→−∞
e0
f(
or
fr
0ü
) z=Φ
=R
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
30
Met
hod
of Im
ages
/ S
pieg
elun
gsm
etho
deEl
ectr
osta
tic (E
S) F
ield
s /
Elek
tros
tatis
che
(ES)
Fel
der
B
know
nbe
kan
()
ntS
∈=
RD
R
Med
ium
nB(
ound
ary)
S
e()
ηR
z
y
x
eQ
−∞←
∞→
––
––
––
–
+
PEC
/ IE
L
Indu
ced
Elec
tros
tatic
Sur
face
Cha
rge
Den
sity
/
Indu
zier
te (i
nflu
ezie
rte)
ele
ktro
stat
isch
e Fl
äche
nlad
ungs
dich
te (I
nflu
enz)
Fiel
d Li
nes
of E
/ Fe
ldlin
ien
von
EIf
Dis
kno
wn
from
the
Met
hod
of Im
ages
/ Fa
lls D
über
die
Spi
egel
ungs
met
hode
be
kann
t ist
B
B
e
e3
3
e3
30
()
()
0
4
4
for
für
S
S
z
z
Qz
Q
η
π
π
∈
+−
+−
∈
+−
+−
=
=
−−
=−
=
−
−
−−
=−
−−
R
R
Rn
DR
RR
RR
nR
RR
R
RR
RR
eR
RR
R
i i
i
η e(R
) is
Def
ined
by
the
Nor
mal
Com
pone
nt o
f D/ η e
(R) i
st d
efin
iert
übe
r di
e N
orm
alko
mpo
nent
e vo
n D
!
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
31
Met
hod
of Im
ages
/ S
pieg
elun
gsm
etho
deEl
ectr
osta
tic (E
S) F
ield
s /
Elek
tros
tatis
che
(ES)
Fel
der
()
()
()
()
Be
e3
30
e0
03/
23/
22
22
22
20
00
e0
03/
23/
22
22
22
20
0
e0
22
2 0
()
()
4 4 4 2
S
zz
z
z
Q Qz
zz
z
xy
zz
xy
zz
Qz
z
xy
zx
yz
Qz
xy
z
η
π π π
π
∈
+−
+−
=
=
=
−−
=−
−−
−+
=−
++
−+
+−
−
=
−
+
++
+
=−
++
RR
nD
R eR
Re
RR
RR
RR
i
ii
3/2
e0
3/2
22 0
2Qz
rz
π=−
+
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
32
Met
hod
of Im
ages
/ S
pieg
elun
gsm
etho
deEl
ectr
osta
tic (E
S) F
ield
s /
Elek
tros
tatis
che
(ES)
Fel
der
Be
e0
3/2
22 0
()
()
2
S
Qz
rz
η
π
∈= =−
+
RR
nD
Ri
Tota
l Ele
ctric
Cha
rge
at th
e xy
Plan
e at
z=
0 /
Ges
amtla
dung
auf
der
xy
Eben
e be
i z=
0
()
2to
te
0e
3/2
22
00
0
2e
03/
22
20
00
2
e0
3/2
22
00
e0
22
00
0e
dd
2
dd
2
d
11
r
r r
Qz
Qr
rr
z
Qz
rr
rz r
Qz
rr
z
Qz
zr
z
Q
π
ϕ
π
ϕ
π
ϕπ
ϕπ
∞
==
∞ == =
∞ =
→
=−
+
=−
+
=−
+
=
−
→
∞+
=−
∫∫
∫∫
∫3/
22
22
2
1x
dxx
ax
a=−
++
∫
tot
ee
=−
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
33
ES F
ield
s –
Met
hod
of Im
ages
–Ap
plic
atio
ns /
ES
Fel
der
–Sp
iege
lung
smet
hode
–An
wen
dung
en
Eart
h /
Erde
Sing
ular
Poi
nt /
Si
ngul
ärer
Pun
kt
Iono
sphe
re /
Io
nosp
häre
Vert
ical
Str
eam
/
Vert
ikal
stro
m
Dip
ole
Laye
r /
Dip
olsc
hich
t
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
34
ES F
ield
s /
ES F
elde
rPo
isso
n an
d La
plac
e Eq
uatio
n /
Pois
son-
und
Lapl
ace-
Gle
ichu
ng (3
)El
ectr
osta
tic(E
S) F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r –
Sepa
ratio
n de
r Va
riabl
en –
Beis
piel
22
e2
2(
,)
0x
yx
y
∂∂
+Φ
=
∂
∂
x
ye
10 V
Φ=
e0
VΦ
=e
0 V
Φ=
e0
VΦ
=
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es /
Se
para
tion
der
Varia
blen
!
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
35
22
2
e2
22
(,
,)
0x
yz
xy
z
∂∂
∂+
+Φ
=
∂
∂∂
ES F
ield
s /
ES F
elde
rPo
isso
n an
d La
plac
e Eq
uatio
n /
Pois
son-
und
Lapl
ace-
Gle
ichu
ng (3
)El
ectr
osta
tic(E
S) F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es /
El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r –
Sepa
ratio
n de
r Va
riabl
en
Lapl
ace
Equa
tion
/ La
plac
e-G
leic
hung
22
e2
2(
,)
0x
yx
y
∂∂
+Φ
=
∂
∂
3-D
/ 3
D
2-D
/ 2
D
22
ee
22
(,
)(
,)
0x
yx
yx
y∂
∂Φ
+Φ
=∂
∂
Ellip
tic P
artia
l Diff
eren
tial E
quat
ion
/ El
liptis
che
part
ielle
Diff
eren
tialg
leic
hung
e(,
,)
0x
yz
∆Φ=
Lapl
ace
Equa
tion
in C
arte
sian
Coo
rdin
ates
/ La
plac
e-G
leic
hung
in K
arte
sisc
hen
Koor
dina
ten
Func
tion
of T
hree
Var
iabl
es /
Fu
nktio
n vo
n dr
ei V
aria
blen
Func
tion
of T
wo
Varia
bles
/
Funk
tion
von
zwei
Var
iabl
en
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
36
ES F
ield
s /
ES F
elde
rPo
isso
n an
d La
plac
e Eq
uatio
n /
Pois
son-
und
Lapl
ace-
Gle
ichu
ng (3
)El
ectr
osta
tic(E
S) F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es /
El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r –
Sepa
ratio
n de
r Va
riabl
en
Lapl
ace
Equa
tion
/ La
plac
e-G
leic
hung
22
ee
22
(,
)(
,)
0x
yx
yx
y∂
∂Φ
+Φ
=∂
∂
/
e(,
)(
)(
)x
yX
xY
yΦ
=
Redu
zier
e di
e pa
rtie
lle D
iffer
entia
lgle
ichu
ng
(PD
G) a
uf e
ine
gew
öhnl
iche
(ord
inär
e)
Diff
eren
tialg
leic
hung
(GD
G) u
nd fi
nde
eine
Lö
sung
der
PD
G d
urch
Lös
ung
der
GD
G
Lösu
ngss
trat
egi
e:
Redu
ce th
e Pa
rtia
l Diff
eren
tial E
quat
ion
(PD
E) to
an
Ord
inar
y D
iffer
entia
l Equ
atio
n (O
DE)
and
Fin
d a
Solu
tion
of th
e PD
E by
Sol
ving
the
OD
E
Solu
tion
Stra
tegy
:
Ansa
tz o
f Sep
arat
ion
/ Se
para
tions
ansa
tz
Func
tion
of 2
Var
iabl
es:x
and
y/
Funk
tion
von
2 Va
riabl
en: x
und
yFu
nctio
n of
x o
nly
/N
ur e
ine
Funk
tion
von
x
Func
tion
of y
onl
y/
Nur
ein
e Fu
nktio
n vo
n y
Prod
uct o
f 2 F
unct
ions
/Pr
oduk
t aus
2 F
unkt
ione
n
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
37
ES F
ield
s /
ES F
elde
rPo
isso
n an
d La
plac
e Eq
uatio
n /
Pois
son-
und
Lapl
ace-
Gle
ichu
ng (3
)El
ectr
osta
tic(E
S) F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es /
El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r –
Sepa
ratio
n de
r Va
riabl
en
Lapl
ace
Equa
tion
/ La
plac
e-G
leic
hung
22
ee
22
(,
)(
,)
0x
yx
yx
y∂
∂Φ
+Φ
=∂
∂
e(,
)(
)(
)x
yX
xY
yΦ
=An
satz
of S
epar
atio
n/
Sepa
ratio
nsan
satz
[]
[]
22
22
ee
22
22
22
22
(,
)(
,)
()
()
()
()
dd
()
()
()
()
dd
xy
xy
Xx
Yy
Xx
Yy
xy
xy
Yy
Xx
Xx
Yy
xy
∂∂
∂∂
Φ+
Φ=
+∂
∂∂
∂
=+
Inse
rted
in th
e Ab
ove
Lapl
ace
Equa
tion
Yiel
ds/
Eing
eset
zt in
die
obe
re L
apla
ce-G
leic
hung
erg
ibt
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
38
ES F
ield
s /
ES F
elde
rPo
isso
n an
d La
plac
e Eq
uatio
n /
Pois
son-
und
Lapl
ace-
Gle
ichu
ng (3
)El
ectr
osta
tic(E
S) F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es /
El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r –
Sepa
ratio
n de
r Va
riabl
en
22
22
ee
22
22
dd
(,
)(
,)
()
()
()
()
dd
xy
xy
Yy
Xx
Xx
Yy
xy
xy
∂∂
Φ+
Φ=
+∂
∂
22
22
22
22
1d
d1
d1
d(
)(
)(
)(
)(
)(
)0
()
()
()
()
dd
dd
Yy
Xx
Xx
Yy
Xx
Yy
Xx
Yy
Xx
Yy
xy
xy
+=
+=
()(
)
22
22
22
22
22
22
Func
tion
ofFu
nctio
n of
Funk
tion
von
Funk
tion
v
/
/
o
n
0
1d
1d
()
()
0(
)(
)d
d
1d
1d
()
()
()
()
dd
xy
xy
Xx
Yy
Xx
Yy
xy
Xx
Yy
Xx
Yy
xyβ
α
αβ
=−=−
==
=
+=
+=
−+−
22
0α
β+
=Se
para
tion
Cond
ition
/ Se
para
tions
bedi
ngun
g
1(
)(
)X
xY
y
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
39
ES F
ield
s /
ES F
elde
rPo
isso
n an
d La
plac
e Eq
uatio
n /
Pois
son-
und
Lapl
ace-
Gle
ichu
ng (3
)El
ectr
osta
tic(E
S) F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es /
El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r –
Sepa
ratio
n de
r Va
riabl
en
22
2 kα
β=−
=
Sepa
ratio
n Co
nditi
on/
Sepa
ratio
nsbe
ding
ung
We
Obt
ain
Two
OD
E /
Wir
erha
lten
zwei
GD
G
22
2 22
2
d(
)(
)d d
()
(
)d
Xx
kX
xx
Yy
kY
yy
=−
=
With
/ M
it
22
0α
β+
=
Solu
tions
of t
hese
Equ
atio
ns a
re/
Lö
sung
en d
iese
r G
leic
hung
en s
ind
or /
()
cos(
)sin
()
oder or /
()
cosh
()
sinh(
)od
er
Xx
kxkx
Yy
kyky
∼∼
∼∼
For
k=
0 th
ese
Solu
tions
Deg
ener
ate
to /
Fü
r k
= 0
die
se L
ösun
gen
dege
nerie
ren
zu
or /
()
cons
t.od
eror
/(
)co
nst.
oder
Xx
x
Yy
y
∼∼
∼∼
22
2 22
2
d(
)(
)d d
()
(
)d
Xx
Xx
x
Yy
Yy
y
α β
=−
=−
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
40
ES F
ield
s /
ES F
elde
rPo
isso
n an
d La
plac
e Eq
uatio
n /
Pois
son-
und
Lapl
ace-
Gle
ichu
ng (3
)El
ectr
osta
tic(E
S) F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es /
El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r –
Sepa
ratio
n de
r Va
riabl
en
We
Obt
ain
Two
OD
E /
Wir
erha
lten
zwei
GD
G
22
2 22
2
d(
)(
)d d
()
(
)d
Xx
kX
xx
Yy
kY
yy
=−
=
22
22 2
()
()
cos(
)
dd
()
cos(
)d
dd
sin(
)d co
s()
Xx
Xx
kx
Xx
kxx
x kkx
xk
kx=
= = =−
=−
22
22
2
()
()
cos
h()
dd
()
co
sh(
)d
dd
sinh(
)d co
sh(
)Y
y
Yy
ky
Yy
kyy
y
kky
y
ky
=
= = = =
dco
s()
sin(
)d d
sin(
)co
s()
d
kxk
kxx
kxk
kxx
=−
=
22
2 22
2
dco
s()
cos(
)d d
sin(
)sin
()
d
kxk
kxx
kxk
kxx
=−
=−
dco
sh(
)sin
h()
d dsin
h()
cosh
()
d
kxk
kxx
kxk
kxx
= =
22
2 22
2
dco
sh(
)co
sh(
)d d
sinh(
)sin
h()
d
kxk
kxx
kxk
kxx
= =
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
41
ES F
ield
s /
ES F
elde
rPo
isso
n an
d La
plac
e Eq
uatio
n /
Pois
son-
und
Lapl
ace-
Gle
ichu
ng (3
)El
ectr
osta
tic(E
S) F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es /
El
ektr
osta
tisch
e (E
S) F
elde
r –
Sepa
ratio
n de
r Va
riabl
en
22
00
0 (
)co
nst.
cos(
)cos
h()
cosh
()c
os(
)co
s()s
inh(
)co
sh(
)sin
()
sin(
)cos
h()
sinh(
)cos
()
sin(
)sin
h()
sinh(
)sin
()
cos(
)ee
cos(
)
cos(
)ee
cos(
kykx
kyk
x
kk
kk
jkkx
kykx
kyy
kxky
kxky
xkx
kykx
kyxy
kxky
kxky
kxky
kx
′ ′−
−
′=
≥≤
→′
′′
′′
′′
′
′ ′ )
sin(
)ee
sin(
)
sin(
)ee
sin(
)
kykx
kyk
x
ky
kxky
kxky
′ ′−
−
′ ′
Solu
tions
of t
he 2
-D L
apla
ce E
quat
ion
in th
e Ca
rtes
ian
Coor
dina
te S
yste
m /
Lö
sung
en d
er 2
D-L
apla
ce-G
leic
hung
im K
arte
sisc
hen
Koor
dina
tens
yste
m
e(,
)(
)(
)x
yX
xY
yΦ
==
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
42
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es/
ES F
elde
r –
Sepa
ratio
n de
r Va
riabl
en (.
..)
e(,
)(
)(
)co
s()c
osh(
)x
yX
xY
ykx
kyΦ
==
e(,
)0
xy
Φ=
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
43
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ ES
Fel
der
–Se
para
tion
der
Varia
blen
–Be
ispi
el (.
..)
e(,
)(
)(
)co
s()c
osh(
)x
yX
xY
ykx
kyΦ
==
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
44
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ES
Fel
der
–Se
para
tion
der
Varia
blen
–Be
ispi
el (.
..)
e(,
)(
)(
)sin
()s
inh(
)x
yX
xY
ykx
kyΦ
==
e(,
)0
xy
Φ=
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
45
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ES
Fel
der
–Se
para
tion
der
Varia
blen
–Be
ispi
el (.
..)
e(,
)(
)(
)sin
()s
inh(
)x
yX
xY
ykx
kyΦ
==
e(,
)0
xy
Φ=
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
46
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ ES
Fel
der
–Se
para
tion
der
Varia
blen
–Be
ispi
el (.
..)
e(,
)0
xy
Φ=
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
47
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ES
Fel
der
–Se
para
tion
der
Varia
blen
–Be
ispi
el (.
..)
e(,
)0
xy
Φ=
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
48
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Supe
rpos
ition
of M
odes
/
ES F
elde
r –
Sepa
ratio
n de
r Va
riabl
en –
Supe
rpos
ition
von
Mod
en (.
..)
For
Exam
ple,
Con
side
r th
e So
lutio
n/
Bet
rach
te b
eisp
iels
wei
se d
ie L
ösun
g
ee0
(,
)sin
()s
inh(
)x
ykx
kyΦ
=Φ
This
Fun
ctio
ns is
Zer
o fo
r /
Die
se F
unkt
ion
ist g
leic
h nu
ll fü
r
Supe
rpos
ition
of M
odes
to E
nsur
e Bo
unda
ry C
ondi
tions
/Su
perp
ositi
on v
on M
oden
zur
Erf
üllu
ng v
on R
andb
edin
gung
en:
Each
sol
utio
n of
the
Lapl
ace
equa
tion
–ei
gen
solu
tion,
mod
e –
obta
ined
by
the
sepa
ratio
n of
va
riabl
es d
ispl
ays
lines
(sur
face
s) o
f van
ishi
ng p
oten
tial.
At th
ese
lines
(sur
face
s)w
e co
uld
plac
e a
Diri
chle
t bou
ndar
y w
ith Φ
e(x,y
) = 0
V/
Jede
Lös
ung
der
Lapl
ace-
Gle
ichu
ng –
Eige
nlös
ung,
Mod
e –,
die
man
übe
r di
e M
etho
de d
er S
epar
atio
n be
stim
mt,
wei
st L
inie
n (F
läch
en) m
it de
m N
ull-
Pote
ntia
l auf
. Au
f die
sen
Lini
en (F
läch
en) k
ann
man
ein
e D
irich
let-
Rand
mit Φ
e(x,y
) = 0
Vpl
atzi
eren
.
()
e
beca
use
/0
sinh(
)sin
h(0)
0w
eil
(,
)0
beca
use
/,..
.1,
0,1,
...sin
()
sin0
wei
l
yky
xy
nx
nkx
nkπ
π
=
==
Φ
=
==−∞
−∞
==
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
49
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ ES
Fel
der
–Se
para
tion
der
Varia
blen
–Be
ispi
el (.
..)
22
e2
20
(,
)0
0
xa
xy
yb
xy
<<
∂
∂+
Φ=
<
<∂
∂
x
ye
0U
Φ=
e0
VΦ
=e
0 V
Φ=
e0
VΦ
=
b
a
then
it fo
llow
s/
dann
folg
t
ee0
(,
)sin
sinh
nn
xy
xy
aa
ππ
Φ=Φ
We
Set /
Wir
setz
en:
nk
aπ=
e(,
)0
xy
Φ=
ee0
(,
)sin
()s
inh(
)x
ykx
kyΦ
=Φ
0 0
x xa
y= = =
e0
:y
bU
=Φ
=
ee0
0(
,)
sinsin
hn
nx
yb
xb
Ua
aπ
π
Φ
==Φ
≠
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
50
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Supe
rpos
ition
of M
odes
/ ES
Fel
der
–Se
para
tion
der
Varia
blen
–Su
perp
ositi
on v
on M
oden
(...)
e1
(,
)sin
sinh
nn
nn
xy
Ax
ya
aπ
π∞ =
Φ=
∑
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
51
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ ES
Fel
der
–Se
para
tion
der
Varia
blen
–Be
ispi
el (.
..)
22
e2
20
(,
)0
0
xa
xy
yb
xy
<<
∂
∂+
Φ=
<
<∂
∂
x
ye
0U
Φ=
e0
VΦ
=e
0 V
Φ=
e0
VΦ
=
?!e
1(
,)
sinsin
hn
n
nn
xy
Ax
ya
aπ
π∞ =
Φ=
∑
nA
Adju
st d
ie C
oeff
icie
nts
A n, n
= 1
,2,…
, ∞in
Ord
er to
Ens
ure
the
Inho
mog
eneo
us D
irich
let B
ound
ary
Cond
ition
Φe(x
,b) =
U0
at th
e To
p Bo
unda
ry. /
D
ie K
oeff
izie
nten
An,
n=
1,2
,…, ∞
sind
so
zu b
estim
men
,das
s di
e in
hom
ogen
e D
irich
let-
Rand
bedi
ngun
g Φ
e(x,b
) = U
0am
obe
ren
Rand
erf
üllt
wird
.
b
a
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
52
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ ES
Fel
der –
Sepa
ratio
n de
r Var
iabl
en –
Bei
spie
l (...
)
1. D
eter
min
e / B
estim
me
e1
(,
)sin
sinh
nn
nn
xy
Ax
ya
aπ
π∞ =
Φ=
∑
e(,
) yb
xy
=Φ e
1(
,)
sinsin
hn
n
nn
xy
bA
xb
aa
ππ
∞ =
Φ=
=
∑
2. M
ultip
ly B
oth
Sid
es w
ith /
Mul
tipliz
iere
bei
de S
eite
n m
itsin
mx
aπ
e1
00 1
0
(,
)sin
dsin
sinh
sind
sinh
sinsin
d
aa
nn
xx
a
nn
x
mn
nm
xb
xx
Ax
bx
xa
aa
a
nn
mA
bx
xx
aa
a
ππ
ππ
ππ
π
∞ ==
= ∞ ==
Φ=
=
∑∫
∫ ∑∫
Adj
ust d
ie C
oeffi
cien
ts A
n, n
= 1,
2,…
, ∞in
Ord
er to
Ens
ure
the
Inho
mog
eneo
us D
irich
let B
ound
ary
Con
ditio
n Φ
e(x,b
) = U
0at
the
Top
Bou
ndar
y. /
Die
Koe
ffizi
ente
n A n,
n=
1,2,
…, ∞
sind
so
zu b
estim
men
,das
s di
e in
hom
ogen
e D
irich
let-R
andb
edin
gung
Φe(x
,b) =
U0
am o
bere
n R
and
erfü
llt w
ird.
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
53
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ ES
Fel
der –
Sepa
ratio
n de
r Var
iabl
en –
Bei
spie
l (...
)
3. It
Fol
low
s fo
r m=
n/
Es
folg
t für
m=
n
0sinsin
d2 0 2
a x
nm
an
mn
mx
xx
aa
nm
a
ππ
δ
=
=
=
≠
=
∫
e1
00
e0
2
(,
)sin
dsin
hsin
sind
(,
)sin
dsin
h2
sinh
2
nm
aa
nn
xx
a
nn
mx
n
a
mn
nm
xb
xx
Ab
xx
xa
aa
a
na
nx
bx
xA
ba
a
an
Ab
a
δ
ππ
ππ
ππ
π
∞ ==
=
=
==
Φ=
Φ=
=
∑∫
∫
∑∫
1 0nm
nm
nm
δ=
=
≠
Kro
neck
erD
elta
/K
rone
cker
-Del
ta
e0
2(
,)s
ind
sinh
a
nx
nA
xb
xx
na
ab
a
ππ
=
=Φ
∫
Orth
ogon
al “E
igen
”func
tions
/O
rthog
onal
e „E
igen
“funk
tione
n
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
54
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ ES
Fel
der –
Sepa
ratio
n de
r Var
iabl
en –
Bei
spie
l (...
)
e0
2(
,)s
ind
sinh
a
nx
nA
xb
xx
na
ab
a
ππ
=
=Φ
∫
e0
(,
)x
bU
Φ=
00
0
0
2sin
dsin
h 2sin
dsin
h
a
nx a x
nA
Ux
xn
aa
ba
Un
xx
na
ab
a
ππ
ππ
= =
=
=
∫ ∫
()
00
1
sind
cos cos
cos(
0)
1co
s
aa
xx
na
nx
xx
an
a
an
an
a
an
n
ππ
π
ππ
ππ
==
=
=−
=−
−
=−
∫
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
55
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ ES
Fel
der –
Sepa
ratio
n de
r Var
iabl
en –
Bei
spie
l (...
)
()
()
0
0
0 0
2sin
dsin
h 21
cos
sinh 2
1co
ssin
h
a
nx
Un
Ax
xn
aa
ba
Ua
nn
na
ba
Un
nn
ba
ππ
ππ
π
ππ
π
=
=
=−
=−
∫
()
11,
3,5,
...co
s1
2,4,
6n
nn
π−
=
=
=
()
0sind
1co
sa x
na
xx
na
nπ
ππ
=
=−
∫
04
11,
3,5,
...sin
h 02,
4,6,
...
n
Un
nn
bA
an
ππ
=
=
=
()
21,
3,5,
...1
cos
02,
4,6
nn
nπ
=
−=
=
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
56
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ ES
Fel
der –
Sepa
ratio
n de
r Var
iabl
en –
Bei
spie
l (...
)
e1
(,
)sin
sinh
nn
nn
xy
Ax
ya
aπ
π∞ =
Φ=
∑
04
11,
3,5,
...sin
h 02,
4,6,
...
n
Un
nn
bA
an
ππ
=
=
=
0e
1od
d /
unge
rade
sinh
41
(,
)sin
sinh
n
ny
Un
ax
yx
nn
ab
aππ
ππ
∞ =
Φ=
∑
Solu
tion
/ Lös
ung
with
/m
it
Infin
ite S
erie
s /
Une
ndlic
he R
eihe
Com
plet
e So
lutio
n / K
ompl
ette
Lös
ung
Coe
ffici
ents
/ K
oeffi
zien
ten
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
57
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ ES
Fel
der –
Sepa
ratio
n de
r Var
iabl
en –
Bei
spie
l (...
)∑
nth
Mod
e / n
-terM
ode
nth
Mod
e / n
-terM
ode
Mod
es /
Mod
enM
odes
/M
oden
∑
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
58
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ ES
Fel
der –
Sepa
ratio
n de
r Var
iabl
en –
Bei
spie
l (...
)∑
nth
Mod
e / n
-terM
ode
nth
Mod
e / n
-terM
ode
Mod
es /
Mod
enM
odes
/M
oden
∑
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
59
ES F
ield
s –
Sepa
ratio
n of
Var
iabl
es –
Exam
ple
/ ES
Fel
der –
Sepa
ratio
n de
r Var
iabl
en –
Bei
spie
l (...
)
Mod
es /
Mod
en
31
1n=∑
Mod
es /
Mod
en
31
1n=∑
Dr.-
Ing.
R. M
arkl
ein
-EFT
I -S
S 05
60
End
of L
ectu
re 7
/En
de d
er 7
. Vor
lesu
ng